IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai ovu jednakos sa ln ( o beše prirodni logariam za osnovu e) a zaim ćemo primenii jedno od pravila vezana za logarime: ln A n n ln A logarimujemo ln ln ln ln ovo u izložiocu ide ispred logarima... sada diferenciramo ( pazi, na desnoj srani je izvod proizvoda) ln + (ln ) ln + skraimo ln + ( ln + ) sada sve pomnožimo sa ovde zamenimo sa ( ln + ) je konačno rešenje!
Primer. Nadji izvod funkcije () sin Posupak je isi: logarimujemo, pa pravilo za log., pa sredjujemo () sin ln ln () sin ln sin ln() prebacimo sin ispred logarima sada diferenciramo (sin) ln() + [ln()] sin Pazi ln() je izvod složene funkcije ln() + () sin ln() + (-sin) sin prisredimo malo ln() - sin sve pomnožimo sa sin [ ln() - ] zamenimo () sin () sin sin [ ln() - ] je konačno rešenje
Primer 3. Nadji izvod ln sin sin ln logarimujemo ln ln ln sin ln ln sin ln diferenciramo, pazimo jer na desnoj srani je izvod proizvoda a ima i složena funkcija... ln (sin)ln ln + [ln ] sin ln ln ln ln + ( ) sin pazi ln mora kao izvod količnika ln ln + ln ( ln) sin ln ln + ln ( ln) sin skraimo po jedno i sredimo ln ln ( ln) + sin ln sve pomnožimo sa ln [ ln ( ln) + sin] ln zamenimo ln sin ln sin ln [ ln ( ln) + sin] ln kraj zadaka
IZVOD FUNKCIJE DATE U PARAMETARSKOM OBLIKU Ako u funkciji f() promenljive i zavise od paramera ( () i () ), prvi izvod funkcije f() se računa po formuli : Primer. Izračunai prvi izvod funkcije zadae u paramearskom obliku: i 4 3 odavde je 4 3 odavde je 4 3 Sada i ubacimo u formulu: 4 3 i evo rešenja! Primer. Izračunai prvi izvod funkcije zadae u paramearskom obliku: r r sin ( pazimo jer r je kao konsana pošo radimo po ) r - r sin r sin r r skraimo r r sin sin - cg konačno rešenje
Primer 3. Izračunai prvi izvod funkcije: + sin i sin + sin odavde je - sin + [ sin + (sin)] - sin + sin + sin pa je [ + () ] + sin sin sin sin g IZVOD IMPLICITNO ZADATE FUNKCIJE Kada je funkcija f() zadaa u implicinom obliku F(,) 0, njen prvi izvod dobijamo iz relacije: Primer. d d F(, ) 0 Izračunai prvi izvod funkcije: 3 0 Obeležimo sa F(,) 3 Ša je ovde šos? Od članova sa -som ražimo normalno izvode, a kod onih gde se javlja i (ipsilon) nadjemo izvod i dodamo još. Tako da u našem primeru od 3 izvod je 3, od izvod je a od je izvod. Dakle: F(,) 3 d d F(, ) 3 - - pa sad ovo izjednačimo sa 0 3 - - 0 odavde sada izrazimo i o je o. 3 + 3 3 (+) pa je (+ ) konačno rešenje
Primer. Izračunai prvi izvod funkcije: + + + 6 0 F(,) + + + 6 Pazimo : mora kao izvod proizvoda! d d F(, ) + + + + + + 0 odavde moramo da izrazimo + - ( + ) - pa je + konačno rešenje Primer 3. Izračunai prvi izvod funkcije: e 3 3 Možemo odmah diferencirai, a možemo prvo oformii funkciju F(,), kako više volie! Mi ćemo odmah diferencirai : e 3 3 e () 3 3 e ( + ) 3 3 e + e 3 3 sada da izrazimo e + 3 3 - e ( e + 3 ) 3 - e pa je odavde 3 e e + 3 konačno rešenje
Primer 4. Izračunai prvi izvod funkcije: 0 Ovde je malo eža siuacija, jer moramo da logarimujemo funkciju pa ek onda da ražimo izvod. ln ln ln ln logarimujemo izložioce prebacimo ispred ln... sada izvod, ali kao izvod proizvoda! ln + ln + ln - ln - (ln - ) ln - i izrazimo ln ln konačno rešenje IZVOD INVERZNE FUNKCIJE Neka funkcija f ima prvi izvod različi od 0 na nekom inervalu i neka je g njena inverzna funkcija. Tada i g ima izvod i pri ome važi: g ( ) f ( g( )) Česo se ova formula zapisuje u obliku : a može i
Primer. Ako je arcsin, -, Pošo je arcsin, ada je sin, primenimo π π, da nadjemo izvod od! i dobijamo: (arcsin) (sin) {sad iskorisimo da je sin + o jes sin } sin { sad vraimo da je sin } Znači, dobili smo da je (arcsin) Primer. Ako je arcg i < < i π π da nadjemo izvod od! Kako je arcg o je inverzna funkcija g, pa primenimo : (arcg) ( g ) {kako je sin + } sin + sin + + g a kako je g + Dakle: (arcg) +
Primer 3. Ako je log a, a>0, a, >0 i < <, da nadjemo izvod. Inverzna funkcija za log a je a, pa je po formuli : (log a ) znamo da je izvod od a a lna ( a ) a lna lna i sad samo zamenimo da je a Dakle : (log a ) lna