TEHNIƒKA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije, III semestar

TEHNIƒKA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije, III semestar Doc. dr Stanko ori email: cstanko@grf.bg.ac.rs Graževinski fakultet Univerzitet u Beogradu k. god. 2018/19

Sadrºaj 1 Poloºaj krutog tela u prostoru Ojlerovi uglovi Kona ne jedna ine kretanja krutog tela 2

Poloºaj krutog tela u prostoru Ojlerovi uglovi Kona ne jedna ine kretanja krutog tela Sadrºaj 1 Poloºaj krutog tela u prostoru Ojlerovi uglovi Kona ne jedna ine kretanja krutog tela 2

Poloºaj krutog tela u prostoru Ojlerovi uglovi Kona ne jedna ine kretanja krutog tela Poloºaj krutog tela Poloºaj slobodnog krutog tela u prostoru je odrežen ako se poznaje poloºaj tri nekolinearne ta ke tela (A, B, C) Svaka od ta aka je odrežena sa svojim vektorom poloºaja (po 3 koordinate), ukupno 9 koordinata Kruto telo rastojanje izmežu bilo koje 2 ta ke je konstantno Izmežu 9 koordinata ta aka A, B, C postoje tri veze AB = l 1 = const, AC = l 2 = const, BC = l 3 = const Broj stepeni slobode kretanja slobodnog krutog tela je n = 9 3 = 6

Poloºaj krutog tela u prostoru Poloºaj krutog tela u prostoru Ojlerovi uglovi Kona ne jedna ine kretanja krutog tela

Poloºaj krutog tela u prostoru Ojlerovi uglovi Kona ne jedna ine kretanja krutog tela Poloºaj krutog tela Prostorni (inercijalni) sistem Oxyz bazni vektori ( ı, j, k) Materijalni (pokretni) sistem Aξηζ bazni vektori ( λ, µ, ν) Referentna ta ka tela A Poloºaj ta ke tela: r = r A + ρ - vektori r i r A su u sistemu Oxyz: r = {x, y, z} r A = {x A, y A, z A } - vektor ρ je u sistemu Aξηζ: ρ = {ξ, η, ζ}

Poloºaj krutog tela u prostoru Poloºaj krutog tela u prostoru Ojlerovi uglovi Kona ne jedna ine kretanja krutog tela

Poloºaj krutog tela u prostoru Ojlerovi uglovi Kona ne jedna ine kretanja krutog tela Poloºaj krutog tela Za datu ta ku tela, materijalne koordinate ξ, η, ζ su konstantne veli ine Kretanje tela je promena poloºaja tela tokom vremena Prilikom kretanja tela menjaju se - koordinate referentne ta ke A, - pravci baznih vektora λ, µ, ν materijalnog koord. sistema Zaklju ak: poloºaj krutog tela (u odnosu na prostorni sistem) u potpunosti je odrežen sa poloºajem referentne ta ke tela A i poloºajem materijalnog sistema u odnosu na prostorni sistem

Poloºaj krutog tela u prostoru Ojlerovi uglovi Kona ne jedna ine kretanja krutog tela Odnos prostornog i materijalnog sistema Oba sistema se posmatraju sa istim koordinatnim po etkom Odnos baznih vektora materijalnog i prostornog sistema λ a 11 a 12 a 13 ı µ = a 21 a 22 a 23 j ν a 31 a 32 a 33 k Matrica [a ij ] (i, j = 1, 2, 3) je matrica rotacije Elementi matrice a ij su kosinusi uglova izmežu pravaca λ, µ, ν u odnosu na pravce ı, j, k Matrica rotacije je ortogonalna matrica: [a ij ] 1 = [a ij ] T

Poloºaj krutog tela u prostoru Ojlerovi uglovi Kona ne jedna ine kretanja krutog tela Odnos prostornog i materijalnog sistema

Poloºaj krutog tela u prostoru Ojlerovi uglovi Kona ne jedna ine kretanja krutog tela Ojlerovi (Euler-ovi) uglovi ψ, ϑ, ϕ Izmežu 9 elemenata matrice [a ij ] postoji 6 veza (relacija) 1 Bazni vektori materijalnog sistema su mežusobno ortogonalni: λ µ = 0, µ ν = 0, ν λ = 0 2 Bazni vektori materijalnog sistema su jedini ni: λ λ = 1, µ µ = 1, ν ν = 1

Poloºaj krutog tela u prostoru Ojlerovi uglovi Kona ne jedna ine kretanja krutog tela Ojlerovi (Euler-ovi) uglovi ψ, ϑ, ϕ Izmežu 9 kosinusa pravaca a ij postoje slede e relacije a 11 a 21 + a 12 a 22 + a 13 a 23 = 0 a 21 a 31 + a 22 a 32 + a 23 a 33 = 0 a 31 a 11 + a 32 a 12 + a 33 a 13 = 0 a 2 11 + a 2 12 + a 2 13 = 1 a 2 21 + a 2 22 + a 2 23 = 1 a 2 31 + a 2 32 + a 2 33 = 1

Poloºaj krutog tela u prostoru Ojlerovi uglovi Kona ne jedna ine kretanja krutog tela Ojlerovi (Euler-ovi) uglovi ψ, ϑ, ϕ Odnos materijalnog prema prostornom sistemu odrežen je sa 9 kosinusa pravaca, odn. sa matricom rotacije Izmežu 9 elemenata matrice [a ij ] postoji 6 veza, odn. izraºavaju se preko 3 nezavisne veli ine Umesto komplikovane eliminacije, poloºaj sistema Aξηζ prema sistemu Oxyz moºe da se direktno odredi preko 3 mežusobno nezavisna ugla Ta 3 ugla su Ojlerovi uglovi ψ, ϑ, ϕ: - Ugao precesije ψ - Ugao nutacije ϑ - Ugao sopstvene rotacije ϕ

Ojlerovi (Euler-ovi) uglovi ψ, ϑ, ϕ Poloºaj krutog tela u prostoru Ojlerovi uglovi Kona ne jedna ine kretanja krutog tela

Poloºaj krutog tela u prostoru Ojlerovi uglovi Kona ne jedna ine kretanja krutog tela Prostorni i materijalni sistem i Ojlerovi uglovi - Prostorni (nepokretan) sistem xyz - Materijalni (pokretan) sistem XY Z ξηζ - Linija vorova N (presek ravni xy i ξη) - Ugao precesije α ψ - Ugao nutacije β ϑ - Ugao sopstvene rotacije γ ϕ

Poloºaj krutog tela u prostoru Ojlerovi uglovi Kona ne jedna ine kretanja krutog tela Ojlerovi (Euler-ovi) uglovi ψ, ϑ, ϕ Trijedri Oxyz i Aξηζ se poklapaju (po etni poloºaj) Pomo u tri uzastopne rotacije za tri nezavisna kona na ugla, pokretan trijedar Aξηζ se dovodi u proizvoljan poloºaj u odnosu na nepokretan trijedar Oxyz Tri uzastopne kona ne rotacije su: 1 rotacija oko z ose za ugao PRECESIJE ψ 2 rotacija oko linije vorova n za ugao NUTACIJE ϑ 3 rotacija oko ose ζ za ugao SOPSTVENE ROTACIJE ϕ Odrežuju se relacije izmežu baznih vektora λ, µ, ν i ı, j, k

Poloºaj krutog tela u prostoru Ojlerovi uglovi Kona ne jedna ine kretanja krutog tela Ojlerovi (Euler-ovi) uglovi ψ, ϑ, ϕ Posle rotacije oko z ose za ugao ψ ose ξ i η su u ravni Oxy, ali rotirane za ugao ψ Osa ξ pretstavlja, u tom poloºaju, liniju vorova (presek ravni Oxy i Aξη Posle rotacije oko linije vorova (odn. oko ose ξ u tom poloºaju), za ugao ϑ, osa ζ se odvaja od ose z, a osa η se izdiºe iz ravni Oxy Posle rotacije oko ose ζ za ugao sopstvene rotacije ϕ i osa ξ se izdiºe iz ravni Oxy i dospeva u svoj kona an poloºaj Time je sistem Aξηζ dospeo u proizvoljan poloºaj u odnosu na nepokretan sistem Oxyz

Poloºaj krutog tela u prostoru Ojlerovi uglovi Kona ne jedna ine kretanja krutog tela Ojlerovi (Euler-ovi) uglovi ψ, ϑ, ϕ Ispisivanjem relacija rotacije izmežu jedini nih vektora, posle svake kona ne rotacije, transformacijama se dolazi do veza izmežu jedini nih vektora sistema Oxyz: ı, j, k, kao i vektora pokretnog sistema Aξηζ: λ, µ, ν Time se dolazi do koecijenata matrice rotacije [a ij ], odn. matrica rotacije se izraºava preko Ojlerovih uglova: [a ij ] = [a ij (ψ, ϑ, ϕ)]

Poloºaj krutog tela u prostoru Ojlerovi uglovi Kona ne jedna ine kretanja krutog tela Ojlerovi (Euler-ovi) uglovi ψ, ϑ, ϕ Dobija se za vektor λ: λ = a11 ı + a 12 j + a 13 k gde je a 11 = cos ψ cos ϕ sin ψ cos ϑ sin ϕ a 12 = sin ψ cos ϕ + cos ψ cos ϑ sin ϕ a 13 = sin ϑ sin ϕ

Poloºaj krutog tela u prostoru Ojlerovi uglovi Kona ne jedna ine kretanja krutog tela Ojlerovi (Euler-ovi) uglovi ψ, ϑ, ϕ Dobija se za vektor µ: µ = a 21 ı + a 22 j + a 23 k gde je a 21 = cos ψ sin ϕ sin ψ cos ϑ cos ϕ a 22 = sin ψ sin ϕ + cos ψ cos ϑ cos ϕ a 23 = sin ϑ cos ϕ

Poloºaj krutog tela u prostoru Ojlerovi uglovi Kona ne jedna ine kretanja krutog tela Ojlerovi (Euler-ovi) uglovi ψ, ϑ, ϕ Dobija se za vektor ν: ν = a 31 ı + a 32 j + a 33 k gde je a 31 = sin ψ sin ϑ a 32 = cos ψ sin ϑ a 33 = cos ϑ

Poloºaj krutog tela u prostoru Ojlerovi uglovi Kona ne jedna ine kretanja krutog tela Odnos prostornog i materijalnog sistema Kra e napisano, odnos baznih vektora materijalnog i prostornog sistema je ili skra eno λ µ ν = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 {λ } = [a ij ] {x } ı j k Matrica rotacije je ortogonalna matrica: [a ij ] 1 = [a ij ] T tako da vaºe i inverzne relacije {x } = [a ij ] T {λ }

Poloºaj krutog tela u prostoru Ojlerovi uglovi Kona ne jedna ine kretanja krutog tela Kona ne jedna ine kretanja krutog tela Kona ne jedna ine kretanja krutog tela (n = 6) su date sa: zakonima promene vektora poloºaja referentne ta ke A: x A = x A (t) y A = y A (t) z A = z A (t) zakonima promene poloºaja materijalnog sistema ξηζ u odnosu na prostorni xyz: ψ = ψ(t) ϑ = ϑ(t) ϕ = ϕ(t)

Poloºaj krutog tela u prostoru Ojlerovi uglovi Kona ne jedna ine kretanja krutog tela Kona ne jedna ine proizvoljne ta ke P krutog tela u vektorskom obliku: r P = r A + ρ P u skalarnom (matri nom) obliku: x y z P = x y z A + a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 T ξ η ζ P ili, skra eno: {x} P = {x} A + [a ij ] T {ξ} P

Poloºaj krutog tela u prostoru Ojlerovi uglovi Kona ne jedna ine kretanja krutog tela Kona ne jedna ine kretanja ta ke krutog tela

Vrste kretanja krutog tela Translatorno kretanje Obrtanje tela oko nepokretne ose Obrtanje tela oko nepokretne ta ke (sferno kretanje) Op²te kretanje krutog tela Ravansko kretanje Sloºeno kretanje tela po telu

Translacija je takvo kretanje tela pri kome svaki orjentisan materijalni pravac u telu pri kretanju tela zadrºava paralelan pravac i istu orjentaciju Denicija translatornog kretanja AP = A P = const Ta ka A je referentna ta ka, pa je AP = ρ Takože je A P = ρ, pa je AP = A P ekvivalentno sa ρ = ρ = const

Po deniciji krutog tela je ρ = ρ, ali kod translatornog kretanja ρ zadrºava i paralelan pravac i isti smer Prema tome, ako se telo kre e translatorno, ρ = ρ = const, onda je u vektoru poloºaja ta ke tela r = r A + ρ samo vektor r A promenljiv sa vremenom: r A = r A (t) Kako je ρ = const, kao i ρ = ξ λ + η µ + ζ ν, pri emu je (po deniciji krutog tela) ξ = const, η = const, ζ = const, sledi da su PRAVCI materijalnog sistema konstantni Prema tome, koecijenti matrice rotacije su konstantni: a ij = const ψ = const, ϑ = const, ϕ = const

Zna i, pri translatornom kretanju se menja samo r A, dok su Ojlerovi uglovi konstantni Kona ne jedna ine translatornog kretanja krutog tela su date sa: x A = x A (t) ψ = const y A = y A (t) z A = z A (t) ϑ = const ϕ = const Broj stepeni slobode kretanja tela je n = 3

Kona ne jedna ine proizvoljne ta ke P krutog tela u vektorskom obliku su: r P = r A + ρ P odn. u skra eno napisanom matri nom obliku: {x} P = {x} A + [a ij ] T {ξ} P Kod translacije je [a ij ] = const, a takože, kod krutog tela je {ξ} P = const, tako da su kona ne jedna ine proizvoljne ta ke tela koje vr²i translaciju date sa: {x} P (t) = {x} A (t) + {b}

U izrazu {x} P (t) = {x} A (t) + {b} je uvedena oznaka za konstantan vektor [a ij ] T {ξ} P = {b} = const koji pretstavlja vektor oset-a" (rastojanja) posmatrane ta ke P u odsnosu na referentnu ta ku A (u sistemu Oxyz) Vidi se da se bilo koja ta ka tela koje vr²i translatorno kretanje, kre e isto kao i referentna ta ka, samo po paralelnoj putanji (udaljenoj za vektor {b})

Vektor kona nog pomeranja ta ke A, odn. P, je razlika vektora poloºaja u t 2 i t 1 : d A = AA odn. dp = P P Kako je kod translacije, po deniciji pomeranja ta ke P dat sa ρ = ρ, onda je vektor d P = r P r P = ( r A + ρ ) ( r A + ρ) = ( r A r A ) odnosno, d P = d A = d

Isto se dobija se i iz paralelograma AP A P : ρ = ρ d P = d A odn. pomeranja ta aka A i P su mežusobno ista Alternativna denicija translatornog kretanja: Sve ta ke tela koje se translatorno kre e vr²e mežusobno ista pomeranja

Kako sve ta ke tela, koje se translatorno kre e, vr²e mežusobno ista pomeranja (u kona nom intervalu vremena t), d P = d A, onda su i za beskona no mali interval vremena t 0 elementarna pomeranja svih ta aka ista: d r P = d r A Sledi i da su brzine i ubrzanja svih ta aka mežusobno ista: d r P = d r A v P = v A, a P = a A Prilikom translacije, telo se kre e kao jedna materijalna ta ka (kona ne mase) Ta ke tela se kre u po mežusobno paralelnim trajektorijama

Denicija rotacije krutog tela oko nepokretne ose: Telo vr²i rotaciju oko nepokretne ose ako su tokom kretanja tela dve ta ke tela stalno nepokretne Teorema 1: Ako se kruto telo kre e tako da su stalno nepokretne dve ta ke A i B, onda su nepokretne i sve ostale ta ke na osi kroz ta ke A i B - rotacija oko nepokretne ose

Ako su, po deniciji, dve ta ke tela nepokretne (vektor poloºaja se ne menja sa vremenom), r A = const, r B = const onda je broj stepeni slobode kretanja tela n = 1, jer je poloºaj tela odrežen sa 3 ta ke, A, B i C, odn. u ovom slu aju, samo jo² sa ta kom C: r C = {x C, y C, z C } Izmežu 3 koordinate r C postoje 2 veze: AC = const, BC = const, tako da je n = 1 Dve nepokretne ta ke A i B odrežuju osu AB, sa jedini nim vektorom s 0

Posmatra se ta ka P 1 koje je na osi AB. Njen vektor poloºaja je r P1 = r A + AP 1 = r A + AP 1 AB ( r B r A ) Kako je r A = const i r B = const, a takože (zbog pretpostavke o krutom telu) i AP 1 = const, to se dobija r P1 = r A + AP 1 s 0 = const r P1 = const Ako su nepokretne 2 ta ke tela, onda su nepokretne i sve druge ta ke na osi AB

Teorema 2: Brzine i ubrzanja ta aka na osi rotacije su jednake nuli Kako je r P1 = const, to je (diferenciranjem) r P1 = const r P1 = v P1 = 0, rp1 = a P1 = 0 odn. brzina i ubrzanje bilo koje ta ke na osi rotacije su jednake nuli (nepokretna osa) Sve ta ke tela izvan ose rotacije kre u se po kruºnim putanjama u ravnima upravnim na osu rotacije i sa centrima na osi rotacije

Usvaja se slede e u analizi rotacije oko nepokretne ose: - Koordinatni po eci sistema Oxyz i Aξηη se poklapaju (O = A) - Osa rotacije AB je osa z i poklapa se sa osom ζ - Time je ugao nutacije jednak nuli: ϑ = 0 - Ravni xy i ξη se poklapaju Ojlerovi uglovi ψ i ϕ nisu denisani (nema preseka ravni Oxy i Aξη) Generalisana koordinata je q 1 = θ, gde je θ = ψ + ϕ = (x, ξ)

Kona na jedna ina kretanja tela: θ = θ(t) Ako se u matricu rotacije [a ij ], gde je a ij = a ij (ψ, ϑ, ϕ), unese da je ϑ = 0, dobija se slede e: a 11 = cos ψ cos ϕ sin ψsinϕ = cos(ψ + ϕ) = a 22 a 12 = sin ψ cos ϕ + cos ψ sin ϕ = sin(ψ + ϕ) = a 21 a 13 = a 23 = a 31 = a 32 = 0 a 33 = 1

Matrica rotacije je funkcija samo ugla θ = θ(t) Kona ne jedna ine kretanja proizvoljne ta ke tela ( r A = 0): x cos θ sin θ 0 ξ y = sin θ cos θ 0 η z 0 0 1 ζ P P ili, skra eno: {x} P = [a ij ] T {ξ} P

- Rodrigov obrazac Rodrigov obrazac: veza izmežu vektora pomeranja ta ke tela koje vr²i rotaciju oko nepokretne ose i ugla rotacije θ Veza se odrežuje za kona an ugao rotacije θ, a zatim se posmatra i mali ugao rotacije dθ Telo se obrne za kona an ugao rotacije θ Ta ka M je u preseku simetrale ugla θ i tetive P P

- Rodrigov obrazac Vektor pomeranja ta ke P je r P = r r odn. r P = ρ ρ Pravci ose obrtanja s, prave P 1 M i tetive P P ine tri mežusobno ortogonalna pravca u prostoru Vektor pomeranja ta ke P moºe da se prikaºe kao r P = P P ( s 0 m) (1)

- Rodrigov obrazac Sa slike (b) je P P = 2 P M = 2 P 1 M tan θ/2 (2) Takože je jedini ni vektor m dat sa, videti sl. (a), m = P 1 P 2 P 1 P + P 1 P = P 1 P 2 2 P 1 M

- Rodrigov obrazac Kako je, videti sliku u prostoru, P 1 P = P 1 O + OP = P1 O + ρ P 1 P = P 1 O + OP = P 1 O + ρ tako da se jedini ni vektor m dobija u obliku m = P 1 O + ρ + P 1 O + ρ 2 P 1 M

- Rodrigov obrazac Vektorski proizvod s 0 m moºe da se izrazi u obliku s 0 m = s 0 P 1 O P 1 M + s ρ + ρ 0 2P 1 M odnosno kao jer je (kao kolinearni vektori) s 0 m = s 0 ( ρ + ρ ) 2P 1 M s 0 P 1 O = 0 (3)

- Rodrigov obrazac Unose i (3) i (2) u relaciju (1) dobija se vektor pomeranja r = 2P 1 M tan θ 2 s 0 ( ρ + ρ ) 2P 1 M odonosno, dobija se Rodrigov obrazac r = tan θ 2 s 0 ( ρ + ρ ) (4) Veli ina (tan θ 2 ) s 0 se naziva verzor kona ne rotacije

Rodrigov obrazac

Rodrigov obrazac prikazuje vezu izmežu vektora kona nog pomeranja ta ke i kona nog ugla rotacije (za rotaciju tela oko nepokretne ose) Za beskona no mali ugao rotacije (θ dθ) se dobija (a) tan θ tan dθ 2 2 = dθ 2 (b) r = ρ ρ r = d ρ (c) ρ + ρ = ρ + ρ + d ρ = 2 ρ + d ρ

Uno²enjem u Rodrigov obrazac (4) dobija se d ρ = dθ 2 s 0 (2 ρ + d ρ) Uz zanemarivanje proizvoda malih veli ina na kvadrat, dobija se elementarno pomeranje ta ke: d ρ = dθ s 0 ρ odn. d ρ = d θ ρ gde je d θ = dθ s 0 vektor elementarne rotacije tela

Vektor elementarne rotacije je dat sa: d θ = dθ s 0 Intenzitet vektora elementarne rotacije je mali ugao dθ Pravac vektora elementarne rotacije se poklapa sa osom rotacije s 0 Smer vektora elementarne rotacije je takav da je, gledaju i u smeru vektora rotacije, obrtanje u smeru desnog zavrtnja

Vektor ugaone brzine tela je izvod po vremenu vektora elementarne rotacije: ω = d θ dt = θ s 0 = ω s 0 Vektor ugaonog ubrzanja tela je izvod po vremenu vektora ugaone brzine: ε = d ω dt = θ s 0 = ε s 0

Vektor elementarnog pomeranja ta ke tela pri rotaciji oko nepokretne ose je d ρ = d θ ρ Elementarno pomeranje je na ravan koju ine osa obrtanja s 0 i vektor poloºaja ta ke ρ: d ρ (d θ, ρ)

Ukoliko je prilikom kretanja krutog tela jedna ta ka stalno nepokretna, onda telo vr²i rotaciju oko te nepokretne ta ke (vr²i sferno kretanje) Ako je jedna ta ka stalno nepokretna, zbog pretpostavke o krutom telu, sve ostale ta ke tela se kre u tako da su uvek na istom rastojanju od nepokretne ta ke Sve ta ke tela se kre u po sfernim povr²ima iji je centar nepokretna ta ka, a polupre nik rastojanje od nepokretne ta ke to posmatrane ta ke

telo vr²i SFERNO KRETANJE i ima tri stepena slobode kretanja (n = 3) Nepokretna ta ka tela A je izabrana za referentnu ta ku, a takože i za koord. po etak nepokretnog sistema Oxyz Tada je r A = 0, kao i r = ρ (ali se izraºavaju u razli itim koord. sistemima Generalisane koordinate su tri Ojlerova ugla, pa su kona ne jedna ine kretanja tela date sa ψ = ψ(t) ϑ = ϑ(t) ϕ = ϕ(t)

Svaka ta ka P vr²i kretanje po sferi sa centrom u nepokretnoj ta ki A, polupre nika AP Kona ne jedna ine kretanja proizvoljne ta ke tela su: x y z P = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 T ξ η ζ P ili, skra eno: {x} P = [a ij ] T {ξ} P

Dalamberova teorema: Osa ekvivalentne rotacije Dalamberova teorema: Svako telo koje vr²i sferno kretanje moºe da se prevede iz poloºaja (1) u poloºaj (2) ekvivalentnom rotacijom oko ose koja prolazi kroz nepokretnu ta ku A Alternativno: Svako kona no obrtanje tela oko nepokretne ta ke moºe da se prikaºe kao kona no obrtanje oko ose kroz nepokretnu ta ku (oko ose ekvivalentne rotacije) To je Osa ekvivalentne rotacije za kona an interval vremena t = t 2 t 1

Dalamberova teorema: Osa ekvivalentne rotacije Iz ta ke A se opi²e (zami²ljena) sfera takvog radijusa da preseca telo Presek tela i sfere je neka kriva linija i ta ke P i Q su proizvljne dve ta ke tela koje pripadaju i toj krivoj, odn. sferi Ta ke P i Q, sa ta kom A, ine ravan. Presek ravni i sfere je veliki krug na sferi Ta ke P i Q se spoje delom luka na toj velikoj kruºnici (ovaj luk nije deo tela) Kretanje ta aka P i Q se prati (prikazuje) kretanjem luka PQ Kretanje tela se, prema tome, prati kretanjem luka PQ

Dalamberova teorema: Osa ekvivalentne rotacije Rotacijom tela oko nepokretne ta ke A, ta ke P i Q su iz poloºaja (I) pre²le u poloºaj (II): P' i Q' Spoje se ta ke P i P', kao i Q i Q', odgovaraju im lucima velikih kruºnica sfere i nažu se srednje ta ke na lucima: P M = P M, QN = Q N U ta ki M, normalno na ravan APP', konstrui²e se (simetralna) ravan koja prolazi kroz centar sfere A Presek ove ravni i sfere je opet velika kruºnica Na isti na in se i u ta ki N konstrui²e ravan normalno na ravan AQQ' Presek i ove ravni sa sferom je velika kruºnica

: Dalamberova teorema

Dalamberova teorema: Osa ekvivalentne rotacije Presek luka koji je na P P u ta ki M, kao i luka koji je na QQ u ta ki N, je ta ka C Posmatraju se sferni trouglovi CPQ i CP'Q': ova dva sferna trougla (na istoj sferi) su podudarna Dokaz podudarnosti sfernih trouglova - Ta ka C je podjednako udaljena od krajeva luka PP', kao i od krajeva luka QQ', jer leºi u preseku simetralnih ravni lukova PP' i QQ' i sfere: ĈP = ĈP, ĈQ = ĈQ - Telo je kruto, pa je P Q = P Q - Sve tri strane sfernih trouglova CPQ i CP'Q' su iste

Dalamberova teorema: Osa ekvivalentne rotacije Ako su sferni trouglovi podudarni (iste sve tri stranice"), onda su isti i sferni uglovi: P CQ = P CQ Ako se levoj i desnoj strani doda isti sferni ugao QCP, onda je P CQ + QCP = QCP + P CQ odnosno, dobija se P CP = QCQ

Dalamberova teorema: Osa ekvivalentne rotacije Zaklju ak: Pri obrtanju tela oko ta ke A iz poloºaja (I) u poloºaj (II), ta ke P i Q su se obrnule oko ta ke C na sferi za iste sferne uglove Moºe da se kaºe da se za taj ugao obrnuo oko ta ke C luk velikog kruga P Q pre²av²i u poloºaj P Q Mežutim, telo vr²i rotaciju oko nepokretne ta ke A, tako da se luk P Q istovremeno obr e i oko ta ke A, kao i oko ta ke C Luk P Q, odn. kruto telo, se obr e oko ose kroz ta ke A i C Osa AC je osa ekvivalentne rotacije (QED)

Dalamberova teorema: Osa ekvivalentne rotacije Telo koje vr²i sferno kretanje je izvr²ilo neko kona no pomeranje iz poloºaja (I) u poloºaj (II) kre u i se na neki na in Mežutim, nezavisno od stvarnog na ina kretanja u poloºaj (II), postoji prava AC kroz ta ku A, iji pravac zavisi samo od po etnog i krajnjeg poloºaja Ova prava ima osobinu da se izvr²eno pomeranje moºe da prikaºe kao obrtanje tela oko te prave kao nepokretne ose (ose ekvivalentne rotacije) Tada vaºi i Rodrigov obrazac za vektor kona nog pomeranja ta ke r = tan θ 2 s 0 ( ρ + ρ )

Trenutna osa rotacije Osa ekvivalentne rotacije se odnosi na kona no pomeranje (pri sfernom kretanju tela) unutar kona nog intervala vremena t = t 2 t 1 Trenutna osa rotacije je grani ni poloºaj ose ekvivalentne rotacije kada interval vremena, u kome se posmatra obrtanje tela oko nepokretne ta ke, teºi ka nuli: t 2 t 1 = n t n = 1, 2, 3,... (n N) Kada se smanjuje interval vremena, n t 0 (dt) osa ekvivalentne rotacije u malom intervalu vremena postaje trenutna osa rotacije

Kada t 0, grani ni poloºaj ose ekvivalentne rotacije je trenutna osa rotacije Vaºi tada Rodrigov obrazac za elementarno pomeranje ta ke (i pri sfernom kretanju, jer je to rotacija oko trenutne ose): d ρ = d θ ρ Ova relacija je izvedena za rotaciju tela oko nepokretne ose (koja je stalnog pravca) Vektor elementarne rotacije d θ je takože stalnog pravca (ima pravac ose rotacije) Intenzitet vektora d θ jednak je diferencijalu ugla obrtanja tela oko ose: dθ = θ(t) dt

Pri obrtanju oko nepokretne ta ke, trenutne ose rotacije uvek prolaze kroz nepokretnu ta ku, ali su mežusobno razli itih pravaca Mežutim, osim u slu aju rotacije oko nepokretne ose, vektor elementarne rotacije d θ ne predstavlja diferencijal neke kinemati ke veli ine (ugla) Vektor elementarne rotacije oko trenutne ose (kod sfernog kretanja) predstavlja veli inu koja je denisana u trenutku t, a ne u intervalu vremena (t 2, t 1 ) Trenutna osa rotacije je prava u prostoru oko koje se telo obr e u datom trenutku t. Takože su u tom trenutku t brzine ta aka tela na trenutnoj osi rotacije jednake nuli.

Trenutna osa rotacije moºe da se deni²e i kao materijalna prava linija u telu duº koje su u tom trenutku brzine ta aka jednake nulli Pojam trenutne ose rotacije je uveden na dva na ina: 1 kao geometrijska linija u prostoru oko koje se telo obr e u posmatranom trenutku 2 kao materijalna linija u telu ije su brzine jednake nuli u datom trenutku Trenutnu osu rotacije su nezavisno (i u sli no vreme) denisali D'Alambert (1749) i Euler (1750)

Obrtanje tela oko nepokretne ta ke (a i za op²te kretanje) je odreženo zakonima promene Ojlerovih uglova kao generalisanih koordinata Vektor d θ pri rotaciji oko nepokretne ta ke, odn. oko trenutne ose rotacije, ne odrežuje svojim koordinatama diferencijale nekih generalisanih koordinata (uglova) Vektor elementarne rotacije d θ je mali ugao u razli itim ravnima koje su na trenutnu osu u tom trenutku. Zato se vektor d θ, u slu aju sfernog (ili op²teg) kretanja obeleºava sa ž θ Elementarno pomeranje ta ke tela u slu aju sfernog kretanja je dato sa d ρ = ž θ ρ

Vektor elementarne rotacije ž θ je mali ugao u ravni na trenutnu osu rotacije - nije diferencijal nekog ugla U svakom narednom trenutku je trenutna osa rotacije neka druga osa, razli ita od trenutne ose u prethodnom trenutku, ali sve trenutne ose prolaze kroz nepokretnu ta ku A Sve trenutne ose formiraju konusnu povr² sa vrhom u ta ki A (pokretan ili nepokretan aksoid) Kod rotacije oko nepokretne ose, osa rotacije je stalna i ugao elementarne rotacije dθ je diferencijal ugla θ = θ(t) a vektor d θ je stalnog pravca

Kod sfernog kretanja je vektor elementarne rotacije ž θ samo mali vektor u pravcu trenutne ose Vektor ž θ nije diferencijal nekog ugla (odn. generalisane koordinate) Teorema: Vektor elementarne rotacije pri sfernom kretanju je nezavistan od poloºaja ta ke u telu. Alternativno: U svakom trenutku, pri sfernom kretanju, sve ta ke tela vr²e obrtanje oko zajedni ke trenutne ose rotacije za isti mali ugao.

Postavlja se pitanje da li se elementarno pomeranje d ρ, u datom trenutku, svih ta aka tela koje vr²i sferno kretanje, izraºava preko istog vektora elementarne rotacije, ili svaka ta ka tela ima neki "svoj" vektor elementarne rotacije Drugim re ima, da li je vektor ž θ zavistan od izbora, odn. od poloºaja posmatrane ta ke tela Pretpostavlja se da je vektor ž θ zavistan od poloºaja ta ke tela Posmatraju se dve ta ke P i P 1 i pretpostavlja se da one imaju "svoje", odn. nezavisne vektore elementarne rotacije ž θ i ž θ 1

Ako su vektori poloºaja ta aka dati, redom, sa ρ i ρ 1, onda su elementarna pomeranja ta aka, u istom trenutku vremena, data sa: - za ta ku P... d ρ = ž θ ρ - za ta ku P 1... d ρ 1 = ž θ 1 ρ 1 Kako se posmatra kruto telo, to su trouglovi AP P 1 i AP P 1 mežusobno podudarni (sve 3 stranice iste) AP P 1 = AP P 1 (trougao AP P 1 prelazi u blizak susedni poloºaj AP P 1 ne menjaju i svoj oblik)

Kako su trouglovi podudarni, onda su isti i odgovaraju i uglovi (a ne samo stranice) Tada moºe da se napi²e relacija koja u sebi sadrºi i jednakost dve stranice i jednakost ugla izmežu njih: odnosno relacija AP AP 1 = AP AP 1 ρ ρ 1 = ( ρ + d ρ) ( ρ 1 + d ρ 1 ) (5)

Ako se relacija (5) razvije, dobija se ρ ρ 1 = ρ ρ 1 + d ρ ρ 1 + ρ d ρ 1 + d ρ d ρ 1 (6) U relaciji (6) se skrate lan na levoj strani i prvi lan na desnoj strani, pa se, uz zanemarivanje malih veli ina 2. reda, dobija d ρ ρ 1 + ρ d ρ 1 = 0 Uno²enjem relacija za d ρ i d ρ 1 dobija se (ž θ ρ) ρ 1 + ρ (ž θ 1 ρ 1 ) = 0 (7)

Jedna ina (7) moºe da se prikaºe u obliku (transformacija me²ovitih proizvoda) odakle se dobija ž θ ( ρ ρ 1 ) ž θ 1 ( ρ ρ 1 ) = 0 (8) (ž θ ž θ 1 ) ( ρ ρ 1 ) = 0 Kako su P i P 1 proizvoljne ta ke tela, to je ( ρ ρ 1 ) 0, tako da se dobija ž θ ž θ 1 = 0 (uslov ( ρ ρ 1 ) = 0 zna i da su ta ke A, P i P 1 kolinearne)

Prema tome, sferno kretanje predstavlja sukcesivan niz rotacija tela oko trenutnih osa rotacije Sve trenutne ose rotacije prolaze kroz nepokretnu ta ku Vektor elementarne rotacije je vektor koji ima pravac trenutne ose rotacije Intenzitet vektora ž θ je jednak malom uglu rotacije oko trenutne ose U svakom trenutku sve ta ke tela vr²e obrtanje oko zajedni ke trenutne ose rotacije za isti ugao elementarne rotacije ž θ