Konačno dimenzionalni vektorski prostori

Konačno dimenzionalni vektorski prostori Dragan S. Dor dević Niš, 2012.

2

Sadržaj Predgovor 5 1 Redukcija operatora 7 1.1 Linearni operatori, matrica linearnog operatora................ 7 1.2 Invarijatni potprostori i sopstveni vektori...................... 11 1.3 Teorema Keli-Hamiltona.................. 18 1.4 Invertibilni i nilpotentni operatori............. 20 1.5 Prirodna baza nilpotentnog operatora........... 25 1.6 Žordanova normalna forma operatora........... 30 1.7 Projektori.......................... 32 2 Operatori na unitarnim prostorima 39 2.1 Linearni funkcionali..................... 39 2.2 Skalarni proizvod i norma vektora............. 42 2.3 Ortogonalna baza i dekompozicija prostora........................... 45 2.4 Konjugovani operator.................... 48 2.5 Normalni operatori..................... 51 2.6 Spektralna svojstva normalnih operatora.......................... 57 3 Norma operatora 65 3.1 Norma na vektorskom prosotru.............. 65 3.2 Norma operatora...................... 68 3

4 SADRŽAJ Literatura 75

Predgovor Sdržaj rukopisa predstavlja gradivo predvi deno za izlaganje u okviru predmete Konačno dimenzionalni vektorski prostori. Konačno dimenzionalni vektorski prostori (u ovom slučaju nad poljem C) predstavljaju prirodni nastavak materije koja je obra dena u predmetu Linearna algebra. Neki delovi teksta su od interesa studentima fizike ili tehnike. Za kompletno razumevanje teksta neopohodno je vladanje osnovnim pojmovima linearne algebre. U ovom trenutku tekst nije kompletan. Konstantno se radi na poboljšanju materijala namenjenog studientima. Studenti su u obavezi da konsultuju dodatnu literaturu, koja je navedena u spisku referenci. Obavezno posetiti bilioteku Fakulteta. 5

6 SADRZ AJ

Glava 1 Redukcija operatora 1.1 Linearni operatori, matrica linearnog operatora i=1 Izučavanje konačno dimenzionalnih vektorskih prostora usko je povezano sa izučavanjem linearnih operatora na tim vektorskim prostorima. Neki rezultati važe za vektorske prostore nad proizvoljnim poljem. U pogledu primena, kao i sa aspeta razvijenosti same teorije, najvažniji su vektorski prostori nad poljima C i R. Pri tome treba biti obazriv: nije obavezno da važe isti rezultati za realne i kompleksne vektorske prostore. Nadalje će vektorski prostori biti kompleksni, ukoliko specijalno ne naglasimo da se radi o realnim prostorima. Neka je V vektorski prostor nad C. Skup B V je (algebarska, Hamelova) baza prostora V, ako za svako x V postoji jedinstven broj n N, jedinstveno odre deni vektori e 1,..., e n B i jedinstveni brojevi x 1,..., x n C, tako da je x = n x i e i. Prostor V je konačno dimenzionalan, ako je broj elemenata baze konačan. Svake dve baze konačno dimenzionalnog vektorskog prostora V imaju isti broj elemenata, i taj broj se naziva dimenzija vektorskog prostora, u oznaci dim(v ). Skup svih (realnih ili kompleksnih) neprekidnih funkcija, koje su definisane na segmentu [a, b], čine beskonačno dimenzionalni prostor (u odnosu na uobičajeno sabiranje funkcija, kao i množenje funkcije skalarom). Beskonačno dimenzionalni vektorski prostori su predmet izučavanja funkcionalne analize. 7

8 GLAVA 1. REDUKCIJA OPERATORA Nadalje su svi prostori konačno dimenzionalni. Ako je B baza vektorskog prostora V, onda smatramo da je B ure den skup, odnosno B = (e 1,..., e n ). Ako je x = n x i e i reprezentacija vektora x u bazi B, i=1 tada je uobičajena matrična oznaka x 1 x 2 [x] B =. x n B = [x 1 x n ] B. Očigledno, promena redosleda vektora baze B dovodi do promene matrice [x] B kojom je reprezentovan vektor x. Dakle, korespodencija x [x] B iz skupa V u skup C n 1 je jednoznaačna samo ako se pretpostavi ure denost baze B. Skup R n je n-dimenzionalan realan vektorski prostor, a C n je n- dimenzionalan kompleksan vektorski prostor, pri čemu je sabiranje ure- denih n-torki, kao i množenje skalarom, definisano koordinatno. Nula-vektor se označava sa 0. Vektori e 1,..., e k kompleksnog vektorskog prostora V su linearno nezavisni, ako za sve brojeve α 1,..., α k C važi implikacija α 1 e 1 + + α n e n = 0 = α 1 = = α n = 0. Vektori su linearno zavisni, ako nisu linearno nezavisni. Vektori baze vektorskog prostora su uvek linearno nezavisni. Štaviše, ako je B = (e 1,..., e n ) baza vektorskog prostora V, onda ne postoji vektor y V, tako da je y e i za svako i = 1,..., n, i istovremeno da je (e 1,..., e n, y) linearno nezavisan sistem vektora u V. Neka su V 1, V 2 kompleksni vektorski prostori, i neka je A : V 1 V 2 preslikavanje. A je linearan operator, ako za svako x, y V 1 i svako α, β C važi A(αx + βy) = αa(x) + βa(y). Jednostavnosti radi, uobičajeno je pisati Ax umesto A(x). Skup svih linearnih operatora iz V 1 u V 2 označava se sa L(V 1, V 2 ). Specijalno, L(V 1 ) = L(V 1, V 1 ). Neka su V 1, V 2 kompleksni vektorski prostori, pri čemu je dim V 1 = n i dim V 2 = m. Neka je B 1 = (e 1,..., e n ) baza prostora V 1, i neka je B 2 = (f 1,..., f m ) baza prostora V 2. Ako je x V 1, tada je x = n x j e j j=1

1.1. LINEARNI OPERATORI,MATRICA LINEARNOG OPERATORA9 i [x] B1 = [ ] x 1 x 2 x n B 1, za neke x j C. Tada je Ax V 2, te je Ax = m y i f i. Na osnovu linearnosti operatora A sledi da je i=1 ( m n ) y i f i = A x j e j = i=1 j=1 n x j Ae j. Važi Ae j V 2, te je Ae j = m a i,j f i, pri čemu su a i,j odre deni kompleksni brojevi. Sledi da važi m n m ( m n ) y i f i = a i,j f i = a i,j x j f i. i=1 j=1 x j i=1 i=1 i=1 j=1 j=1 jedinstveno Svaki vektor ima jedinstvenu linearnu reprezentaciju preko vektora baze, odakle sledi n y i = a i,j x j, i = 1,..., m, j=1 ili, u matričnom zapisu y 1 a 1,1 a 1,2 a 1,n x 1 y 2. = a 2,1 a 2,2 a 2,n x 2...... (1.1) y m a m,1 a m,2 a m,n Matrica x n a 1,1 a 1,2 a 1,n a 2,1 a 2,2 a 2,n B 2 [A] B1 =.... a m,1 a m,2 a m,n jeste matrica linearnog operatora A u odnosu na baze B 1 i B 2. Očigledno, jednakost vektora y = Ax ima svoj ekvivalenat u matričnom zapisu: [y] B2 = B2 [A] B1 [x] B1. Dakle, za date baze B 1 i B 2, kao i za dati linearni operator A L(V 1, V 2 ) postoji jedinstvena matrica B2 [A] B1 tako da za svako x V 1 važi

10 GLAVA 1. REDUKCIJA OPERATORA reprezentacija (1.1). Očigledno, promena redosleda vektora baze dovodi do promene matrice linearnog operatora. Sa druge strane, neka je B proizvoljna kompleksna matrica tipa m n. Neka je x = n j=1 x j e j V 1, odnosno [x] B1 = [ x 1 x n ] B 1. Tada je B[x] = ỹ = [ ] y 1 y 2 y m matrica tipa m 1. Matrica ỹ može biti shvaćena kao matrica vektora y = m y i f i, odnosno [y] B2 = ỹ. Očigledno, preslikavanje x B[x] = ỹ je linearno preslikavanje iz V 1 u V 2, koje označavamo sa B. Sada je B = B2 [B] B1. Dakle, ukoliko su baze B 1, B 2 prostora V 1, V 2 fiksirane, onda svakoj matrici m n odgovara jedan linearan operator iz skupa L(V 1, V 2 ). Neka je C m n skup svih kompleksnih matrica tipa m n, neka je V 1 kompleksan vektorski prostor dimenzije n i baze B 1, neka je V 2 kompleksan vektorski prostor dimenzije m i baze B 2. Neka je B 1 skup svih baza prostora V 1, i neka je B 2 skup svih baza prostora V 2. Na osnovu svega rečenog, korespodencija (A, B 1, B 2 ) B2 [A] B1 je bijekcija iz skupa L(V 1, V 2 ) B 1 B 2 u skup C m n. Ako su baze B 1 i B 2 iste, koristićemo skraćenu oznaku [A] B = B [A] B. Ako je A L(V 1, V 2 ), tada je N (A) = {x V 1 : Ax = 0} jezgro operatora A, dok je R(A) = {Ax : x V 1 } slika operatora A. Nije teško proveriti da je N (A) potprostor od V 1, dok je R(A) potprostor od V 2. Neka su V 1, V 2, V 3 vektorski prostori sa bazama, redom, B 1, B 2, B 3, i neka su A L(V 1, V 2 ), B L(V 2, V 3 ). Tada je kompozicija BA tako de linearan operator iz V 1 u V 3, odnosno BA L(V 1, V 3 ). Neka su B 2 [A] B1 i B3 [B] B2 odgovarajuće matrice. Neka je B2 [A] B1 = [a ij ] m n i B 3 [B] B2 = [b ij ] k m. Ako je x = [x 1 x n ] B 1, tada je i=1 n m a 1j x j j=1 i=1 B 3 [B] B2 B 2 [A] B1 [x] B1 = B3 [B] B2. = n m a mj x j j=1 n b 1i a ij x j.. n b ki a ij x j j=1 i=1 j=1

1.2. INVARIJATNI POTPROSTORI I SOPSTVENI VEKTORI 11 Očigledno je [BA] = [B][A]. Tako de je [λa] = λ[a], ako je λ C. Ako je C, D L(X 1, V 2 ), tada je i [C + D] = [C] + [D]. 1.2 Invarijatni potprostori i sopstveni vektori Neka je V vektorski prostor nad poljem C, neka je U potprostor od V, i neka je A L(V ). Definicija 1.2.1. Potprostor U je invarijantan za operator A, ako je A(U) U. Tada potprostor U redukuje operator A. Očigledno, {0} i V su invarijatni potprostori od A. Stoga se pod invarijantnim potprostorom operatora A uvek podrazumeva pravi potprostor, odnosno potprostor koji je različit od {0} i V. Definicija 1.2.2. Ako postoje netrivijalni potprostori U i W od V, tako da je V = U + W (odnosno, W je algebarski komplement od U u prostoru V ), i ako je A(U) U, A(W ) W, tada dekompozicija V = U + W kompletno redukuje A. Neka je V = U +W, B U = (e 1,..., e n ) je baza potprostora U i B W = (f 1,..., f m ) je baza potprostora W. Tada je B V = (e 1,..., e n, f 1,..., f m ) baza prostora V. Neka je A L(V ) sa svojstvom A(U) U, i neka je B V [A] BV = [a ij ] (n+m) (n+m) matrica operatora A u bazi B V. Neka je x = [x 1... x n y 1... y m ] B V reprezentacija vektora x V u bazi B V. Tada je = B V [A] BV [x] BV = a 11 x 1 + + a 1,n x n + a 1,n+1 y 1 + + a 1,n+m y m. a n,1 x 1 + + a n,n x n + a n,n+1 y 1 + + a n,n+m y m a n+1,1 x 1 + + a n+1,n x n + a n+1,n+1 y 1 + + a n+1,n+m y m. a n+m,1 x 1 + + a n+m,n x n + a n+m,n+1 y 1 + + a n+m,n+m y m U + W. B V

12 GLAVA 1. REDUKCIJA OPERATORA Pri tome, prvih n koordinata vektora Ax pripada potprostoru U, dok poslednjih m koordinata vektora Ax pripada potprostoru W. Neka je x U. Tada je y 1 = = y m = 0, i tako de Ax U. Iz činjenice da su x 1,..., x n proizvoljni kompleksni brojevi, na osnovu reprezentacije operatora A sledi da je a n+i,j = 0 za svako i = 1,..., m i svako j = 1,..., n. Drugim rečima, matrica kojom je reprezentovan operator A u datoj bazi B V, jeste blok-gornje trougaona, odnosno a 1,1 a 1,n a 1,n+1 a 1,n+m...... a [A] BV = n,1 a n,n a n,n+1 a n,n+m. 0 0 a n+1,n+1 a n+1,n+m..... 0 0 a n+m,n+1 a n+m,n+m Ako se uvedu očigledne oznake a 1,1 a 1,n a 1,n+1 a 1,n+m [A 1 ] =..., [A 3 ] =..., a n,1 a n,n a n,n+1 a n,n+m a n+1,n+1 a n+1,n+m [A 2 ] =..., a n+m,n+1 a n+m,n+m onda matrica operatora A u odnosu na bazu B V jeste [ ] [A1 ] [A [A] BV = 3 ]. 0 [A 2 ] Pri tome je 0 oznaka za nula-matricu odgovarajućeg tipa. Specijalno, ako pretpostavimo da je A(U) U i A(W ) W, onda analognim rasu divanjem zaključujemo da je matrica operatora A u odnosu na bazu B V blok-dijagonalna, odnosno a 1,1 a 1,n 0 0...... a [A] BV = n,1 a n,n 0 0. 0 0 a n+1,n+1 a n+1,n+m..... 0 0 a n+m,n+1 a n+m,n+m

1.2. INVARIJATNI POTPROSTORI I SOPSTVENI VEKTORI 13 Uz prethodne oznake, sledi da u bazi B V važi [ ] [A1 ] 0 [A] =. 0 [A 2 ] Ako je I L(X) identički operator, jednostavno je videti da je matrica ovog operatora u svakoj bazi identička matrica. Stoga je oznaka [I] B = I k, pri čemu indeks k označava dimenziju jedinične matrice. Tvr denje 1.2.1. Neka je V = U +W i A L(V ), pri čemu je AU U i AV V. Ako je A 1 = A U : U U redukcija operatora A na potprostor U, i ako je A 2 = A W : W W redukcija operatora A na potprostor W, tada je R(A) = R(A 1 ) + R(A 2 ) i N (A) = N (A 1 ) + N (A 2 ). Dokaz. Očigledno, R(A 1 ) + R(A 2 ) je potprostor od V. Iz činjenice AU U sledi da je R(A 1 ) U. Tako de, iz činjenice AW W sledi R(A 2 ) W. Kako je U W = {0}, sledi R(A 1 ) R(A 2 ) = {0}. Time je dokazano R(A) = R(A 1 ) + R(A 2 ). N (A) = N (A 1 ) + N (A 2 ). Analogno se dokazuje Definicija 1.2.3. Neka je V vektorski prostor i x V. Vektorski potprostor generisan vektorom x naziva se lineal nad x, u oznaci lin{x}. Lako je proveriti da važi lin{x} = {λx : λ C}. Definicija 1.2.4. Neka je V vektorski prostor i A L(V ). Vektor x 0 je sopstveni vektor operatora A, ako postoji λ C, tako da je Ax = λx. Drugim rečima, x je sopstveni vektor operatora A, ako je lin{x} invarijantan potprostor od A. Neka je B baza vektorskog prostora V, A L(V ) i neka je [A] B = [a ij ] n n. Neka je x V sopstveni vektor operatora A i neka je λ C odgovarajuća sopstvena vrednost. Ako je [x] B = [ x 1 x n ] B 0, tada iz Ax = λx, sledi da je ([A] BV λ[i] BV )[x] BV = 0. (1.2) Poslednji izraz se može shvatiti kao homogen sistem jednačina sa parametrom λ i nepoznatim vektorom x. Na osnovu poznatog rezultata iz

14 GLAVA 1. REDUKCIJA OPERATORA linearne algebre sledi da sistem jednačina (1.2) ima netrivijalno rešenje ako i samo ako je determinanta matrice jednaka nuli. Drugim rečima, za dati parametar λ C postoji ne-nula vektor x V koji zadovoljava uslov Ax = λx, ako i samo ako je λ rešenje jednačine det([a] λ[i]) = 0. Sa druge strane, ako je λ C, tada je a 11 λ a 12 a 1n a 21 a 22 λ a 2n det([a] λ[i]) = (1.3).. a n1 a n2 a nn λ = ( 1) n λ n + p n 1 λ n 1 + + p 1 λ + p 0 = P A,B (λ). (1.4) Polinom λ P A,B (λ), koji se kraće označava sa P A (λ), ili P (λ), jeste karakteristični polinom linearnog operatora A u bazi B. Nije teško videti da je p n 1 = ( 1) n 1 tr(a), gde je tr(a) = a 11 + a 22 + + a nn trag matrice [A] B. Poznato je da polinom stepena n ima n nula u skupu C. Prema tome, svaki linearni operator na n-dimenzionalnom kompleksnom vektorskom prostoru ima n sopstvenih vrednosti. Polinom sa realnim koeficijentima ne mora imati realne nule. Prema tome, linearan operator na n-dimenzionalnom realnom vektorskom prostoru ne mora imati (realne) sopstvene vrednosti. Ova činjenica upravo daje praktičnu prednost kompleksnih vektorskih prostora u odnosu na realne vektorske prostore u mnogim slučajevima. Tako de postoje objektivne potrebe da se razmatraju realni vektorski prostori, kao što su problemi optimizacije, problemi sa konusima, i mnogi drugi. Stoga ne treba unapred zanemariti realne prostore. Interesanto je pomenuti da se kvantna mehanika zasniva na kompleksnim vektorskim prostorima, koji moraju biti beskonačno dimenzionalni. Definicija 1.2.5. Ako je λ nula karakterističnog polinoma P A reda k (1 k n), tada je k algebarska višestrukost sopstvene vrednosti λ operatora A. Definicija 1.2.6. Skup svih sopstvenih vrednosti operatora A naziva se spektar operatora A u oznaci σ(a). Ako je λ σ(a), tada je N (A λi) uvek potprostor vektorskog prostora V. Jednostavno je proveriti da x N (A λi) ako i samo ako

1.2. INVARIJATNI POTPROSTORI I SOPSTVENI VEKTORI 15 je Ax = λx. Prema tome, N (A λi) je skup svih sopstvenih vektora x koji odgovaraju sopstvenoj vrednosti λ. Od interesa je proceniti karakteristični polinom linearnog operatora pri promeni baze vektorskog prostora. Neka su B 1 = (e 1,..., e n ) i B 2 = (f 1,..., f n ) baze vektorskog prostora V, i neka su [A] B1 i [A] B2 matrice operatora A L(V ) u ovim bazama, redom. Tada je f i = n p ij e j (i = 1,..., n) razlaganje svakog vektora f i preko vektora baze j=1 B 1. Na prirodan način dolazimo do nove matrice P = [p ij ] n n. Vektori f 1,..., f n su linearno nezavisni, odakle sledi da su vertikale matrice P linearno nezavisne, odnosno det(p ) 0. Neka je x V proizvoljan vektor. Tada je ( n n n n n n ) x = x j e j = x if i = p ij x ie j = p ij x i e j. j=1 i=1 i=1 j=1 Sledi da je x j = n p ij x i za svako j = 1,..., n. U matričnom zapisu i=1 to znači [x] B1 = P [x] B2. Matrica P je invertibilna, odnosno [x] B2 = (P ) 1 [x] B1. Neka je sada Ax = y. Tada je, u odnosu na bazu B i, ispunjeno [A] Bi [x] Bi = [y] Bi, za i = 1, 2. Sledi da važi [A] B1 [x] B1 = [y] B1 = P [y] B2 = P [A] B2 [x] B2 = P [A] B2 (P ) 1 [x] B1, odakle proizilazi [A] B1 = P [A] B2 (P ) 1, odnosno (P ) 1 [A] B1 P = [A] B2. Matrica Q = P jeste matrica prelaza sa baze B 1 na bazu B 2. Dakle, [A] B2 = Q 1 [A] B1 Q. Definicija 1.2.7. Operatori A, B L(V ) su slični, ako postoji invertibilan operator C L(V ), tako da je A = CBC 1. Sličnost dva operatora je ekvivalentna sličnosti odgovarajućih matrica tih operatora. Dakle, matrice jednog operatora A u različitim bazama jesu uzajamno slične. Lako je proveriti da slične matrice imaju jednake determinante. Tvr denje 1.2.2. Karakteristični polinom p A operatora A L(V ) ne zavisi od izbora baze prostora V. j=1 i=1

16 GLAVA 1. REDUKCIJA OPERATORA Dokaz. Neka su B 1 = (e 1,..., e n ) i B 2 = (f 1,..., f n ) baze prostora V, pri čemu je Q matrica prelaza sa baze B 1 na bazu B 2. Tada je [A] B2 λi n = Q([A] B1 λi n )Q 1. Iz činjenice da slične matrice imaju jednake determinante, sledi da su karakteristični polinomi operatora A u obe baze me dusobno jednaki. Definicija 1.2.8. (a) Broj geom(λ) = dim N (A λi) je geometrijska višestrukost sopstvene vrednosti λ σ(a). (b) Ako je λ σ(a) nula karakterističnog polinoma P A reda k, onda je broj alg(λ) = k algebarska višestrukost sopstvene vrednosti λ. Odnos izme du geometrijske i algebarske višestrukosti sopstvene vrednosti dat je sledećom teoremom. Teorema 1.2.1. Ako je A L(V ) i λ σ(a), onda je geom(λ) alg(λ). Dokaz. Neka je λ σ(a) i neka je B 1 = (e 1,..., e k ) baza potprostora N (A λi). Postoje vektori e k+1,..., e n, tako da je B = (e 1,..., e n ) baza prostora V. Potprostor N (A λi) je invarijantan za A, pri čemu je A N (A λi) = λi. Soga je matrična forma operatora A data sa [A] B = [ λik X 0 Y pri čemu je I k jedinična matrica imenzije k, dok su X, Y neke matrice odgovarajućih dimenzija. Sada je karakteristični polinom operatora A jednak P A (µ) = ([ ]) (λ µ)ik X det 0 Y µi n k = det([(λ µ)i k ]) det([y µi n k ]) Sledi da je alg(λ) k = geom(λ). ], = (λ µ) k det([y ] µ[i n k ]). Tvr denje 1.2.3. Pretpostavimo da važi: A L(V ), dekompozicija V = V 1 + V2 kompletno redukuje operator A, A i = A Vi : V i V i (i = 1, 2) je redukcija operatora A na potprostor V i. Tada je P A = P A1 P A2.

1.2. INVARIJATNI POTPROSTORI I SOPSTVENI VEKTORI 17 Dokaz. Neka je B i baza potprostora V i, i = 1, 2. Tada je B = (B 1, B 2 ) baza prostora V. Karakteristični polinom ne zavisi od izbora baze. Koristeći činjenicu da je matrica operatora A u bazi B blok-dijagonalna, sledi da za λ C važi P A (λ) = det([a] B λi n ) a 11 λ a 1k 0 0.... a = k1 a kk λ 0 0 0 0 a k+1,k+1 λ a k+1,n...... a n,k+1 a nn λ = P A1 (λ)p A2 (λ). Na kraju ove sekcije dokazujemo rezultat o dijagonalnim matricama. Tvr denje 1.2.4. Matrica operatora A L(V ) je dijagonalna ako i samo ako je baza sastavljena od sopstvenih vektora. Dokaz. Pretpostavimo da je B = (e 1,..., e n ) i da je svaki e i sopstveni vektor operatora A. Tada postoje brojevi λ 1,..., λ n C tako da je Ae i = λ i e i, i = 1,..., n. Neka je x = n x i e i V. Tada je y = Ax = i=1 n λ i x i, ili u matričnom zapisu: i=1 y 1 λ 1 0 0 x 1 y 2. = 0 λ 2 0 x 2..... y n 0 0 λ n x n Dakle, λ 1 0 0 0 λ 2 0 [A] B =.... 0 0 λ n

18 GLAVA 1. REDUKCIJA OPERATORA Obrnuto, pretpostavimo da je B = (e 1,..., e n ) i da je a 1 0 0 0 a 2 0 [A] B =.... 0 0 a n Ako je λ C, tada je det([a] B λi n ) = (a 1 λ)(a 2 λ) (a n λ), odakle sledi da je σ(a) = {a 1,..., a n }. Lako je proveriti da je Ae i = a i e i, odnosno e i je sopstveni vektor operatotra A koji odgovara sopstvenoj vrednosti a i. 1.3 Teorema Keli-Hamiltona Ako je Q(λ) = q n λ n + q n 1 λ n 1 + + q a λ + q 0 proizvoljan polinom, i ako je A L(V ), tada se na prirodan način definiše Q(A) = q n A n + q n 1 A n 1 + + q 1 A + q 0 I, i analogno za odgovarajuću matricu [A]. Teorema 1.3.1. Ako je A L(V ) i ako je P A karakteristični polinom operatora A, tada je P A (A) = 0. Dokaz. Ako je C L(V ) i [C] matrica operatora C u nekoj bazi, tada je adj([c]) adjungovana matrica od [C], za koju važi adj([c]) [C] = det([c])i. Neka je λ C, A L(V ) i P A (λ) = det([a] λi) = ( 1) n λ n +p n 1 λ n 1 +p n 2 λ n 2 + +p 1 λ+p 0. Tada važi adj([a] λi) ([A] λi) = P A (λ). Elementi matrice adj([a] λi) su ko-faktori matrice [A] λi, i stoga su ovi elementi polinomi stepena n 1 po λ. Sledi da postoje konstantne matrice B 0,..., B n 1, tako da je det([a] λi) = B n 1 λ n 1 + + B 0. Neka je B j L(V ) operator, tako da je [B j ] = B j, j = 0, 1,..., n 1. Tada je ([B] n 1 λ n 1 +[B] n 2 λ n 2 + +[B] 1 λ+[b 0 ])([A] λi) = det([a] λi)i,

1.3. TEOREMA KELI-HAMILTONA 19 odakle sledi [B] n 1 = ( 1) n I, [B n 1 ][A] [B n 2 ] = p 1 I, [B n 2 ][A] [B n 3 ] = p 2 I, [B 1 ][A] [B 0 ] = p 1 I, [B 0 ][A] = p n I. Sada prvu jednakost pomnožimo sa A n, drugu jednakost pomnožimo sa A n 1,..., poslednju jednakost pomnožimo sa I, i sve dobijene jednakosti saberemo. Dobija se 0 = P A (A).. Sada dokazujemo rezulat o preslikavanju spektra operatora polinomom. Teorema 1.3.2. Neka je A L(V ) i neka je p proizvoljan polinom. Tada je σ(p(a)) = p(σ(a)), odnosno µ σ(p(a)) ako i samo ako postoji λ σ(a) tako da je µ = p(λ). Dokaz. : Neka je λ σ(a). Posmatramo polinom q definisan kao q(t) = p(t) p(λ) za svako t C. Tada za polinom q postoji faktorizacija q(t) = p(a) p(λ) = α(t λ)(t λ 1 ) (t λ n ), gde su α, λ 1,..., λ n C. Tada je q(a) = α(a λi)(a λ 1 I) (A λ n I), pri čemu svi operatori na desnoj strani jednakosti me dusobno komutiraju. Kako je λ σ(a) sledi da A λi nije invertibilan operator, odakle sledi da q(a)p(a) p(λ) tako de nije invertibilan. Dakle, p(λ) σ(p(a)).

20 GLAVA 1. REDUKCIJA OPERATORA : Pretpostavimo sada da je µ σ(p(a)) i neka je polinom r definisan kao r(t) = p(t) µ za svako t C. Tada se polinom r faktoriše kao r(t) = β(t µ 1 ) (t µ k ), za neke β, µ 1,..., µ k C. Važi r(a) = p(a) µi = β(a µ 1 I) (A µ k I), pri čemu svi operatori na desnoj strani jednakosti me dusobno komutiraju. Iz činjenice µ σ(p(a)) sledi da r(a) nije invertibilan. Prema tome, ne mogu svi operatori A µ 1 I,..., A µ k I biti invertibilni. Stoga postoji neko µ i σ(a). Kako je r(µ i ) = 0, sledi da je µ = p(µ i ). 1.4 Invertibilni i nilpotentni operatori Rang linearnog operatora A L(V 1, V 2 ) definisan je kao rang matrice [A], a označava se sa rank(a). Poznato je da rang operatora ne zavisi od izbora baza u prostorima V 1 i V 2. Tako de je rank(a) = dim R(A). Determinanta operatora A L(V ) jednaka je upravo det([a]), i determinanta ne zavisi od izbora baze u V. Ako je A, B L(V ), onda je det(ab) = det(a) det(b) dobro poznata Koši-Bineova teorema. Operator A L(V 1, V 2 ) je invertibilan, ako postoji B L(V 2, V 1 ) tako da je AB = I V2 i BA = I V1. Operator A je singularan, ako nije invertibilan. Ako su A 1 L(V 1, V 2 ) i A 2 L(V 2, V 3 ) invertibilni operatori, tada je A 2 A 1 L(V 1, V 3 ) tako de invertibilan operator, što sledi na osnovu jednostavne provere (A 2 A 1 ) 1 = A 1 1 A 1 2. Jednostavno je proveriti da je linearan operator A L(V ) invertibilan ako i samo ako je matrica [A] invertibilna (još jednom izbor baze u V nije važan). Skup svih invertibilnih operatora iz L(V 1, V 2 ) označava se sa G(V 1, V 2 ). Specijalno, G(V ) = G(V, V ). Tvr denje 1.4.1. Skup G(V ) je (nekomutativna) multiplikativna grupa. Tvr denje 1.4.2. Neka je A L(V ). Tada su sledeća tvr denja ekvivalentna: (a) A je invertibilan; (b) A je preslikavanje 1-1 ; (c) A je preslikavanje na ;

1.4. INVERTIBILNI I NILPOTENTNI OPERATORI 21 (d) rank(a) = dim V ; (e) 0 / σ(a). Pored invertibilnih operatora, pokazuje se da važnu ulogu u teoriji operatora na konačno dimenzionalnim prostorima imaju i nilpotentni operatori. Operator A L(V ) je nilpotentan, ako postoji n N, n 1, tako da je A n = 0. Ako je A nilpotentan, onda najmanji broj n N sa osobinom A n = 0 jeste indeks nilpotentnosti operatora A, u oznaci n(a). Očigledno, n(a) = 1 ako i samo ako je A = 0. Ako je A nilpotentan operator i k n(a), tada je A k = 0. Nije teško proveriti da ako je A L(V ) nilpotentan operator, onda A mora biti singularan. Na osnovu teoreme o preslikavanju spektra, može se dokazati sledeći rezultat. Tvr denje 1.4.3. Ako je A L(V ) nilpotentan operator, tada je σ(a) = {0}. Nadalje smatramo da je A L(V ) i n = dim V. sledeće očigledne lance: Razmotrimo {0} N (A) N (A 2 ), V R(A) R(A 2 ), n = dim(v ) rank(a) rank(a 2 ). Dokazujemo nekoloko tvr denja u vezi sa prethodnim lancima. Tvr denje 1.4.4. R(A k ) je invarijantan potprostor za A, pri čemu je k N proizvoljan. Dokaz. Neka je x R(A k ). Tada postoji y V, tako da je x = A k y. Tada je Ax = A k+1 y = A k (Ay) R(A k ). Tvr denje 1.4.5. Postoji najmanji broj p {0, 1,..., n} tako da je rank(a p ) = rank(a k ) za svako k p. Dokaz. Pretpostavimo da je rank(a) = n = dim V. Tada je A invertibilan operator, i za svako k N važi rank(a k ) = n. U ovom slučaju je p = 0. Pretpostavimo da je rank(a) < n. Tada je A singularan operator. Očigledno, postoji najmanji broj p tako da je rank(a p ) = rank(a p+1 ).

22 GLAVA 1. REDUKCIJA OPERATORA Pri tome, p ne može biti veće od n, i p = n 1 ako i samo ako je n > rank(a) > rank(a 2 ) > > rank(a n 1 ) > 0 = rank(a n ). Dakle, 1 p n. Prema prethodnom tvr denju, R(A p ) je invarijatnan potprostor od A, te se može posmatrati redukcija operatora A p = A R(A p ) : R(A p ) R(A p ). Iz rank(a p ) = rank(a p+1 ) sledi da je A p invertibilan operator. Prema tome, A l = A l R(A p ) : R(A p ) R(A p ) je invertibilan operator za svako l = 1, 2,..., odakle sledi da je rank(a k ) = rank(a p ) za svako k p. Definicija 1.4.1. Najmanji prirodan broj p za koji je rank(a p ) = rank(a p+1 ) jeste indeks operatora A i označava se sa ind(a). Za sliku i jezgro stepena operatora važi potpuno analogno tvr denje kao i za rang operatora. Tvr denje 1.4.6. Neka je A L(V ) i p = ind(a). Tada za svako l < p i svako k p važi R(A l ) R(A l+1 ), N (A l ) N (A l+1 ), R(A k ) = R(A p ), N (A k ) = N (A p ). Dokaz. Neka je A l = A R(A l ) : R(A l ) R(A l ). Ako je l < p, onda je A l singularan olperator, odakle sledi R(A l ) R(A l+1 ). Na osnovu dim V = dim R(A s ) + dim N (A s ) za svako s N, proizilazi da je N (A l ) N (A l+1 ). Iz istih razloga, ako je k p, onda iz rank(a k ) = rank(a k+1 ) sledi da je operator A k invertibilan, te je i R(A k ) = R(A k+1 ) i N (A k ) = N (A k+1 ). Sada dokazujemo važnu teoremu o dekompoziciji linearnog operatora. Teorema 1.4.1. Neka je A L(V ) i neka je p = ind(a). Tada važi V = R(A p ) + N (A p ), prethodna dekompozicija kompletno redukuje operator A, redukcija A 1 : R(A p ) : R(A p ) R(A p ) je invertibilan operator, dok redukcija A 2 = A N (A p ) : N (A p ) N (A p ) jeste nilpotentan operator, i n(a 2 ) = ind(a). Dokaz. Dokazaćemo da je R(A p ) N (A p ) = {0}. Pretpostavimo da je x R(A p ) N (A p ). Tada postoji y V sa svojstvom A p y = x, kao i A p x = 0. Sledi da je A 2p y = 0, odnosno y N (A 2p ) = N (A p ). Stoga je x = A p y = 0.

1.4. INVERTIBILNI I NILPOTENTNI OPERATORI 23 Očigledno, potprostori R(A p ) i N (A p ) su invarijanti za A. Ako je A 1 : R(A p ) : R(A p ) R(A p ), zbog rank(a p ) = rank(a p+1 ) sledi da je A 1 invertibilan. Ako je x N (A p ), tada je A p 2x = A p x = 0, te je A 2 niplotentan operator. Očigledno, n(a 2 ) = ind(a). Neka je x V. Tada je A p x R(A p ) = R(A 1 ) = R(A p 1), te postoji neko y R(A p ) tako da je A p x = A p 1y = A p y. Očigledno je x = y + (x y), y R(A p ) i x y N (A p ). Stoga je V = R(A p ) + N (A p ). Ova teorema omogućava tradicionalni zapis operatora A kao A = A 1 +A2, i ova dekompozicija se naziva invertibilno-nilpotentna 1 dekompozicija operatora A. Neposredna posledica prethodne teoreme jeste blok-dijagonalna forma matrice operatora A, koja se tako de naziva invertibilno-nilpotentna dekompozicija matrice [A]. Posledica 1.4.1. Neka je A L(V ) i p = ind A. Neka je B 1 = (e 1,..., e k ) baza potprostora R(A p ), i neka je B 2 = (e k+1,..., e n ) baza potprostora N (A p ). Tada je matrica operatora A u bazi B = (B 1, B 2 ) blok-dijagonalna i ima formu [ ] [A1 ] 0 [A] B =, 0 [A] 2 pri čemu je k = rank(a p ), [A 1 ] je invertibilna, a [A 2 ] je nilpotentna matrica. Definicija 1.4.2. Neka je A = A 1 +A2 invertibilno-nilpotentna dekom- pozicija operatora A. Tada je A D = A 1 1 +0 Drejzinov 2 inverz operatora A. [ ] [A1 ] Neka je [A] B = B1 0 invertibilno-nilpotentna dekompozicija[ matrice [A] ] B. Tada je Drejzinov inverz od [A] B definisan kao 0 [A 2 ] B2 [A] B D = [A1 ] 1 B 1 0. 0 0 1 core-nilpotent 2 Michael P. Drazin, američki matematičar

24 GLAVA 1. REDUKCIJA OPERATORA Teorema 1.4.2. Neka je A L(V ) i p = ind A. Tada je A D jedinstven operator iz L(V ) za koji važi A D AA D = A, AA D = A D A, A p+1 A D = A p, (1.5) pri čemu je p najmanji prirodan broj sa navedenom osobinom. Dokaz. Jednostavno je proveriti da A D zadovoljava sve navedene osobine iz (1.5). Sa druge strane, neka su B, C L(V ) operatori koji zadovoljavaju (1.5). Neka je E = AB = BA i F = AC = CA. Tada je E = AB = (AB) p = A p B p = ACA p B p = AC(AB) p = ACE = F E, kao i F = AC = (AC) p = A p C p = C p A p = C p A p BA = (CA) p E = F E. Sledi da je E = F. Prema tome, važi B = BAB = EB = F B = CAB = CE = CF = CAC = C. Dakle, A D je jedinstven operator koji zadovoljava uslove (1.5). Važi AA D = I + 0, tako da je R(AA D ) = R(A p ) i N (AA D ) = N (A p ). Iz A p+1 A D = A p sledi A k+1 A D = A k za svako k p. Pretpostavimo da je A l+1 A D = A l za neko l < p. Tada je A l (AA D I) = 0, odnosno 0 = (A l 1+A l 2)(0 +( I)) = 0 +( A l 2). Sledi da mora biti A l 2 = 0 za neko l < p, odakle proizilazi ind A l < p, što je nemoguće. Operator A je invertibilan ako i samo ako je ind A = 0. Na osnovu jedinstvenosti običnog i Drejzinovog inverza operatora, sledi da je u ovom slučaju A 1 = A D. Ako je ind A 1, tada operator A D zadovoljava svojstva A D AA D = A D, AA D A = A, AA D = A D A. Lako je proveriti da u ovom slučaju multiplikativna polugrupa u L(V ), koja je generisana skupom {A, A D }, jeste u stvari komutativna grupa, sa neutralnim elementom AA D. Stoga se u ovom specijalnom slučaju Drejzinov inverz naziva i grupni inverz operatora A, a u upotrebi je oznaka A # umesto A D.

1.5. PRIRODNA BAZA NILPOTENTNOG OPERATORA 25 1.5 Prirodna baza nilpotentnog operatora Definicija 1.5.1. Neka su a 1,..., a k V ne-nula vektori. Tada je a = (a 1,..., a k ) nula-niz operatora A L(V ), ako je Aa 1 = a 2, Aa 2 = a 3,..., Aa k 1 = a k, Aa k = 0. Vektor a 1 je prvi, a vektor a k je poslednji član nula-niza a. Tvr denje 1.5.1. Svaki nula-niz operatora A L(V ) sastoji se od linearno nezavisnih vektora. Dokaz. Neka je k 1 i neka je a = (a 1,..., a k ) nula-niz operatora A L(V ). Pretpostavimo da je ovaj skup vektora linearno zavisan. Postoje λ 1,..., λ k C, koji nisu svi jednaki nuli, sa svojstvom λ 1 a 1 + + λ k a k = 0. (1.6) Primenimo na prethodni izraz operator A k 1. Proizilazi da važi λ 1 a k = 0, te je λ 1 = 0. Primenimo na (1.6) operator A k 2. Sledi da je λ 2 a 1 = 0, te je λ 2 = 0. Nastavljajući postupak, dolazimo do λ i = 0 za svako i = 1,..., k, što je nemoguće prema polaznoj pretpostavci. Definicija nula-niza je data za proizvoljan operator A. Me dutim, pravu primenu nula-nizovi nalaze kod nilpotentnih operatora. Jednostavno je dokazati sledeći rezultat. Tvr denje 1.5.2. Neka je A L(V ) nilpotentan operator. (a) Ako je a = (a 1,..., a k ) nula-niz operatora A, onda je k n(a) dim V. (b) Postoji nula-niz b = (b 1,..., b p ) operatora A, pri čemu je p = n(a). Definicija 1.5.2. Baza B vektorskog prostora V je prirodna baza nulanizova operatora A L(V ), ako postoje nula-nizovi B 1,..., B l operatora A sa svojstvom B = (B 1,..., B l ). Tvr denje 1.5.3. Ako postoji prirodna baza nula-nizova operatora A, tada je operator A nilpotentan, i n(a) je broj elemenata najdužeg nulaniza iz B.

26 GLAVA 1. REDUKCIJA OPERATORA Tvr denje 1.5.4. Neka su B i = (a i1,..., a i,ki ) nula-nizovi operatora A L(V ), i = 1,..., l. Tada je B = (B 1,..., B l ) linearno nezavisan sistem, ako i samo ako je {a 1,k1, a 2,k2,..., a l,kl } linearno nezavisan skup vektora. Dokazujemo fundamentalni rezultat o prirodnoj bazi nilpotentnog operatora. Teorema 1.5.1. Za svaki nilpotentan operator A L(V ) postoji prirodna baza nula-nizova operatora A. Dokaz. Neka je n(a) = p i uvedimo sledeće oznake: N k = N (A k ) za k = 1, 2,..., p, i K j = A j 1 (N j ) za j = 2, 3,..., p. Očigledno, N k N k+1. Tako de, iz A(K i ) = {0} sledi K j N 1 za svako j. Na osnovu inkluzije A(N i+1 ) N i sledi K i+1 = A i (N i+1 ) = A i 1 A(N i+1 ) A i 1 (N i ) = K i. Dakle, važi sledeći lanac inkluzija K p K p 1 K 3 K 2 N 1 N 2 N p 1 N p = V. Neka je k j = dim K j, n i = dim N i i n = dim V. Posmatramo bazu potprostora K p, tu bazu dopunjujemo do baze potprostora K p 1, i tako redom, dok ne do demo do baze potprostora N 1. U skladu sa tim pravilom, dobijenu bazu potprostora N 1 označavamo sa e p 1,, e p k p ; e p 1 k p +1,, ep 1 k p 1 ; ; e 2 k 3 +1,, e 2 k 2 ; e 1 k 2 +1,, e 1 n 1. (1.7) Dobijenu bazu proširujemo na sledeći način. Iz činjenice e p 1 K p = A p 1 (N p ) sledi da postoji vektor f p 1 N p sa svojstvom e p 1 = A p 1 f p 1. Primetimo da važi f p 1 N p, Af p 1 N p 1, A 2 f p 1 N p 2,, A p 1 f p 1 = e p 1 N p, A p f p 1 = 0. Sledi da je (f p 1, Af p 1,..., A p 1 f p 1 ) jedan nula-niz operatora A. Na isti način kako smo uradili za vektor e p 1, uradimo i za sve ostale vektore e p 2,..., e p k P. Dakle, postoje vektori f p 1, f p 2,..., f p k p N p, tako da je f p i N p, Af p i N p 1, A 2 f p i N p 2,, A p 1 f p i = e p i N p, A p f p i = 0,

1.5. PRIRODNA BAZA NILPOTENTNOG OPERATORA 27 za svako i = 1,..., k p. Nastavljamo sa sličnim postupkom. Ako je k p + 1 i k p 1, tada je e p 1 i K p 1 = A p 2 (N p 1 ). Dakle, za svako i = k p + 1,..., k p 1 postoje vektori f p 1 i N p 1 tako da je A p 2 f p 1 i = e p 1 i, odnosno preciznije f p 1 i N p 1, Af p 1 i N p 2,..., A p 2 f p 1 i = e p 1 i, A p 1 f p 1 i = 0. Nastavljajući postupak na očigledan način, dolazimo do sistema vektora e p k p ; A p 2 f p k p ; e p 1 k p 1 ; e 2 k 2 ; e 1 n 1 N 1 ; A p 3 f p 1 k p 1 ; Afk 2 2 N 2 ;... Af p k p ; Af p 1 k p 1 N p 1 ; f p k p N p. (1.8) Pri tome treba razumeti da u tabeli (1.8) ima onoliko vertikala koliko u tabeli (1.7) ima elemenata. Zbog jednostavnosti pisanja, umesto vertikale ispod svakog elementa iz (1.7), pišemo vertikalu samo ispod jednog elementa sa karakterističnim indeksima. Tabela (1.7) je očigledno prva horizontala iz tabele (1.8). Pošto je ova horizontala baza u N 1, odnosno predstavlja skup linearno nezavisnih vektora, sledi da je sistem vektora iz (1.8) tako de linearno nezavisan. Prema tome, svaka vertikala iz (1.8) predstavlja sistem nula-vektora, koji su baza odgovarajućeg lineala nad njima. Te lineale označimo sa V i. Zbog linearne nezavisnosti sistema vektora (1.8), sledi da sistem svih baza po vertikalama čini prirodnu bazu operatora A u potprostoru W generisanim sistemom vektora (1.8). Preostaje da dokažemo dim W = dim V, odakle sledi W = V, kao i tvr denje teoreme. Iz A i (N i+1 ) = K i+1 N 1 N i+1 sledi da je N i+1 invarijantan za A i. Iz N i N i+1 tako de sledi da je N(A i ) N i+1. Dakle, posmatramo redukciju operatora B i = A i Ni+1 : N i+1 N i+1. Neka je r i = rank(b i ) = dim K i+1 = k i+1. Sada je, na primer, B 1 = A N2 : N 2 N 2, N (B 1 ) = N 1 i R(B 1 ) = K 2. Na osnovu osobine dim N (B 1 ) + dim R(B 1 ) = dim N 2, sledi da je n 1 + r 1 = n 2. Na sličan način je n 2 +r 2 = n 3,..., n p 1 +r p 1 = n p, n p = n = dim V. Na osnovu poslednjih jednakosti proizilazi da važi n = n 1 + r 1 + r 2 + + r p 1 = n 1 + k 2 + k 3 + + k p.

28 GLAVA 1. REDUKCIJA OPERATORA Sa druge strane, broj vektora u tabeli (1.8) jeste: l = pk p + (p 1)(k p 1 k p ) + (p 2)(k p 2 k p 1 ) + +2(k 1 k 2 ) + n 1 k 1 = k p + k p 1 + + k 2 + n 1 = n. Time je dokazana teorema. Od posebnog je interesa proučiti matricu nilpotentnog operatora A u bazi B prethodne teoreme. Na osnovu konstrukcije, svi potprostori V i su invarijantni za A. Neka je V i = lin B i, B i = (A k i 1 g, A k i 2 g,, Ag, g). Ako je x = [x 1 x ki ] B ki V i i ako je y = A i x = [y 1 y ki ] B ki, tada je y 1 A k i 1 g + y 2 A k i 2 g + + y ki 1Ag + y ki g = = x 2 A k i 1 g + x 2 A k i 2 g + + x ki 1A 2 g + x ki Ag, odnosno y 1 y 2 y 3. y ki 1 y ki B ki 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 =..... 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 x 1 x 2 x 3. x ki 1 x k1 B ki, Prema tome, matrica operatora A i u bazi B ki jeste: 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 [A i ] Bki =..... = J ki (0), 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 i ova matrica se naziva elementarna Žordanova matrica koja odgovara nilpotentnom operatoru. Sada je očigledno da matrica nilpotentnog operatora A u prirodnoj bazi nula-nizova koji njemu odgovaraju, jeste B ki

1.5. PRIRODNA BAZA NILPOTENTNOG OPERATORA 29 J k1 (0) 0 0 0 0 0 Jk 2 (0) 0 0 0 [A] B =...., 0 0 0 J kl (0) 0 0 0 0 0 0 pri čemu se mogu javiti sledeći slučajevi: 1) Po glavnoj dijagonali postoji samo elementarna nula-žordanova matrica, odnosno ne postoje matrice J ki (0) za i = 1,..., l. Ovo je moguće samo u slučaju kada je A = 0. 2) Postoji bar jedna od matrica J ki (0). To je moguće samo ako je A 0. Tada je dimenzija najveće matrice J ki (0) jednaka n(a). Posledica 1.5.1. Ako je A L(V ) nilpotentan operator, tada je njegov karakteristični polinom P A (λ) = ( 1) n λ n, gde je n = dim V. Primećujemo da se i sada može zaključiti σ(a) = {0}, ako je A nilpotentan operator. Teorema 1.5.2. Neka je A L(V ) singularan operator, ind(a) = p, i neka je p A (λ) = ( 1) n λ m 1 (λ λ 2 ) m2 (λ λ l ) m l karakteristični polinom operatora A. Tada je dim N (A p ) = m 1. Dokaz. Pod uslovima ove teoreme važi V = R(A p ) +N (A p ), ova dekompozicija kompletno redukuje A, A 1 = A R(A p ) : R(A p ) R(A p ) je invertibilan operator, i A 2 = A N (A p ) : N (A p ) N (A p ) je nilpotentan operator, pri čemu je n(a 2 ) = p. Na osnovu ranijeg rezultata važi P A (λ) = P A1 (λ)p A2 (λ). Ako je n 1 = dim N (A p ), tada je P A2 (λ) = ( 1) n 1 λ n 1. Ako bi bilo n 1 < m 1, onda bi polinom P A1 (λ) imao faktor λ m 1 n 1, gde je m 1 n 1 > 0. Me dutim, poslednja situacija je nemoguća, jer je A 1 invertibilan operator. Sledi da je n 1 = m 1. Posledica 1.5.2. (a) Operator A L(V ) je nilpotentan ako i samo ako je P A (λ) = ( 1) n λ n, pri čemu je n = dim V. (b) Operator A L(V ) je nilpotentan, ako i samo ako je σ(a) = {0}.

30 GLAVA 1. REDUKCIJA OPERATORA 1.6 Žordanova normalna forma operatora Neka je A L(V ). Ako postoji baza B prostora V i λ C, tako da je λ 1 0 0 0 0 λ 1 0 0 [A] B =....., 0 0 0 λ 1 0 0 0 0 λ tada je B prirodna baza operatora A, a odgovarajuća matrica jeste elementarna Žordanova matrica operatora A. Lako je proveriti da tada važi σ(a) = {λ}. Ako je A nilpotentan operator, tada za A postoji prirodna baza, sastavljena od nula-nizova operatora A. Dolazimo do centralne teoreme linearne algebre. Teorema 1.6.1. Ako je A L(V ), tada postoji prirodna baza B prostora V, i postoje kompleksni brojevi λ 1,..., λ s, sa svojstvom J k1 (λ 1 ) 0 0 0 J k1 (λ 2 ) 0 [A] B =..., 0 0 J ks (λ s ) pri čemu su J kl (λ l ) elementarne Žordanove matrice. Dokaz. Neka je p A (λ) = ( 1) n (λ λ 1 ) m 1 (λ λ 2 ) m2 (λ λ l ) m l karakteristični polinom operatora A, pri čemu su λ 1,..., λ l sve različite sopstvene vrednosti operatora A. Posmatramo operator B 1 = A λ 1 I, koji je singularan. Na osnovu teoreme o preslikavanju spektra polinomom, σ(b 1 ) = {λ λ 1 : λ σ(s)}, te je karakteristični polinom operatora B dat sa P B1 (λ) = ( 1) n λ m 1 (λ λ 2 + λ 1 ) m2 (λ λ l + λ 1 ) m l.

1.6. ŽORDANOVA NORMALNA FORMA OPERATORA 31 Na osnovu ranijeg rezultata, V = V 1 + V 1, pri čemu prethodna dekompozicija kompletno redukuje B, redukcija operatora B 1 na V 1 je nilpotentan operator, i redukcija operatora B 1 na V 1 je invertibilan operator. Pri tome je m 1 = dim V 1, V 1 = N (B p 1 1 ) = N (A λ 1 I) p 1 i p 1 = ind(a λ 1 I) = ind(b 1 ). Nije teško utvrditi da prethodna dekompozicija kompletno redukuje i operator A. Za operator B 1 postoji prirodna baza C 1 u potprostoru V 1, tako da je J m1,1(0) 0 0 0 J m1,2(0) 0 [B 1 ] C1 =.... 0 0 J m1,t 1 (0) Tada je J m1,1(λ 1 ) 0 0 0 J m1,2(λ 1 ) 0 [A V1 ] C1 =.... 0 0 J m1,t 1 (λ 1 ) Ako je A 1 redukcija operatora A na V 1, i ako je A 2 redukcija operatora A na V 1, tada je P A1 (λ) = ( 1) m 1 (λ λ 1 ) m 1, P A2 (λ) = ( 1) n m 1 (λ λ 2 ) m2 (λ λ l ) m l, σ(a) = σ(a 1 ) σ(a 2 ) i σ(a 1 ) σ(a 2 ) =. Sada nastavimo postupak za operator A 2 na prostoru V 1, na isti način kao što smo uradili za operator A na prostoru V. Ovaj postupak se završava u konačno mnogo koraka, i time dokazujemo tvr denje. Sada dokazujemo rezultat u vezi Teroeme 1.2.4 Teorema 1.6.2. Neka je A L(V ) i dim V = n. Postoji baza prostora V koja je sastavljena od sopstvenih vektora operatora A, ako i samo ako za svako λ σ(a) važi rank(a λi) = n m, pri čemu je m = alg(λ). Dokaz. = : Neka postoji baza B prostora V, koja je sastavljena od spostvenih vektora operatora A. Tada je matrica operatora A u toj

32 GLAVA 1. REDUKCIJA OPERATORA bazi dijagonalna, odnosno λ 1 0 0 0 λ 2 0 [A] B =..., 0 0 λ n pri čemu su na dijagonali sopstvene vrednosti operatora A. Očigledno je za λ C: λ 1 λ 0 0 0 λ 2 λ 0 [A λ I ] B =.... 0 0 λ n λ Važi: P A (λ) = (λ 1 λ) (λ n λ). Neka je m 1 = alg(λ 1 ). Tada je λ 1 = λ 2 = = λ m1 i λ 1 λ j za svako j > m 1. Sledi da dijagonalna matrica [A λ 1 I] B ima na prvih m dijagonalnih mesta broj 0, a na preostalih n m dijaginalnih mesta brojeve različite od 0. Dakle, rank(a λ 1 I) = n m. = : Posmatramo Žordanovu normalnu formu operatora A. Neka je P A (λ) = ( 1) n (λ λ 1 ) m1 (λ λ l ) m l karakteristični polinom operatora A. Neka je V 1 potprostor koji je konstruisan u vezi sa λ 1. Tada je dim V 1 = m 1. Ako je rank(a λ 1 I) = n m 1, tada sopstvenoj vrednosti λ 1 odgovara m 1 sopstvenih vektora, svi oni pripadaju prostoru V 1, i stoga čine bazu prostora V 1. Postupak se nastavi za potprostore koji odgovaraju ostalim sopstvenim vrednostima. 1.7 Projektori Neka je V vektorski prostor nad C i neka je P L(V ). Operator P je projektor (idempotent, projekcija), ako je P 2 = P. Ako je P projektor, onda je I P tako de projektor. Lako je proveriti da važi R(P ) = N (I P ), kao i N (P ) = R(I P ).

1.7. PROJEKTORI 33 Tvr denje 1.7.1. Ako je P L(V ) projektor, tada je σ(p ) {0, 1}, pri čemu je 0 jedini projektor čiji je spektar {0}, i I je jedini projektor čiji je spektar {1}. Tako de je jednostavno proveriti sledeći rezultat. Tvr denje 1.7.2. Postoji dekompozicija V = V 1 + V2, ako i samo ako postoji projektor P L(V ), tako da je R(P ) = V 1 i N (P ) = V 2. Dokaz. Ako je P projektor, tada je jednostavno proveriti da važi V = R(P ) + N (P ). Sa druge strane, neka je V = V 1 + V2 dekompozicija prostora V. Ako je x V, tada postoje jedinstveno odre deni y V 1 i z V 2, tako da je x = y + z. Neka je P : V V definisan kao P (x) = y. Lako je proveriti da je P dobro definisan linearan operator, koji zadovoljava uslove R(P ) = V 1 i N (P ) = V 2. Ako je P projekcija sa V na potprostor V 1, pri čemu je N (P ) = V 2, onda je u upotrebi naziv P je projekcija na V 1 paralelno sa V 2. U tom slučaju dekompozicija V = R(P ) + N (P ) kompletno redukuje P, P R(P ) = I i P N (P ) = 0. Dva projektora P, Q L(V ) su uzajamno singularna, ako je P Q = QP = 0. U tom slučaju je oznaka P Q. Ako su P, Q projektori, tada njihov zbir, razlika ili proizvod nisu obavezno projektori. Teorema 1.7.1. Neka su P, Q projektori. Tada je P +Q projektor ako i samo ako je P Q. U tom slučaju je R(P + Q) = R(P ) + R(Q) i N (P + Q) = N (P ) N (Q). Dokaz. = : Neka je P + Q projektor. Tada je P + Q = (P + Q) 2 = P 2 +P Q+QP +Q 2 = P +P Q+QP +Q, odakle sledi da je P Q+QP = 0. Množeći poslednju jednakost operatorom P jednom s leva, drugi put s desna, dobija se da važi P Q + P QP = 0 = P QP + QP, odnosno P Q = QP. Kako je P Q + QP = 0, sledi da je 2P Q = 0, odnosno P Q = 0. = : Neka je P Q = QP = 0. Tada je trivijalno (P + Q) 2 = P + Q, odnosno P + Q je projektor.

34 GLAVA 1. REDUKCIJA OPERATORA Na kraju, ako je P + Q projektor, odnosno P Q = QP = 0, procenimo sliku i jezgro projektora P + Q. Pretpostavimo da je x N (P + Q), odnosno P x + Qx = 0. Množenjem poslednje jednakosti (s leva) projektorom P, uz korišćenje činjenice P Q = 0, sledi da je P 2 x = P x = 0. Dakle, x N (P ). Na isti način se dokazuje x N (Q). Sa druge strane, ako je x N (P ) N (Q), trivijalno sledi da je x N (P + Q). Prema tome, N (P + Q) = N (P ) N (Q). Očigledno je R(P + Q) R(P ) + R(Q). Sa druge strane, iz P Q = QP = 0 sledi da je R(P ) N (Q) i R(Q) N (P ). Kako je R(P ) N (P ) = {0} = R(Q) N (Q), sledi da je R(P ) R(Q) = {0}. Neka je x R(P ) + R(Q). Tada postoje jedinstveni vektori y R(P ) i z R(Q) tako da je x = y + z. Sledi da je (P + Q)x = (P + Q)y + (P + Q)z = P y + Qz = y + z = x, odnosno x R(P + Q). Koristeći prethodini rezultat, razmatramo razliku dva projektora. Teorema 1.7.2. Neka su P, Q projektori. Operator P Q je projektor ako i samo ako je P Q = QP = Q. U tom slučaju je R(P Q) = R(P ) N (Q) i N (P Q) = N (P ) + N (Q). Dokaz. Neka su P, Q projektori. Tada je P Q projektor, ako i samo ako je I (P Q) = (I P ) + Q projektor. Prema Teoremi 1.7.1, (I P ) + Q je projektor, ako i samo ako je (I P )Q = Q(I P ) = 0, odnosno ako i samo ako je P Q = QP = Q. U tom slučaju je R((I P ) + Q) = R(I Q) + R(Q) = N (P ) + R(Q), kao i N ((I P ) + Q) = N (I P ) N (Q) = R(P ) N (Q). Sada posmatramo proizvod dva projektora. Teorema 1.7.3. Neka su P, Q projektori. Ako je P Q = QP, tada je P Q projektor, pri čemu je R(P Q) = R(P ) R(Q) i N (P Q) = N (P ) + N (Q). Dokaz. Ako je P Q = QP, tada je (P Q) 2 = P 2 Q 2 = P Q. Tako de je R(P Q) R(P ) i R(P Q) = R(QP ) R(Q), odnosno R(P Q) R(P ) R(Q). Sa druge strane, neka je x R(P ) R(Q), odnosno x = P y = Qz za neke y, z V. Tada je P Qx = P QQz = P Qz = P x = P P y = P y = x, odnosno x R(P Q).

1.7. PROJEKTORI 35 Važi N (P ) N (QP ) = N (P Q), kao i N (Q) N (P Q), odakle sledi N (P ) + N (Q) N (P Q). Sa druge strane, ako je x = y + z, pri čemu je y N (P ) i z N (Q), tada je P Qx = P Q(y + z) = QP y + P Qz = 0, odakle sledi x N (P Q), odnosno N (P ) + N (Q) N (P Q). Ako je P projektor, tada je očigledno ispunjeno P + (I P ) = I, kao i P (I P ). Ova situacija se može generalisati na više operatora. Definicija 1.7.1. Neka su P 1,..., P k projektori koji su me dusobno komutativni i uzajamno singularni, odnosno za svako i j važi P i P j = 0 = P j P i. Ako je P 1 + + P k = I, onda ova suma predstavlja rezoluciju jedinice. Teorema 1.7.4. (a) Ako je P 1 + + P k = I rezolucija jedinice, tada je V = R(P 1 ) + + R(P k ) i N (P i ) = + R(P j ). (b) Ako je V = V 1 + + Vk, i ako je P i projekcija sa V na V i paralelno sa + V j, tada je P 1 + + P k = I rezolucija jedinice. j i Dokaz. (a) Neka je P 1 + + P k = I rezolucija jedinice. Odmah sledi da je V = R(I) R(P 1 ) + + R(P k ) = V. Sa druge strane, iz P i P j = 0 za i j sledi da je R(P i ) R(P j ) = {0}. Prema tome, R(P 1 ) + +R(P k ) = V. Iz P i P j = 0 tako de sledi da je R(P j ) R(P i ) za svako j i. Prema tome, j i R(P j ) N (P i ). Sa druge strane, oba + j i potprostora + R(P j ) i N (P i ) predstavljaju komplement potprostora j i R(P i ) do celog prostora V. Sledi (b) Jednostavno. R(P j ) = N (P i ). + j i Neka je A L(V ) i neka je P 1 + + P k = I rezolucija jedinice. Ako postoje λ 1,..., λ k C tako da je A = λ 1 P 1 + + λ k P k, tada prethodna jednakost predstavlja spektralnu rezoluciju operatora A.

36 GLAVA 1. REDUKCIJA OPERATORA Teorema 1.7.5. Postoji baza prostora V u kojoj je operator A dijagonalan, ako i samo ako postoji spektralna rezolucija operatora A: A = λ 1 P 1 + + λ k P k, pri čemu je P 1 + + P k = I i λ 1,..., λ k su me dusobno različiti kompleksni borjevi. U tom slučaju je σ(a) = {λ 1,..., λ k }, R(P i ) = N (A λ i I) i N (P ) = + N (A λ j I). j i Dokaz. Neka je B baza u kojoj je operator A dijagonalan (odnosno [A] B je dijagonalna matrica). Tada postoji baza sastavljena od sopstvenih vektora operatora A. Neka je σ(a) = {λ 1,..., λ k }, pri čemu su sve nabrojane sopstvene vrednosti me dusobno različite. Neka su x 1 1,..., x 1 l 1 lienarno nezavisni sopstveni vektori koji odgovaraju sopstvenoj vrednosti λ 1. Uz odgovarajuće oznake, x j 1,..., x j k j su linearno neavisni sopstveni vektori koji odgovaraju sopstvenoj vrednosti λ j. Važi N (A λ j I) = lin{x j 1,..., x j k j }, i V = N (A λ 1 I) + + N (A λ k I). Neka je P i projektor na N (A λ i I) paralelno sa + N (A λ j I). Tada j i je P 1 + + P k = I rezolucija jedinice. Nije teško proveriti da važi A = λ 1 P 1 + + λ k P k, i ovo je spektralna rezolucija operatora A. Sa druge strane, neka je P 1 + + P k = I rezolucija jedinice, i neka je A = λ 1 P 1 + + λ k P k spektralna rezolucija operatora A. Ako je, recimo, λ 1 = λ 2, lako je proveriti da je Q 1 = P 1 + P 2 projektor, Q 1 +P 3 + +P k = I je rezolucija jedinice i A = λ 1 Q 1 +λ 3 P 3 + +λ k P k je spektralna rezolucija operatora A. Lako dolazimo do zaključka da bez gubljenja opštosti možemo pretpostaviti λ i λ j za i j. Prema ranijem rezultatu, V = R(P 1 ) + + R(P k ). Ako je x R(P i ), tada je Ax = AP i x = λ i x, odakle sledi da je λ i σ(a), kao i N (A λ i I) = R(P i ). Trivijalno sledi da je N (P i ) = + N (A λ j I). j i Na kraju dokazujemo dva rezultata o invarijantnim potprostorima i projektorima. Tvr denje 1.7.3. Neka je U potprostor od V, i neka je A L(V ). Potprostor U je invarijantan za A, ako i samo ako je P AP = AP za svaki projektor P L(V ) za koji je R(P ) = U.

1.7. PROJEKTORI 37 Dokaz. Pretpostavimo da je AU U i da je P projektor na U. Neka je x V. Tada je P x U, te je AP x = v U. Stoga je P AP x = P v = v = AP x, odnosno P AP = AP. Sa druge strane, pretpostavimo da je P projektor na U sa svojstvom P AP = AP. Neka je x U. Tada je x = P x i Ax = AP x = P AP x R(P ) = U. Dakle, AU U. Tvr denje 1.7.4. Neka je V = U + W i A L(V ). Prethodna dekompozicija kompletno redukuje A, ako i samo ako je AP = P A za projektor P sa svojstvima R(P ) = U i N (P ) = V. Dokaz. Pretpostavimo da dekompozicija V = U + W kompletno redukuje A, odnosno AU U i AW W. Neka je P projektor sa svojstvom R(P ) = U i N (P ) = W. Tada je R(I P ) = W. Prema prethodnom tvr denju, sledi da važi P AP = AP i (I P )A(I P ) = A(I P ). Elementarnim sre divanjem ove dve jednakosti, proizilazi da je AP = P A.

38 GLAVA 1. REDUKCIJA OPERATORA

Glava 2 Operatori na unitarnim prostorima 2.1 Linearni funkcionali Neka je V vektorski prostor nad C (ili R). Linearno preslikavanje f : V C (ili R) jeste linearan funkcional. Skup svih linearnih funkcionala na V je vektorski prostor (nad istim poljem), i označava se sa V. Jednostavno je proveriti da je V vektorski prostor nad istim poljem kao i V, u odnosu na uobičajeno sabiranje i množenje skalarom. Dakle, V = L(V, C). Prostor V je dualni prostor prostora V. Ako je f V i f 0, tada je R(f) = C, odnosno f je surjekcija. Na osnovu dim N (f) + dim R(f) = dim V = n, sledi da je dim N (f) = n 1 ako je f 0. Teorema 2.1.1. (a) Ako je x V, x 0, tada postoji f V tako da je f(x) 0. (b) Ako je x V i f V tako da je f(x) 0, tada je V = lin{x} + N (f). (c) Ako je f, g V \ {0}, tada je N (f) = N (g) ako i samo ako su f i g linearno zavisni. Dokaz. (a) Neka je x V i x 0. Postoji potprostor M od V tako da je V = lin{x} + M. Ako je y V, tada postoji jedinstven skalar λ i postoji jedinstven vektor z M, tako da je y = λx + z. Neka je 39