5. FUNKCIJE ZADANE U PARAMEARSKOM OBLIKU I POLARNIM KORDINAAMA 5. Funkcije zadane u paametaskom obliku Ako se koodinate neke tocke,, zadaju u obliku funkcije neke tece pomjenjive, koja se tada naziva paameta, kazemo da je tocka zadana u paametaskom obliku. Uobicajeno je oznaciti paameta sa t, pa nasa je tocka zadana sa: Deivacija takve funkcije je: ( ( d ( t = d ( t = ( t = ( t ( t ( t ( t ( = ( t ( t Jednadzba tangente na kivulju u tocki t, t Jednadzba nomale: t = t = t t = t. Izacunaj jednadzbe tangente i nomale na kivulju u paametaskom obliku, za t = 7 = t ( t = ( = = = t ( t = ( = = t Deivacija funkcije: t t t t ( ( 7 = = = = = + = t t t 7 ( t 7 angent 7 7 a: t = t [ ] ( ( t = = 7 = ( t ( t 7 5 Nomala: ( t = ( t = ( = 7 7 7. Izacunaj jednadzbe tangente i nomale na elipsu u paametaskom obliku, za t =. = cos t; = sin t Paametaski i polani oblik
= cost ( t = cos = = = sint ( t = sin = = = = = = = ( sint = cost ( t = sin = Deivacija funkcije: cost sin t t sin ( t ( t angenta: ( t = ( t = = + = + 8 ( t ( t Nomala: ( t = t = 9 5 = =. Polozaj cestice koja se kece po kivulji, dana je izazom u paametaskom obliku. Vijednosti i su u metima, t u sekundama: = cos t; = + sin t. Izacunaj: 5 a Bzimu pomjene, kada je t = b Bzimu pomjene, kada je t = c Bzimu pomjene kuta tangente, kada je t = ( t cost t ( t sint Deivacija funkcije: cos sin ; sin cos = t = t = + t = t Kut tangente: tan = = cot = tan cot t m a Za t = = sint = sin = s 5 5 m b Za t = = cost = cos = = s Paametaski i polani oblik
d d d du c = tan cot t = tan cot t dt = dt du dt d dt csc t = csc odnosno, za t = t = 9+ cot t + cott csc d = = = dt 9+ cot 9+ Kut tangente se smanjuje bzinom adijana u sekundi d dt. Izacunaj jednadzbe tangente i nomale na cikloidu adijusa = u tocki t =. = t t = t ( sin ; ( cos = ( t sin t ( t = sin = = ( cost ( t = cos = Deivacija funkcije: = ( ( t sin t = ( cost ( t = cos = = ( ( cost = sint ( t = sin = ( t angenta: ( t = ( t = ( + = + t = + ( t ( t Nomala: ( t = ( t = ( + = + N = + Paametaski i polani oblik
5. Funkcije zadane u polanim koodinatama Osnove polanog koodinatnog sustava pikazan je u dijelu sednjoskolske matematike. ( Ponovimo ukatko: Koodinata tocke definian je sa, gdje je: adijvekto ili polana os kutem otacije, kut izmedju pozitivne osi (polane osi, polozaj = 0 i polozaja tocke Odnos pavokutnog i polanog koodinatnog sistema dan je sa: = cos = sin = + ( Jednadzba tangente na kivulju u tocki, dan je izazom: + tan sin = cos ili, za,kut izmedju i tangente:tan β = ( β tan sin = tan β + cos Kut izmedju tangente i polane osi izazen je sa: tanτ cos + sin = sin + cos 5. Petvoi funkciju zadanu u polanim koodinatama, u pavokutne koodinate i nactaj gaf: = sin sin = sincos = sin sincos = 8sincos 8 8 8 = + = 8 = = + = + + + = ( + = ( +. Petvoi funkciju zadanu u pavokutnim koodinatama, u polane koodinate i nactaj gaf: = = = = = = cos sin sin cos sin cos Paametaski i polani oblik
cos = cot cotcsc cotcsc sin = sin = = 7. Zadana je Ahimedova spiala, =. Izacunaj jednadzbu tangente u tocki = = i kut β sto ga tangenta zatvaa sa adijvektoom. = = = = = = Jednadzba tangente: sin = + tan + tan ( cos sin = cos tan tan + 9( + = 8 = + 8 ( 9 9.577 0.907 Kut iznosi: tan = β β = = = β = 7. Iz tehnickih azloga, gaf je nactan u pavokutnom koodinatnom sistemu i u tu svhu, jednadzba je peacunata u pavokutni kd. sistem: = + = = = = = cos =.0798cos = 0.90 = sin =.0798sin =.0798 = 0.5599 tan.0798 Paametaski i polani oblik 5
8. Izacunaj pod kojim se kutem sjeku kivulje: = cos i = cos Potebno je izacunati tocku pesjecanja i izacunati kut pod kojim se sjeku tangente u toj tocki. = = cos cos cos = cos cos = cos cos = cos cos cos = 0 cos + cos = 0 cos = = + k, cos = = 0 = cos = cos 0 = = cos = cos = = cos = cos = ocke pesjecanja (, : (, 0 ;, ;, tanβ tan β Kut izmedju tangenata acunamo po jednadzbi: tan φ= ; tan β + tanβ tanβ cos = = β = = = cos sin tan cot sin cos = = β = = = cos sin tan cot sin Za (, 0 imamo: tan β = cot 0 = β = 90 tan β = cot 0 = β = 90 tanφ = 0 φ = 0 Za, imamo: tan β = cot = tan β cot = = = Paametaski i polani oblik
tanφ + tan β tan β + tanβ tanβ 5 + = = = = φ = φ = = 5 5 U ishodistu, polu, kivulje se takodje sjeku. Za pol vijedi = 0 : tan tan.. Za tocku imamo isti kut. = cos = 0 = =, 0 0, = cos = 0 = 0 0, Slicnim postupkom naci cemo da se u polu, kivulje sjeku pod kutem. 9. Izacunaj kut φ izmedju tangente i adijvektoa, te kut τizmedju tangente i polane osi, za funkciju = sin za =. = sin = sin = sin = = = cos = cos = cos = = Kut tangente i adijvektoa za β = : tanβ = = = = = = tan 8. odnosno 80 8..5 Kut tangente i polane osi za tanτ cos + sin : tanτ = = sin + cos cos + sin = = = = sin + cos + Paametaski i polani oblik 7
τ = = = tan.55 Jednadzba tangente u : + tan = sin tan ( cos + tan sin = cos tan + + = + = + = 0.0 + = 0.0+ 0.97 = 0.0+ 0.97 ( Skica tangente i kuteva koje cini sa i polanom osi, pikazan je na slici. 0. Izacunaj jednadzbu tangente na logaitamsku jednadzbu, za = = e = e = e = 8.05 = e = e = e =.05 + tan Jednadzba tangente u : sin cos = = tan 8.05 +.05tan 8.05sin = 8.05cos.05 8.05 tan =.7. Izacunajmo kut izmedju tangente i adijvektoa : tanβ = e tan β = = = β = tan 0. β.55 = = e Paametaski i polani oblik 8
Kut izmedju adijvektoa i tangente, je u svim tockama spiale jednak. Jedan gaf je nactan u polanom koodinatnom sustavu a dugi gaf je skica- pikaz zadatka, u pavokutnom koodinatnom sustavu. U nastavku su pikazane neke od poznatijih kivulja zadanih u polanom koodinatnom sustavu Kadioida = + cos Kadioida = + sin Limakon = sin Limakon = + cos Ruza = cos Ruza = cos Paametaski i polani oblik 9
Ahimedova spiala = Spiala = = cos = sin Hipebolna spiala = Logaitamska spiala = e 5. Zakivljenost kivulja, evoluta Zakivljenost kivulje k neke funkcije = f u tocki, definiana je pomjenom smjea tangente u tocki, odnosno, pomjenom kuta τ tangente u odnosu na duzine segmenta luka s kivulje. " Pavokutne koodinate: k = = Paametaski oblik: k = ρ + + + Polani oblik: k = " ( + Radijus zakivljenosti je ecipocna vijednost zakivljenosti. Pavac ima zakivljenost k = 0 i adijus zakivljenosti ρ = Kuznica zakivljenosti je kuznica adijusa ρ, polozena unuta zakivljenosti kivulje i dia kivulju u tocki, kao i tangenta. Paametaski i polani oblik 0
+ + Sediste kuzice zakivljenosti S, ima koodinate S p, q : p = ; q = + " " Evoluta je kivulja geometijsko mjesto sedista zakivljenosti kivulje. Evolventa je kivulja na koju su tangente evolute okomite odnosno, tangenta na evolutu je okomita na evolventu. Koodinate sedista zakivljenosti acunamo na slijedeci nacin: + + Pavokutne koodinate: p = ; q = + Paametaski oblik: p Polane koodinate: = ( " " + + t ; q = ( t + ( + ( sin + cos ( + ( cos sin p = cos ; q = sin + + + " ". Izacunaj najvisu tocku, maksimum, cikloide u intevalu 0 : = sin ; = cos " Nadjimo maksimum za = cos : = sin ; = cos ma imamo kada je " = cos < 0 = d d Izacunajmo zakivljenost: = cos d d d d ( + ( + 0 ( cos cos + sin sin = = = cos cos cos d = = = = = d k sin d 0 cos d " = = = ( cos d sin = sin = d cos Paametaski i polani oblik
. Izacunaj polumje zakivljenosti elipse zadane u paametaskom obliku za inteval 0 t, u vhovima ( t = 0, t=, t =, t = = cost = sin = cost = sint = cost = sint Polumje: ρ = sin ( t + cost ( + ( sint + ( cost = t t t t ( sin ( sin ( cos ( cos 9sin t + cos t 9sin t + cos t ρ = = ( + 9sin 0 cos 0 8 Za tocku t = 0 imamo: ρ0 = = = =. 9sin Za tocku t = imamo: ρ = + cos 9 7 = = =.5 ( + 9sin cos 8 Za tocku t = imamo: ρ = = = =. + cos 9sin 9 Za tocku t imamo: ρ 7 = = = = =.5 ( = ( = Funkcija je zadana implicitno. Deiviajmo: cija za zadanu tocku (, : =, = ( = = =. Izacunaj zakivljenosti cisoide u tocki u tocki, = + = " D D Izacunajmo vijednosti deiva D Paametaski i polani oblik
D + = " D 8 + = = = = " " " " Zakivljenost u " 5, : k = = = = 5 5 ( + ( +. Izacunaj koodinate sedista kuznice zakivljenosti za funkciju = cosh (lancanica za = 0 = cosh = cosh 0 = " Deiviajmo: = sinh = cosh Izacunajmo vijednosti deivacija za = 0 = sinh 0 = 0 " = cosh 0 = ( + ( + 0 Radijus zakivljenost u = 0: ρ = = = = " ( Koodinate sedista: p = ; q = + + + " " 0+ 0 + 0 p = 0 = 0 q = + = Sediste je u tocki S 0, 5. Izacunaj jednadzbu evolute za paabolu = = = = Deiviajmo: Paametaski i polani oblik
D = = = = " D = = = = = Jednadzbu evolute nadjemo iz koodinata sedista zakivljenosti: ( + + p + = = = = + + " p = + + + + + q = + = + = + = = " Sada imamo dvije jednadzbe iz kojih ce se izaziti i i uvstiti u osnovnu jednadzbu paabole, tj. jednadzbu evolvente = p p = + = q = = q p = q = q = p q = p Kubiali smo obje stane, sedili i zamijenili p = i q = = 8 ( Jednadzba evolute je:. Izacunaj jednadzbu evolute za logaitamsku spialu = e : " e e e = = = = = Jednadzbu evolute nadjemo iz koodinata sedista zakivljenosti: Paametaski i polani oblik
( + ( sin + cos ( sin + cos p = cos + = cos p =sin ( + ( cos sin ( cos sin q = sin + + = sin + q = cos Sada imo dvije jednadzbe, koje pedstavljaju paametaske jednadzbe evolute logaitamske spiale = e, sa paametom. Izazimo sa p, q i : p q p = sin = q = cos = sin cos p q p p tan tan sin cos q q = = = p =sin p = sin q = cos q = cos ( p + q = sin + cos p tan q p = e p + q = e ln p + q = tan q odnosno, zamjenom p = ; = q jednadzba evolute u pavokutnim koodinatama izgleda ovako: ln = p + q + = tan Uvedimo novi koodinatni sustav gdje je: = 70 + θ p =sin = sinθ q = cos = cosθ sinθ tan = = tan θ i nakon peuedjenja: cosθ p p q θ θ ( θ q ln + = tan ln sin + cos = tan tan ln = θ = e θ ln Jednadzba evolute u polanim koodinatama θ Paametaski i polani oblik 5