ANALIZA GRAFICA A REZULTATELOR DETERMINAREA FUNCTIEI DE REGRESIE OPTIME

ANALIZA GRAFICA A REZULTATELOR DETERMINAREA FUNCTIEI DE REGREIE OPTIME A. copul lucrr: e urmreste relzre urmtorelor oectve: - prezetre otulor geerle legte de formele de prezetre rezulttelor - prezetre forme relţlor mtemtce petru reprezetre rezulttelor - prezetre uor metode petru determre leglor de vrţe cre s descre ct m precs u set de vlor - prezetre ue plcţ B. Notu de z: I prctc este deseor tlt stuţ msurr ue vrle depedete Y de m multe vlor stlte le ue lte vrle X. Rezulttele pot f prezette su form de tele, grfce su ecut Grfcele pot f utlzte petru reprezetre dtelor etpe termedre ş fle procesulu de prelucrre rezulttelor cercetărlor epermetle. Motvt utlzr grfcelor este dt de: - reprezetre grfc permte oservre cu usurt prezete mmelor, mmelor, puctelor de fleue, crcterstcle perodce su de lt tur - dgrm cre se ote ofer vzulzre smpl depedete fuctole studte, vd posltte s cocetreze tr-u sptu mm o mre cttte de formt - pr trsre cure de depedet se smplfc opertle ulterore de stlre uor vlor cre u u fost msurte, terorul tervlulu studt (terpolre), su fr lu (etrpolre) - form grfculu otut sugerez form depedete fuctole vrle ft de (putdu-se derv su tegr o vrl rport cu lt, drect d grfc, fr se stl form mtemtc) Ecutle (formulele) redu reltle cre est tre vrlele dcte grfce su tele, cest mod de reprezetre fd m covel ş vd u grd de geerlzre mult m mre decât celellte reprezetr, putd f utlzt cu usurt opert de dervre, tegrre su terpolre. Aceste pot f: - ecut rtole, dcă deduse mod teoretc, pe z uor leg ş teor cuoscute, vlorle costtelor ce le cot fd determte urm prelucrr dtelor oservte - ecut emprce, ceste stldu-se pe z epermetl, efectudu-se o sere de msurr supr vrle depedete (fucte) petru dverse vlor le vrle depedete. I cest cz, gsre reprezetr ltce depedete fuctole, mplc dou etpe ş ume: stlre forme depedete ltce (ecute, formule) ş po determre vlorlor decvte le costtelor rtrre. I uele czur, este sufcet s se trseze o cur de promre vzul, cest fd procedeul cel m smplu ş m epedtv, cre se pote cosder stsfctor msur cre puctele studte sut sufcet de propte de cur. Metod se umeste regrese s

8 Lucrre 6 este tehc geerl de just, ct m e posl, dtele oservte l o cur teoretc dt. Est s stut, ş u pute, cd tre umte mrm teor u pote stl c o relte de legtur, stfel c fucte de tpul de depedet dtre cele dou vrle, legtur pote f stlt fe pr pr corelte, fe pr metod ANOVA.. Alegere formulelor emprce petru reprezetre dtelor Efectudu-se o sere de msurr supr vrle Y petru dverse vlor le vrle X, repetdu-se determrle de u umr orecre de or petru fecre vlore lu, se pue prolem s se gsesc form depedete fuctole: f (,,, L, q) (6.) L rezolvre ceste proleme este ecesr s se vedere c fuct cutt s reprezte ct m ect dtele studte ş s totodt u umr ct m mc posl de costte rtrre ( geerl mm ptru costte). I geerl, ps prcurs petru gsre ue stfel de fuct sut: - se relzeză reprezetre grfc dtelor oservte, de oce coordote, otd u umr de pucte, egl cu umrul de vlor le vrle - se trsez cur, cutd s se corde poder egle tuturor puctelor scrse. Dtort erorlor letore socte dtelor otute urm msurtorlor, u se v cocepe o depedet fuctol cre s descre ect rezulttele otute, c grfcul fucte v f mod fresc o cur l, fr dscotutt, cre u ueste, c trece pr puctele ce reprezt cmpul dgrme vlorle msurte, totodt, defd o stfel de cur relzdu-se ş o operţe de corecte rezulttelor măsurărlor, teudu-se fluet erorlor tmpltore. - pe z cuosttelor de geometre ltc se precz form fucte decvte cure trste, grfcul otut sugerd coture tpul de justre cre pote f utlzt (solut ce m smpl fd ce pr cercr: fucte lr, prolc, poloml de ord superor, epoetl, etc.) 4- cu jutorul dtelor estete se fce pro prelmr petru verfc dc form les este decvt reprezetr cestor, pro fcdu-se fr determre prell vlorlor costtelor petru fecre form fucte cosdert posl, deorece cz cotrr r ecest u volum mre de muc (dc rezulttul proe u este stsfctor, se lege o ou form fucte - psul - ş se supue proe, proceddu-se stfel p l gsre forme decvte).. Ajustre dtelor epermetle l o cur teoretc e pot def c estete, dou metode ş ume:.. Pro grfc su legere grdulu polomulu, utlzt specl petru fuct lre cu u su dou costte, ct ş petru fuct cre se pot lrz pr clcule mtemtce. I multe czur, depedetele fuctole pot f eprmte mod stsfctor prtr-u polom, legere grdulu polomulu sgurd eprmre sufcet de precs depedete studte cu o form ct m smpl formule emprce stlte. tlre grdulu optm l polomulu se pote fce pr cercr succesve, cepd cu grdele ferore, estmt dsperse corespuztore grdulu m l polomulu comprdu-se cu estmt dsperse clcult teror, petru grdul m-, recomdduse c grdul m l polomulu s fe rdct coture tt tmp ct dspers regstrez o scdere sesl.

Alz grfc rezulttelor. Determre fucte de regrese optme 9 Pro grfc presupue prcurgere urmtorelor etpe: - fuct presupus c r reprezet dtele epermetle, czul c u este lr, se scre su form lr pr schmre covel vrlelor cu dou fuct Y ş X, cre u cot costtele ş cre depd um de ş de (ş tre cre se cosder c est o legtur petru cre epermetl u fost determte perechle de vlor, ), otd stfel fuct: Y A BX (6.) Ude: Y f X f A f B f (6.) - se clculez fuctle Y ş X petru 4-6 perech de vlor le lu ş, lese ct m dfert/ deprtte u de lt, evdetdu-se etremttle - se trsez grfcul: Y f ( X ) (6.4) cels tp de coordote cre s- trst grfcul: f (6.5) Dc se ote o drept, tuc form fucte doptt pote f cosdert stsfctore reprezetr dtelor studte. Petru mărre certtud proe se clculez coture vlorle Y ş X petru lte perech de vlor le lu ş, mrcdu-se puctele respectve pe grfcul dt de relt (6.4), ş oservdu-se dc ceste se gsesc ct m prope de drept trst. I czul cre legtur dtre vrlele ş u este lr se efectuez, petru ducere su form (6.) fuctlor se foloseste trsformre pr logrtmre su dferte schmr covele le vrlelor, cele m dese stut tlte prctc fd petru fuct putere ş fuct epoetl: (6.6) e ( ) e Petru cre se foloseste trsformre pr logrtmre, jugdu-se l formele lre: lg lg lg lg lg lg petru fuct epoetl (6.7) lg lg ( lg e) lg lg e ( lg e) petru fuct de putere I ceste czur: Y lg X lg su X A lg su A lg e B su B lg respectv B lg e (6.8) e m tlesc fuctle: (6.9) Utlzdu-se schmre de vrl: Y rezul t d : Y (6.) Petru fuct:

Lucrre 6 Y z e (6.) e plc schmre de vrle: Y s X e rezul t d : Y X (6.) I czul fucte: Y (6.) Avem schmre de vrle: (6.4) X s Y rezul t d : Y X Petru fuct: Y e (6.5) e fce schmre de vrle: (6.6) X e s Y rezul t d : Y X Fuct: Y c (6.7) Necest schmre de vrle: Y s d (, coordotele uu puct orecre l cure), (6.8) rezul t d : Y X, I czul fucte: Y c (6.9) e fce schmre de vrle: Y d e, rezul t d : Y dx e, (6.) Oservte: Petru fuct cre se pot lrz pr logrtmre, pro grfc se smplfc, deorece u m este ecesr s se clculeze fuctle Y ş X, c vlorle lu ş se scru drect tr-u grfc coordote logrtmce (dulu su smplu logrtmce, dup cum Y ş X sut m su um uul, fuct logrtmce). Dc pe cest grfc, pr puctele scrse se pote trs o drept, tuc rezult c form les petru fuct respectv este decvt reprezetr ltce dtelor studte... Pro telr su justre dtelor emprce, utlzt petru forme m complcte ş cu u umr m mre de costte ş cre de semee se plc czul prolemelor de dferetere su tegrre dtelor, cd determre fuctlor emprce u este dspesl. I cest cz, petru teure efectulu erorlor letore (cre este mult mplfct de umte opert mtemtce, spre eemplu efectul de propgre l erorlor pr opert de dervre), este recomdl s se justez telul dtelor studte, stfel c ele s se scre pe o cur sufcet de eted. Acest pro presupue prcurgere urmtorelor etpe:

Alz grfc rezulttelor. Determre fucte de regrese optme - de pe grfcul fucte f(), trst cu jutorul dtelor studte, se scru tr-u tel vlorle petru 8- perech de vlor le lu ş, legdu-se vlorle vrle stfel ct tervlele dtre vlorle lturte s fe costte - petru form fucte presupus c fd corespuztore cure d grfc, se stleşte crterul de verfcre, cre cost d gsre uor dferete succesve le fucte cre td s vlor costte - se clculez (su form telr), dferetele succesve corespuztore crterulu stlt ş se verfc dc ceste sut promtv costte (cu ct srul dferetelor respectve este m costt, cu tt form fucte doptte este m decvt reprezetr dtelor epermetle respectve). Metod re u domeu lrg de utlzre dr preztă dfcultt cee ce prveste gsre crterulu de verfcre, ceste putd f: - presupud c fuct cre corespude cure d grfcul tocmt pe z dtelor studte re form: c d (6.) s petru vrt cu vrle, corespue vrt vrle, rezult: ( ) c( ) d( ) (6.) Efectud clculele d prte drept relte (6.) ş fcd dferet dtre (6.) ş (6.) se ote: ( c d ) ( c d ) ( d ) (6.) Deorece,c, d ş sut costte, terme scrs ter prteze sut costte ş se pot ot cu ', ' respectv c', stfel ct relt (6.) v deve: ' ' c' (6.4) Procedd coture smlr cu etp teror, se clculez dferetele de ordul do ş respectv tre, rezultd: " " " cost. (6.5) Relt (6.5) eprm fptul c dc, cost., tuc dferetele de ordul tre le vrle d relt (6.) sut costte, su ltfel spus, dc cost., dtele studte cu jutorul cror s-u clcult ceste dferete, pot f reprezette mtemtc pr fuct dt de form relte (6.). - Ueor, petru stlre crterulu de verfcre, uele dferete treue logrtmte, stfel vom ve, petru fuct: c (6.6) (s presupud de semee c petru vrt cu vrle, corespue vrt vrle ), rezult: ( ) c c c (6.7) Procedd c ş czul precedet (dcă efectud clculele d prte drept relte (6.7) ş fcd dferet dtre (6.7) ş (6.6)), se ote: ( c ) c (6.8) Ude, produsul d prtez este o costt, deorece,,c respectv cost. Pr logrtmre relte (6.8), rezult: ( c lg lg[ ) ] lg c (6.9) Notd costtele cu ', respectv c', se ote: lg ' c' (6.)

Lucrre 6 Deorece prte drept egltt (6.) u este o costt, se cotu pr clculre dferetelor logrtmlor lu : lg ( lg ) ' c' ( ) ' c' c' (6.) Fcd dferet dtre (6.) ş (6.), rezult: (lg ) c' cost. (6.) Acest costtud crterul de verfcre czul proe telre petru fuct de form (6.6). Oservte: Ajustre se m pote efectu cu polome cre promez grupe de dte studte pe z metode celor m mc ptrte, umrul de pucte tr-u grup legdu-se mpr ( su 5), grupul de pucte fd folost petru justre vlor cetrle (de eemplu grupul de vlor,,, 4, 5, dup cre grupul se deplsez petru corporre vlor urmtore (,, 4, 5, 6 ). I czul cre se folosesc polome de grdul t (justre lr), petru grupur compuse d tre su cc pucte, se dc reltle de clcul de justre (6.), ude vem ottle: ў - respectv - - vlore cre se justez - vlore justt - vlorle smetrce ft de - Ajustre dup tre pucte: - Ajustre dup cc pucte: ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ( ) ( 5 ) 6 ( 5 ) 6 ( ) ( 4 ) ( 4 ) ( ) 5 ( ) 5 5 (6.). Determre prmetrlor formulelor emprce După stlre forme treue s se determe vlorle costtelor ecute, metod ce m cuoscut ş ce m precs, fd metod celor m mc ptrte. Metod cost d eprmre codte de mm sume ptrtelor dsttelor puctelor oservte l cur de justre. I czul tre vrle procedeul este smlr ş se juge l o suprft de justre. Petru fuctle lre su cre se pot lrz prtr-o trsformre covel, determre prmetrlor formulelor emprce se m pote relz ş pr metode promtve. Dtort forme de prezetre mult m smplst cestor metode, chr dc precz de determre costtelor este mult m sczut, se tlesc stut cre sut preferte metode terore. Rezulttele otute pr metode promtve, pot f muttte ulteror su spectul precze lor (dc este ecesr), pr promr succesve su pr lte metode.

Alz grfc rezulttelor. Determre fucte de regrese optme Alegere metode de determre vlorlor costtelor se fce: - fucte de form relte mtemtce, clusv dec de umrul de costte pe cre le cote - fucte de precz cu cre se cer f stlte de procesul supus oservte - fucte de estet mjlocelor de clcul ecesre... Metodele promtve de determre vlorlor costtelor I geerl, c metode promtve se folosesc: - metod grfc le drepte - metod puctelor selectote/ lese - metod medlor - metod mometelor.... Metod grfc le drepte, se pote folos petru orce fucte cu dou () costte dc cest pote f lrzt su form dt de relt (6.) ş se efectuez coture proe grfce de verfcre forme relte mtemtce. Astfel, cu jutorul dtelor studte,,, cre corespud vlorlor,,, s-u clcult fuctle X f( ) ş Y f( ), s-u scrs puctele de coordote X I, Y, tr-u grfc coordote ormle ş s- trst drept stfel ct s se corde tuturor puctelor poder ct m egl posl. Determre costtelor ceste drepte se determ pr legere dou pucte de pe drept, ct m deprte posl uul ft de celllt, puctele vd coordotele X', Y' ş respectv X", Y", vlorle lu X' ş X" putdu-se lege chr d cele scrse pe scselor. Y Y".. p - p e Y' A p p c f d X' X" X Fg.6.: Grfcul petru determre costtelor ecute ue drepte Avd relt (6.), se ste c vlore lu A este ordot l org, r vlore lu B este pt drepte, stfel c d semre trughurlor ce se formeză, "Ac" ş "Ade", (Fg.6.), rezult: Y ' X" Y" X ' A X" X ' (6.4) Ir d trughul "cfe" se ote: Y" Y ' B X" X ' (6.5) După clculre vlorlor A ş B utlzd reltle de m sus, cuoscdu-se fuctle Af) ş Bf(), se determ vlorle costtelor ş le fucte f(,,). Cu jutorul fucte otute dup troducere vlorlor umerce le lu ş se clculez vlorle corespuztore lu, precum ş terle solute ş reltve le cestor ft de vlorle,,,, rezultte urm msurtorlor. Dc petru tote vlorle lu clculte se ot ter stsfctore, se precz c fuct otut este corespuztore reprezetr dtelor studte respectve. I cz cotrr (dcă petru uele pucte, vlorle

4 Lucrre 6 lu rezultte d clcul u ter mr ft de dtele msurte, ş est certtude c s- u efectut corect clculele) se pot trge următorele cocluz: - u s-u cordt poder egle tuturor puctelor de pe grfc l trsre drepte YABX - form relte stlte te determr costtelor u reprezt m mod stsfctor dtele studte, stfel c se mpue legere ş verfcre lte forme O recomdre, petru trsre ct m corect posl drepte, este utlzre "metode puctelor etse", metod ce presupue prcurgere urmtorelor etpe: - dtele studte se mprt dou grupe egle (su promtv egle dc umrul lor este mpr), corespuztore vlorlor mc le lu X ş respectv le celor mr spre eemplu: p..p 5, respectv p -5..p - se clculez medle rtmetce le vlorlor X ş Y d fecre grup, determdu-se stfel coordotele cetrode puctelor prtd fecre grupe Petru eemplul dt: X p... 5...5... 5...5 5... 5...... 5 5... p X Y p p Y X p p X Y p p Y 5 5 5 5 - se trsez drept cre trece pr cetrodele celor dou grupe. Este demostrt fptul c drept cre trece pr cetrodele celor dou grupe, trece ş pr cetrod tuturor puctelor, cre (petru eemplul dt) re coordotele X p... p sy p... p. Verfcre metode se fce clculd coordotele cetrode tuturor puctelor, cest scrdu-se po grfc dc cest se fl pe drept cetrodelor celor dou grupe (mm ş mm), tuc se precz c grfcul fost corect trst.... Metod puctelor selectote se pote folos petru tote formele de fuct, clusv petru cele lre su cre sut trsformle su form lr, metod fd destul de ect ş reltv smpl petru determre costtelor fuctlor cu tre su ptru costte ş cre u form polomelor: c L q (6.6) Etpele de lucru sut: - pe grfcul trst petru stlre forme relte se leg u umr de q pucte, egl cu umrul costtelor pe cre relt stlt le cote, ceste pucte fd lese ct m deprtte tre ele, evdetdu-se s puctele de l etremttle grfculu - se locuesc succesv relte cele q perech de vlor le lu ş, otdu-se u sstem de q ecut cu q ecuoscute - se rezolv cest sstem, determdu-se ecuoscutele, dcă cele q costte. Dc relt les este lr su pote f lrzt rport cu costtele sle, rezolvre sstemulu de ecut se usurez, folosd determt. Astfel, vd spre eemplu reprezetre dtelor studte defte de relt: c (6.7) e leg de pe grfc cele tre pucte de coordote (qumrul costtelor, q):,,, ş fr s se m troduc ceste vlor relt (6.7) se scre drect ecut su form determtulu: (6.8) Relte cre se m pote scre su form:

Alz grfc rezulttelor. Determre fucte de regrese optme 5 (6.9) Ude:,, ş,, respectv,, sut vlor umerce. Clculdu-se determt ş detfcdu-se coefcet cu (6.7) se determ vlorle costtelor, verfcre corecttud efectuăr clculelor relzdu-se pr troducere cdrul relte (6.7) vlorlor costtelor determte,,c ş u d vlorle lu,,, clculdu-se po vlore lu cre treue s rezulte egl cu ce de pe grfc, corespuztore vlor lese. Verfcre metode, cocordte relte otute cu dtele studte, se fce troducd ecute ş lte vlor le lu, clusv cele perferce ş clculdu-se vlorle lu dc terle vlorlor clculte le lu ft de cele studte sut cceptle, tuc se precz c relt stlt este decvt reprezetr mtemtce dtelor studte, cz cotrr, proceddu-se modul rtt l metod grfc le drepte... Metod celor m mc ptrte, permte determre cu mmum de precze vlorlor costtelor petru orce form de ecute, trudu-se poder egle su eegle, dfertelor dte epermetle, sgurul dezvtj l ceste fd volumul mre de clcule ecesre f efectute.... Formulre metode celor m mc ptrte Metod clsc de defre prmetrlor ue fuct pe z dtelor studte se zez pe mmzre ptrtelor terlor ft de fucte rezulttelor msurtorlor. e pot tl următorele stut prctce: - Dc um msurtorle vrle depedete u fost susceptle de eror, tote msurtorle vlorlor,,, le vrle depedete fd efectute cu ces precze (terle regstrte sut egle petru tote vlorle vrle ), prcpul metode celor m mc ptrte cost cee c estmre costtelor,,c, le fucte f(,,,c ), se fce d codt c sum ptrtelor terlor vlorlor rezultte epermetl/ studte, ft de cele clculte cu relt cutt petru cur respectv s vlore mm, dcă: L (6.4) [ f (,, c )] m - Dc msurrle sut de precze egl, dr se cuosc rportele poderlor w le msurtorlor, cre sut vers proportole cu dspersle (w /, w /,, w / ), (precz este procetul costt), tuc epres (6.4) se locueste pr: [ f (,, c )] w m L (6.4) - Dc msurrle u fost repette petru fecre vlore, r drept se med rtmetc rezulttelor msurtorlor repette d ser respectv, tuc drept poder le măsurărlor se pot lu umrul de msurr le sere w I, codt formult plcdu-se czul determr costtelor ue fuct de m multe vrle. e dmte totodt c terle cror sum ptrtelor treue s fe mm, se msor prlel cu, cee ce echvlez cu dmte c msurrle vrle depedete sut ecte, efd fectte de eror letore (cee ce smplfc mult clculele). D codtle metote, se pot desprde ctev czur prtculre de plcre metode celor m mc ptrte, ş ume:

6 Lucrre 6... Determre prmetrlor ue fuct lre O plcte osut metode celor m mc ptrte cost determre prmetrlor ue fuct lre (su ltor fuct cu dou costte, cre u fost trsformte su form lr), de form: (6.4) Petru o vlore epermetl, cre preztă o tere ε ft de vlore determt de relt (6.4), se pote scre: su ε ε (6.4) Ecut cutt este determt de codt de mmum sume terlor: m m ε (6.44) De ude: (6.45) (6.46) Otdu-se ecutle: (6.47) su: (6.48) (6.49) Otd fl: (6.5) (6.5) Ude: Erorle stdrd le celor do prmetr, ş, coform relţlor terore, sut:

Alz grfc rezulttelor. Determre fucte de regrese optme 7 ε (6.5) ε (6.5) Ude ε se clculez cu relt de defre: ε (6.54) Petru l drept ce trece pr orge, dec petru fuct: (6.55) proceddu-se c czul precedet, rezult: (6.56)... Determre prmetrlor polomulu de grdul do Dc fuctle u pot f scrse su form:, se procedez de semee, l rezolvre sstemulu de ecut otut pr ulre dervtelor prtle rport cu costtele sume ptrtelor terlor vlorlor clculte ft de cele rezultte epermetl. Astfel spre eemplu, petru prol eprmt de relt (6.7): c Clculul costtelor td cot de (6.4), se fl pr rezolvre sstemulu de ecut: w cs s s w cs s s w cs s s 4 (6.57) (6.58) (6.59) Ude:,,,,4 m w s m m (6.6) I fl se vor ote următorele epres petru clculul prmetrlor fucte: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] N N 4 4 4 4

8 Lucrre 6 [ ] [ ] [ ] N c Numtor ott cu N fd detc, clculdu-se cu relt: [ ] [ ] 4 4 N Ude: r ş, precum ş puterle cestor, u semfct uor vlor orecre ş Oservte: Prtr-o legere judcos elor, ecut fucte lre dt de relt (6.4), v f: (6.6) Ude: : su (6.6) Verfcre metode se fce clculd urmtor prmetr: - sum celor m mc ptrte dtort terlor rport cu fuct lr: / c (6.6) ude c reprezt vlore clcult petru. Rtue petru cre s- folost l umtor - s u - (c czul dstrute moofctorle) este c se perd dou grde de lertte cd se estmez s. - sum celor m mc ptrte eplct pr regrese: X Y / (6.64) - se determ rportul / / X Y. 4- folosd telul lu Fscher (Ae D) petru u vel de credere les, ş u umr de grde de lertte γ s γ - se cteste vlore clcult fucte de reprtte corespodete, F γγ. 5- Comprd vlore rportulu / / X Y cu vlore crtc, F γγ(crtc), (determt telr petru umrul grdelor de lertte propuse), dc: crtc X Y F / / γ γ > (6.65) metod se pote plc, rezulttele otute fd corecte. I cz cotrr, oservtle treue s fe cosderte tmpltore...4. Lmtele tervlulu de credere petru prmetr estmt Metod celor m mc ptrte e jut s determm cele m prole vlor le costtelor cre tr tr-o ecute, petru cest efd ecesr c o potez supr

Alz grfc rezulttelor. Determre fucte de regrese optme 9 leg de reprtte vrle letore. I czul ue fuct lre (su ltor fuct cu dou costte cre u fost trsformte su form lr), dc reprtt lu Y este orml ş oservtle sut făcute l tmplre se pote costru u tervl de credere petru prmetr fucte, cu jutorul estmtorlor puctul, terle/erorle costtelor ş, respectv ş, ş ter vlor mede rtmetce vrle depedete,. I cest scop se foloseste dstrut tudet, cu - grde de lertte. ttstc (-) / /, re o reprtte χ, petru u vel de semfcte α otdu-se următorele tervle de credere lterle le vlorlor devrte ş : ± ± ± ± / /.. t t A t t B α α α α (6.66) (6.67) Avd: /. t α (6.68) Avd determte lmtele tervlelor de credere se pot trs fuctle, cre u epresle: ± ± ± ± (6.69) (6.7) (6.7) D reprezetre lor grfc (Fg.6.), se oserv c estmre petru coefcetul preztă o m mc mportt, reprezetd um tersect cu OY, pt vd o m mre mportt, respectv coefcetul, cest dcd mrme ş drect cre vrz vrl depedet. Fg.6.: Reprezetre grfc fuctlor, vd lmtele tervlelor de credere..5. Crterul lu Guss petru determre fucte optme O fucte de form f() v descre cu tt m e setul de dte studte cu ct mmul eprese clculte petru fuct respectv este m propt de vlore ul,

Lucrre 6 legdu-se c fucte optm, petru setul de dte studt, fuct cre depleste ct m e cest codte. Reprtt Guss e permte s comprm dou reprezetr ddu-e posltte s stlm cre d ele se prope cel mult de form optm. I cest scop cu jutorul relte (6.6) se clculez dspers / petru cele dou fuct, respectv, /, /,. Deorece relt (6.6) reclm u volum mre de clcule, specl czul estoelor mr, se utlzez o relte m smpl: [ ] / (6.7) Comprd vlorle otute petru cele dou reprezetr, /, respectv /,, se v lege c fd reprezetre optm ce petru cre dspers re vlore ce m mc.. Corelt Fe czul dou vrle letore X cu reprtt N( ) ş Y cu reprtt N( ), reprtt cestor u pote f redt um pr mometele celor dou vrle lute seprt, c este ecesr s se crcterzeze ş covrt. pre deosere de legtur de regrese cre reprezt legtur dtre dou vrle, d cre u letore r lt cuoscut su dt (dec eletore), legtur de corelte se refer l u cuplu de dou vrle letore cru legtur pote f crcterzt de coefcetul de corelte. Destte de proltte fucte de reprtte orml cu do prmetr (vrt) este dt de epres: ep, f ρ ρ ρ πο (6.7) Fuct de reprtte fd: dd e Y X P F,, ρ ρ ρ π (6.74) Ude: ρ este coefcetul de corelte, vd o vlore cuprs tervlul: -< ρ< ş defeste grdul de depedet dtre vrle. Oservte: - dc ρ, cele dou vrle sut depedete, cest cz relt (6.7) se pote pue su form: f f e e f, π π (6.75) fd stfel pus evdet codt de depedet. - Dc IρI>, vrlele, sut depedete letor, coefcetul teoretc de corelte fd dt de med produselor terlor ormte:

Alz grfc rezulttelor. Determre fucte de regrese optme M ρ (6.76) u: ρ (6.77) Coefcetul de corelte pote f estmt cu relt: e ρ (6.78) u cu epres m usor clcull: e ρ (6.79) Oservte: e sulz fptul c cest coefcet de corelte u este plcl decât czul dou vrle cu reprtt ormle, petru lte czur coceptul efd fudmett, putd evetul crcterz u grd de socere. Legtur de corelte petru cele dou vrle letore X,Y m pote f eprmt ş fucte de medle vrlelor, ş ume: - deorece s- cosdert vrl X depedet, petru fecre vlore prtculr, v corespude lu Y u smlu de vlor reprtzte orml. L fecre vlore lu corespude o vlore mede / lu Y, dec cd descre u umt domeu, puctele / descru o drept cre ecute este: ρ / (6.8) - petru o umt vlore smlul vlorlor I re dspers: / ρ (6.8) - se ste c o fucte f() se pote scre ş su form φ(), stfel c legtur dtre vrlele letore X ş Y se pote ote ş fd Y ş determd medle vrle X corespuztore: ρ / (6.8) cu dspers: / ρ (6.8) - ecutle (6.8) ş (6.8) reprezt czul dsperslor costte dreptele de regrese: β β (6.84) (6.85) ude: ρ β ρ β

Lucrre 6 C. Desfsurre lucrr:. Tem: e cosder czul determr detulu de flud fucte de cus pstosulu czul uu drosel. I tmpul epermetulu fucte de curs pstosulu, ( mm): 4 5 6 7, se ot vlorle detulu de flud ( /m):.5.75..75.5 4. 5.75. se determe fuct cre reprezt cel m e dtele epermetle, petru u vel de credere de.95, (-α95%).. Prelucrre rezulttelor: I vedere determr fucte cre reprezt cel m e dtele epermetle, se v plc metod metod celor m mc ptrte, trsdu-se tr-u sstem de e ortogole grfcul otut urm prelucrr dtelor. Utlzd fuctle oferte de softwre-ul Ecel, metod celor m mc ptrte, presupue prcurgere urmtorlor ps:.- se v vzulz vrt vlorlor le vrle depedete (detul de flud) (vlor cre cdrul rportulu Ecel ocup dresele: B-B7), fucte de (curs pstosulu) (vlor cre cdrul rportulu Ecel ocup dresele: C-C7) reprezetd grfc vlorle oservte (vez Lucrre), vd pe scs vlorle curse pstosulu, r pe ordot vlorle detulu de flud, (Fg.6.): vrt detulu fucte de curs 8. 6. 5.75 4..5 4..75..75.. 5. 4 6 8 curs pstosulu vlorle Fg.6.: Reprezetre grfc vlorlor oservte,.- se lege formul emprc petru reprezetre dtelor, cosderdu-se c fuct cre r reprezet cel m e dtele epermetle este fuct lr (6.): Y A BX..- se cosder c fuct cre r pute reprezet cel m e srul de dte epermetle este de form (6.6):..- se determ prmetr fucte lre presupuse (6.6): su : prcurgd ps:

Alz grfc rezulttelor. Determre fucte de regrese optme - se clculez sumele vlorlor,, respectv ş produsul Utlzd Ecel, vom ve: UM(B:B7), otd UM(C:C7), respectv B8*C8, otd vlore rportulu Ecel dres B. 8, vlore cre v ocup coture dres B8, vlore cre v ocup coture dres C8 588, vlore cre v ocup coture cdrul - se clculez vlore produsulu, respectv vlore sume cestu produs, Astfel: B*C B*C B7*C7, vlor cre vor ocup cdrul rportulu dresele D- D7 respectv: UM(D:D7), otd vlore.5, vd dres D8. - se clculez vlorle, respectv vlorle sumelor cestor, plcdu-se fuctle: POWER(B,) POWER(B,) POWER(B7,), vlorle cestor ocupd coture dresele E-E7 POWER(C,) POWER(C,) POWER(C7,), ocupd dresele F-F7 Respectv: UM(E:E7), otd vlore 4, vd dres E8 UM(F:F7), otd vlore 4- se clculez vlorle : 77.5, vd dres F8 POWER(B8,), otd vlore 784, vd dres B9 POWER(C8,), otd vlore 44, vd dres C9 5- se clculez vlorle medlor, B8/7, otd vlore 4, ocupd coture dres B B8/7, otd vlore,, ocupd coture cdrul rportulu dres C

4 Lucrre 6 6- se clculez vlore prmetrulu, vd relt de clcul teror, cre utlzd fuctle Ecel este de form: (7*D8-B8*C8)/(7*E8-B9), otd vlore.7, vlore cre o vom sez cdrul rportulu Ecel l dres B. 7- se clculez, vd vlore prmetrulu l fucte promte, prmetrul, utlzd fuct: C, deorece vlore cestu prmetru este egl cu vlore mede,, stfel ct:, vlore ce v ocup coture dres B4 cdrul rportulu Ecel. 8- se clculez vlore prmetrulu, utlzd fuct: B4-B*B, vlore otut fd:., vlore ce v ocup coture dres B5 cdrul rportulu Ecel. 9- se determ fuct, cum c vem vlorle prmetrlor ş, clculte, otdu-se:.7(-4), stfel c vom ote fuct:..7.- se verfc sttstc vlltte fucte otute, petru velul de credere de.95, (-α95%), prcurgd următorele etpe: - se clculez sum celor m mc ptrte dtort terlor rport cu fuct lr (6.6): ( ) / prell fd ecesr clculul vlorlor c (vlorle clculte petru ):..7*B..7*B..7*B7 otd stfel vlorle (ce vor ocup dresele G-G7 cdrul rportulu Ecel): c.9 c.6 c. c4. c5.7 c6 4.4 c7 5. Astfel se pot clcul coture vlorle ( - c ), respectv ( - c ) : POWER(C-G,) POWER(C-G,) POWER(C7-G7,) vlorle otute ocupd dresele H-H7 cdrul rportulu Ecel. Reusd fl s clculm vlore / : POWER(UM(H:H7)/5,), otd vlore "rezdul", c /.9, vlore ce v ocup coture dres B8 - se clculez sum celor m mc ptrte eplct pr regrese (6.64): Y / X Astfel: B*(D8-B8*C8/7), otd vlore, Y / X.584, vlore ce v ocup dres B9 - se determ rportul : B9/B8, otd vlore, Y / X / 4., vlore ce ocup dres B4. Y / X / 4- folosd telul lu Fscher (Ae D, Lucrre 4) petru u vel de credere de.95, (-α95%) ş u umr de grde de lertte γ s γ - (se perd dou grde de lertte cd se estmez s ), se cteste vlore clcult fucte de reprtte corespodete, F γγ : F γγ 4.6

Alz grfc rezulttelor. Determre fucte de regrese optme 5 5- se compr vlore rportulu cu vlore crtc, F γγ(crtc), (determt Y / X / telr petru umrul grdelor de lertte propuse), dc: 4. >4.6 Astfel (6.65): > F Y / X / γ γ crtc 6- vd cest rezultt, cocluze se decz: "Petru u vel de credere de 95% drept..7 cocord cu dtele prelucrte".4- vedere determr lmtelor tervlulu de credere, se costrueste u tervl de credere petru prmetr fucte, cu jutorul estmtorlor puctul, terle/erorle costtelor ş, respectv ş, ş ter vlor mede rtmetce vrle depedete,, clculdu-se prell vlorle, respectv. I cest scop se foloseste dstrut tudet, cu - grde de lertte, sttstc (-) / /, vd o reprtte χ, stfel (6.66), (6.67): B ± t α ± t α. / Avd (6.68): A ± t α ± t t α. / α. / Ps prcurs fd: - folosd telul reprtte tudet (Ae C, Lucrre 4) petru u vel de credere de.95, (-α95%, α5%.5) ş u umr de grde de lertte γ- (se perd dou grde de lertte cd se estmez s ), se cteste vlore clcult fucte de reprtte corespodete, t α,γ : t α, γ.5 - se determ vlore, utlzd fuctle Ecel: $B$4*(POWER($B$8,/)/POWER(7*$E$8-$B$9,/)), otd vlore.65, vlore ce v ocup dres B4 cdrul rportulu Ecel. - se determ de semee vlore, utlzd fuctle: $B$4*$B$8*(POWER(/7$B$9/(7*$E$8-$B$9),/)), otd vlore.88, vlore ce v ocup coture cdrul rportulu Ecel, dres B44. 4- se determ dreptele de redrese, cre u epresle (6.7), (6.7): ± ± Otd fl fuctle:.(.7 ±.65) respectv (. ±.88).7

6 Lucrre 6 FUNCTIA LINIARA.7. R 4 5 6 4 6 8 vlorle vlorle Fg.6.4: Reprezetre grfc fucte lre determte.5- Des drept de ecute:..7 reprezt o u promte petru dtele studte, e propuem s determm o lt fucte cre cutm s fe m propte de vlorle msurte, stfel:.5.- Oservd lur le de regrese (Fg. 6.) ş comprd-o cu formele cele m uzule dr ş ce m promtv, legem c fucte de reprezetre ltc rezulttelor epermetle fuct (6.6): e Petru cre se foloseste trsformre pr logrtmre(6.7): e ) lg ( lg lg I cest cz vd (6.8): e B A X Y lg lg lg.5.- se determ prmetr fucte lese: lg lg lg.44 lg lg prcurgd prcpu ces ps c ş czul teror: - se clculez sumele vlorlor, lg, respectv lg, ş produsul lg Utlzd Ecel, vom ve:

Alz grfc rezulttelor. Determre fucte de regrese optme 7 UM(B:B7), otd 8, vlore cre v ocup coture dres B8 Petu clculul sume lg, este ecesr prell clculul logrtmlor lg, stfel: LOG(C), LOG(C),, LOG(C7), vlorle otute fd: lg.97 lg.4 lg. lg4.49 lg5.544 lg6.6 lg7.76, vlor cre vor v ocup coture dresele D-D7 UM(D:D7), e v d vlore sume logrtmlor, lg.986, vlore cre v ocup coture cdrul rportulu Ecel dres D8. - se clculez vlore produsulu lg, respectv vlore sume cestu produs, lg B*D B*D B7*D7, vlor cre vor ocup cdrul rportulu dresele F- F7, ceste fd: lg.97 lg.486 lg.9 4lg4.757 5lg5.7 6lg6.6 7lg75.8, respectv: UM(F:F7), otd vlore lg 4.894, vd dres F8. - se clculez vlore respectv vlore sume ceste,, plcdu-se fuctle: POWER(B,) POWER(B,) POWER(B7,), vlorle cestor ocupd coture dresele E-E7 Respectv: UM(E:E7), otd vlore 4, vd dres E8 4- se clculez vlore : POWER(B8,), otd vlore 784, vd dres B9 5- se clculez vlorle lg, B8*D8, otd vlore lg, respectv lg : lg 8.6, ocupd coture dres B E8*D8, otd vlore lg 48.5, ce v ocup coture cdrul rportulu dres B respectv: B8*F8, lg 47.6, vlore cre v ocup dres B cdrul rportulu.

8 Lucrre 6 6- se clculez vlore prmetrulu, vd relt de clcul teror, cre utlzd fuctle Ecel este de form: (7*$F$8-$B$8*$D$8)/(.44*(7*$E$8-$B$9)), otd vlore.4, vlore cre o vom sez cdrul rportulu Ecel l dres B. 7- se clculez, vd vlore prmetrulu l fucte promte, prmetrul lg, utlzd fuct: (7*$B$8*$F$8-$B$9*$D$8)/(7*$E$8-$B$9), stfel ct vom ote: lg., vlore ce v ocup coture dres B4 cdrul rportulu Ecel. 8- se clculez vlore prmetrulu, utlzd fuct: EXP($B$4), vlore otut fd:., vlore ce v ocup coture dres B5 cdrul rportulu Ecel. 9- se determ fuct, cum c vem vlorle prmetrlor ş, clculte, otdu-se:.e.4.6- studul sttstc l vlltt fucte:.e.4 petru velul de credere de.95, (-α95%), se relzeză cu jutorul testulu Fscher, prcurgd următorele etpe: - se clculez sum celor m mc ptrte dtort terlor rport cu fuct lr (6.6): ( ) / prell fd ecesr clculul vlorlor c (vlorle clculte petru ): $B$5*POWER(.78,$B$*B) $B$5*POWER(.78,$B$*B $B$5*POWER(.78,$B$*B7) otd stfel vlorle (ce vor ocup dresele G- G7 cdrul rportulu Ecel): c.89 c.64 c.9 c4.667 c5.99 c6 4. c7 5.5 Astfel se pot clcul coture vlorle ( - c ), respectv ( - c ) : POWER(C-G,) POWER(C-G,) POWER(C7-G7,) vlorle otute ocupd dresele I-I7 cdrul rportulu Ecel. Reusd fl s clculm vlore / : POWER(UM(I:I7)/5,) su POWER($I$8/5,), otd vlore "rezdul", /.6, vlore ce v ocup coture dres B8 - se clculez sum celor m mc ptrte eplct pr regrese, de cest dt relt fd: lg Y / X lg e lg Astfel: B*LOG(B5)*EXP(F8-B8*D8/7), otd vlore, Y / X., vlore ce v ocup dres B9 - se determ rportul : Y / X / $B$9/$B$8, otd vlore, Y / X / c.68, vlore ce ocup dres B4. 4- folosd telul lu Fscher (Ae D, Lucrre 4) petru u vel de credere de.95, (-α95%) ş u umr de grde de lertte γ s γ -5, se cteste vlore clcult fucte de reprtte corespodete, F γγ :

Alz grfc rezulttelor. Determre fucte de regrese optme 9 5- se compr vlore rportulu F γγ 4.6 cu vlore crtc, F γγ(crtc), (determt Y / X / telr petru umrul grdelor de lertte propuse), dc:.68 >4.6 Astfel (6.65): > F Y / X / γ γ crtc 6- vd cest rezultt, cocluze se decz: "Petru u vel de credere de 95% drept.e.4 cocord cu dtele prelucrte" vlorle FUNCTIA EXPONENTIALA.e.45 R 6. 5. 4..... 4 6 8 vlorle Fg.6.5: Reprezetre grfc fucte epoetl determt.7- I cest momet vem dou fuct cre coform testulu Fscher cocord cu dtele prelucrte, petru velul de credere les, (-α95%), stfel c este mperos ecesr se determ fuct optm petru setul de dte studt. Reprtt Guss e permte s comprm dou reprezetr ddu-e posltte s stlm cre d ele se prope cel mult de form optm, petru plcre cestu crteru fd ecesre comprre vlorlor otute petru cele dou reprezetr, respectv. X / Y, Astfel:.584 >., respectv: > X / Y, X / Y, X / Y, se oserv c fuct:.e.4 re dsperse m mc cee ce e coduce l cocluz c: "Fuct:.e.4 cocord tr-u grd m îlt cu dtele studte" cest cocluze fd putd f vzulzt ş fgur 6.4 (respectv Fg.6.5): D. Prezetre rezulttelor: Rezulttele vor f prezette su form uu rport (vez Ae6) ce cuprde: - reprezetre dtelor prmre, srul de dte - reprezetre telr dtelor clculte ecesre determr prmetrlor fuctlor lese - reprezetre telr vlorlor prmetrlor fuctlor lese - reprezetre telr lmtelor tervlelor de credere fuctlor lese - reprezetre telr dtelor clculte ecesre verfcr fucte lese/poteze ş prezetre decze

4 Lucrre 6 - reprezetre crterulu de determre fucte de regrese optme E. Blogrfe: [] Bulgru, M., Boloc, L., Iger cltt.mgemetul cltt, sttstc ş cotrol, surr D, Alm Mter, Cluj-Npoc, IBN 97-855-- [] Cocrd, C., Ugureu, I., Bzele cercetăr epermetle teholog costructlor de ms, Edtur Ddctc ş Pedgogc Bucurest, 979, [] Decoescu, A., Decoescu, T., Mgemetul cltt. Aplcţ, Edtur Om U.A..T., Brsov,, IBN 97-9478-65-4 [4] Cth, K., EXCEL petru Wdows tm 95 5 mg, Teor, Bucurest, 999, IBN 97-6-457-6 [5] Fthe, W., Mcrosoft Offce 97 Professol 6, Teor, Bucurest, 998, IBN 97-6-97- [6] zuder, A., Lucs, I., Arseou, L., Bzele cercetăr epermetle teholog costructlor de ms, Idrumtor de lortor, Isttutul Poltehc Bucurest, 99 [7] Tsescu I Cotrolul sttstc l proceselor s produselor, Edtur ddctc s pedgogc, Bucurest, 987. [8] *** Colecte de stdrde, Mgemetul ş sgurre cltt, Edtur tehc, Bucurest, 996