8 Funkcije više promenljivih 78 8 Funkcije više promenljivih Neka je R skup realnih brojeva i X R n. Jednoznačno preslikavanje f : X R naziva se realna funkcija sa n nezavisno promenljivih čiji je domen X. Ako označimo sa x = (x 1, x 2,..., x n ) proizvoljni element iz X i sa u R sliku elementa x ovim preslikavanjem onda možemo pisati u = f(x 1, x 2,..., x n ) Ako je funkcija samo sa dve nezvisno promenljive onda se obično piše z = f(x, y) gde su x i y nezavisno promenljive a z je zavisno promenljiva. Funkciju sa tri nezavisno promenljive obično onzačavamo sa u = f(x, y, z) gde su x, y i z nezavisno promenljive a u je zavisno promenljiva. Funkcija dve promenljive se može geometrijski interpretirati na sledeći način. Ako sa M označimo tačku u ravni xoy čije su koordinate x i y, onda se funkcija z = f(x, y) može označiti sa z = f(m), tj, z je funkcija tačke M iz ravni xoy, pa skup svih trojki (x, y, z) R 3 koje zadovoljavaju jednačinu z = f(m) ima svoj geometrijski smisao. Obično je to neka površ u prostoru. Primer 72 Oblast definisanosti funkcije z = 2x y je cela ravan R 2. Funkcija definiše ravnu površ u prostoru. Primer 73 Funkcija z = 1 x 2 y 2 ima za domen skup tačaka u ravni R 2 koji zadovoljavaju uslov x 2 +y 2 1, tj. kružnicu x 2 + y 2 = 1 i njenu unutrašnjost. Funkcijom je definisana gornja polusfera x 2 + y 2 + z 2 = 1. Primer 74 Funkcija u = 1 4 x2 y 2 z 2 ima za domen skup svih tačaka x 2 + y 2 + z 2 < 4 (u unutrašnjosti sfere x 2 + y 2 + z 2 = 4).
8.1 Granična vrednost i neprekidnost funkcije više promenljivih 79 8.1 Granična vrednost i neprekidnost funkcije više promenljivih Rastojanje izmežu n-dimenzionalnih tačaka x R n i y R n gde je x = (x 1, x 2,..., x n ) i y = (y 1, y 2,..., y n ) se definiše metrikom d(x, y) = (x 1 y 1 ) 2 + (x 2 y 2 ) 2... + (x n y n ) 2. Pod r-okolinom tačke x 0 podrazumevamo n-dimenzionalnu kuglu K[x 0, r) koju čine tačke x koje zadovoljavahju uslov d(x 0, x) < r. Ako je funkcija u = f(x) definisana u oblasti K[x 0, r)\{x 0 }, gde x R n i x 0 R n, i ako postoji broj b R takav da je za svako ε > 0 (ε r) postoji δ > 0 tako da je d(x 0, x) < δ f(x) b < ε onda se kaže da je b granična vrednost funkcije u = f(x) u tački x 0 i piše se lim x x 0 f(x) = b. Ako je funkcija u = f(x) definisana u oblasti K[x 0, r) i ako je lim f(x) = f(x 0 ) x x 0 onda se kaže da je funkcija neprekidna u tački x o. Ako je funkcija neprekidna u svakoj tački neke oblasti D, onda se kaže da je neprekidna na D. 8.2 Parcijalni izvodi Neka je funkcija z = f(x, y) definisana na oblasti D R 2. Neka (x, y), (x + x, y), (x, y + y) i (x + x, y + y) pripadaju oblasti D. Prvi parcijalni priraštaj funkcije f(x, y) po x u tački (x, y) je x z = f(x + x, y) f(x, y), dok je prvi parcijalni priraštaj funkcije f(x, y) po y u tački (x, y) y z = f(x, y + y) f(x, y). Potpuni (totalni) priraštaj funkcije f(x, y) u tački (x, y) je z = f(x + x, y + y) f(x, y).
8.2 Parcijalni izvodi 80 Za funkciju u = f(x 1, x 2,..., x n ) totalni priraštaj je u = f(x 1 + x 1, x 2 + x 2,..., x n + δx n ) f(x 1, x 2,..., x n ). Ako postoji x z lim x 0 x = lim f(x + x, y) f(x, y) x 0 x onda se on naziva prvi parcijalni izvod funkcije z = f(x, y) po x u tački (x, y) i oznažava se sa f ili ili f x(x, y). Slično, ako postoji, y z lim y 0 y = lim f(x, y + y) f(x, y) y 0 y onda se on naziva prvi parcijalni izvod funkcije z = f(x, y) po y u tački (x, y) i oznažava se sa f ili ili f y y y(x, y). Primer 75 = y = z = xy ln(x + y) + 2x 3 y 2 xy ln(x + y) + xy x 2 xy ln(x + y) + xy 1 x + y + 2 1 x + y Ako se totalni priraštaj z funkcije z = f(x, y) u tački može predstaviti u obliku zbira z = f 1 (x, y) x + f 2 (x, y) y + ε( x, y) gde je lim x 0 y 0 ε( x, y) x2 + y 2 = 0 onda se kaže da je funkcija f(x, y) diferencijabilna u tački (x, y). Linearni deo po x i y, tj. f 1 (x, y) x + f 2 (x, y) y naziva se totalni diferencijal funkcije z = f(x, y) u tački (x, y) koji odgovara priraštajima nezavisno promenljivih x i y i označava se sa dz ili df ili df(x, y). Neka je funkcija z = f(x, y) definisana u oblasti D i neka su u toj oblasti neprekidni parcijalni izvodi te funkcije f x(x, y) i f y(x, y). Tada je za (x + x, y + y) D funkcija f(x, y) diferencijabilna u tački (x, y) i važi dz = f x(x, y) x + f y(x, y) y.
8.3 Parcijalni izvodi višeg reda 81 odnosno kako je x = dx i y = dy važi dz = f x(x, y)dx + f y(x, y)dy = dx + y dy. Ako se radi o funkciji od n promenljivih u = f(x 1, x 2,..., x n ) onda je totalni diferencijal funkcije jednak du = n k=1 u dx k. 8.3 Parcijalni izvodi višeg reda Parcijalni izvodi prvog reda f i f funkcije f(x, y) su takože funkcije od y x i y, pa se mogu tražiti njihovi parcijalni izvodi po x i y, koji se nazivaju parcijalnim izvodima drugog reda i zavisno od promenljivih po kojima je funkcija diferencirana obeležavaju kao = 2 y 2 = y y = y y = ( ) f ( ) f y ( ) f ( ) f y Poslednja dva izvoda se nazivaju mešovitim parcijalnim izvodima, i ukoliko su 2 f i neprekidne funkcije, tada važi y y y = 2 f y, što znači da u ovom slučaju drugi mešoviti parcijalni izvod ne zavisi od redosleda diferenciranja po x i y. Primer 76 Za funkciju z = x 3 + 2x 2 y + 3xy 2 + y 3
8.4 Parcijalni izvodi složene funkcije 82 prvi parcijalni izvodi su = 3x2 + 4xy + 3y 2 dok su drugi parcijalni izvodi 2 z 2 = 6x + 4 2 z = 6x + 6y y2 y = 2x2 + 6xy + 3y 2 2 z y = 4x + 6y Kako su i parcijalni izvodi ponovo funkcije od x i y, postupak diferenciranja je moguće nastaviti kako bi se za funkciju z = f(x, y) dobili parcijalni izvodi trećeg i viših redova. Tako se, na primer, mogu naći sledeć izvodi trećeg reda 3, 2 y, y 2, y 3 y, 2 y 2 y, y y. Pored parcijalnih izvoda za funkcije više promenljivih postoje i totalni diferencijali višeg reda, pa je tako, na primer, za funkciju z = f(x, y) totalni diferencijal drugog reda jednak d 2 z = d(dz) = 2 z 2 dx2 + 2 2 z y dxdy + 2 z y 2 dy2 dok je njen totalni diferencijal trećeg reda jednak d 3 z = d(d 2 z) = 3 z 3 dx3 + 3 3 z 2 x y dx2 dy + 3 3 z 2 y dxdy2 + 3 z y 3 dy3. 8.4 Parcijalni izvodi složene funkcije Funkcije više promenljivih mogu biti složene, pa tako, na primer, ako je z = f(u, v) funkcija od u i v, pri čemu su u = u(x, y) i v = v(x, y) funkcije od x i y, onda je z složena funkcija od x i y z = f(u(x, y), v(x, y)) = g(x, y) a njeni parcijalni izvodi po x i y se dobijaju kao = u u + v v y = u u y + v v y. Za složene funkcije mogu se definisati i parcijalni izvodi višeg reda, s tim što se njihovo nalaženje usložnjava sa povećavanjem reda parcijalnog izvoda.
8.5 Ekstremne vrednosti funkcije dve promenljive 83 8.5 Ekstremne vrednosti funkcije dve promenljive Nalaženje ekstremnih vrednosti više promenljivih ilustrovaćemo na najjednostavnijem primeru funkcije dve promenljive z = f(x, y). Najpre ćemo uvesti uobičajene skraćene oznake za parcijalne izvode prvog i drugog reda p = q = y r = 2 z 2 s = 2 z y t = 2 z y 2. Potreban uslov da funkcija dve promenljive u nekoj tački M k ima ekstremnu vrednost jeste da u toj tački oba prva parcijalna izvoda budu jednaka nuli, odnosno p = q = 0/M k. Sve tačke u kojima je ovaj uslov zadovoljen nazivaju se stacionarnim tačkama, ali funkcija ne mora u svakoj od njih imati ekstremnu vrednost. Da bi u stacionarnoj tački funkcija imala ekstremnu vrednost potrebno je da budu ispunjeni još neki uslovi. Da bi se ispitalo da li su ovi uslovi ispunjeni, za svaku stacionarnu tačku se od vrednosti drugih parcijalnih izvoda funkcije u toj tački formira sledeći izraz F (M k ) = rt s 2 /M k. Zavisno od vrednosti ovog izraza postoje sledeće mogućnosti: 1. Ako je F (M k ) > 0, funkcija u stacionarnoj tački ima ekstremnu vrednost i to, zavisno od vrednosti drugog parcijalnog izvoda funkcije po x u toj tački - maksimum, ako je r/m k < 0 - minimum, ako je r/m k > 0 2. Ako je F (M k ) > 0, funkcija u stacionarnoj tački nema ekstremnu vrednost, već je u pitanju tzv. sedlasta tačka 3. Ako je F (M k ) = 0, potrebna su dodatna ispitivanja. Primer 77 Naći ekstremne vrednosti funkcije z = x 2 + y 2 + 2x 4y + 6. Najpre potražimo stacionarne tačke pomoću parcijalnih izvoda prvog reda: p = 2x + 2 q = 2y 4.
8.5 Ekstremne vrednosti funkcije dve promenljive 84 Izjednačavanjem parcijalnih izvoda prvog reda sa nulom dolazimo do sistema jednačina 2x + 2 = 0 2y 4 = 0 čijim rešavanjem dobijamo samo jednu stacionarnu tačku M( 1, 2). Kada se potraže parcijalni izvodi drugog reda dobija se r = 2 s = 0 t = 2 što su u ovom slučaju konstante, pa je tako i u tački M rt s 2 = 4 > 0 što dalje znači da u ovoj tački funkcija postiže ekstremnu vrednost. Kako je, pri tome, r = 2 > 0 radi se o minimumu koji je jednak z min = ( 1) 2 + 2 2 2 8 + 6 = 1 Pored nalaženja ekstremnih vrednosti, za funkciju dve promenljive z = f(x, y) moguće je odrediti i najmanju i najveću vrednost koje funkcija postiže u nekoj oblasti D sa konturom L D = D L Ove vrednosti dobijaju se ispitivanjem - ekstremnih vrednosti funkcije unutar oblasti D (po ranije opisanom postupku) - ekstremnih vrednosti funkcije na konturi L. Ispitivanje ekstremnih vrednosti na konturi svodi se na nalaženje vezanih (neslobodnih) ekstremnih vrednosti funkcije z = f(x, y), odnosno ekstremnih vrednosti koje ona postiže uz zadovoljavanje dodatnog uslova g(x, y) = 0, koji predstavlja jednačinu konturne linije. Postoje dve metode za iznalaženje vezanih ekstrema. 1. Metod direktne eliminacije Iz veze g(x, y) = 0 promenljiva y se izrazi kao funkcija od x, odnosno y = y(x), pa z = f(x, y) sada postaje z = f(x, y(x)) = F (x), dakle samo funkcija od x, za koju se ekstremne vrednosti mogu naći na isti način kao i za druge funkcije jedne promenljive.
8.5 Ekstremne vrednosti funkcije dve promenljive 85 2. Langranžova metoda množitelja Od funkcija f i g se uz uvoženje množitelja λ formira nova funkcija F (x, y, λ) = f(x, y) + λ g(x, y) pa se zatim traže vrednosti za x, y, i λ koje zadovoljavaju jednačine F x = 0 F y = 0 F λ = g(x, y) = 0. Za dobijene vrednosti (x k, y k, λ k ), odosno tačku M k (x k, y k ) se potom izračunava vrednost izraza d 2 F (M k, λ k ) = F xxdx 2 + 2F xydxdy + F yydy 2 uz uslov pa ako je g xdx + g ydy = 0 - d 2 F > 0, funkcija f(x, y) ima minimum u tački M k (x k, y k ) - d 2 F < 0, funkcija f(x, y) ima maksimum u tački M k (x k, y k ). Primer 78 Naći ekstremne vrednosti funkcije ako je pri tome z = x 2 + y 2 2x + y 2 = 0 Primenom metode direktne eliminacije iz dodatnog uslova se dobija y = 2 2x, pa je odatle z = x 2 + (2 2x) 2 = 5x 2 8x + 4. Dalje se izjednačavanjem prvog izvoda funkcije z po x sa nulom dobija z = 10x 8 = 0 x = 4 5 a za ovu vrednost x se jednostavno može ustanoviti da predstavlja minimum funkcije z. Primenom Langranžove metode množitelja formira se funkcija F (x, y, λ) = x 2 + y 2 + λ (2x + y 2)
8.6 Tangentna ravan i normala površi 86 odakle je F = 2x + 2λ F y = 2y + λ F λ = 2x + y 2 pa se izjednačavanjem gornjih parcijalnih izvoda funkcije F sa nulom dobija sistem tri jednačine sa tri nepoznate čije je rešenje x = 4 5 y = 2 5 λ = 4 5. Kao što je bilo i očekivano, dobijene su iste vrednosti za x i y, odnosno ista tačka M k ( 4, 2 ) kao i metodom direktne eliminacije. Kako je, dalje 5 5 2 F 2 = 2 2 F y = 0 2 F y 2 = 2 to je d 2 F (M k, λ k ) = 2dx 2 + 2dy 2 > 0 što znači da funkcija u toj tački ima minimum. 8.6 Tangentna ravan i normala površi Funkcija z = f(x, y) definiše neku površ u prostoru koju čine tačke M(x, y, f(x, y)), odnosno tačke koje zadovoljavaju jednačinu f(x, y) z = 0. Ako je ova funkcija diferencijabilna u tački (x 0, y 0 ) onda svaka kriva kroz tačku M 0 (x 0, y 0, z 0 ) gde je z 0 = f(x 0, y 0 ) koja se dobija presecanjem te površi sa ravni upravnom na koordinatnu ravan Oxy ima u toj tački svoju tangentu, a sve te tangente leže u jednoj ravni čija je jednačina z z 0 = p(x x 0 ) + q(y y 0 ) gde je p = i q =. Ova ravan se zove tangentna ravan površi z = f(x, y) y u tački M 0 (x 0, y 0, z 0 ), a ova tačka je dodirna tačka izmežu površi i tangentne ravni. Prava koja prolazi kroz tačku M 0 (x 0, y 0, z 0 ) upravno na tangentnu ravan zove se normala površi u tački M 0. Njene jednačine su x x 0 p = y y 0 q = z z 0 1