LINEARNA ALGEBRA I ANALITIČKA GEOMETRIJA

LINEARNA ALGEBRA I ANALITIČKA GEOMETRIJA Predrag Tanović February 11, 211 {WARNING: Sadržaj ovog materijala NI U KOM SLUČAJU NE MOŽE ZAMENITI UDŽBENIK: radi se o prepravljanim slajdovima predavanja. Reference nedostajućih dokaza (vidi Problem X.YZ) se odnose na DRUGO IZDANJE Lipshutza (takvog nema u skriptarnici). Contents 1 LINEARNE JEDNAČINE I SISTEMI 3 1.1 Osnovni pojmovi............................................ 3 1.2 Elementarne transformacije sistema jednačina, Gausov postupak.............. 6 2 VEKTORI U R n 7 2.1 Sabiranje vektora i množenje vektora skalarom......................... 8 2.2 Linearne kombinacije, linearna zavisnost vektora u R n ; veza sa sistemima linearnih jednačina................................................ 9 2.3 Norma vektora i skalarni proizvod................................. 1 2.4 Nejednakosti Cauchy-Shwartza i Minkowskog.......................... 11 2.5 Rastojanje, ugao izmedju vektora, projekcija........................... 12 2.6 Površina paralelograma........................................ 13 2.7 Vektori u R 3, vektorski i mešoviti proizvod............................ 14 2.8 Prave i hiper-ravni u R n....................................... 15 2.9 Rastojanje tačke od prave u R n................................... 17 2.1 Prava u ravni.............................................. 17 2.11 Položaj ravni u R 3........................................... 18 2.12 Medjusobni položaj pravih u R 3................................... 19 2.13 Medjusobni položaj prave i ravni, ugao izmedju prave i ravni................. 19 3 MATRICE 2 3.1 Sabiranje i množenje matrica skalarom,............................. 2 3.2 Množenje matrica........................................... 21 3.3 Matrični zapis sistema linearnih jednačina, veza izmedju skupa rešenja sistema i skupa rešenja pridruženog homogenog sistema.............................. 23 3.4 Blok matrice.............................................. 24 3.5 Transponovanje matrice....................................... 26 3.6 Kvadratne matrice........................................... 26 3.7 Elementarne transformacije vrsta matrice, elementarne matrice............... 28 3.8 Inverzna matrica............................................ 29 3.9 Izračunavanje inverzne matrice elementarnim transformacijama vrsta............ 3 3.1 Elementarne transformacije kolona................................. 32 3.11 Ekvivalentnost matrica........................................ 34 3.12 Smena promenljivih (promena koodinatnog sistema), slične matrice............. 34 3.13 Specijalni tipovi kvadratnih matrica................................ 35 4 VEKTORSKI PROSTORI 37 4.1 Primeri vektorskih prostora..................................... 39 4.2 Potprostori............................................... 39 4.3 Linearne kombinacije......................................... 4 4.4 Linearna zavisnost........................................... 41 1

4.5 Baza i dimenzija............................................ 41 4.6 Prostor vrsta matrice........................................ 43 4.7 Odredjivanje baze i dimenzije potprostora u R n......................... 44 4.8 Rang matrice............................................. 45 4.9 Drugi algoritam za odredjivanje baze i dimenzije........................ 46 4.1 Linearne jednačine i vektorski prostori.............................. 47 4.11 Suma i direktna suma potprostora................................. 49 4.12 Koordinate vektora u odnosu na bazu, promena baze..................... 5 5 LINEARNI OPERATORI 51 5.1 Definicija i primeri........................................... 51 5.2 Slika i jezgro linearnog operatora.................................. 52 5.3 Primena na sisteme linearnih jednačina.............................. 54 5.4 Izomorfizam vektorskih prostora.................................. 55 5.5 Operacije sa linearnim preslikavanjima, vektorski prostor Hom(U, V )............. 55 5.6 Algebra A(V ) (ili Hom(V ))..................................... 56 5.7 Matrično predstavljanje linearnih operatora........................... 57 5.8 Algoritam za formiranje matrice operatora u odnosu na bazu................. 58 5.9 M n (F) i A(V )............................................. 59 5.1 Promena baze i matrica operatora................................. 59 6 DETERMINANTE 6 6.1 Determinante reda 1, 2 i 3...................................... 6 6.2 Permutacije............................................... 62 6.3 Definicija i osnovna svojstva determinanti............................ 63 6.4 Minori i kofaktori, izračunavanje determinante......................... 64 6.5 Adjungovana matrica......................................... 65 6.6 Kramerova teorema.......................................... 66 6.7 Determinante blok matrica...................................... 68 6.8 Determinanta linearnog operatora................................. 69 7 UNITARNI PROSTORI 69 7.1 Koši-Švarcova nejednakost...................................... 7 7.2 Ortogonalnost............................................. 71 7.3 Ortogonalni skupovi i baze...................................... 72 7.4 Furijeovi koeficijenti.......................................... 72 7.5 Beselova nejednakost......................................... 74 7.6 Gram-Šmitov postupak ortogonalizacije.............................. 74 7.7 Ugao izmedju vektora i potprostora................................ 75 7.8 Matrično predstavljanje skalarnog proizvoda........................... 76 7.9 Promena baze i Gramova matrica................................. 77 7.1 Ortogonalne matrice i skalarni proizvod.............................. 77 7.11 Gramova determinanta........................................ 78 7.12 NORMIRANI PROSTORI..................................... 79 8 DIJAGONALIZACIJA 8 8.1 Karakteristični (sopstveni) polinom matrice........................... 8 8.2 Teorema Kejli-Hamiltona....................................... 81 8.3 Sopstvene vrednosti i sopstveni vektori.............................. 82 8.4 Algebarska i geometrijska višestrukost sopstvene vrednosti.................. 82 8.5 Dijagonalizabilnost.......................................... 82 8.6 Dijagonalizacija realnih simetričnih matrica........................... 85 8.7 Minimalni polinom matrice..................................... 85 8.8 Dijagonalizacija linearnog operatora................................ 85

9 KANONSKE FORME OPERATORA 86 9.1 Invarijantni potprostori linearnog operatora........................... 87 9.2 Osnovna dekompozicija linearnog operatora.......................... 88 9.3 Nilpotentni operatori........................................ 88 9.4 Žordanova forma linearnog operatora............................... 89 1 ISPITNA PITANJA 9

1 LINEARNE JEDNAČINE I SISTEMI 1.1 Osnovni pojmovi Neka je K polje, ukoliko drugačije nije naglašeno podrazumevamo K = R. Definicija 1.1. 1. Linearna jednačina nad poljem K po promenljivim x 1,...,x n je ona koja se može svesti na oblik a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b gde su a 1,a 2,...,a n koeficijenti i b slobodni član jednačine elementi polja K. 2. Uredjena n-torka (k 1,k 2,...,k n ) K n je rešenje gornje jednačine ako važi: a 1 k 1 + a 2 k 2 +... + a n k n = b 3. Sva njena rešenja čine skup rešenja jednačine: {(k 1,k 2,...,k n ) K n a 1 k 1 + a 2 k 2 +... + a n k n = b } Degenerisana linearna jednačina je jednačina oblika: x 1 + x 2 +... + x n = b. Ako je b = tada je skup njenih rešhenja je K n ; ako je b onda ona nema rešenja (skup rešenja je ). Sistem linearnih jednačina po promenljivim x 1,x 2,...,x n je a 11 x 1 + a 12 x 2 +... a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... a 2n x n = b 2........ a m1 x 1 + a m2 x 2 +... a mn x n = b m Uredjena n-torka (k 1,k 2,...,k n ) K n je rešenje sistema ako je rešenje svake od jednačina sistema. Sva rešenja čine skup rešenja sistema. Ako sa S i označimo skup rešenja i-te jednačine gornjeg sistema a sa S skup rešenja sistema tada važi: S = S 1 S 2... S m Rešiti sistem jednačina znači odrediti njegov skup rešenja. Definicija 1.2. Dva sistema su ekvivalentna ako imaju isti skup rešenja. Definicija 1.3. Homogena linearna jednačina je oblika a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n =. Neka su r = (r 1,r 2,...,r n ) i r = (r 1,r 2,...,r n) rešenja gornje homogene jednačine i k R. Tada: (1) k r = (kr 1,kr 2,...,kr n ) je takodje rešenje jednačine: a 11 r 1 + a 12 r 2 +... + a 1n r n = k(a 11 r 1 + a 12 r 2 +... + a 1n r n ) = a 11 (k r 1 ) + a 12 (k r 2 ) +... + a 1n (k r n ) = k ; (2) r + r = (r 1 + r 1,r 2 + r 2,...,r n + r n) je rešenje: a 11 r 1 + a 12 r 2 +... a 1n r n = + a 11 r 1 + a 12 r 2 +... a 1n r n = a 11 (r 1 + r 1) + a 12 (r 2 + r 2) +... a 1n (r n + r n) = ;

Ako su r, r 1,...,r n njena rešenja i k,k 1,...,k n skalari (obični brojevi) tada je i k r +k 1 r 1 +...+k n r n rešenje. Isto važi i za sistem homogenih linearnih jednačina: a 11 x 1 + a 12 x 2 +... a 1n x n = a 21 x 1 + a 22 x 2 +... a 2n x n =........ a m1 x 1 + a m2 x 2 +... a mn x n = Ako su r, r 1,...,r n rešenja sistema i k,k 1,...,k n skalari tada je i k r + k 1 r 1 +... + k n r n rešenje sistema. Primer 1.1. x + z = y + 3z = t = ima parametarsko rešenje t =, z = a, y = 3a, x = a ili (x,y,z,t) = ( a, 3a,a,) a R. Primer 1.2. x y z t = a 3a a = a 1 3 1 x 2y + t = z 3t = ima parametarsko rešenje t = a, z = 3a, y = b, x = 2b a ili (x,y,z,t) = (2b a,b,3a,a) a,b R. x y z t = 2b a b 3a a = 2b b + a 3a a = b 2 1 + a 1 3 1 (2,1,,) je rešenje sistema i dobija se za a = b = 1, rešenje ( 1,,3,1) za a = 1 b =. Ova dva rešenja čine bazu skupa rešenja (što znači da se svako rešenje sistema izražava kao njihova linearna kombinacija). U slučaju proizvoljnog homogenog sistema bazu skupa rešenja dobijamo kada uzimamo da je vrednost jedne slobodne promenljive 1 a ostalih ; na taj način dobijemo onoliko rešenja koliko homogeni sistem ima slobodnih promenljivih. Zbir dva rešenja nehomogene linearne jednačine a 1 x 1 +... + a n x n = b (gde je b!) ne daje rešenje: (1, 1) i (, 2) su rešenja jednačine x + y = 2 a (1, 3) nije. smemo ni množiti: k (1,1) nije rešenje jednačine za k 1. Rešenja ne Ako je r rešenje nehomogene jednačine a h rešenje odgovarajuće homogene jednačine, tada je r + h takodje rešenje nehomogene jednačine: Neka je r = (r 1,r 2,...,r n ) rešenje jednačine a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b i neka je h = (h 1,h 2,...,h n ) rešenje odgovarajuće homogene jednačine a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = Tada je a 1 r 1 + a 2 r 2 +... + a n r n = b a 1 h 1 + a 2 h 2 +... + a n h n =

Sabiranjem dobijamo: a 1 (r 1 + h 1 ) + a 2 (r 2 + h 2 ) +... + a n (r n + h n ) = b Ako je r bilo koje rešenje nehomogene jednačine tada se lako proveri da je r r = h rešenje homogene jednačine. Zaključujemo: svako rešenje nehomogene jednačine r možemo napisati kao zbir rešenja r i nekog rešenja homogene jednačine h. r = r + h Ako sa W označimo skup svih rešenja homogene jednačine i ako je r bilo koje rešenje odgovarajuće nehomogene jednačine, tada je r + W = {r + h h W } skup svih rešenja nehomogene jednačine. Isto važi i za sisteme: posmatrajmo sistem i njemu odgovarajući homogeni sistem: a 11 x 1 + a 12 x 2 +... a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... a 2n x n = b 2........ a m1 x 1 + a m2 x 2 +... a mn x n = b m a 11 x 1 + a 12 x 2 +... a 1n x n = a 21 x 1 + a 22 x 2 +... a 2n x n =........ a m1 x 1 + a m2 x 2 +... a mn x n = Ako su r,r rešenja nehomogenog sistema tada je r r = h rešenje pridrženog homogenog sistema. Svako rešenje nehomogenog sistema r možemo napisati kao zbir rešenja r i nekog rešenja homogene jednačine. r = r + h Ako sa W označimo skup svih rešenja homogenog sistema i ako je r bilo koje rešenje odgovarajućeg nehomogenog sistema tada je r + W = {r + h h W } skup svih rešenja nehomogenog sistema. Primer 1.3. x + z = 2 y + 3z = 1 t = 3 ima parametarsko rešenje t = 3, z = a, y = 3a + 1, x = a + 2 ili (x,y,z,t) = ( a + 2, 3a + 1,a,) a R. Primer 1.4. x y z t = a + 2 3a + 1 a 3 = a 1 3 1 + x 2y + t = 1 z 3t = 2 ima parametarsko rešenje t = a, z = 3a+2, y = b, x = 2b a+1 ili (x,y,z,t) = (2b a+1,b,3a+2,a) a,b R. x y z t = b 2 1 + a 1 3 1 + 1 2 2 1 3

(1,,2,) je rešenje nehomogenog sistema; (2,1,,) i ( 1,,3,1) su rešenja homogenog sistema. Skup svih rešenja homogenog sistema je W = {b(2,1,,) + a( 1,,3,1) a,b R} ; skup rešenja nehomogenog sistema je (1,, 2, ) + W. 1.2 Elementarne transformacije sistema jednačina, Gausov postupak Označimo sa (S) sledeći sistem jednačina: Elementarne transformacije sistema su: a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 L 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2 L 2........... a m1 x 1 + a m2 x 2 +... + a mn x n = b m L m (E 1 ) Zamena mesta i-te i j-te jednačine: L i L j (E 2 ) Na mesto i-te jednačine staviti nju pomnoženu skalarom k : k L i L i (E 2 ) i-tu jednačinu zameniti sa L i + al j (a K,i j): L i + al j L i Lema 1.1. Ako je sistem (S) dobijen iz sistema (S) primenom neke elementarne transformacije tada su ti sistemi ekvivalentni (t.j. imaju isti skup rešenja). Dokaz. Pretpostavimo da je (S) dobijen iz sistema (S) primenom neke elementarne transformacije. Treba dokazati da su sistemi ekvivalentni što, po definiciji 1.2, znači da ta dva sistema imaju isti skup rešenja. Prema tome, treba dokazati da je svako rešenje sistema (S) ujedno i rešenje sistema (S), kao i da svako rešenje sistema (S) mora biti rešenje sistema (S). Imamo tri slučaja: 1) (S) je dobijen primenom (E 1 ) na (S); tačnije, zamenom mesta i-te i j-te jednačine. (S) je isti kao (S) s tim što je i-ta jednačina na j-tom mestu a j-ta na i-tom. Očigledno da je svako rešenje sistema (S) ujedno i rešenje sistema (S), kao i da je svako rešenje sistema (S) rešenje sistema (S). 2) (S) je dobijen primenom (E 2 ) na (S); tačnije, jednačina L i je zamenjena jednačinom k L i gde je k (bez umanjenja opštosti neka je i = 1). Pretpostavimo da je r 1,...,r n ) rešenje sistema (S): a 11 r 1 + a 12 r 2 +... + a 1n r n = b 1 L 1 a 21 r 1 + a 22 r 2 +... + a 2n r n = b 2 L 2............ (S) a m1 r 1 + a m2 r 2 +... + a mn r n = b m L m Ako prvu jednakost pomnožimo sa k, a ostale prepišemo dobijamo: k a 11 r 1 + k a 12 r 2 +... + k a 1n r n = k b 1 k L 1 a 21 r 1 + a 22 r 2 +... + a 2n r n = b 2 L 2............ (S) a m1 r 1 + a m2 r 2 +... + a mn r n = b m L m Prema tome (r 1,...,r n ) je rešenje sistema (S). Time smo dokazali da je svako rešenje sistema (S) ujedno i rešenje sistema (S). Neka je sada (r 1,...,r n) rešenje sistema (S) : k a 11 r 1 + k a 12 r 2 +... + k a 1n r n = b 1 k L 1 a 21 r 1 + a 22 r 2 +... + a 2n r n = b 2 L 2............ (S) a m1 r 1 + a m2 r 2 +... + a mn r n = b m L m Ako prvu jednakost podelimo sa k (što smemo jer je k ), a ostale prepišemo dobijamo:

a 11 r 1 + a 12 r 2 +... + a 1n r n = b 1 L 1 a 21 r 1 + a 22 r 2 +... + a 2n r n = b 2 L 2............ (S) a m1 r 1 + a m2 r 2 +... + a mn r n = b m L m Prema tome (r 1,...,r n) je rešenje sistema (S). Time smo dokazali da je svako rešenje sistema (S) ujedno i rešenje sistema (S). 3) (S) je dobijen primenom (E 3 ) na (S); bez umanjenja opštosti, neka je prva jednačina u (S) zamenjena zbirom prve i druge. Pretpostavimo da je r 1,...,r n ) rešenje sistema (S): a 11 r 1 + a 12 r 2 +... + a 1n r n = b 1 L 1 a 21 r 1 + a 22 r 2 +... + a 2n r n = b 2 L 2............ (S) a m1 r 1 + a m2 r 2 +... + a mn r n = b m L m Ako prvu jednakost zamenimo zbirom prve i druge a ostale prepišemo dobijamo: (a 11 + a 21 )r 1 + (a 12 + a 22 )r 2 +... + (a 1n + a 2n )r n = b 1 + b 2 L 1 + L 2 a 21 r 1 + a 22 r 2 +... + a 2n r n = b 2 L 2............ (S) a m1 r 1 + a m2 r 2 +... + a mn r n = b m L m Prema tome (r 1,...,r n ) je rešenje sistema (S). Time smo dokazali da je svako rešenje sistema (S) ujedno i rešenje sistema (S). Pretpostavimo da je (r 1,...,r n) rešenje sistema (S) : (a 11 + a 21 )r 1 + (a 12 + a 22 )r 2 +... + (a 1n + a 2n )r n = b 1 + b 2 L 1 + L 2 a 21 r 1 + a 22 r 2 +... + a 2n r n = b 2 L 2............ (S) a m1 r 1 + a m2 r 2 +... + a mn r n = b m L m Ako od prve jednakosti oduzmemo drugu, a ostale prepishemo dobijamo: a 11 r 1 + a 12 r 2 +... + a 1n r n = b 1 L 1 a 21 r 1 + a 22 r 2 +... + a 2n r n = b 2 L 2............ (S) a m1 r 1 + a m2 r 2 +... + a mn r n = b m L m Prema tome (r 1,...,r n) je rešenje sistema (S). Time smo dokazali da je svako rešenje sistema (S) ujedno i rešenje sistema (S). Teorema 1.1. Ako se sistem (S) može dobiti iz sistema (S) primenom konačnog niza elementarnih transformacija tada su ti sistemi ekvivalentni. Dokaz. Pretpostavimo da se sistem (S) može dobiti primenom niza od n elementarnih transformacija iz sistema (S): primenom transformacije E i1 na (S) dobijen je sistem (S 1 ), primenom transformacije E i2 na (S 1 ) dobijen je sistem (S 2 ),..., primenom transformacije E in na (S n 1 ) dobijen je sistem (S). Kako je (S 1 ) dobijen iz (S) primenom samo jedne elementarne transformacijem, prema prethodnoj lemi, sistemi (S) i (S 1 ) su ekvivalentni (imaju iste skupiove rešenja); slično, (S 1 ) i (S 2 ) imaju isti skup rešenja, (S 2 ) i (S 3 ) imaju isti skup rešenja,..., (S n 1 ) i (S) imaju isti skup rešenja. Sledi da i (S) i (S) imaju isti skup rešenja. Trougaona i stepenasta forma sistema. Gausov postupak, svodjenje sistema na stepenastu formu 2 VEKTORI U R n u = (u 1,u 2,...,u n ) R n je vektor (ili tačka) prostora. u 1,u 2,...,u n su njegove koordinate.

a R je skalar. Dva vektora u = (u 1,...,u n ) i v = (v 1,...,v n ) su jednaka ako i samo ako je u 1 = v 1, u 2 = v 2,..., u n = v n. Vektor u = (u 1,...,u n ) pišemo i kao vektor-kolonu Ponekad vektor x označavamo i sa x. u 1 u 2... u n 2.1 Sabiranje vektora i množenje vektora skalarom Definicija 2.1. Neka su u = (u 1,u 2,...,u n ) i v = (v 1,v 2,...,v n ) vektori prostora R n. Definišemo: (a) sabiranje vektora: u + v = (u 1 + v 1,u 2 + v 2,...,u n + v n ) ( R n ) (b) množenje vektora skalarom (brojem) k R: k u = (k u 1,k u 2,...,k u n ) ( R n ) Ako je n = 2, 3 množenje vektora položaja skalarom k je izduživanje (ili skraćivanje ) po istom pravcu sa koeficijentom k, ako je k < onda imamo i promenu smera. Sabiranje vektora je sabiranje vektora položaja po pravilu paralelograma. Nula-vektor je = (,,...,). u je ( 1) u. Teorema 2.1. Za sve vektore u,v,w R n i skalare k,k R važi: 1. (u + v) + w = u + (v + w) 2. u + = u 3. u + ( u) = 4. u + v = v + u 5. k (u + v) = k u + k v 6. (k + k )u = k u + k u 7. (k k )u = k (k u) 8. 1u = u Dokaz. Dokazaćemo samo prvi deo, za dokaz ostalih delova videti Problem 2.4. 1. Neka je u = (u 1,...,u n ), v = (v 1,...,v n ) i w = (w 1,...,w n ). Tada je: (u + v) + w = ((u 1,...,u n ) + (v 1,...,v n )) + (w 1,...,w n ) = (u 1 + v 1,...,u n + v n ) + (w 1,...,w n ) = (u 1 + v 1 + w 1,...,u n + v n + w n )

Prema tome (u + v) + w = u + (v + w). u + (v + w) = (u 1,...,u n ) + ((v 1,...,v n ) + (w 1,...,w n )) = (u 1,...,u n ) + (v 1 + w 1,...,v n + w n ) = (u 1 + v 1 + w 1,...,u n + v n + w n ) Prethodna teorema opisuje R n kao vektorski prostor u odnosu na sabiranje vektora i množenje skalarom (videti Definiciju 4.1) Ako su vektori u,v R n (u is a multiple of v). i k skalar takvi da je u = k v onda kažemo da u i v imaju isti pravac u i v imaju isti smer ako je k > ; u i v imaju suprotan smer ako je k <. 2.2 Linearne kombinacije, linearna zavisnost vektora u R n ; veza sa sistemima linearnih jednačina Definicija 2.2. Vektor v je linearna kombinacija vektora u 1,u 2,...,u n ako postoje skalari k 1,k 2,...,k n takvi da važi (k 1,k 2,...,k n su koeficijenti ove linearne kombinacije). v = k 1 u 1 + k 2 u 2 +... + k n u n v je linearna kombinacija vektora u 1,u 2,...,u n ako i samo ako sledeća vektorska jednačina ima rešenje: v = x 1 u 1 + x 2 u 2 +... + x n u n. Primer 2.1. Dati su vektori v = 2 3 4 u 1 = Da li je v linearna kombinacija vektora u 1, u 2 i u 3? Ekvivalentno: Da li postoje x,y,z R takvi da: je 1 1 1 u 2 = x 1 1 1 1 1 i u 3 = + y 1 1 1 + z 1 = x + y + z = 2 Ekvivalentno: Da li sistem x + y = 3 ima rešenje? x = 4 Odgovor je: da. Isti je odgovor i za bilo koji vektor v na mestu v. Šta više: svaki vektor se na jedinstven način izražava kao linearna kombinacija vektora u 1, u 2 i u 3 (u 1,u 2,u 3 je baza vektorskog prostora R 3 ) Sistem linearnih jednačina: je isto što i vektorska jednačina a 11 x 1 a 21... a m1 a 11 x 1 + a 12 x 2 +... a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... a 2n x n = b 2........ a m1 x 1 + a m2 x 2 +... a mn x n = b m + x 2 a 12 a 22... a m2 +... + x n a 1n a 2n... a mn = b 1 b 2... b m 2 3 4?

koja označava da je vektor sa koeficijentima x 1,..x n. b 1 b 2... b m linearna kombinacija vektora kolona a 11 a 21... a m1, a 12 a 22... a m2,..., Definicija 2.3. Vektori u 1,u 2,...,u n R n su linearno zavisni ako postoje skalari k 1,k 2,...,k n koji nisu svi nule takvi da važi k 1 u 1 + k 2 u 2 +... + k n u n =. U suprotnom (ako ne postoje takvi k i -ovi) oni su linearno nezavisni. a 1n a 2n... a mn Teorema 2.2. (a) Vektori u 1,u 2,...,u n R n su linearno zavisni ako i samo ako je jedan od njih linearna kombinacija preostalih. (b) Vektori u 1,u 2,...,u n R n su linearno zavisni ako je jedan od njih nula-vektor. Dokaz.... Primer 2.2. (1,1) i (1,) su linearno nezavisni. (1,1), (1,) i (3,1) su linearno zavisni. (1, 1, 1), (1, 1, ) i (1,, ) su linearno nezavisni. (1,1,1), (1,1,), (1,,) i (2,3,1) su linearno zavisni. Vektori a 11 a 21... a m1, sistem linearnih jednačina: a 12 a 22... a m2,..., a 1n a 2n... a mn su linearno nezavisni ako i samo ako homogeni a 11 x 1 + a 12 x 2 +... a 1n x n = a 21 x 1 + a 22 x 2 +... a 2n x n =........ a m1 x 1 + a m2 x 2 +... a mn x n = ima netrivijalno rešenje. 2.3 Norma vektora i skalarni proizvod Definicija 2.4. Neka je u = (u 1,u 2,...,u n ) vektor u R n. Definišemo normu vektora u (njegov intenzitet ili dužinu): u = ako i samo ako u =. u = u 2 1 + u2 2 +... + u2 n ( R + ). k u = k u ( k je apsolutna vrednost broja k). u R n je jedinični vektor ako i samo ako je u = 1. Za svaki u postoji tačno jedan jedinični vektor koji ima isti smer kao i u. To je u u ). 1 u u (ili

Definicija 2.5. Neka su u = (u 1,u 2,...,u n ) i v = (v 1,v 2,...,v n ) vektori u R n. Definišemo skalarni proizvod vektora u i v (dot product, inner product or scalar product): u v = u 1 v 1 + u 2 v 2 +... + u n v n ( R) Naredna teorema opisuje osnovna algebarska svojstva skalarnog proizvoda: Teorema 2.3. Za sve vektore a,b,c R n važi: 1. a b = b a 2. ( a) b = (a b) 3. (k a) b = a (k b) = k (a b) 4. a a = a 2 5. (a + b) c = a c + b c i a (b + c) = a b + a c Dokaz. Dokazaćemo samo deo 5. Ostali delovi se još jednostavnije dokazuju. Neka je a = (a 1,...,a n ), b = (b 1,...,b n ) i c = (c 1,...,c n ). Tada je: (a + b) c = ((a 1,...,a n ) + (b 1,...,b n )) (c 1,...,c n ) = (a 1 + b 1,...,a n + b n ) (c 1,...,c n ) = (a 1 + b 1 )c 1 + (a 2 + b 2 ) c 2 +... + (a n + b n ) c n = a 1 c 1 + b 1 c 1 + a 2 c 2 + b 2 c 2 +.. + a n c n + b n c n a c + b c = (a 1,...,a n ) (c 1,...,c n ) + (b 1,...,b n ) (c 1,...,c n ) = (a 1 c 1 + a 2 c 2 +... + a n c n ) + (b 1 c 1 + b 2 c 2 +... + b n c n ) = a 1 c 1 + b 1 c 1 + a 2 c 2 + b 2 c 2 +.. + a n c n + b n c n Zaključujemo da je (a + b) c = a c + b c. Slično se dokaže i drugi deo: a (b + c) = a b + a c. Na osnovu prethodne teoreme možemo skalarno množiti dve linearne kombinacije vektora kao da se radi o običnim brojevima ; jedino za a a umesto a 2 pišemo a 2 : Primer 2.3. (1) U narednom računu prvo koristimo distibutivnost (osobina 5.) a zatim osobine 3. 1. i 4. (2) Na sličan način se izvedu i sledeće jednakosti: (a + b) (2a + b) = a (2a + b) + b (2a + b) = a (2a) + a b + b (2a) + b b = 2(a a) + a b + 2(b a) + b b = 2(a a) + a b + 2(a b) + b b = 2 a 2 + 3a b + b 2 (a + b) (a b) = a a a b + b a b b = a 2 b 2 (2a + b) (3a b + 2c) = 6a a 2a b + 4a c + 3b a b b + 2b c = = 6 a 2 + a b + 4a c b 2 + 2b c 2.4 Nejednakosti Cauchy-Shwartza i Minkowskog Teorema 2.4. (Cauchy- Shwartz) Za vektore u,v R n važi u v u v.

Dokaz: Za svaki realni broj t imamo Neka je (tu + v) (tu + v) = t 2 (u u) + 2t(u v) + (v v) = u 2 t 2 + 2(u v)t + v 2 a = u 2, b = 2(u v), c = v 2 Tada, za svaku vrednost t, imamo at 2 + bt + c. Ovo znači da kvadratni polinom ne može da ima dva realna korena. Što dalje implicira da diskriminanta D = b 2 4ac, ili ekvivalentno tome, b 2 4ac. Tako 4(u v) 2 4 u 2 v 2 Deljenjem sa 4 dobijamo naš rezultat. Teorema 2.5. (Minkowski) Za vektore u,v R n važi u + v u + v. Dokaz: Po Cauchy- Shwartz-ovoj nejednakosti i drugim svojstvima proizvoda, u + v 2 = (u + v) (u + v) = (u u) + 2(u v) + (v v) u 2 + 2 u v + v 2 = ( u + v ) 2 Kada korenujemo obe strane dobijamo željenu nejednakost. 2.5 Rastojanje, ugao izmedju vektora, projekcija Definicija 2.6. Rastojanje (distance) izmedju tačaka (vektora) u = (u 1,u 2,...,u n ) i v = (v 1,v 2,...,v n ) je: d(u,v) = (u 1 v 1 ) 2 + (u 2 v 2 ) 2 +... + (u n v n ) 2. d(u,v) = d(v,u) Ako je n = 2,3 sa d(u,v) je definisano uobičajeno rastojanje (dužina duži uv). Nejednakost Minkowskog za u = a b i v = b c daje: d(a,c) d(a,b) + d(b,c) što je nejednakost trougla za abc: dužina stranice ac je manja od zbira dužina stranica ab i bc Teorema 2.6. (a) Ako su u = (u 1,u 2 ) i v = (v 1,v 2 ) tačke u (ravni) R 2 i θ ugao izmedju njih ( uv) onda je cos θ = u 1 v 1 + u 2 v 2 u 2 1 + u 2 2 v 2 1 + v2 2 = u v u v je (b) Ako su u = (u 1,u 2,u 3 ) i v = (v 1,v 2,v 3 ) tačke u (običnom prostoru) R 3 i θ ugao izmedju njih ( uv) onda Dokaz. y cos θ = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 u 2 1 + u 2 2 + u2 3 v 2 1 + v2 2 + v2 3 v = (v 1,v 2 ) = u v u v v u = (u 1,u 2 ) θ u x Primenimo kosinusnu teoremu na trougao uv...

Definicija 2.7. Ugao izmedju ne-nula vektora u = (u 1,u 2,...,u n ) i v = (v 1,v 2,...,v n ) θ definišemo sa: cos θ = u v u v Primetimo da Cauchy-Shwartzova nejednakost povlači: 1 pa postoji ugao θ [,π) takav da je cos θ = u v u v. u v u v 1 Kako je cos π 2 = imamo da su vektori u Rn (n = 2,3) normalni ako i samo ako je njihov skalarni proizvod. Definicija 2.8. Vektori u,v R n su ortogonalni (ili normalni) ako je u v =. Definicija 2.9. Definišemo projekciju vektora v = (v 1,v 2,...,v n ) na pravac vektora u = (u 1,u 2,...,u n ) : proj(v,u) = u v u (= cu) u 2 v v cu O cu u c = u v u 2 je jedinstven skalar takav da je (v cu) u = : Odavde sledi c = u v u 2. (v cu) u = v u cu u = v u c u 2 = 2.6 Površina paralelograma Računamo površinu P paralelograma (u R n!) odredjenog vektorima a i b: b h = b ca Vektor visine je ca a h = b ca = b a b a 2 a h 2 = (b ca) (b ca) = b 2 2ca b + c 2 a 2 = = b 2 2 a b ( ) 2 a b (a b) + a 2 a 2 a 2 =

Kako je P 2 = a 2 h 2 = b 2 (a b)2 (a b)2 2 a 2 + a 2 = = b 2 (a b)2 a 2 dobijamo: P 2 = a 2 b 2 (a b) 2 = a a a b b a b b 2.7 Vektori u R 3, vektorski i mešoviti proizvod i = (1,,) je jedinični vektor u smeru x-ose; j = (,1,) je jedinični vektor u smeru y-ose; k = (,,1) je jedinični vektor u smeru z-ose. i, j, k je ortonormirana baza (to su jedinični vektori koji su medjusobno normalni: i i = j j = k k = 1 i j = j k = k i = Svaki vektor u = (a,b,c) se na jedinstven način piše u obliku u = ai + bj + ck. Definicija 2.1. Vektorski proizvod (cross product) vektora a = (a 1,a 2,a 3 ) i b = (b 1,b 2,b 3 ) je vektor a b = (a 2 b 3 a 3 b 2, a 1 b 3 + a 3 b 1,a 1 b 2 a 2 b 1 ). a b = (a 2 b 3 a 3 b 2 )i (a 1 b 3 a 3 b 1 )j + (a 1 b 2 a 2 b 1 )k = = a 2 a 3 b 2 b 3 i a 1 a 3 b 1 b 3 j + a 1 a 2 b 1 b 2 a b = i j k a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 k Neka je a = (a 1,a 2,a 3 ),b = (b 1,b 2,b 3 ),c = (c 1,c 2,c 3 ). Kažemo da je trojka (a,b,c) direktno (ili pozitivno) orijentisana baza ako važi: a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 > Teorema 2.7. a b je jedinstven vektor koji zadovoljava sledeća tri uslova: 1. Ortogonalan je i na a i na b 2. a b je jednak površini paralelograma odredjenog sa a i b 3. (a,b,a b) je direktno orijentisana baza ukoliko su a i b nekolinearni. Dokaz.... Osobine vektorskog proizvoda 1. a b = ako i samo ako su a i b kolinearni. 2. a b = b a

3. a (k b) = (k a) b = k (a b) 4. (a + b) c = a c + b c. 5. a (b + c) = a b + a c. 6. (α 1 a + β 1 b) (α 2 a + β 2 b) = α 1 β 1 α 2 β 2 (a b). 7. (a b) c pripada potprostoru (ravni, pravi,...) generisanom sa a i b. Definicija 2.11. Mešoviti proizvod vektora a,b i c se definiše na sledeći način: [a,b,c] = (a b) c. Teorema 2.8. Neka je a = (a 1,a 2,a 3 ), b = (b 1,b 2,b 3 ), c = (c 1,c 2,c 3 ). Tada a 1 a 2 a 3 [a,b,c] = b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3. Takodje, [a,b,c] je po apsolutnoj vrednosti jednak zapremini paralelepipeda odredjenog vektorima a,b i c. Dokaz.... Osobine mešovitog proizvoda (1) [a,b,c] = [b,c,a] = [c,a,b] (2) [a,b,c] = [a,c,b] = [c,b,a] = [b,a,c]. (3) [αa + α a,b,c] = [αa,b,c] + [α a,b,c]; slično za b i c. (4) Ako je m = α 1 a + α 2 b + α 3 c; n = β 1 a + β 2 b + β 3 c i p = γ 1 a + γ 2 b + γ 3 c tada je: α 1 α 2 α 3 [m,n,p] = β 1 β 2 β 3 γ 1 γ 2 γ 3 [a,b,c] Dvostruki vektorski proizvod je (a b) c. Računa se po formuli: (i pripada potprostoru generisanom sa b i c). (a b) c = (a c)b (a b)c 2.8 Prave i hiper-ravni u R n Neka su A(a 1,a 2,...,a n ) i B(b 1,b 2,...,b n ) tačke (vektori) u R n. AB identifikujemo sa vektorom B A = (b 1 a 1,b 2 a 2,...,b n a n ) Definicija 2.12. Hiper-ravan je skup svih tačaka prostora R n koje zadovoljavaju nedegenerisanu linearnu jednačinu k 1 x 1 + k 2 x 2 +... + k n x n = b. n = (k 1,k 2,...,k n ) je njen vektor normale. Vektor normale nije jedinstven, ali svaka dva su kolinearna. Geometrijska motivacija za prethodnu definiciju dolazi iz R 3.

Primer 2.4. Ravan (u R 3 ) je odredjena jednom svojom tačkom i vektorom normale. Odredićemo jednačinu ravni α koja sadrži tačku A(x,y,z ) i normalna je na vektor n = (k 1,k 2,k 3 ). n X A α Tačka X(x,y,z) pripada ravni α ako i samo ako je AX n = (x x,y y,z z ) (k 1,k 2,k 3 ) = Jednačina ravni koja sadrži tačku A(x,y,z ) i normalna je na vektor n = (k 1,k 2,k 3 ) je: k 1 (x x ) + k 2 (y y ) + k 3 (z z ) = Ako označimo b = k 1 x + k 2 y + k 3 z imamo jednačinu ravni α: k 1 x + k 2 y + k 3 z = b Primer 2.5. Neka je ravan α data jednačinom 2x + 3y 2z = 5. Iz jednačine odmah vidimo jedan vektor normale n α = (2,3, 2), a tačka ravni je bilo koje rešenje ove jednačine; npr. A(2,1,1). Jednačina ravni se transformiše u: 2(x 2) + 3(y 1) 2(z 1) = što označava da tačka X(x,y,z) pripada ravni ako i samo ako AX n =. Definicija 2.13. Prava u R n koja sadrži tačku A(a 1,a 2,..,a n ) i ima pravac vektora v = (k 1,k 2,...,k n ) je skup svih tačaka X(x 1,x 2,...,x n ) koje zadovoljavaju: gde t R. v je vektor pravca prave. x 1 = a 1 + k 1 t, x 2 = a 2 + k 2 t,...,x n = a n + k n t x 1 = a 1 + k 1 t, x 2 = a 2 + k 2 t,...,x n = a n + k n t, t R je parametarska jednačina prave koja sadrži tačku A(a 1,a 2,..,a n ) i ima pravac (paralelna je) vektora v = (k 1,k 2,...,k n ) ( ). Zapisujemo je i u obliku; x 1 a 1 = x 2 a 2 =... = x n a n (= t) k 1 k 2 k n Vektor pravca prave nije jedinstveno odredjen pravom: ako je v p vektor pravca prave p onda je to i bilo koji vektor kolinearan sa njim, na primer 2v p,3v p, 5v p... Sledeći primer daje geometrijsku motivaciju za prethodnu definiciju. Primer 2.6. Odredimo jednačinu prave p koja sadrži tačku A(x,y,z ) i ima pravac vektora v p = (k 1,k 2,k 3 ) A X p O Tačka X(x,y,z) pripada pravi p ako i samo ako postoji t R takav da je AX = tv p v p (x x,y y,z z ) = t (k 1,k 2,k 3 ) Odavde dobijamo parametarsku jednačinu prave; x = x + k t y = y + k 1 t z = z + k 3 t koju zapisujemo i p : x x k 1 = y y k 2 = z z k 3 (= t)

Primer 2.7. Neka je data prava x 3 p : = y 1 = z + 1 (= t) 2 3 3 Iz ove jednačine odmah pročitamo njen vektor pravca v p = (2,3, 3) i jednu njenu tačku A(3,1, 1) Dve prave su paralelne ako i samo ako su im vektori pravaca kolinearni. Ugao izmedju dve prave je ugao izmedju njihovih vektora pravaca (definisan je iako se prave možda i ne seku). 2.9 Rastojanje tačke od prave u R n Rastojanje tačke M od prave p (u R n ) odredjene tačkom A p i vektorom pravca v p, računamo kao u delu 2.7 kada smo računali visinu paralelograma: Označimo AM sa m: M m m cv p A cv p MM p = m cv p, gde je c = m v p v p 2 M p pa: MM p 2 = (m cv p ) 2 = m 2 (v p m) 2 v p 2 U R 2 i R 3 postoji alternativni način računanja rastojanja tačke od prave. Rastojanje tačke M od prave p odredjene tačkom A p i vektorom pravca v p možemo izračunati koristeći vektorski proizvod (površinu): Označimo AM sa m: v p p M v p m A M p MM p je dužina visine paralelograma odredjenog vektorima m i v p, pa je brojno jednaka površini paralelograma podeljenoj dužinom njegove stranice v p : MM p = m v p v p p 2.1 Prava u ravni Imamo dve vrste jednačina prave u R 2. Možemo je posmatrati kao: 1. pravu u R n (odredjenu tačkom i vektorom pravca); 2. hiper-ravan u R 2 (odredjenu tačkom i vektorom normale).

Primer 2.8. Neka je p : 2x + 3y = 5 Iz jednačine odmah imamo vektor normale prave p: n p = (2,3). Tačka A(1,1) pripada pravi p. Vektor pravca prave p možemo odrediti na dva načina: 1. v p je ma koji vektor normalan na n p ; npr. v p = ( 3,2) 2. Tačka B(7, 3) pripada pravi p pa je njen vektor pravca i AB = (1, 5). Primer 2.9. Odrediti jednačinu prave q koja sadrži tačku M(2,7) i normalna je na pravu p : 3x 2y = 4 Imamo vektor normale prave p: n p = (3, 2). Vektor pravca prave q je baš n p pa je jednačina q : x 2 3 = y 7 2 ili q : 3x + 2y = 2. 2.11 Položaj ravni u R 3 Jednačine ravni koja sadrži 3 date nekolinearne tačke A, B, C možemo naći na sledeći način: kako ravan odredjuju tačka i vektor normale, treba naći samo vektor normale, a to je AB AC. Primer 2.1. Jednačina ravni koja sadrži tačke A(1,,2), B(3,2,1) i C(2,1,5). Nadjemo vektor normale: n = i j k AB AC = (2,2, 1) (2,1,3) = 2 2 1 = (7, 8, 2) 2 1 3 Jednačina ravni koja sadrži tačku A(1,,2) i normalna je na vektor n = (7, 8, 2) je: 7(x 1) 8y 2(z 2) = Naći ćemo jednačinu ravni koja sadrži (nekolinearne) tačke A(a 1,a 2,a 3 ), B(b 1,b 2,b 3 ) i C(c 1,c 2,c 3 ). Prvo nadjemo vektor normale na ravan, npr n = i j k AB AC = b 1 a 1 b 2 a 2 b 3 a 3 c 1 a 1 c 2 a 2 c 3 a 3. Primeti da je n kako su tačke nekolinearne. Dalje, tačka X(x,y,z) pripada ravni akko AX n = akko: x a 1 y a 2 z a 3 b 1 a 1 b 2 a 2 b 3 a 3 c 1 a 1 c 2 a 2 c 3 a 3 =. Dve ravni α i β su paralelne ako i samo ako su im vektori normala kolinearni. Ekvivalentno: površina paralelograma odredjenog sa ta dva vektora je (ili n α n β = ). Iz prethodnog sledi da se dve ravni α i β seku akko n α n β. Da odredimo jednačinu presečne prave te dve ravni treba nać jednu tačku preseka i vektor pravca prave. Vektor pravca je normalan na svaki od vektora normala ravni, pa možemo uzeti v p = n α n β Primer 2.11. Jednačina presečne prave ravni α : 2x + 2y z = 1 i β : 2x + y + 3z = 5. i j k v p = n α n β = 2 2 1 = (7, 8, 2) 2 1 3 Presečna tačka je bilo koje rešenje sistema 2x + 2y z = 1 2x + y + 3z = 5 npr. A(1,, 1). p : x 1 7 = y 8 = z 1 2 (= t)

Neka je ravan α data tačkom A i vektorom normale n. Rastojanje tačke M od ravni α je dužina duži AM 1. Primetimo AM 1 = proj ( AM,n) M 1 M n A α Prema tome, rastojanje računamo po formuli: d(m,α) = AM 1 = proj ( (M A) n AM,n) = n 2 2.12 Medjusobni položaj pravih u R 3 Prave p i q su paralelne akko su im vektori pravaca kolinearni; ekvivalentno v p v q =. Kada su p i q mimoilazne? Neka je p data tačkom A i vektorom pravca v p a q tačkom B i vektorom pravca v q. q B v q A v p p Primetimo da su prave mimoilazne ako i samo ako je paralelepiped odredjen sa AB,vp,v q nedegenerisan (zapremina mu nije nula): [ AB,vp,v q ] Slično: prave su u istoj ravni (paralelne su, ili se seku) ako i samo ako [ AB,vp,v q ] = Rastojanje izmedju mimoilaznih pravih p i q (sa gornje slike) je jednako visini paralelepipeda. Primetimo da je površina osnove paralelepipeda paralelogram odredjen sa v p i v q pa imamo: d(p,q) = [ AB,vp,v q ] v p v q 2.13 Medjusobni položaj prave i ravni, ugao izmedju prave i ravni Neka je prava p zadata tačkom A i vektorom pravca v p, i neka je ravan α zadata tačkom B i vektorom normale n α. p pripada ravni α akko A α (ekvivalentno AB nα ) i v p n α : AB n α = i v p n α = p je paralelna ravni (ali joj ne pripada) α akko A / α i v p n α : AB n α i v p n α = Iz prethodna dva sledi da p seče ravan α akko v p n α

Ugao izmedju prave p i ravni α je (po definiciji) ugao θ izmedju p i njene ortogonalne projekcije na ravan α (označimo projekciju sa p ). p n φ θ Ako je φ ugao izmedju vektora v p i n tada je: v p p sin θ = v p n n 2 α cos φ = v p n n 2 pa, zbog φ + θ = 9, imamo: 3 MATRICE Definicija 3.1. Matrica tipa m n, ili formata m n, (size, shape) nad poljem K je pravougaona tablica koja se sastoji od m vrsta (horizontalnih redova, rows) i n kolona (vertikalnih redova, columns) čija su polja popunjena elementima skupa K: a 11 a 12 a 13... a 1n a 21 a 22 a 23... a 2n a 31 a 32 a 33... a 3n....... a m1 a m2 a m3... a mn. Ovu matricu skraćeno obeležavamo sa (a ij ) m,n ili samo sa (a ij ). Koristi se i oznaka [a ij ] ; Matrice (a ij ) m,n i (b ij ) m,n su jednake akko imaju isti tip (m = m i n = n ) i svi parovi odgovarajućih elemenata su jednaki (a ij = b ij za 1 i m, 1 j n)) ; Vektor i-te vrste je v i = (a i1,a i2,...,a in ) ; (a ij ) m,n = Vektor j-te kolone je u j = a 1j a 2j... a mj v 1 v 2... v m ; (a ij) m,n = (u 1 u 2... u n ) 3.1 Sabiranje i množenje matrica skalarom, Skup svih m n matrica nad poljem K se označava sa M m,n (K). Sabiramo samo matrice istog formata (a ij ) m,n + (b ij ) m,n = (a ij + b ij ) m,n ;

Matrice množimo skalarom k po pravilu: k (a ij ) m,n = (k a ij ) m,n ; Nula-matrica tipa m n ima sve elemente, označavamo je sa m,n ( ili samo sa ). Teorema 3.1. Za sve matrice A,B,C M m,n (K) i skalare k 1,k 2 K važi: 1. (A + B) + C = A + (B + C) 2. A + = A 3. A + ( A) = 4. A + B = B + A 5. k 1 (A + B) = k 1 A + k 1 B 6. (k 1 + k 2 )A = k 1 A + k 2 A 7. (k 1 k 2 )A = k 1 (k 2 A) 8. 1A = A Dokaz.... Ove osobine značhe da je M m,n (K) vektorski prostor nad poljem K (videti Definiciju 4.1). Aksiome vektorskog prostora dozvoljavaju uobičajeno linearno kombinovanje; na primer: 2(3A 4B) + 3(B + 2A) = 6A 8B + 3B + 6A = 12A 5B 3.2 Množenje matrica Neka je A = (a 1 a 2... a n ) B = b 1 b 2... b n. Definišemo: A B = a 1 b 1 + a 2 b 2 +... + a n b n Ovo je skalarni proizvod vektora vrste (ili 1 n matrice) i vektora kolone (ili n 1 matrice). U rezultatu dobijamo skalar (ili 1 1 matricu). Definicija 3.2. Neka je A matrica tipa m k i B matrica tipa k n (vektori vrsta matrice A i vektori kolona matrice B imaju istu dužinu k). A 1 A = A 2... B = ( B 1 B 2... B n) A m Definišemo proizvod A B (koji je matrica tipa m n) na sledeći način: A 1 B 1 A 1 B 2... A 1 B n AB = A 2 B 1 A 2 B 2... A 2 B n...... A m B 1 A m B 2... A m B n

ili: AB = (c ij ) m,n gde je c ij = k s=1 a isb sj. c ij = a i1 b 1j + a i2 b 3j +... + a ik b kj Primer 3.1. [ 2 1 6 3 5 4 ] 6 3 1 7 1 = [ 2 6 + 1 1 + 6 2 3 + 1 7 + 6 1 3 6 + 5 1 + 4 3 3 + 5 7 + 4 1 ] = [ 13 19 23 48 ]. Ukoliko matricu B predstavimo preko vektora vrsta b a 11 a 12... a 1 1k a 21 a 22... a 2k b 2........ = a m1 a m2... a mk b k a 11 b 1 + a 12 b 2 +... + a 1k b k a 21 b 1 + a 22 b 2 +... + a 2k b k... a m1 b 1 + a m2 b 2 +... + a mk b k Primer 3.2. Konkretno: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 b 1 b 2 b 3 = 3 2 2 1 1 b 1 + 2b 2 + 3b 3 4b 1 + 5b 2 + 6b 3 7b 1 + 8b 2 + 9b 3 = 2 1 8 2 14 5 1(3,2) + 2( 2,) + 3(1, 1) = (2, 1) 4(3,2) + 5( 2,) + 6(1, 1) = (8,2) 7(3,2) + 8( 2,) + 9(1, 1) = (14,5) Teorema 3.2. Sledeća tvrdjenja važe pretpostavljajući da su formati matrica A,B,C takvi da su izrazi definisani: 1. (AB)C = A(B C) (asocijativnost); 2. A(B + C) = AB + AC (leva distributivnost); 3. (B + C)A = B A + C A (desna distributivnost); 4. k (AB) = (k A)B = A(k B) gde je k skalar. Množenje matrica nije komutativno: ( 2 3 1 2 ( 1 4 3 ) ( 1 4 3 ) ( 2 3 1 2 ili: ) = ) = ( 14 9 7 6 ( 2 3 5 18 ) )

2 3 1 2 4 ( 1 4 3 ) ( 1 4 3 2 3 1 2 4 ) = 14 9 7 6 4 nije definisan!!! Definicija 3.3. Jedinična matrica reda n, u oznaci I n, je n n matrica: Ako je A matrica tipa m n onda je: I m A = AI n = A 1... 1........... 1 Ako je red jedinične matrice jasan iz konteksta pishemo samo I. 3.3 Matrični zapis sistema linearnih jednačina, veza izmedju skupa rešenja sistema i skupa rešenja pridruženog homogenog sistema Sistem linearnih jednačina možemo zapisati u matričnoj formi AX = B: a 11 x 1 + a 12 x 2 +... a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... a 2n x n = b 2........ a m1 x 1 + a m2 x 2 +... a mn x n = b m a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n...... a m1 a m2... a mn Matrica A je matrica sistema (coefficient matrx). x 1 x 2.. x n = b 1 b 2... b m Primer 3.3. Sistem možemo zapisati u matričnoj formi AX = B: Primer 3.4. Sistem možemo zapisati u matričnoj formi AX = : 2x + 3y + 5z = 1 x + 2y + 4z = 5 ( 2 3 5 1 2 4 ) x y z = ( 1 5 2x + 3y + 5z = x + 2y + 4z = ( 2 3 5 1 2 4 ) x y z = ( ) )

Teorema 3.3. Pretpostavimo da su u 1,u 2,...,u l rešenja homogenog sistema AX = (u i je vektor-kolona). Tada je svaka linearna kombinacija k 1 u 1 + k 2 u 2 +... + k l u l takodje rešenje sistema. Dokaz: Dato nam je: Au 1 =, Au 2 =,..., Au n =. Otuda: A(k 1 u 1 + k 2 u 2 +... + k n u n ) = k 1 Au 1 + k 2 Au 2 +... + k n Au n = k 1 + k 2 +... + k n = Teorema 3.4. Pretpostavimo da je u jedno rešenje sistema AX = B i neka je W skup svih rešenja (vektor kolona) odgovarajućeg homogenog sistema A X =. Tada je skup svih rešenja nehomogenog sistema. u + W = {u + w w W } Dokaz: Kako je U = u + W dobijeno dodavanjem u svakom elementu W... Primećujemo da teorema ima geometrijsku interpretaciju u R 3. Posebno, predpostavimo da je W linija koja prolazi kroz početak O. Onda je, kao što se vidi sa slike, U = u + W linija koja je paralelna W dobijena dodavanjem v svakom elementu W. Slično, za bilo koje W U narednoj teoremi bitno je da je polje K beskonačno: Teorema 3.5. Svaki sistem linearnih jednačina A X = B ili nema rešenja, ili ima tačno jedno rešenje, ili ima beskonačno mnogo rešenja. Dokaz: Dovoljno je pokazati da ako AX = B ima više od jednog rešenja, da ih onda ima beskonačno mnogo. Predpostavimo da u i v različita rešenja AX = B; onda je i Au = B i Av = b. Onda, za bilo koje k K, A[u + k(u v)] = Au + k(au Av) = B + k(b B) = B Drugim rečima, za bilo koje k K, u + k(u v) je rešenje za AX = B. Kako su za različite k- ove ova rešenja medjusobno različita (videti Problem 3.21), i kako imamo beskonačno mnogo k-ova, zaključujemo da AX = B ima beskonačan broj rešenja. 3.4 Blok matrice Blok matrice dobijamo deljenjem matrice horizontalnim i vertikalnim linijama na matrice manjeg formata (podmatrice). Na primer, ako je A = (a ij ) 6,6 možemo je deliti na blok matrice na više načina: Matrice A i,j su tipa 2 2.. a 11 a 12 a13 a 14 a15 a 16. a 21 a... 22 a23 a.. 24 a25 a 26..................... a A = 31 a... 32 a33 a.. 34 a35 a 36 = a 41 a. 42 a43 a. 44 a45 a 46..................... a 51 a... 52 a53 a.. 54 a55 a 56 a 61 a 62... a63 a 64... a65 a 66 A 11 A 12 A 13 A 21 A 22 A 23 A 31 A 32 A 33

A = a 11 a 12.. a13 a 14.. a15 a 16 a 21 a 22... a23 a 24... a25 a 26 a 31 a 32. a33 a 34. a35 a 36.................... a 41 a 42... a43 a 44... a45 a 46 a 51 a 52... a53 a 54... a55 a 56 = ( A 11 A 12 A 13 A 21 A 22 A 23 ) Matrice A i,j su tipa 3 2 a 61 a 62... a63 a 64... a65 a 66.. a 11 a 12 a13 a 14 a 15 a16. a 21 a... 22 a23 a 24 a.. 25 a26.. a 31 a 32 a33 a 34 a 35 a36 A =. a 41 a... 42 a43 a 44 a.. 45 a46..................... a 51 a... 52 a53 a 54 a.. 55 a56 a 61 a 62.. a63 a 64 a 65.. a66 = ( C D E F G H ) C je tipa 4 2, D je 4 3, E je 4 1, F je 2 2, G je 2 3 i H je tipa 2 1. Dijagonalna blok matrica je blok matrica oblika A 11... A 22............ A nn gde su svi blokovi A ii kvadratne matrice (moguće različitih formata). Primetimo da blokovi ne moraju biti kvadratni i mogu biti različitih tipova. Na primer: ( ) 2 3. A11 = 1 5. A 22............. 4 Trougaona blok matrica je blok matrica oblika gde su svi blokovi A ii kvadratne matrice. Ako su blok-matrice A = A 11 A 12... A 1n A 21 A 22... A 2n...... A m1 A m2... A mn A 11 A 12... A 1n A 22... A 2n......... A nn i B = B 11 B 12... B 1n B 21 B 22... B 2n...... B m1 B m2... B mn

istog tipa (t.j. A ij i B ij su istog tipa za sve i,j) tada je k A 11 A 12... A 1n A 21 A 22... A 2n...... A m1 A m2... A mn Ako su blok-matrice A = A + B = = takve da je svaki (matrični) zbir A 11 + B 11 A 12 + B 12... A 1n + B 1n A 21 + B 21 A 22 + B 22... A 2n + B 2n...... A m1 + B m1 A m2 + B m2... A mn + B mn k A 11 k A 12... k A 1n k A 21 k A 22... k A 2n...... k A m1 k A m2... k A mn A 11 A 12... A 1p A 21 A 22... A 2p...... A q1 A q2... A qp B = C ij = A i1 B 1j + A i2 B 2j +... + A in B nj B 11 B 12... B 1r B 21 B 22... B 2r...... B p1 B p2... B pr definisan, tada je AB = C 11 C 12... C 1r C 21 C 22... C 2r...... C q1 C q2... C qr Primer 3.5. Neka je A = 2 3 1 4 2 3 1 4 ( 2 3 1 4 2 3 2 3 1 4 1 4 2 3 1 4 ) ( 7 18. Tada je AA = 6 19 ( = A A ) ( A A A ( ) A + A A + AA = = AA + AA + A ) ) 7 18 6 19 7 18 7 18 6 19 6 19 3.5 Transponovanje matrice Transponovanu matricu matrice A, u oznaci A T, dobijamo tako što vrste matrice A pišemo kao kolone matrice A T : T a a 11 a 12 a 13... a 11 a 21... a m1 1n a 21 a 22 a 23... a 2n a 12 a 22... a m2....... = a 13 a 23... a m3...... a m1 a m2 a m3... a mn a 1n a 2n... a mn Ako je A = (a ij ) m,n matrica tipa m n tada je A T matrica tipa n m i A T = (a ji ) n,m. Ako je A vektor vrsta (1 n matrica) tada je A T vektor kolona (n 1 matrica); važi i obrnuto.

Teorema 3.6. Pretpostavljajući da su matrice takvih formata da su izrazi definisani važi: 1. (A + B) T = A T + B T 2. (A T ) T = A 3. (k A) T = k A T 4. (AB) T = B T A T. 3.6 Kvadratne matrice Kvadratne matrice su one koje imaju isti broj vrsta i kolona (t.j. tip im je oblika n n); za matrice tipa n n kažemo i da su matrice reda n. M n (K) (umesto M n,n (K)) označava skup svih kvadratnih matrica reda n nad poljem K. Skup M n (K) je zatvoren za sabiranje, množenje i množenje skalarima: 1. Ako A,B M n (K) tada i A + B, AB M n (K); 2. Ako k K i A M n (K) tada k A M n (K). Važe osobine iz Teoreme 3.1 za M n (K) (čini vektorski prostor nad poljem K). Prema Teoremi 3.2 za sve A,B,C M n (K) i k K važi: 1. (AB)C = A(B C) 2. A(B + C) = AB + AC 3. (B + C)A = B A + C A 4. k (AB) = (k A)B = A(k B) gde je k skalar. Vektorski prostor u kome je definisana i operacija množenja vektora koja zadovoljava ove uslove naziva se algebra. Za skup A M n (R) kažemo da je algebra matrica ukoliko je zatvoren za sabiranje, množenje i množenje skalarima; primetimo da tada on ima sve osobine pobrojane u teoremama 3.1 i 3.2 Primer 3.6. 1. AB + AC + A 2 = A(A + B + C) (izvlačenje levog A) 2. B A + C A + A 2 = (B + C + A)A (izvlačenje desnog A) 3. (A + B)(C + D) = AC + AD + B C + B D 4. (A + B) 2 = (A + B)(A + B) = A 2 + AB + B A + B 2 5. AB + C A A(B + C) (množenje nije komutativno). Matrice A, B reda n komutiraju ako važi A B = B A. Induktivno definišemo stepen kvadratne matrice: A = I, A 1 = A, A 2 = AA,... A n+1 = A n A Opštije, za svaki polinom p(t) = a n t n + a n 1 t n 1... + a 1 t + a definišemo matrični polinom: p(a) = a n A n + a n 1 A n 1... + a 1 A + a I

Teorema 3.7. Ako su f(t) i g(t) polinomi tada je: 1. (f + g)(a) = f(a) + g(a) 2. (f g)(a) = f(a)g(a) 3. f(a)g(a) = g(a)f(a). Dokaz. Videti Problem 4.11 Glavna dijagonala kvadratne matrice (main diagonal) ide iz gornjeg levog u donji desni ugao; ona sadrži elemente a 11 a 22... a nn tr(a), ili trag kvadratne matrice (trace) A = (a ij ) n,n je skalar definisan kao suma elemenata glavne dijagonale: tr(a) = a 11 + a 22 +... + a nn Teorema 3.8. Ako je k skalar i A,B M n (R) tada važi: 1. tr(a + B) = tr(a) + tr(b) 2. tr(k A) = k tr(a) 3. tr(ab) = tr(b A) Dokaz. Videti Problem 4.1 3.7 Elementarne transformacije vrsta matrice, elementarne matrice Elementarne transformacije vrsta matrice su: (E 1 ) Zamena mesta dve vrste ; v i v j (E 2 ) Množenje jedne vrste skalarom k ; v i k v i (E 3 ) Dodavanje i-toj vrsti k puta j-ta vrsta (i j!); v i v i + k v j Svaka od ovih operacija ima inverznu operaciju istog tipa: (1) v i v j je inverzna sama sebi ; (2) v i 1 k v i je inverzna za v i k v i ; (3) v i v i k v j je inverzna za v i v i + k v j. Matrice istog formata A i B su ekvivalentne (po vrstama), u zapisu A v B, ako B može biti dobijena iz A primenom niza elementarnih transformacija vrsta. v je relacija ekvivalencije (na skupu matrica fiksiranog tipa): (1) A v A (2) A v B povlači B v A (3) A v B i B v C povlači A v C Teorema 3.9. Svaka matrica je ekvivalentna kanonskoj matrici istog formata. Dokaz. Gausov algoritam... Kanonske matrice su stepenaste matrice sa jedinicama na prvom ne-nula mestu u svakoj vrsti, a u koloni svake takve jedinice moraju se nalaziti još samo nule. Kasnije ćemo dokazati jače tvrdjenje od prethodnog : Teorema 3.1. Svaka matrica je ekvivalentna jedinstvenoj kanonskoj matrici istog formata.

Neka e označava elementarnu transformaciju matrice (neku od (E 1 ),(E 2 ),(E 3 )) i neka je e(i) matrica dobijena primenom operacije e na jediničnu matricu I. Takve matrice su elementarne matrice koje odgovaraju el.transformacijama vrsta. Svaka elementarna transformacija vrsta matrice je množenje odgovarajućom elementarnom matricom sleva. Primer 3.7. Prethodno tvrdjenje na primeru 3 3 matrica: 1 (1) e je zameni mesta druge i treće vrste : e(i) = 1 : 1 1 a 1 a 2 a 3 a 1 a 2 a 3 1 b 1 b 2 b 3 = c 1 c 2 c 3 1 c 1 c 2 c 3 b 1 b 2 b 3 (2) e je pomnoži drugu vrstu sa k : e(i) = 1 k 1 1 k 1 a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 (3) e je dodati drugoj vrsti k puta treća : e(i) = 1 1 k 1 a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 : = 1 1 k 1 = a 1 a 2 a 3 kb 1 kb 2 kb 3 c 1 c 2 c 3 : a 1 a 2 a 3 b 1 + kc 1 b 2 + kc 2 b 3 + kc 3 c 1 c 2 c 3 Teorema 3.11. Neka je e elementarna transformacija vrsta i neka je e(i m ) njena odgovarajuća elementarna matrica. 1. Primenom operacije e na matricu A (koja ima m vrsta) dobijamo matricu e(i)a. 2. A v B ako i samo ako postoji matrica P koja je proizvod elementarnih matrica takva da je A = P B Dokaz. 3.8 Inverzna matrica Definicija 3.4. Kvadratna matrica A je inverzibilna (invertible or nonsingular) ako postoji matrica B istog tipa takva da je AB = B A = I Lema 3.1. Ako je A inverzibilna tada postoji tačno jedna matrica B koja zadovoljava uslov AB = B A = I Dokaz. Pretpostavimo da je A inverzibilna i da matrice B i C zadovoljavaju: AB = B A = I = AC = C A. Treba dokazati da je B = C. Pomnožimo AB = I sleva sa C: C (AB) = C I Zbog asocijativnosti i osobine jedinične matrice imamo: (C A)B = C Kako je C A = I dobijamo I B = C odakle sledi B = C. Ako je kvadratna matrica A inverzibilna tada jedinstvenu matricu koja zadovoljava gornji uslov zovemo inverzna matrica matrice A (ili inverz od A) i obeležavamo sa A 1. Važi: AA 1 = A 1 A = I