MATEMATIKA Zdci s držvne mture viš rzin Brojevi i lgebr Funkcije Jedndžbe i nejedndžbe Geometrij Trigonometrij LINEARNA FUNKCIJA 1. Uz koji uvjet jedndžb A+By+C=0 predstvlj prvc?. Koje je znčenje broj k u jedndžbi y=k+l, koje znčenje im l? 3. Jesu li prvci -3y=7 i -6y-16=0 prlelni? Dokži! 4. Jesu li prvci =y+1 i =-y+1 okomiti? Dokži! 5. Kko se definir kut izmeďu dvju prvc? 6. Točke A(-5, 5), B(4, -5) i C(1, ) leže n istom prvcu. Odredi: ) d(a, B), b) koeficijent smjer prvc odreďenog točkm A i B, c) kut što g prvc AB ztvr s pozitivnim smjerom osi, d) vrijednost relnog broj. 7. Odredi jedndžbu simetrle dužine AB ko je A(-3, ), B(5, - 8). 8. Koliki je kut izmeďu prvc: 4 + y=3 i y 4 7? 9. Udljenost točke n osi y od prvc 4+3y=1 jednk je 4. Koj je to točk? 3 10. Prvc y prikži u segmentnom obliku, ncrtj grf i izrčunj površinu 3 4 koji prvc ztvr s koordintnim osim. 11. Ncrtj prvc odreďen jedndžbom: y 1. 5 1. Izrčunj: ) udljenost točke (5, 6) od prvc -4y+8=0. b) kut što g prvc -3y-7=0 ztvr s pozitivnom zrkom osi. 13. Zdn je skup svih točk koje su jednko udljene od točk A(-4, 3) i B(, 1). Npiši jedndžbu tog skup i ncrtj grf. 14. Odredite koordinte točk u kojim grf funkcije f()=+b siječe koordintne osi! (, b R). 1
15. Zdn je skup svih točk koje su jednko udljene od točke T(4, 0) i prvc =-4. Npiši jedndžbu tog skup i ncrtj grf. 16. Zdne su točke A(9, ) i B(5, 6) i C(-3, -). Odredi udljenost točke C od simetrle dužine AB. 17. Zdn je skup svih točk koje su od točke T(, 4) udljene z 3. Npiši jedndžbu tog skup i ncrtj grf. 18. Odredite udljenost točke T(, 3) od prvc y 1. 4 19. Zdne su točke A(6, 5) i B(, -3). Odredi jedndžbu simetrle dužine AB. 0. Odredi skup svih vrijednosti (sliku) funkcije f ( ) 1 3. Ncrtj grf! 1. Npiši jedndžbu prvc koji prolzi točkom T(6, 3) i sjecištem prvc 3+4y-4=0 i y 1. 3. Točke A(3, 4), B(, -1) i C(-3, y) leže n istom prvcu. Odredi y! 3. Zdn je prvc -5y-17=0. Odredi jedndžbu prvc koji je okomit n njeg i siječe g u točki s ordintom y=3. y 4. Odredi koeficijent smjer (ngib) prvc 1. 3 1 5. Zdn je prvc y 4. Odredi udljenost ishodišt od tog prvc! 1 6. Odredi prvc koji prolzi točkom (4, 0) i usporedn je s prvcem y 4. 7. Prvc je zdn jedndžbom y=+3. Odredi mjeru kut koji ztvr s pozitivnom zrkom osi i nctrj grf! 8. Npišite jedndžbu prvc koji prolzi točkom (6, 3) i sjecištem prvc 3+4y-4=0 i y 1. 3 9. Odredite jedndžbu prvc koji prolzi točkm A(, 5) i B(6, -). 30. Odredi kut izmeďu prvc y=3 + i 3y + 4= 0. EKSPONENCIJALNA I LOGARITAMSKA FUNKCIJA (jedndžbe i nejedndžbe) 1 1. Odredi domenu funkcije f ( ) log 4. 1 1. Ncrtj grf funkcije f ( ). 3. Koji je reln broj rješenje jedndžbe log b log, gdje su >0, b>0 i 0?
4. Kiselost otopine (ph) odreďuje se po formuli ph=-log C, gdje je C koncentrcij vodikovih ion u otopini (u molim po litri). Kiselost otopine ph zokružuje se n jednu decimlu. 5 ) Odredite ph otopine u kojoj je koncentrcij vodikovih tom C 4.7 10 mol po litri. b) Odredite koncentrciju vodikovih ion u čistoj vodi kojoj je ph jednk 7.1. 1 5. Riješite jedndžbu 6. 8 1 6. Čemu je jednko log 1, gdje su b>0, >0 i b 1, 1? b 7. Zdn je funkcij f ( ) log( 1) log(3 ). ) odredite domenu funkcije. b) rješite jedndžbu f()=0. 8. Koj jednkost povezuje, y, z ko je log y z, gdje su, y>0 i 1? 9. Primjenom pesticid kontrolir se populcij komrc oko jezer. Procjenjuje se d je 0.06667 t broj komrc opisn formulom B 500000,gdje je t vrijeme korištenj pesticid izrženo u godinm. ) Koliko godin treb koristiti pesticid d bi se broj komrc prepolovio? b) Pesticidi su n tom jezeru primjenjivni 0 godin, godinu dn nkon tog više nisu. Te godine se populcij komrc povećl z 30%. Koliko je komrc bilo n krju te godine? 10. Koliko relnih rješenj im jedndžb log ( ) log ( 3) log ( 3)? 11. Odredite koordinte točk u kojim grf funkcije f ( ) 3 6 sječe koordintne osi! log 3 log 6 1. Koliko je zokruženo n četiri decimle? log 9 13. Riješite sljedeće zdtke 3 1 ) 4 8 b) 6 163 0. 14. Zdn je funkcij f ( ) 3. ) odredite skup svih vrijednosti (sliku) funkcije. b) koliko rješenj im jedndžb f()=-3? 15. Zdn je funkcij f ( ) log (5 1). ) odredite područje definiciej funkcije f! b) odredite nul točke funkcije f! c) izrčunjte f(5). Rezultt zokružite n tri decimle! 3
16. Odredi područje definicije i nul točke funkcije f ( ) 8. Izrčunjte f(-5) i rezultt zokružite n tri decimle! 17. Rješite nejedndžbu log (-)>1. 18. Ako je log i log 3 y, koliko je log 4? 19. Rješite sustv jedndžbi log 5 (8) 1 log 5 4 y 5 0. Prem zkonu zborvljj, ko je neko grdivo nučeno s uspješnosti Uo, td t mjeseci nkon tog uspješnost U rješvnj tog grdiv zdovoljv jedndžbu log U log U 0 c log( t 1), gdje je c konstnt koj ovisi o vrsti grdiv.uspješnost U mjeri se brojem postignutih bodov n ispitu. Brijo je n ispitu iz mtemtike postigo 8 bod (čudo neviďeno). Nkon godinu dn ponovo će pisti ispit iz istog grdiv. Koliko bi bodov prem ovom zkonu postigo ko je c=0,3? log 3( 3), 1. Riješite jedndžbe: 1 8 3. 4 3. Odredite domenu funkcije f ( ) log log( ). 3. Riješite nejedndžbu log ( 1) log ( 3) 3. 1 1 4. Koliki je zbroj rješenj jedndžbe 5 6. 5 5. Odredi domenu funkcije f() = log (+4). 6. Pojednostvi izrz log 4 log. 7. Riješite jedndžbu 59 1 15. 8. Odredite domenu funkcij g( ) log ( 4), log 5 ( 4) h( ). 7 5 9. Ako je log s i log y t, koliko je log? y 30. Koliki je umnožk rješenj jedndžbe 7 4 1. 1 31. Riješite jedndžbu 4 4 35. 4
KOMPLEKSNI BROJEVI 1. Zpiši broj z 33 3 10 3i i 4i u trigonometrijskome i stnddnom obliku!. Zpiši broj z=5+5i u trigonometrijskome obliku. 3. Reln dio kompleksnog broj 6 bi z jednk je 4. Koliki je b? 1 i 4. Riješite sljedeće zdtke s kompleksnim brojevim. i ) Odredite relni dio kompleksnog broj z, gdje je R. i 5 5 b) Zdni su brojevi z 1 6cos i sin i z cos i sin. Odredi broj 6 6 3 3 z1 z i zpši g u trigonometrijskome obliku. z 5. Riješite sljedeće zdtke s kompleksnim brojevim. ) Zdn je kompleksn broj z i 7 ( i), gdje je R. Zpiši g u stndrdnom obliku (z=+iy). b) Zdni su brojevi z 1 cos isin i z 3 cos i sin. Odredi 3 3 3 6 6 broj z z 1 z i zpiši g u trigonometrijskome obliku. 6. Riješite sljedeće zdtke s kompleksnim brojevim. ) Zdn je kompleksn broj z ( i), gdje je R. Zpiši g u stndrdnom i obliku (z=+iy). b) Odredi psolutnu vrijednost broj z cos i sin. 7 7 7. Rješite sljedeće zdtke s kompleksnim brojevim. 10 ) Izrčunjte ( 1 i) i pojednostvnite. i b) Z koji relni broj imginrni dio kompleksnog broj iznosi 1. 1 i 8. Koliko im kompleksnih brojev z koje vrijedi z i i z 4i 1. 9. Ako je z=1-i, koliko iznosi imginrni dio broj 6 z. 4 10. ) Nek je z=3+i. Koliko je ( iz z)? b) Kompleksn broj z=i prikži u trigonometrijskome obliku. 6 c) Koliki je modul kompleksnog broj ( 1 i)? 3i 11. ) Čemu je jednk kompleksn broj z. 3 i 5
b) Kompleksn broj ( i 3 1 ) zpiši u obliku +bi. c) Z kompleksn broj z=-3+5i odredi z z 6 4i d) Čemu je jednk kompleksn broj z. 1 i 1. ) Broj 009 z 1 i 3 zpiši u obliku +ib. b) Broj 3 c) Izrčunjte z 1 i zpiši u obliku +ib. ( 1 i 007 ). 13. U kompleksnoj rvnini zdn je broj z. Odredi bro 1/z Im z z 3 Re z 14. Ako je z=1+4i, koliko iznosi reln dio broj z z z? TRIGONOMETRIJA 1. Prvc n kojem su točke A i B ztvr s rvninom kut 3 0 1'. Duljin dužine AB je 1 cm. Kolikje duljin ortogonlne projekcije dužine ABn tun rvninu? 0 0. Zdn je trokut ABC. Kut u vrhu A je 46, kut u vrhu C je 60. Simetrl kut u vrhu C sječe trokutu opisnu kružnicu u točkm C i D. Koliki je kut u vrhu B? 0 0 3. U trokutu MNK su zdni kutovi u vrhovim N ( 6 ) i M ( 4 ) i strnic MK =50 cm. Kolik je duljin strnice KN? 4. Kolik je mjer njmnjeg kut u trokutu strnic 7 cm, 8 cm i 9 cm? 5. Kolik je površin trokut kojemu je jedn strnic duljine 5 cm, mjere kutov uz tu strnicu 4 0 0 36' i 55? 6
6. U trokutu ABC duljin strnice AB je 1 cm, mjer kut u vrhu A je 0 35. Strnic BC je dvostruko dulj od strnice AC. Kolik je mjer kut u vrhu B i kolik je duljin strnice AC? 7. Odredite temeljni period funkcije f ( ) sin! 4 8. Kolik je mksimln vrijednost funkcije g ( ) 3sin 9? 9. Koliki je zbroj rješenj jedndžbe tg tg 3 3 n intervlu, 0? 10. Koje je rješenje jedndžbe sin( )sin( ) 3cos( 3 )cos( 4 ) u intervlu,? 11. Uz koji uvjet z relni broj m 0 jedndžb m sin 1 0 im rješenje? 1. Odredi sv rješenj jedndžbe cos sin n intervlu 0,. 13. Rješi jedndžbu cos sin 0; 0,! 14. Rješi jedndžbu cos cos 0! 3 15. Rješi jedndžbu cos ;,! 16. Koliko rješenj im jedndžb sin(3 ) 1 0 n intervlu, 0? tg( 15 ) 5tg 17. Čemu je nkon pojednostvljenj jednk izrz? ctg ctg( 18 ) 18. Odredi rješenj jedndžbe f()=0, ko je zdn funkcij f ( ) sin(3)! 19. Odredi iz jedndžbe sin =0.8 uz uvjet,! 0. Z koju vrijednost iz intervl 0, funkcij f ( ) tg nije definirn? 3 sin cos 1. Ako je tg, izrčunjte. sin cos 3. Nek je sin t 0. 6 i t,. Koliko je sin t? 3. Odredite mplitudu i period funkcije f ( ) sin te sve nultočke iz intervl 0,6. 4. Odredite rješenj jedndžbe cos cos 0 0,. iz intervl 7
5. Kolik je mjer njvećeg kut trokut s strnicm 3, 8 i 9 cm? 6. U trokutu ABC strnic je dvostruko već od strnice b. Mjer kut nsuprot strnice 0 je 74. Kolik je mjer kut nsuprot strnice b? 7. Jednog ljetnog dn tempertur u pustinji mijenjl se po formuli t 15 T ( t) 16 cos 3, gdje je t vrijeme od 0 do 4 st, T tempertur u 0 C. 1 ) Kolik je bil tempertur u 7 sti ujutro? b) U koliko sti poslije podne je tempertur bil 41 0 C? DERIVACIJE 1. Odredi derivciju funkcije f()=+sin(3).. Odredi jedndžbu tngente n grf funkcije f ( ) 3 u točki s psisom 4. 3 3. Odredi derivciju funkcije f ( ) sin. 4. Derivirjte funkcije: 4 f ( ) g( ) sin(3 11) 5. Odredi koeficijent smjer (ngib) tngente n grf funkcije h ( ) 3 1 u točki grf s pscisom. 6. Dervirjte funkciju f()=sin(5). 7. Koliki je koeficijent smjer (ngib) tngente n grf funkcije g( ) u točki T(1, 3)? 3 8. Z koji reln broj funkcij h ( ) 9 15 postiže loklni minimum? 9. Dervirjte funkciju f ( ) cos. 10. Kolik je derivcij funkcije g() u točki s pscisom 6, ko je 3 g ( ) ( 3). 3 9 5 11. Z koji reln broj funkcij h ( ) 5 postiže loklni minimum? 3 6 3 1. Z koji reln broj funkcij h ( ) 3 5 postiže loklni mksimum? 13. Odredi prvu derivciju funkcije f ( ). 3 5 14. Odredi prvu derivciju funkcije f ( ) sin. 3 15. Z koji reln broj funkcij h ( ) 6 postiže loklni minimum? 3 3 16. Zdn je funkcij f ( ) 3 ) Odredi nul točke funkcije! b) Derivirj funkciju! c) Odredi loklne ekstreme funkcije! d) Odredi jedndžbu tngente u točki T(-1, y)! e) Ncrtj grf! 8
1 17. Zdn je funkcij f ( ) ( 3)( 4). 8 ) Odredi koordinte sjecišt grf funkcije s osi psic! (nul točke) b) Derivirj funkciju! c) Odredi loklne ekstreme funkcije! d) Odredi jedndžbu tngente u točki T(-4, y)! e) Ncrtj grf! 18. Zdn je funkcij f ( ) ( 5 4)( 1). ) Odredi sjecište grf s kordintnim osim! b) Derivirj funkciju! c) Odredi loklne ekstreme funkcije! d) Ncrtj grf! 1 19. Zdn je funkcij f ( ) ( 16)( 1). 4 ) Odredi nul točke funkcije! b) Derivirj funkciju! c) Odredi loklne ekstreme funkcije! d) Odredi intervle rst funkcije! e) Ncrtj grf! 1 3 0. Zdn je funkcij f ( ) ( 15). 5 ) Odredi nul točke funkcije! b) Derivirj funkciju! c) Odredi loklne ekstreme funkcije! d) Odredi jedndžbu tngente u točki T(-1, y)! e) Ncrtj grf! VEKTORI 1. Zdni su vektori i 3 j i b i 7 j. Kolik je mjer kut izmeďu vektor c i d gdje su vektori zdni: c b i d b?. Odredite površinu trokut ABC ko je točk O ishodište koordintnog sustv, vektor OA i j, vektor AB 5i 3 j, vektor AC je usporedn s vektorom i, sklrni umnožk AB BC 0. Npomen: Po potrebi skicirjte problem u koordintnom sustvu. 3. Zdne su točke M(-, -3), N(1, 1) i P (-1, ). Vektor MN NP prikžite ko linernu kombinciju jediničnih vektor i i j. 4. Početn točk vektor AB 8i 6 j je A(-, 3). Odredite koordinte točke B. 5. Odredite duljinu vektor b ko su i 4 j i b 5i 10 j. 9
6. Točke A(3, -3), B(, 1) i C( -3, ) odreďuju tokut ABC. Izrčunj mjeru kut u vrhu C i vektor AB prikži ko linernu kombinciju jediničnih vektor i i j. 7. Točke A(, 1) i B(6, 10) odreďuju vektor. AB prikži ko linernu kombinciju jediničnih vektor i i j. 8. Točke A(, 1) i B(3, 5) odreďuju vektor. AB jediničnih vektor i i j. prikži ko linernu kombinciju 9. Izrčunj ( i 3 j) ( i 4 j). 10. Odredi tko d vektori i 3 j i b i 4 j budu okomiti. 11. Odredi kut izmeďu vektor 3i 4 j i b 3i 4 j. ANALITIČKA GEOMETRIJA 1. Zdn je kružnic k s središtem u točki S(3, -1.5). Prvci t 1... y i t... y 7 su tngente kružnice k. Odredite površinu četverokut omeďenog zdnim prvcim, osi y i promjerom kružnice k okomitim n prvc t 1.. Točke T(7, 18) leži n prboli y. Koliko je točk T udljen od rvnlice (direktrise) te prbole? 3. Odredite jedndžbu kružnice koj dir os y i kojoj je središte u točki (-3, )! 4. Luk n ulzu u tunel im oblik poluelipse. Pri zemlji je širok 1 m, mksimln visin mu je 4.5 m.iznd točke n zemlji, koj je udljen m od desnog rub tunel, n luku je postvljen sigurnosn kmer. N kojoj se visini nlzi kmer? 5. Zdn je jedndžb kružnice ( 1) ( y 3) 5. NĎite jedndžbu tngent koje su usporedne s prvcem y 3. 67. 6. Hiperbol je zdn jedndžbom 9 4y 36 0. Izrčunjte koordinte žrišt i jedndžbe simptot. 7. Cest prolzi ispod ndvožnjk koji je u obliku poluelipse. Širin ndvožnjk u rzini ceste je 7 m. Koliko njviše može biti visok kmion širine.6 m d bi prošo ispod ndvožnjk? Njviš točk ndvožnjk je 4. m. Smtr se d kmion može proći ispod ndvožnjk ko je vertikln udljenost izmeďu krov kmion i ndvožnjk njmnje pol metr. 8. Poprečni presjek rkete je u obliku elipse kojoj je velik os 4.8 m, ml 4. m. U nju treb stviti meteorološki stelit koji je u presjeku prvokutnog oblik. Koliko njviše stelit može biti širok ko mu je duljin 4.4 m? 10
9. Zdn je skup svih točk koje su od točke (, 4) udljene z 3. Npiši jedndžbu tog skup! 10. Tijelo kreće iz točke A(4, -5) i gib se po kružnici s središtem u S(3, ) u pozitivnom smjeru do točke B(, y). Duljin kružnog luk točke B! AB 5. Odredi koordinte 11. Točk T(10, y) leži n krivulji y 5. Koliko je t točk udljen od žrišt krivulje? 1. Odredi koordinte fokus krivulje zdne jedndžbom ²-8y²=. 13. Odredi jedndžbu hiperbole kojoj je simptot prvc y= i koj prolzi točkom T(5, 8). 14. Putnj Zemlje oko Sunc je elips s Suncem u jednom žrištu. Udljenost Zemlje od Sunc u perihelu (točk u kojoj je Zemlj njbliže Suncu) približno iznosi 147 milijun kilometr, udljenost u felu (točk u kojoj je Zemlj njudljenij od Sunc) iznosi 15 milijun kilometr. Koliki je numerički ekscentricitet ε Zemljine putnje? e Npomen: Numerički ekscentricitet rčun se po formuli. 15. Hlleyev komet gib se oko Sunc po eliptičnoj putnji kojoj je numerički ekscentricitet 0. 967. Sunce se nlzi u fokusu te elipse. Nhmnj udljenost 10 komet od Sunc je 8.75 10 m. Koliko iznosi njveć udljenost Hlleyev komet od Sunc? 16. Kružnic u prvom kvdrntu im polumjer 4 i dir os ordint u točki A(0, 5). Npiši jedndžbu te kružnice! 17. Točk T(6, 5) nlzi se n elipsi čij je velik poluos 9 Odredi jedndžbu elipse i udljenost meďu fokusim! 18. Kružnic k prolzi točkom T(-3, ) i im isto središte ko i kružnic zdn jedndžbom ( ) ( y 5) 0. Koliki je polumjer kružnice k? 19. Kko glsi jedndžb kružnice kojoj su zdne koordinte rubnih točk promjer A(- 3, ) i B(1, 4). 0. ) Prbol zdn jedndžbom y p prolzi točkom T(3, 3). Odredi p! b) Prbol je zdn jedndžbom y 1. Odredi udljenost fokus od prvc y 5. c) Prbol zdn jedndžbom y p im fokus F(1, 0) i prolzi točkom A(, -3). Odredi jedndžbu tngente n tu prbolu u njezinoj točki A. 11
1. Točk S(-, 3) je središte kružnice koj prolzi ishodištem koordintnog sustv. Kko glsi jedndžbe te kružnice?. Kružnic je zdn jedndžbom ( 1) ( y ) 5.. Odredi točku T(-1, y) zdne kružnice z koju je y>0. b. Odredi jedndžbu tngente u točki A(, 6). 3. Odredi fokus elipse zdne jedndžbom 3 8y 10. 4. Odredi središte S i polumjer kružnice r zdne jedndžbom y 6 8y 9 0. 5. Elips je zdn jedndžbom 3 4y 48.. odredi duljinu velike i mle poluosi. b. Odredi jedndžbu tngente elipse u njezinoj točki T(-, 3). 4. Kružnic je zdn jedndžbom ( 1) ( y 3) 17. c. Točk A(, y) pripd kružnici. Odredi y. d. Odredi jedndžbu tngente n kružnicu u točki A. 5. Asimptot hiperbole je prvc y=. N hiperboli je točk (5, 8). Odredi jedndžbu hiperbole. 6. Usporedno s prvcem y 8 0 povučene su tngente n kružnicu ( y 1) 0. Odredite njihove jedndžbe. ELEMENTARNA GEOMETRIJA PLANIMETRIJA 1. U trokutu KLM prvi kut je u vrhu L. Duljin strnice KM je 5 cm, mjer kut u vrhu M je 7. Kolik je duljin njkrće strnice tog trokut?. N skici je prikzn prlelogrm ABCD u kojemu je strnic ABduljine 5 cm, visin n tu strnicu 8 cm. Točk S je sjecište njegovih dijgonl, točk T polovište dužine BS. Izrčunjte površinu trokut ABT. D C v S A B 3. Kolik je mjer njmnjeg kut u trokutu kojemu su strnice duljin, 7, 8, i 9 cm? 4. Kolik je površin trokut kojemu je jedn strnic duljine 5 cm, mjere kutov uz tu strnicu 4 36' i 55. T 1
5. N skici je prikzn konveksn četverokut ABCD u kojemu je 180. Prvci AB i CD sijeku se u točki T. Točk T je 3 cm udljen od točke A, 6 cm od točke D i 10 cm od od točke C. Kolik je duljin strnice AB? C γ D δ α β T A B 6. Ljestve duljn 4. m i 5.6 m nslonjene su n zid i dosežu istu visinu. Podnožje duljih ljestv je z 1.96 m udljenije od zid nego podnožje krćih ljestv. Koliko je podnožje krćih ljestv udljeno od zid? N kojoj su visini od pod ljestve nslonjene n zid? 7. Površin tupokutnog trokut je 8.67 cm². Duljine dviju krćih strnic tog trokut su 7 i 10 cm. Kolik je mjer tupog kut? 8. U trokutu ABC duljine strnic su c=8 cm, b=10 cm i = 1 cm. N strnici nlzi se BD točk D tko d vrijedi. Koliko su udljene točke A i D? DC 9. Kolik je mjer njmnjeg kut u prvokutnome trokutu čije su duljine ktet 1 i 6 cm? 10. Mjere kutov u trokutu se odnose ko 3:5:4. Njdulj strnic tog trokut je duljine 15 cm. Kolik duljin je njkrće strnice? 11. N skici je prikzn kružnic i njezine tetive AB i CD. Duljine dužin su: DE =7 cm, BE =6 cm, CE =3 cm i AE = cm. Koliko je? Točk E je sjecište dužin AB i CD. A E C B 13
D 1. U trokutu MNK mjere kutov su: 6 u vrhu N i 4 u vrhu M. Duljin strnice MK = 50 cm. Kolik je duljin strnice KN? 13. U trokutu ABC duljin strnic su =0 cm i b=30 cm, duljin težišnice iz vrh A je t =5 cm. Kolik je duljin strnice c tog trokut? 14. Mjere kutov trpez su 0 i 15. Odredite mjere preostlih dvju kutov trpez. 15. Prvc n kojem su točke A i B s rvninom ztvr kut 3 1'. Duljin dužine AB je 1 cm. Kolik je duljin ortogonlne projekcije dužine AB n tu rvninu? 16. Zdn je trokut ABC. Mjer kut u vrhu A je 46, kut u vrhu C je 60. Simetrl kut u vrhu C siječe trokutu opisnu kružnicu u točkm C i D. Kolik je mjer kut u vrhu B? 17. Izrčunj površinu prvilnog peterokut čij je strnic duljine 6 cm. 18. Kolik je mjer njvećeg kut trokut ko su mu strnice duljine 3, 8 i 9 cm? 19. Četverokut ABCD upisn je u kružnicu tko d je dijgonl AC ujedno i promjer kružnice. Dijgonle AC i BDsu meďusobno okomite. Ako je BD 10 cm i CD 5 5 cm, kolik je duljin dijgonle AC? 0. U prvokutnom trokutu jedn ktet je duljine 5 cm, kut nsuprot njoj im mjeru 30. Odredi ostle kutove i strnice trokut! 1. Etikete z omtnje mliječnih proizvod izrezne su iz reciklirnog krton oblik kružnog vijenc. Dimenzije jedne etikete su l1 14. 6 cm, l 1 14. 6 cm i d=9.3 cm ( d r r1, gdje su r1 i r rdijusi pripdnih koncentričnih kružnic). Koliko kvdrtnih centimetr krton je ostlo nkon što je iz kružnog vijenc izrezn mksimlni broj etiket? S l 1 l l 14
. Kvdrt ABCD n skici im strnice duljine 7 cm, kvdrt BEFG strnice duljine 5 cm. Kolik je duljin dužine DE. Odredi omjer dužin BH i HG. Točk H je sjecište dužin DE i BC. D C G F A E B 3. N slici je prikzn trokut ABC kojemu je AD=1.1 cm jedn težišnic. Kolike su duljine dužin BD i AC, ko je dužin AB=10.80 cm? Kut u vrhu B jednk je 1. C D A B 4. Duljine strnic trokut iznose 1.5, 10 i 18.5 cm. Duljin njduže strnice njemu sličnog trokut iznosi 0 cm. Koliki je omjer površin zdnog i njemu sličnog trokut? 5. Duljin osnovice jednkokrčnog trokut je 10 cm, krk 14 cm. Kolik je duljin visine tog trokut? 6. U trokutu ABC duljin strnice AB je 1 cm, mjer kut u vrhu je 35. Strnic BC je dvostuko dulj od strnice AC. Kolik je mjer kut u vrhu B i duljin strnice AC? 7. Dužin AB im duljinu 80 cm. Točk C je polovište dužine AB. Trokuti ACD i CBG su jednkokrčni. Duljin visine iz vrh D n strncu AC iznosi 30 cm, visin iz vrh G n strnicu CB je 1 cm. Koliki je opseg trokut GDC? D G 15
A C B 8. Mjere dvju kutov trokut su 36 i 75. Duljin njkrće strnice tog trokut je 10 cm. Kolik je duljin njduže strnce tog trokut? 9. Duljine strnic trokut su 1.5 cm, 10 cm i 8.5 cm. Rzlik duljin njdulje i njkrće strnice njemu sličnog trokut iznosi 4.8 cm. Koliko iznosi duljin treće strnice sličnog trokut? 30. Slik prikzuje oblik zemljišt i neke njegove mjere. Izrčunj udljenost točk A i C! Izrčunj mjeru kut u vrhu A! Kolik je površin zemljišt s slike? 47 m C D 10 31 m 55 m A 40 B 31. Zdn je prvokutni trokut s hipotenuzom duljine 7.5 cm. Izrčunj duljinu ktete nsuprot kutu α=50. 3. Opseg prvokutnik n slici iznosi 54 cm. Kolik je površin trokut ABC? C A +3 B 33. Kolik je mjer oznčenog kut α n slici? 3. cm 6.4 cm 43 78 α 78.8 cm 5.6 cm 34. U trokutu ABC n slici omjer kutov je α : β: γ = 3 : : 13, z duljine strnic vrijedi b =3 cm. Kolik je duljin njkrće strnice tog trokut? C b γ α β 16
A c B 35. U trokutu ABC je mjer kut α = 0º, AB=36 cm i AC =18 cm. Odredi duljinu strnice BC i izrčunj kut β pri vrhu B. 36. Mjere kutov trokut su u omjeru 1 : 10 : 4. Njdulj strnic im duljinu 1 cm. Kolik je td duljin njkrće strnice? 37. Odredi polumjer kružnice, ko istknute dužine n slici imju duljine 1 cm i 7 cm. 38. Duljine osnovic jednkokrčnog trpez su 0 cm i 6 cm, površin mu je 31. cm². Kolik je duljin krk trpez? 39. Prvokutn i jednkokrčn trokut (ABC) imju zjednički vrh C. Odredi mjeru šiljstog kut α u prvokutnom trokutu n slici. Odredi mjeru kut β uz osnovicu jednkokrčnog trokut ABC. B 64º α C β A 40. U trokutu ABC zdne su strnice c=13 cm, =9 cm i mjer kut β=4º. Odredi duljinu strnice b i površinu tog trokut. STEREOMETRIJA 41. Koliki je obujm kuglice polumjer cm? Koliki će biti polumjer kugle ko se 1 željeznih kuglic polumjer cm tljenjem preoblikuju u tu kuglu? 4. Zdn je stožc kojemu je bz krug polumjer 4 cm, duljin izvodnice 5 cm. Koliki je obujm tog stošc? Plšt tog usprvnog stošc rzvijen u rvnini je kružni isječk. Kolik je mjer središnjeg kut tog kružnog isječk? 43. Obujm prvilne šesterostrne prizme je 540 3 cm³, visin prizme je 10 cm. Koliko je oplošje te prizme? 17
44. Mjer šiljstog kut prvokutnog trpez je 50. Duljine njegovih osnovic iznose 4 cm i 6 cm. Koliki je obujm tijel koje se dobije rotcijom zdnog trpez oko dulje osnovice? (str 33) 45. Koliko je oplošje prvilne trostrne pirmide (tetredr) kojoj su svi bridovi duljine 3 cm? 46. Zdn je prviln usprvn šesterostrn pirmid kojoj je duljin osnovnog brid 4 cm, bočnog 11.7 cm. Koliki je obujm zdne pirmide? 47. Blok debljine 6.5 mm sstoji se od 100 listov ppir dimenzij 1.5 cmx9.7 cm. Gustoć ppir je 1.0 g/cm³. Kolik je ms jednog list ppir u tom bloku? 48. Vljk je upisn u usprvnu prvilnu peterostrnu prizmu kojoj je osnovni brid duljine 6 cm, visin 8 cm. Koliki je obujm vljk? 49. Zdn je prviln četverostrn pirmid kojoj duljine svih bridov iznose cm. Kolik je mjer kut izmeďu bze (osnovke) i strne (pobočke)? 50. Duljin prostorne dijgonle drvene kocke je 4 cm. Iz kocke je izrezn vljk njvećeg mogućeg obujm. Koliki je obujm tog vljk? 51. Osnovk (bz) usprvne četverostrne pirmide je kvdrt. Duljin visine pirmide je 8 cm. Mjer kut izmeďu bočnog brid i rvnine osnovke je 55. Odredi oplošje pirmide! 5. Metln kugl im obujm 88 π cm³. Koliki joj je polumjer? 53. Kuglu polumjer 5 cm treb pretopiti u vljk. Ako će polumjer bze vljk biti 4 cm, odredi visinu vljk zokruživši rezultt n dvije decimle. 54. Duljin hipotenuze prvokutnog trokut je 9 cm. Izrčun obujm stošc koji nstje rotcijom tog trokut oko ktete duljine 4 cm. 18