VII STATISTICĂ 7 INDICATORII TENDINŢEI CENTRALE 7 Mărmle med Meda velurlor dvduale ale ue varable (caracterstc) statstce este epresa stetzăr îtr-u sgur vel reprezetatv a tot ceea ce este eseţal, tpc ş obectv î aparţa, maestarea ş dezvoltarea acestea 7 Meda artmetcă Meda artmetcă se oloseşte atuc câd eomeul supus cercetăr îregstrează modcăr apromatv costate, î progrese artmetcă, prezetâd, dec, o tedţă lară Meda artmetcă smplă se oloseşte petru serle smple, adcă î cazul î care umărul varatelor caracterstc studate este egal cu umărul utăţlor sau câd se cuoaşte velul totalzat al caracterstc ş umărul utăţlor Petru o caracterstcă statstcă X, cu valorle,,,, ş ţâd cot că ucţa determată petru meda artmetcă smplă este de tp adţoal, adcă:, ;, Meda artmetcă poderată este îtâltă î cazul serlor de dstrbuţe, câd uele varate ale caracterstc se îregstrează de ma multe or Dacă ecare varată a caracterstc are o recveţă de aparţe î colectvtate, atuc suma smplă este îlocută cu suma produsulu, rezultâd: ;, Propretăţle mede artmetce Meda artmetcă este cuprsă ître varata mmă ş varata mamă, adcă: m < < ma ; Suma abaterlor varatelor caracterstc de la meda lor este egală cu zero: Dacă dtr-o sere X (,, ) costrum sera X * pr adăugarea sau scăderea ue costate a ( ± a, ± a, ± a), atuc meda sere X * va : * ± a ; Dacă dtr-o sere X (,, ) costrum sera X * pr mărrea sau mcşorarea de k or k sau, atuc meda sere X * * * se va măr sau mcşora de k or: k sau ; k k Combâd ultmele două propretăţ, se obţe ormula de calcul smplcat a mede artmetce: a k k a Meda artmetcă a varable alteratve Varabla alteratvă sau bară, cuoscută ş sub deumrea de varablă aleatoare a lu Beroull, admte doar două varate posble, varate care se eclud recproc Î realtate estă dverse astel de stuaţ: adms / resps (caddaţ la u cocurs), rebut / orebut (pesele realzate îtr-o îtreprdere), calcat / ecalcat (sportv îtr-o aumtă competţe) etc Dec, avem două stuaţ ce u pot apărea cocomtet (u caddat or este adms or este resps, u poate să e î acelaş tmp ş adms, ş resps) 53
54 Petru prelucrarea ş aalza statstcă se cosderă următoarele coveţ ş otaţ: stuaţlor corespuzătoare răspusurlor armatve, cele care costtue varata, l se atrbue cra, avâd recveţa absolută ş recveţa relatvă p; stuaţlor corespuzătoare răspusurlor egatve, cele care costtue varata, l se atrbue cra, avâd recveţa absolută ş recveţa relatvă q Astel, dacă vom îsuma recveţele absolute ş vom obţe volumul colectvtăţ geerale Î plus, cuoscâd modul de determare al recveţelor relatve, rezultă că: p q rezultă p q ş q p Meda artmetcă î acest caz va : p q p p 7 Meda armocă Meda armocă se determă doar petru varable cattatve ş se aplcă uma î cazur specale Î geeral, utlzarea acestu tp de mede este recomadat atuc câd două varable terdepedete se ală î raport de versă proporţoaltate Meda armocă are, î prcpu, aceeaş metodologe de calcul ca meda artmetcă, ucţa determată d tot de tp adţoal; deosebrea costă î aceea că u se olosesc varatele,,,, c versul acestora, adcă,,, Meda armocă smplă este speccă serlor smple, determâdu-se astel: Meda armocă poderată se utlzează î cazul serlor de recveţe, determâdu-se astel: Observăm că < Frecvet utlzată este orma trasormată a mede artmetce poderate, care a orma ue med armoce cu poder compuse Se oloseşte atuc câd u se cuosc recveţele Î cazul mede armoce ca ormă trasormată a mede artmetce poderate, relaţle de calcul se obţ pr substturea recveţelor d umtorul relaţe mede artmetce poderate astel, datortă aptulu că ş sut cuoscute Dacă sut egale ( ), se obţe meda armocă smplă: Dacă sut derte ( ), se obţe meda armocă poderată:
73 Meda pătratcă Meda pătratcă se oloseşte î cazul î care eomeele îregstrează creşter, apromatv, î progrese epoeţală, adcă atuc câd creşterea este ma letă la îceputul sere ş d ce î ce ma prouţată spre sârştul acestea, d utlzată, dec, î aalza tedţelor elare, de tp epoeţal Este olostă ş ca model matematc î calculul dcatorlor stetc a varaţe (abaterea stadard) Meda pătratcă se determă î mod asemăător mede artmetce, ucţa determată d tot de tp adţoal, cu deosebrea că, î cazul mede pătratce, se oloseşte pătratul caracterstc Meda pătratcă smplă este utlzată petru serle smple ş se determă astel: p p p p p p Meda pătratcă poderată se utlzează petru serle de recveţe, obţâdu-se astel: p p p p p p Dacă petru aceeaş sere se calculează meda artmetcă ş meda pătratcă, îtotdeaua: < Acesta este ş motvul petru care această mede este dcată petru aalza eomeelor ce p îregstrează tedţe epoeţale 74 Meda geometrcă Meda geometrcă se oloseşte î cazurle î care eomeele îregstrează modcăr, apromatv, î progrese geometrcă Se utlzează ma recvet î stuaţa î care dereţele dtre varatele caracterstc sut ma mar la îceputul sere ş d ce î ce ma mc către sârştul acestea Rezultă că, meda geometrcă este recomadată petru aalza tedţelor elare care evdeţază creşter la îceput ş o ateuare a acestora spre sârştul sere Este olostă ca model matematc î calculul uua dtre dcator stetc a serlor croologce (dcele medu al damc) Î cazul mede geometrce ucţa determată este de tpul produsulu Meda geometrcă smplă este speccă serlor smple, determâdu-se astel: Π g Π g Π g g g g Meda geometrcă poderată se determă petru serle de recveţe, astel: Π g Π g Π g g g g Dacă petru aceleaş date se calculează meda artmetcă, pătratcă ş geometrcă, îtotdeaua: g < < p D acest motv meda geometrcă este recomadată petru aalza serlor î cadrul cărora se maestă tedţe de reducere a rtmulu de creştere Dacă petru aceeaş sere de date calculăm cele patru tpur de mede prezetate, ître ele estă următoarea relaţe de orde (aşa cum rezultă ş d gura 3): g a p Egaltatea dtre med are loc uma atuc câd valorle d cadrul sere sut costate 55
7 Cuatlele Cuatlele sut dcator de pozţe care împart sera de dstrbuţe îtr-u aumt umăr de părţ cu eectve egale k Fe volumul utăţlor statstce aalzate ş z u umăr raţoal (z (,), dec k<) Se umeşte cuatla de ordul z, valoarea z a varable aleatoare X, cu propretatea: F ( z ) z, ude F ( z ) este ucţa emprcă de repartţe (ucţa recveţelor relatve cumulate) Î mod uzual, z are ua d valorle: părţ de eectve egale cu ; z cuatla Me se umeşte medaă ş împarte sera de varaţe î două z 3,, 4 4 4 cuatlele Q, Q, 3 Q se umesc cuartle ş împart 3 sera de varaţe î patru părţ de eectve egale cu 4 ; 4 4 z 9,,, cuatlele D, D,, 9 D se umesc decle ş 9 împart sera de varaţe î zece părţ de eectve egale cu ; 99 z,,, cuatlele P,,, 99 P 99 se umesc 4 P percetle ş împart sera de varaţe î o sută părţ de eectve egale cu 7 Medaa Medaa repreztă acea valoare care împarte sera (ordoată crescător sau descrescător) î două părţ egale Cum sera de date trebue să e ordoată, rezultă că această măsură a tedţe cetrale u poate detă decât petru ser ale căror valor sut mărm cattatve sau ordale, eavâd ses petru o caracterstcă omală Metodologa de calcul a medae deră după cum sera este smplă sau de recveţe Petru o sere smplă vom parcurge etapele: - se ordoează crescător sau descrescător elemetele sere; - se calculează valoarea medaă îtr-ua d următoarele două varate: - dacă sera are u umăr mpar de terme, atuc: Me ; - dacă sera este ormată dtr-u umăr par de terme, atuc medaa este semsuma termelor de rag ş, adcă: Me Petru serle de dstrbuţe se deosebesc două posbltăţ de calcul: Petru o sere de dstrbuţe după varate, determarea medae presupue parcurgerea următoarelor etape: - se determă recveţele cumulate crescător sau descrescător (Fc ); - determăm utatea medaă după relaţa: U Me ; 56
- stablm medaa, care este egală cu prma valoare d cadrul sere de valor petru care: U Me Fc Petru o sere de dstrbuţe pe tervale, determarea medae se ace parcurgâd etapele următoare: - se determă recveţele cumulate crescător sau descrescător (Fc ); - determăm utatea medaă după relaţa: U Me ; sup - se stableşte tervalul meda IMe ( Me,Me ), respectv tervalul petru care este respectată relaţa: U Me Fc ; k - se calculează medaa cu ajutorul relaţe: Me Me S, Me ude: Me repreztă lmta eroară a tervalulu meda; S repreztă suma recveţelor care preced tervalul meda; k mărmea tervalulu î care se plasează meda; Me recveţa tervalulu meda Această relaţe are la bază poteza că, î terorul tervalulu de varaţe utăţle statstce sut uorm dstrbute 7 Cuartlele Estă tre cuartle (,, ) care împart sera de dstrbuţe î patru părţ cu eectve Q Q Q3 egale Cele tre cuartle sut: Q - cuartla eroară, Q - medaa ş Q - cuartla superoară 3 Metodologa determăr cuartlelor este asemăătoare cele a medae Metoda de calcul algebrc a cuartlelor presupue parcurgerea următoarelor etape: se stableşte tervalul cuartlc I Q corespuzător cuartle Q Acest terval coţe utatea cuartlcă U Q, utate care se obţe astel: U Q,,,3; 4 k se calculează cuartlele pe baza relaţe: Q Q S Q, 4 S ude: Q repreztă lmta eroară a tervalulu î care se plasează cuartla Q ; SQ repreztă suma recveţelor care preced tervalul î care se plasează cuartla Q Q ; Q k mărmea tervalulu î care se plasează cuartla Q ; Q recveţa tervalulu î care se plasează cuartla Q 73 Modul Modul (domata) repreztă valoarea caracterstc care are recveţa cea ma mare D această deţe rezultă că modul este u dcator specc serlor de dstrbuţe Determarea modulu poate ăcută astel: Dacă valorle tervalulu modal sut uorm repartzate, atuc modul se determă pe baza relaţe: Mo Mo k, ude: k repreztă mărmea tervalulu modal; repreztă dereţa dtre recveţa mamă ş recveţa tervalulu precedet: Mo Mo- ; 57 Q :
repreztă dereţa dtre recveţa mamă ş recveţa tervalulu următor: Mo Mo ; 7 INDICATORII VARIAŢIEI 7 Idcator smpl a varaţe Idcator smpl sut olosţ petru caracterzarea gradulu de împrăştere a utăţlor colectvtăţ cercetate aţă de mede sau aţă de o aumtă valoare d sere Se pot eprma atât î utăţ absolute, aceleaş ca ş cele ale caracterstc studate, cât ş î mărm relatve, calculate î raport cu meda Aceşt dcator sut ampltudea varaţe ş abaterle dvduale ale ecăru terme de la meda lor Ampltudea varaţe (A) Ampltudea varaţe oeră posbltatea delmtăr câmpulu de varaţe a uu eome ş se preztă sub două orme: ampltudea absolută (A a ) se obţe ca dereţă ître valoarea mamă (X ma ) ş valoarea mmă (X m ) a sere, adcă: A a X ma X m Î cazul uor ser de dstrbuţe pe tervale, ampltudea se determă ca dereţă ître lmta superoară a ultmulu terval ş lmta eroară a prmulu terval; ampltudea relatvă (A r ) se calculează ca raport ître ampltudea absolută ş Aa X ma X m meda artmetcă, eprmâdu-se procetual, astel: Ar Abaterle dvduale (d ) Abaterle dvduale permt cuoaşterea structur varaţe la velul ecăre utăţ statstce Se preztă sub două orme: abaterle dvduale absolute (da ) se calculează ca dereţă ître ecare valoare îregstrată ş meda artmetcă a sere: da abaterle dvduale relatve (dr ) se calculează ca raport ître abaterle dvduale absolute ş meda artmetcă a caracterstc studate, eprmâdu-se procetual, astel: da dr Abaterle dvduale pot egatve sau poztve î ucţe de mărmea ecăru terme aţă de meda lor Î aalzele statstce se urmăresc î mod deosebt abaterea dvduală mmă ş abaterea dvduală mamă, calculate î cre absolute ş relatve astel: dama dama m sau drma dama dama ma sau drma Î cazul ue dstrbuţ smetrce da ma dama, ar î terorul sere la abater egale dar de seme cotrare, le corespud recveţe egale de aparţe Aceasta coduce la compesarea pe total (la velul îtregulu asamblu) a abaterlor dvduale Petru determarea abaterlor dvduale î locul mede se olosesc, ma rar, ş celalţ dcator a tedţe cetrale (medaa, modul) 58
7 Idcator stetc a varaţe Idcator smpl a varaţe u pot eprma ş caracterza îtreaga varaţe a caracterstc studate, d ecesară calcularea dcatorlor stetc Aceşt dcator caracterzează gradul de varaţe, luâd î cosderare toţ terme sere Idcator stetc sut: abaterea mede lară, dspersa, abaterea stadard ş coecetul de varaţe Abaterea mede lară ( d ) Abaterea mede lară se calculează ca o mede artmetcă smplă sau poderată a abaterlor absolute ale termelor sere de la meda lor, luate sub ormă de modul, astel: d - petru o sere smplă; d - petru o sere de recveţe; Abaterea mede lară arată, î mede, cu cât se abat terme sere de la meda lor Preztă dezavatajul că u ţe seama de semul algebrc (abaterea d calculată î modul), acordâd aceeaş mportaţă atât abaterlor poztve cât ş abaterlor egatve Abaterea mede lară poate u dcator cocludet uma dacă sera preztă u grad mare de omogetate Aceste eajusur se îlătură pr calculul dsperse Abaterea mede lară se calculează ş se aalzează u uma petru serle de dstrbuţe, c ş petru serle croologce sau tertorale d Se oloseşte la determarea tervalulu medu de varaţe: ± d d Dspersa ( σ ) Cuoscută ş sub deumrea de varaţă, dspersa se calculează ca o mede artmetcă smplă sau poderată a pătratelor abaterlor termelor sere de la tedţa lor cetrală Aceasta îseamă că î calculul dsperse poate luată î cosderare meda sau alt dcator al tedţe cetrale (medaa, modul) Relaţle de calcul ale dsperse sut următoarele: ( ) σ - petru o sere smplă; ( ) σ - petru o sere de recveţe; Dspersa este u dcator abstract, u are ormă cocretă de eprmare ş arată modul î care valorle caracterstc gravtează î jurul mede Măsoară varaţa totală a caracterstc studate datortă cauzelor eseţale ş îtâmplătoare Este u dcator utl î vercăr de poteze statstce, î calculul altor dcator statstc etc Propretăţle dsperse Dspersa calculată d abaterle varatelor de la o costată a, este ma mare decât dspersa reală cu pătratul dereţe dtre mede ş costata a, astel: ( a) σ ( a) Dspersa calculată d abaterle varatelor de la meda lor, mcşorate î prealabl pr împărţre la o costată k, este ma mcă decât dspersa reală de k or, astel: k σ k D combarea ultmelor două propretăţ rezultă relaţa de calcul smplcat a dsperse: 59
a k σ k ( a) Dspersa varable alteratve Se oloseşte relaţa de calcul obşut a dsperse, troducâdu-se elemetele specce varable alteratve Vom olos otaţle ş coveţle utlzate la meda artmetcă petru varabla alteratvă De asemeea, luăm î cosderare ş rezultatul obţut petru meda artmetcă, p Dspersa va : σ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( p) p ( p) q pq( p q ) σ pq Abaterea stadard (σ) Deumtă ş abatere mede pătratcă, abaterea stadard se calculează ca o mede pătratcă smplă sau poderată a abaterlor valorlor sere aţă de meda lor, respectv rădăca pătrată d dsperse: ( ) σ σ - petru ser smple; ( ) σ σ - petru ser de recveţe Abaterea stadard este dcatorul cel ma recvet olost petru aalza varaţe ue ser statstce O sere de date preztă o omogetate mare dacă este mc Abaterea stadard a varable alteratve Abaterea stadard petru varabla alteratvă este: σ σ pq Coecetul de varaţe (Cv) Deoarece atât meda, cât ş abaterea stadard sut dcator eprmaţ î utăţ de măsură cocrete, e u pot olosţ petru compararea a două ser de date eprmate î utăţ de măsură derte Spre eemplu, u putem compara medle ş abaterle stadard calculate petru două ser reertoare la vâzarea uor produse pe o paţă, cu valor eprmate zc, dacă aceste produse se eprmă î utăţ de măsură derte Petru îlăturarea acestu coveet se calculează parametrul admesoal deumt coecet de varaţe Coecetul de varaţe, propus de Pearso, se calculează ca raport ître abaterea stadard ş velul medu, adcă: Cv σ Cum Cv < 35%, rezultă că sera aalzată preztă u grad de omogetate rdcat, ar dcator tedţe cetrale sut reprezetatv petru această sere 73 Abaterle tercuatlce O altă categore de dcator a varaţe o repreztă abaterle tercuatlce Aceste abater pot dete petru varable cattatve sau ordale Îtr-o sere perect smetrcă, cuatlele se dstrbue î mod smetrc î ambele sesur aţă de valoarea tedţe cetrale a sere, calculată ca valoare medaă Calculâd abaterle dtre valorle medlor de pozţe ş valoarea medaă se poate terpreta tedţa de dstrbuţe a recveţelor de repartţe ale varatelor caracterstc Abaterea tercuartlcă (Q c ) 6
Abaterea tercuartlcă se calculează ca o mede a celor două abater ale cuartlelor etreme aţă de cuartla cetrală: ( Me Q ) ( Me) Q 3 Q 3 Q Qc Datortă aptulu că se bazează uma pe relaţa dtre cele două cuartle etreme, abaterea tercuartlcă s-ar ma putea um ş ampltude sem-tercuartlcă Ca orce dcator absolut, ş abaterea tercuartlcă se eprmă î utăţle de măsură ale caracterstc studate ş u poate supusă drect comparaţe statstce a ma multor ser De aceea, se calculează coecetul de varaţe tercuartlcă, ca raport ître abaterea tercuatlcă ş valoarea medaă, astel: Q Q V 3 c Q Q Me Me 74 Dspersa î aalza dstrbuţlor bdmesoale Aalza varabltăţ î cazul dstrbuţlor bdmesoale de recveţe este u proces ma comple ce ecestă o ateţe suplmetară, îtrucât varabltatea, de această dată, este provocată de două categor de actor: eseţal ş îtâmplător Ca atare, varaţa trebue descompusă pe cele două surse de actor care o geerează, d ecesar ca studul acestea pe îtreaga colectvtate să e completat cu studul e î cadrul ecăre grupe ş ître grupe Presupuem că avem două caracterstc X ş Y j ş utăţle au ost împărţte î grupe după varaţa lu X, obţâdu-se următoarele dstrbuţ codţoate de actorul de grupare: Grupare după X Grupare după Y j m 6 Total Med de grupă Dspers de grupă j m σ j m σ j m σ j m σ Total j m σ Tabelul poate cosderat cu dublă trare, î care prma trare se reeră la recveţele varable prcpale X, ar cea de-a doua trare la recveţele varable secudare Y j D îtretăerea celor două varable rezultă recveţele j Petru aalza varaţe caracterstc Y j, î ucţe de varaţa caracterstc de grupare X, precum ş a terdepedeţe dtre ele, se pot calcula med ş dspers codţoate petru ecare grupă Frecveţele pe ecare grupă se obţ pr îsumarea recveţelor d terorul grupelor, m petru grupa avâd: j j m j Se poate calcula, î acest caz, o mede geerală ( ) care stetzează varaţa valorlor dvduale ale colectvtăţ totale ş valorle medlor de grupă Petru caracterstca Y j se pot calcula 3 elur de dcator, care să descre: varaţa valorlor j î jurul mede lor de grupă ( j ) datorată acţu cauzelor îtâmplătoare (pe ecare grupă); varaţa medlor de grupă î jurul mede colectvtăţ totale ( ) datorată acţu cauzelor eseţale (actorul prcpal de grupare); σ
varaţa valorlor j î jurul mede colectvtăţ totale ( j ) datorată atât lueţe cauzelor eseţale, cât ş lueţe cauzelor îtâmplătoare Avâd î vedere ce 3 dcator de ma sus (clusv modul lor de dere), se poate scre: ( ) ( ) ( ) j Pord de la această relaţe se pot determa dspersle caracterstce dstrbuţlor bdmesoale, dspers pe baza cărora se ace aalza varaţe î cadrul acestor ser Aceste dspers sut: dspersa de grupă; meda dsperslor de grupă; dspersa dtre grupe; dspersa geerală Dspersa de grupă ( σ ) cuoscută ş sub deumrea de dsperse parţală, se determă ca o mede artmetcă poderată a pătratelor abaterlor varatelor caracterstc de la meda grupe, pe baza relaţe următoare: j m ( ) ( ) m j j j j j j σ, m j j ude: medle de grupă determate ca med artmetce poderate, astel: m j j j j j j m j j Dspersa de grupă măsoară varaţa caracterstc Y j determată de acţuea cauzelor îtâmplătoare la velul ecăre grupe Se vor calcula atâtea dspers de grupă câte grupe are colectvtatea cercetată, cu valor ma mc sau ma mar î ucţe de gradul de omogetate sau eterogetate a grupelor Spre eemplu, cosderăm o dstrbuţe bdmesoală a ue ecpe de muctor î ucţe de vecmea î mucă ş salarul realzat de muctor Dacă vecmea î mucă ar ucul actor de lueţă asupra salarulu, atuc petru ecare grupă de vecme am avea u sgur vel al salarulu Cum, î geeral, avem ma multe velur ale salarulu petru o grupă de vecme î mucă, deducem că la velul ecăre grupe îş eerctă lueţa ş alţ actor Îtr-adevăr, î realtate, salarul este codţoat ş de alţ actor, cum ar : productvtatea muc, velul de calcare al muctorlor, dotarea tecă etc Toţ celalţ actor, î aara vecm î mucă, sut cosderaţ actor îtâmplător, ş, ca atare, dspersa de grupă va cuatca lueţa acestor actor la velul ecăre grupe Meda dsperslor de grupă ( ) σ stetzează lueţa actorlor îtâmplător la velul îtreg colectvtăţ ş se calculează ca o mede artmetcă poderată a dsperslor de grupă, σ cu ajutorul relaţe: σ Dspersa dtre grupe ( ) δ relectă varaţa caracterstc secudare datorată acţu cauzelor eseţale la velul îtreg colectvtăţ ş se calculează ca o mede artmetcă poderată a pătratelor abaterlor medlor de grupă de la meda geerală, pe baza relaţe: m ( ) δ, 6
ude: meda geerală ş se determă e ca o mede artmetcă poderată a dstrbuţe margale, e ca o mede geerală a medlor de grupă, astel: m j j j j j m D cele tre tpur de dspers prezetate, reţem aptul că meda dsperslor de grupă ş dspersa dtre grupe pot comparate (petru că ele caracterzează îtreaga colectvtate) Putem, astel, determa care dtre actor (eseţal sau îtâmplător) au avut o lueţă ma putercă asupra caracterstc studate O ateţe deosebtă se cuve să acordăm lueţe actorlor îtâmplător petru a cuoaşte cauzele care au codus la dspersarea utăţlor statstce d cadrul grupelor Putem determa î acest el cauzele obectve, dar ş subectve, care au determat deplasarea recveţelor j d cadrul grupe σ se calculează ca o mede artmetcă poderată a pătratelor Dspersa geerală ( ) j j j abaterlor termelor aţă de meda geerală, pe baza relaţe următoare: σ m j m ( ) Dspersa geerală măsoară varaţa totală a caracterstc secudare (Y j ), varaţe determată atât de acţuea actorlor îtâmplător, cât ş de cea a actorlor eseţal, la velul colectvtăţ geerale Această dsperse va avea o valoare ma mare î colectvtăţle eterogee lueţate de u umăr mare de actor (îtâmplător sau eseţal) ş o valoare ma mcă î cazul colectvtăţlor omogee Avâd î vedere coţutul dsperslor calculate, rezultă regula de aduare a dsperslor: σ σ δ j 73 INDICATORII FORMEI Petru caracterzarea serlor de dstrbuţe se utlzează, alătur de dcator tedţe cetrale ş a gradulu de dspersare, ş măsur petru asmetre ş boltre Măsurarea asmetre ş a boltr ue ser de dstrbuţe poate ăcută atât pr termedul uor parametr specc, cât ş pe cale gracă Dacă metoda gracă poate utlzată ş î cazul varablelor caltatve, dcator de asmetre ş boltre sut calculaţ uma petru caracterstc umerce Ambele metode au, îsă, ca scop vercarea caracterulu ormal al dstrbuţe 73 Asmetra Î urma prelucrăr prmare a datelor, se obţ repartţ de recveţe emprce, care se pot compara cu repartţle teoretce, petru care s-au calculat dcator tedţe cetrale ş varaţe, ş este cuoscută orma lor de repartţe Cea ma recvetă repartţe teoretcă cu care se compară serle emprce este dstrbuţa ormală sau ucţa Gauss-Laplace, ale căre recveţe se dstrbue smetrc de o parte ş de alta a recveţe mame plasate î cetrul sere, ar gracul acestea are orma de clopot (clopotul Gauss-Laplace) Î practca statstc ecoomco-socale se pot îtâl ser de repartţe de recveţe smetrce, uşor asmetrce sau cu tedţă prouţată de asmetre Coecetul de asmetre al lu Pearso este cel ma recvet olost dcator Mo petru determarea asmetre ş se obţe pe baza relaţe următoare: Cas σ Acest dcator are o valoare abstractă, dar u ş lpstă de semcaţe El oeră ormaţ atât asupra sesulu asmetre, cât ş asupra testăţ acestea Valorle pe care le a sut cuprse 63
î tervalul (,) Petru serle de repartţe moderat asmetrce, coecetul de asmetre a valor î tervalul [-,3;,3] Semul dcatorulu arată sesul asmetre, astel: - Cas < - sere cu asmetre spre stâga (egatvă); - Cas - sere smetrcă; - Cas > - sere cu asmetre spre dreapta (poztvă) 73 Boltrea Boltrea (aplatzarea) apare atuc câd dstrbuţa preztă o varaţe slabă a varable X ş o varaţe putercă a recveţe absolute (ş vers), î comparaţe cu o dstrbuţe ormală, de aceeaş mede ş dsperse Dec, boltrea ue ser de repartţe se deeşte pr raportarea la repartţa ormală sub aspectul varaţe varable X ş a recveţelor absolute Boltrea se poate evalua e pe cale gracă, e pe calea calculelor algebrce coecetul de boltre Pearso (β ) se calculează pe baza mometelor cetrate de µ 4 µ 4 ordul ş 4, cu ajutorul relaţe: β 4 µ σ ude µ ş µ 4 repreztă mometele cetrate de ordul ş 4 Acest coecet a valoarea 3 (β 3) petru o dstrbuţe ormală curba mezocurtcă Petru β > 3 avem o curbă leptocurtcă (ma ascuţtă decât curba ormală), ar petru β < 3 avem o curbă platcurtcă (ma plată decât curba ormală) coecetul de boltre Fser (γ ) ma este cuoscut ş sub deumrea de coecet al ecesulu, deoarece măsoară ecesul aţă de boltrea ue dstrbuţ ormale Gauss- Laplace Se determă pord de la coecetul de boltre al lu Pearso, ţâd cot ş de aptul că acest dcator petru dstrbuţa ormală a valoarea 3, astel: γ β 3 Petru γ avem o curbă mezocurtcă, petru γ > (avem u eces de recveţe î zoa cetrală) curba este leptocurtcă, ar petru γ < avem o curbă platcurtcă 74 SONDAJUL STATISTIC Î cercetarea orcăru eome sau proces se pot utlza două categor de cercetăr statstce: cercetăr statstce totale - î care sut supuse studulu toate utăţle statstce d populaţa vzată; cercetăr statstce parţale - î care sut supuse studulu doar o parte d utăţle statstce d populaţa vzată Sodajul statstc ace parte d categora cercetărlor statstce parţale Se utlzează, de obce, î cazurle î care se doreşte caracterzarea uor eomee ş procese socal-ecoomce petru care u dspuem de date sucete, care u pot studate î totaltate sau petru care u este recomadablă o cercetare totală datortă aptulu că utăţle statstce supuse studulu sut dstruse î urma cercetăr Sodajul statstc repreztă o ormă de cercetare statstcă parţală care îş propue estmarea parametrlor populaţe de bază pe baza datelor culese de la velul uu eşato reprezetatv Prcpalele etape ale sodajulu statstc sut: Stablrea obectvelor cercetăr Această etapă presupue: - derea clară a obectvelor ce vor urmărte î cadrul cercetăr pr sodaj - detcarea ş delmtarea spaţo-temporală a populaţe ce va supusă studulu - detcarea prcpalelor surse de date aerete populaţe de bază, posbl de utlzat î cercetare 64
- stablrea varablelor (caracterstclor) ce vor supuse observăr ş a modaltăţ de observare ş îregstrare a acestora - estmarea costurlor ş stablrea bugetulu cercetăr - stablrea ecesarulu de persoal ş alcăturea ecpe ce va realza cercetarea Etragerea eşatoulu Luâd î cosderare caracterstcle populaţe de bază dar ş cerţele de precze î estmarea parametrlor î urma cercetăr pr sodaj, se stableşte modul î care va etras eşatoul d populaţa de bază Îtr-o cercetare pr sodaj, aceasta repreztă problema eseţală Caltatea eşatoulu determă precza estmărlor ş gradul de realsm al rezultatelor obţute ş terpretărlor acestora 3 Elaborarea cestoarulu Istrumetul utlzat de cele ma multe or petru culegerea datelor î cadrul sodajulu statstc este reprezetat de cestoar Caltatea acestua este determată î reducerea erorlor de îregstrare ş mplct caltatea datelor 4 Culegerea datelor Este etapa cea ma laboroasă a cercetăr, sub aspectul eortulu dar ş resurselor ecesare Î această etapă se realzează eectv îregstrarea valorlor petru varablele cuprse î plaul cercetăr, stablte î etapa Culegerea datelor se poate realza cu ajutorul ma multor tec, dtre care meţoăm: - culegere drectă, presupue deplasarea pâă la ecare utate statstcă a populaţe de bază care a ost clusă î eşato ş îregstrarea datelor pr observarea, măsurarea drectă a acestora sau pr tervu drect dacă este posbl; - completarea uu cestoar; - tervu pr teleo; - culegerea datelor pr corespodeţă, etc 5 Codcarea ş prelucrarea prmară a datelor Este etapa î care se detcă ş se elmă datele eroate 6 Prelucrarea propru-zsă a datelor Această etapă presupue: - evdeţerea erorlor apărute î procesul de realzare a cercetăr p sodaj; - calculul parametrlor la velul eşatoulu; - estmarea parametrlor la velul populaţe de bază; - amelorarea estmatorlor obţuţ pr utlzarea de date ş ormaţ aulare 7 Aalza ş terpretarea rezultatelor Î această etapă, rezultatele obţute î urma cercetăr sut aalzate ş stetzate î cocluz 74 Procedee de etragere a eşatoulu Î orgazarea uu sodaj cea ma mportată problemă o repreztă ormarea eşatoulu Petru ca rezultatele sodajulu să abă o precze cât ma mare este ecesar ca eşatoul să respecte codţa de reprezetatvtate, adcă să reproducă pe cât posbl structura lotulu de bază d care a ost etras Petru a etrage u eşato reprezetatv trebue respectate următoarele codţ: a) lotul de bază să e cât ma omoge; b) etragerea utăţlor statstce, d lotul de bază, să se acă absolut îtâmplător, astel îcât toate utăţle să abă şase egale de a etrase La etragerea eşatoulu se pot olos următoarele procedee: - procedee aleatoare (probablstce) ş - procedee subectve (drjate) 74 Procedee aleatoare a) Procedeul trager la sorţ, care poate realzat î două varate: cu repetare; ără repetare Procedeul trager la sorţ î varata cu repetare presupue ormarea eşatoulu pr etragerea utate cu utate d populaţa de bază astel îcât, după ecare etragere, utatea 65
se retroduce î populaţe Astel, volumul populaţe de bază rămâe costat pe toată durata etrager Procedeul trager la sorţ î varata ără repetare presupue ormarea eşatoulu î acelaş mod ca la procedeul trager la sorţ î varata cu repetare, cu deosebrea că odată etrase utăţle statstce u se retroduc î populaţa de bază b) Procedeul mecac (sstematc) Se utlzează î cazul î care populaţa de bază d care urmează să etragem eşatoul este ormată dtr-o populaţe statstcă deja orgazată după u aumt crteru (de eemplu: studeţ ue acultăţ ordoaţ după umărul matrcol, pom dtr-o lvadă sut plataţ după u aumt model) Utlzarea acestu procedeu presupue etragearea aleatoare doar a prme utăţ care va clusă î eşato Restul utăţlor ce vor orma eşatoul se determă mecac (sstematc) pord de la prma etrasă pe baza ue relaţ Petru aplcarea acestu procedeu se calculează ma îtâ u pas de umărare: N k, - volumul eşatoulu Se troduc apo îtr-o ură, blete (sau jetoae, cartoaşe, etc) umerotate de la la k d care se etrage uul sgur Numărul îscrs pe bletul etras va dca umărul de orde al utăţ statstce d lotul de bază care va prma etrasă î eşato Restul utăţlor care tră î eşato se determă adăugâd pasul de umărare la umărul de orde al ultme utăţ etrase d lotul de bază Datortă aptulu că u se realzează o etragere a eşatoulu complet îtâmplătoare, rezultatele acestu tp de sodaj sut ma puţ eacte decât î cazul utlzăr procedeulu trager la sorţ pe baza sceme ble erevete 74 Prcpalele tpur de sodaje Tpul sodajulu este determat de următor actor: a) Modul de orgazare al lotulu de bază î mometul etrager: - lotul de bază eorgazat; - lotul de bază orgazat î grupe tpce b) Procedeul de eşatoare olost Cel ma utlzat este procedeul tp lotere î varatele: - repetat; - erepetat c) Numărul de utăţ etrase deodată d lotul de bază: - utate cu utate; - u grup de utăţ (sere) Combâd ce tre actor rezultă următoarele tpur mportate de sodaj: a) sodaj smplu îtâmplător: -repetat -erepetat b) sodaj tpc (stratcat): -repetat -erepetat c) sodaj de ser, se orgazat î practcă uma î varata erepetat, petru că se operează cu u umăr mc de ser 74 Sodajul smplu îtâmplător Acest tp de sodaj se utlzează la cercetarea populaţlor statstce care preztă u grad de omogetate rdcat Î cazul acestu tp de sodaj se utlzează următor dcator: 66
Idcator Tp sodaj Eroarea mede de reprezetatvtate Eroarea lmtă admsă Volumul eşatoulu µ repetat rep σ s σ µ rep erepetat σ N ± rep z ± rep zµ rep z N z σ z σ rep rep z σ rep N σ Aceeaş metodologe de calcul petru dcator sodajulu se poate utlza ş petru cazul î care varabla studată pr sodaj este de tp alteratv ţâd cot de modul de determare al mede ş dsperse petru acest tp de varablă Se olosesc otaţle: - petru lotul de bază: p - meda geerală; σ p - dspersa geerală ( σ p p( p) ); - petru eşato: w -meda ; σ w - dspersa ( σ w w( w) ) 74 Sodajul tpc (stratcat) Se utlzează î cazul populaţlor statstce care preztă u grad de omogetate scăzut Î astel de stuaţ populaţa d lotul de bază se orgazează î prealabl î grupe omogee Petru a respecta codţa de reprezetatvtate eşatoul trebue ormat etrăgâd u umăr de utăţ drect proporţoal cu volumul ecăre grupe Petru calculul dcatorlor sodajulu, se oloseşte meda dsperslor de grupă: σ σ - meda dsperslor de grupă d lotul de bază ude ( ) σ - dspersa grupe d lotul de bază ude: - varabla urmărtă î grupa ; - meda grupe ; - volumul grupe ; N - volumul lotulu de bază Î cazul acestu tp de sodaj se utlzează următor dcator: Idcator Tp sodaj repetat erepetat 67
Eroarea mede de reprezetatvtate Eroarea lmtă admsă Volumul eşatoulu µ rep σ µ rep σ N σ σ ± rep zµ z ± rep zµ z N rep z σ rep z σ z σ N rep rep Dacă volumul eşatoulu este sucet de mare ( > ) se poate olos î locul mede dsperslor de grupă d lotul de bază ( σ ), meda dsperslor de grupă d eşato (σ s ) Dacă varabla urmărtă este de tp alteratv, atuc dcator sodajulu se vor determa ţâd cot de modul de calcul al mede ş dsperse petru acest tp de varablă: Î varata cu revere: - eroarea mede de reprezetatvtate ( µ ): µ - eroarea-lmtă admsă ( ): ± rep zµ rep z σ p - volumul eşatoulu (): rep rep Î varata ără revere: - eroarea mede de reprezetatvtate ( µ ): µ rep rep - eroarea-lmtă admsă ( ): ± rep zµ rep - volumul eşatoulu (): z σ p rep rep z σ p N p ( p) p ( p) σ p σ p N N 743 Sodajul de ser Se utlzează atuc câd populaţa statstcă d lotul de bază este alcătută u d utăţ smple c d utăţ complee (e umărul de muctor a ue rme orgazaţ î ecpe, produse ambalate î setur etc) Î acest caz eşatoul se ormează pr etragerea de utăţ complee (ser) Petru calculul dcatorlor sodajulu se utlzează dspersa medlor serlor de la meda geerală (δ ), astel: ( ) δ r Tp sodaj Idcator Eroarea mede de reprezetatvtate Eroarea lmtă µ 68 rep erepetat δ R r r R ± zµ rep rep
admsă Volumul Rt δ R z δ rep eşatoulu ( ) r ude: r - umărul de ser ce ormează eşatoul; R - umărul total de ser d care este alcătut lotul de bază Se poate utlza î locul dsperse medlor serlor de la meda geerală a lotulu de bază (δ ), dspersa medlor serlor de la meda eşatoulu (δ s ) Dacă varabla studată pr sodaj este de tp alteratv, dcator sodajulu se vor calcula cu relaţle: δw R r - eroarea mede de reprezetatvtate ( µ w ): µ wrep r R - eroarea-lmtă admsă ( w ): ± w rep zµ wrep Rz δ w - umărul de ser ce ormează eşatoul (r): rrep R w z δ rep ( ) rep w 75 CORELAŢIE ŞI REGRESIE De oarte multe or, eomeele ş procesele, deret de domeul î care se maestă ş de atura lor, sut legate ître ele pr coeu care u sut cuoscute ş observate de la bu îceput, c de regulă sut descoperte pe parcursul studer lor Eectele geerate de maestarea uua pot provoca aparţa, îcetarea sau modcarea altua, determâd relaţ de terdepedeţă sau cauzaltate Epresa stetcă a testăţ legătur cauzale dtre eomee - poartă deumrea de corelaţe După cum am preczat ateror eomeele ître care estă o legătură se pot găs î ua d stuaţle: - cauză - atuc câd determă aparţa sau modcarea uu alt eome; - eect - atuc câd sut rezultatul eectelor geerate de maestarea uor alte eomee Varablele care caracterzează cele două categor de eomee pot : varable cauză (depedete, actorale) - atuc câd caracterzează u eome cauză, respectv varable eect (depedete, rezultatve) - atuc câd caracterzează u eome eect Cuplul corelatv poate cuprde doar două varable, ua actorală ş ua rezultatvă sau poate cuprde ma multe varable dtre care doar ua este varablă rezultatvă ş restul actorale Avâd î vedere elemetele urmărte î studul corelaţe se pot determa ma multe tpur de corelaţe: După umărul varablelor d cuplul corelatv, avem: - corelaţe smplă - atuc câd cuplul corelatv cuprde o sgură varablă rezultatvă ş o sgură varablă cauză; - corelaţe multplă - atuc câd cuplul corelatv cuprde o sgură varablă rezultatvă ş ma multe varable cauză După sesul legătur dtre varablele cuplulu corelatv, avem: - corelaţe drectă- atuc câd varabla rezultatvă ş cele cauzale urmează acelaş ses al modcăr - valorle lor cresc sau descresc smulta 69
- corelaţe versă - atuc câd varabla rezultatvă urmează u ses al modcăr, ar cele cauză sesul opus - î tmp ce valorle rezultatve cresc cele ale varablelor cauzale scad ş vers 3 După orma legătur dtre varablele cuplulu corelatv, avem: - corelaţe lară - atuc câd varabla rezultatvă urmează o tedţă lară, geerată de lueţele varablelor actorale; - corelaţe elară - atuc câd varabla eect urmează o tedţă dertă de cea lară, geerată de lueţele varablelor actorale Metodele statstce utlzate petru studul legătur dtre două sau ma multe eomee se pot grupa î două mar categor: - metode elemetare - pr care se poate determa esteţa legătur dtre eomee, a tăre, a sesulu ş a orme acestea dar u cu o precze oarte mare, ele d de obce oloste petru oretarea către metode de altă atură, ma raate petru determarea elemetelor de ma sus oarte precs - metode aaltce - pr care se pot determa aceleaş elemete ca ş pr metodele elemetare, dar cu o precze mult ma mare, ele permţâd de asemeea ş studul legătur dtre u eome eect ş ma multe eomee cauză smulta 75 Metode elemetare Dtre metodele elemetare, ma des, sut oloste următoarele: metoda tabelululu de corelaţe, metoda gracă 75 Metoda tabelulu de corelaţe Permte evdeţerea tuturor elemetelor ecesare petru cormarea esteţe ue legătur dtre două eomee, pe baza observaţe modulu de maestare pr utlzarea măsurătorlor uor varable care caracterzează eomeele supuse studulu Petru utlzarea este ecesară dstrbuţa bdmesoală obţută pr prelucrarea pereclor de valor determate pr măsurarea ceor două varable care caracterzează eomeul cauză, respectv eomeul eect Modul î care se dstrbue recveţele î terorul aceste dstrbuţ (gura 9) oeră toate elemetele petru evdeţerea ue evetuale legătur ître cele două eomee X Y 3 j F 3 j F 3 j F 3 3 3 33 3j 3 F 3 : : : : : : j F : : : : : : 3 j F F F F F 3 F j F F X - varabla cauză; Y - varabla eect; - valorle varable cauză; - valorle varable eect; j - recveţa de aparţe a perec de valor (, j ); 7
F - recveţa de aparţe a valor ; F - recveţa de aparţe a valor ; F - umărul total de perec de valor (, j ); Elemetele care pot evdeţate cu ajutorul aceste metode: Esteţa legătur dtre varabla X actorală ş Y rezultatvă: Dacă recveţele j se dstrbue îtr-o badă grupată de-a lugul ue dagoale a tabelulu Sesul legătur: Dacă bada î care sut grupate recveţele j se ală pe dagoala tabelulu care corespude aceluaş ses de varaţe a valorlor corespuzătoare celor două varable X,Y îseamă că ître cele două varable estă o legătură drectă Dacă se ală pe cealaltă dagoală care corespude sesulu dert de varaţe a celor două varable X,Y atuc legătura dtre cele două varable este versă Itestatea legătur: Este dată de lăţmea bez î care sut grupate recveţele j Cu cât este ma îgustă testatea legătur creşte 3 Forma legătur: Este dată de orma bez, putâd lară dacă bada este lară sau elară dacă bada are altă ormă decât cea lară 75 Metoda gracă Ca ş metoda precedetă permte evdeţerea pr aprecere vzuală a elemetelor ce caracterzează legătura dtre două varable Î acest caz este ecesară costrurea corelograme Pe abscsă se trec valorle scăr de reprezetare corespuzătoare varable cauză X, ar pe ordoată, valorle scăr de reprezetare corespuzătoare varable Y Pr urea cu segmete de dreaptă a puctelor obţute reprezetâd grac perecle de valor (, j ) se obţe corelograma Y j α Corelograma Esteţa legătur: Se determă pr esteţa ugulu (α) realzat de la de tedţa cu orzotala dert de Sesul legătur: - legătură drectă - atuc câd la de tedţă este ascedetă; - legătură versă - atuc câd la de tedţă este descedetă; X 7
Y Y α α Corelaţe drectă Itestatea legătur: Dată de aproperea valor ugulu α de 45 o 3 Forma legătur: Este dată de orma corelograme Y Y X Corelaţe versă X X X Corelaţe lară Corelaţe elară 75 Metode aaltce Determarea precsă a legătur dtre două sau ma multe varable se realzează cu ajutorul metodelor aaltce Sut urmărte î specal două aspecte: a) regresa - cu ajutorul cărea se detemă cotrbuţa varablelor actorale la modcarea varable rezultatve; b) testatea legătur - determată cu ajutorul coeceţlor de corelaţe corespuzător tpulu de corelaţe estet lar sau elar Y 75 Corelaţa smplă lară Are la bază utlzarea ucţe lare petru aalza regrese: Y a b a b > X î care: Y - valorle calculate (teoretce) ale varable rezultatve Y pr ucţa de regrese; a - valoarea pe care o a varabla rezultatvă atuc câd varabla actorală u o lueţează; Y Gracul ucţe lare a b < X 7
73 b - coecetul de regrese - arată cotrbuţa varable actorale la modcarea cu o utate a valor varable rezultatve; - valorle,, 3,, ale varable actorale X Itestatea corelaţe lare Determarea testăţ corelaţe lare se realzează cu ajutorul coecetulu de corelaţe lară al lu Pearso care se determă cu ajutorul uea d relaţle următoare: r σ σ, După ma multe prelucrăr se obţe o ormă aplcablă mult ma uşor:, r sau ( )( ) ( ) ( ), r ar petru ser de dstrbuţe bdmesoale se poate utlza relaţa:, j j j j j j j j F F F F F F r ude j j F F Coecetul de corelaţe r a valor î tervalul [-;], testatea legătur crescâd pe măsură ce se aprope de etremele tervalulu Valorle egatve semcă esteţa ue corelaţ verse, cele poztve o corelaţ drecte ître varabla rezultatvă Y ş cea actorală X Regresa smplă lară Petru determarea coeceţlor a, b se oloseşte drept crteru de aprecere al caltăţ ucţe de regrese epresa celor ma mc pătrate: ( ) m Y î care: - valorle observate (emprce) ale varable rezultatve Y Pr aplcarea acestu crteru asupra ucţe de regrese lare se obţe u sstem cu două ecuaţ d care se pot determa uşor valorle corespuzătoare coeceţlor a ş b
a b a b O metodă de a rezolva acest sstem este cea olosd determaţ: a a ; b b ude, d sstemul ţal se pot determa: ; a ; b După cum se observă d determatul ţal se determă a respectv b îlocud coloaa corespuzătoare parametrulu a sau b cu coloaa termelor lber d sstem 76 ANALIZA SERIILOR CRONOLOGICE Orce eome sau proces al actvtăţ umae poate studat atât î tmp, cât ş î spaţu Aalza î tmp presupue, î prcpal, o cercetare cu ajutorul uor dcator statstc specc dea lugul dertelor peroade 76 Idcator damc Petru a caracterza damca eomeelor ecoomco-socale, prelucrarea uor ser damce coduce la obţerea ue varetăţ de dcator După modul de calcul ş eprmare aceşta pot grupaţ î tre categor: dcator absoluţ; dcator relatv; dcator med Toţ dcator damc se pot calcula î două varate: - cu bază ă: câd se compară valorle d orcare peroadă (t) aerete dcatorlor cuprş î sere cu valorle acestora aerete ue sgure peroade (); - cu bază î laţ: câd se compară valorle d orcare peroadă (t) aerete dcatorlor cuprş î sere cu valorle acestora d peroada precedetă (t-); 76 Idcator absoluţ Idcator absoluţ se eprmă î aceeaş utate de măsură cu eomeul supus cercetăr Î cadrul lor îtâlm două categor: velul absolut este dat de şrul velurlor eomeulu a căru evoluţe se urmăreşte Dacă sera este smplă, atuc velurle absolute petru varabla Y sut,,, ; modcarea absolută se determă ca dereţă ître velurle absolute ale uea dtre varablele sere, luate succesv, ş u vel oarecare cosderat bază de comparaţe (această bază trebue să e u momet sau terval de tmp cosderat reprezetatv petru sera supusă cercetăr) Modcarea absolută eprmă, î valor absolute, cu cât a crescut sau a scăzut velul eomeulu cercetat î peroada de tmp cosderată Î ucţe de baza de comparaţe aleasă, modcarea absolută poate : - cu baza ă: t / t ; - cu baza î laţ: t / t t t, ude: - velul dcatorulu î peroada de reerţă; t - velul dcatorulu î peroada t; 74
t- - velul dcatorulu î peroada t- Comparâd relaţle de calcul ale celor două varate, rezultă că: / t / t t 76 Idcator relatv Idcator relatv se calculează ca raport ître do dcator absoluţ a aceluaş eome ş se eprmă, de regulă, sub ormă de coeceţ sau î procete Î cadrul lor îtâlm dcele damc, rtmul damc ş valoarea absolută a uu procet de creştere (reducere) Idcele damc se calculează ca raport ître velul dcatorulu de comparat ş velul dcatorulu olost ca bază de comparaţe Acesta eprmă de câte or sau î ce proporţe s- a modcat eomeul î peroada cosderată Î ucţe de baza de comparaţe aleasă, dcele damc poate de două elur: t - cu baza: I t / ; - cu baza î laţ: I t / t t t Comparâd relaţle celor două varate de dc, rezultă că: I t / It / t Idc damc se pot eprma ş î procete Rtmul damc eprmă, î mărm relatve, cu cât a crescut sau a scăzut velul eomeulu cercetat î peroada de tmp cosderată Se poate calcula î tre modur: pe baza velurlor absolute, pe baza modcărlor absolute sau pe baza dclor Î ucţe de baza de comparaţe aleasă, rtmul damc poate : t t / - cu baza ă: Rt / ( It / ) ; t t t / t - cu baza î laţ: ( I ) Rt / t t / t t t Rtmul damc se eprmă uma î procete 763 Idcator med Idcator med sut dcator calculaţ pe baza tuturor termelor sere croologce Astel, î tmp ce dcator absoluţ ş relatv e arată velurle dvduale îregstrate de-a lugul peroade, dcator med reuesc aceste valor dvduale îtr-ua sgură Î această categore de dcator regăsm: velul medu, modcarea mede, dcele medu, rtmul medu ş valoarea mede absolută a uu procet de creştere velul medu se calculează î mod dert după cum sera damcă este de tervale sau de momete: dacă sera croologcă este de tervale, velul medu se calculează olosd: - meda artmetcă dacă valorle t / t sut apromatv costate; - meda pătratcă dacă valorle t / t sut ma mc la îceputul sere ş d ce î ce ma mar spre sârştul acestea; - meda geometrcă dacă valorle t / t sut ma mar la îceputul sere ş d ce î ce ma mc spre sârştul acestea dacă sera croologcă este de momete, velul medu se determă ca o mede croologcă Meda croologcă este, î prcpu, o mede artmetcă, ş se determă î două etape: a) calculul medlor moble acum are loc trasormarea sere de momete î sere de tervale, medle moble ed altceva decât med artmetce smple calculate d câte do, tre sau ma mulţ terme a sere, î cadrul cărora uul sau ma mulţ terme se repetă; b) calculul mede croologce se obţe ca mede artmetcă a 75
medlor moble Itervalele dtre mometele sere pot egale sau egale, rezultâd med croologce smple sau poderate Meda croologcă smplă este utlzată î cazul î care tervalele dtre momete sut egale (t t t k, ude k umărul medlor moble sau umărul tervalelor dtre momete, k ) Determarea mede croologce smple se ace după etapele preczate ateror, astel: - calculul medlor moble: ; - calculul mede croologce smple: c k Meda croologcă poderată se oloseşte atuc câd tervalele dtre momete sut egale (t t t k ) Ca ş î cazul mede croologce smple, meda croologcă poderată se determă urmâd cele două etape: - calculul medlor moble: ; - calculul mede croologce poderate: k k t c k t modcarea mede eprmă, sub ormă de mede, modcarea îregstrată î ecare peroadă a sere croologce Se calculează ca o mede artmetcă smplă a modcărlor cu baza î laţ, pe baza relaţe următoare: / t t / t Modcarea mede preztă mportaţă petru stablrea tedţe (tredulu) uu eome, astel: - dacă > tedţă evolutvă (crescătoare); - dacă < tedţă volutvă (descrescătoare) De asemeea, acest dcator permte ajustarea sere damce ş elaborarea de progoze prvd evoluţa vtoare a eomeulu aalzat dcele medu reueşte îtr-u sgur dcator velurle dvduale ale dclor cu baza î laţ calculaţ petru o sere damcă Se determă ca o mede geometrcă smplă a dclor cu baza î laţ, pe baza relaţe: I I t / t It / Idcele medu se oloseşte la ajustarea sere damce, precum ş la determarea rtmulu medu rtmul medu arată cu cât a crescut sau a scăzut î mede, pe ecare peroadă, eomeul aalzat ş se eprmă î procete Se calculează pe baza relaţe: R ( I ) valoarea mede absolută a uu procet de creştere eprmă cât d modcarea mede a uu eome reve la u procet d rtmul medu ş se determă pe baza relaţe: A R 76 Ajustarea mecacă a serlor croologce Ajustarea serlor croologce costă î aplcarea uor metode statstco-matematce adecvate asupra uor ser de tmp î dorţa de a etrage ceea ce este eseţal ş tpc î evoluţa eomeulu sau procesulu aalzat ş care preztă caracter de lege Î teora ş practca statstcă sut utlzate următoarele metode de ajustare: ajustarea gracă; 76
ajustarea mecacă; ajustarea aaltcă Ajustarea gracă acest procedeu presupue trasarea lberă ş apromatvă a ue drepte sau curbe asupra ue ser croologce emprce O asemeea ajustare are u caracter oretatv ş oeră ormaţ asupra tedţe geerale a evoluţe eomeulu sau procesulu supus cercetăr Ajustarea gracă este, îsă, subectvă putâd coduce la determăr derte Acesta este ş motvul petru care este olostă ma rar Ajustarea mecacă acest procedeu costă î aplcarea succesvă, î mod mecac, a uor ormule de calcul stablte date, petru toţ terme sere Î cadrul ajustăr mecace îtâlm următoarele metode: metoda medlor eşaloate, metoda medlor moble, metoda sporulu medu ş metoda dcelu medu Metoda medlor eşaloate costă î calculul medlor eşaloate, ca med artmetce smple d câte do, tre sau ma mulţ terme (î cadrul cărora u se repetă c u terme) ş aprecerea tedţe evolutve cu ajutorul sere ormate d aceste med Cosderâd,,, velurle absolute dtr-o sere dată, medle eşaloate, calculate d câte do terme, 3 4 sut:,,, / Sera medlor eşaloate va :,,, / Petru serle cu u umăr mare de terme se poate cotua calculul medlor eşaloate, olosdu-se ca bază de calcul medle deja calculate Se obţ astel med de rag superor, putâdu-se apreca ma eact tedţa evolutvă Deş pr determarea medlor de rag superor sut ateuate îtr-o aumtă măsură luctuaţle evolutve geerate de acţuea actorlor îtâmplător, u este posblă îlăturarea lor î totaltate Metoda medlor moble costă î determarea tedţe evolutve după procedeul prezetat la metoda ateroară, cu deosebrea că, î calculul medlor, uul, do sau ma mulţ terme se repetă Medle moble, calculate d câte do terme, sut:,, 3 77 Sera medlor moble va :,,, Ş î acest caz pot determate med de rag superor Nc pr această metodă u sut elmate î totaltate luctuaţle îtâmplătoare Metoda sporulu medu este o metodă mecacă de ajustare care are la bază relaţa dtre prmul terme al sere, sporul medu ş u terme oarecare al sere Se oloseşte, de regulă, atuc câd se obţ sporur cu baza î laţ cu valor apropate Aceasta corespude ue creşter a velurlor caracterstc studate sub orma ue progres artmetce cu raţa egală cu modcarea mede absolută Relaţa care stă la baza ajustăr pr procedeul modcăr med absolute este: Y k, ude,, 3,, ; k,,,, -; repreztă termeul luat ca bază de ajustare Observăm că: Y ; Y ; Y3 ; ; Y ( ) Î cadrul aceste metode, prmul ş ultmul terme a sere teoretce, respectv Y ş Y sut detc cu prmul ş ultmul terme a sere emprce, adcă ş ; această propretate este olostă ca mjloc de cotrol (Y, Y ) Cu ajutorul aceste metode sut elmate toate luctuaţle evolutve îtâmplătoare, valorle teoretce Y îscrdu-se pe o le dreaptă Metoda dcelu medu este tot o metodă mecacă, uşor de aplcat, care se bazează pe relaţa estetă ître prmul terme al sere, dcele medu ş u terme oarecare al sere Se
oloseşte atuc câd terme sere au tedţa ue progres geometrce, î care raţa poate cosderată egală cu dcele medu al damc Relaţa care stă la baza ajustăr pr procedeul k modcăr med absolute este: Y I Î acest caz vom avea: Y I ; Y I ; Y3 I ; ; Y I Ş î cadrul aceste metode Y ş Y Ş cu ajutorul aceste metode sut elmate toate luctuaţle evolutve îtâmplătoare, valorle teoretce Y îscrdu-se pe o le curbă BIBLIOGRAFIE Carme Radu, Costel Ioaşcu, Murărţa Ile, Statstcă teoretcă, Edtura Uverstara Craova, 9 Georgescu V, Statstcă descrptvă ş ereţală, Edtura Uverstara, Craova, 6 Georgescu V, Bazele statstc, Edtura Reprograp, Craova, Adre T, Statstcă ş ecoometre, Edtura Ecoomcă, Bucureşt, 3 78