Mterijl pripremio Benjmin Linus U mterijlu su e definicije, teoreme, dokzi teorem (rđenih n predvƭu i primeri. Dodo sm i neke done primere d bih ilustrovo prikznu teoriju. Integrlni rqun Definicij. Nek je funkcij f definisn n proizvoʃnom intervlu I (ztvoren, otvoren, polutvoren ko postoji funkcij F tkv d z svko I F ( = f( kжe se d je F( primitivn funkcij funkcije f( n I. Ako je F( primitivn funkcij funkcije f( ond je to i F(+C, (C R, proizvoʃn konstnt. Kls primitivnih funkcij F( + C bi e oznqen s F( + C = f( F( = f( = F ( = df( d f( = df( = f( d Opte metode integrcije Tblic osnovnih integrl: f( = f( α = α+ + C, α sin = cos + C α + = ln + C, 0 cos = sin + C e = e + C 4 cos = tg + C 4 = + C, > 0, 5 ln sin = ctg + C 5 + = rctg + C 6 sh = ch 6 + = rcctg + C 7 ch = sh 7 = rcsin + C, < 8 8 ch = th = rccos + C, < 9 sh = cth 9 + = ln + + + C = rsh + C 0 = ln + + C = rch + C, > = { ln + rth, < + C = rcth, >
Teorem. Ako funkcije f i g imju primitivnu funkciju n I td funkcij αf( + βg( im primitivnu funkciju n I i vжi (αf( + βg( = α f( + β g(. [ Dokz. d α f( + β ] g( = αd f( + βd g( = (αf( + βg( Teorem. Ako su n I funkcije f, ϕ i ϕ neprekidne i ko funkcij = ϕ(t im inverznu funkciju t = ϕ ( i pritom vжi ϕ(t 0 n I, td je f( = f(ϕ(t ϕ (t, t = ϕ ( Dokz. d f(ϕ(t ϕ (t = d f(ϕ(t ϕ (t = d ϕ (t f(ϕ(t ϕ (t = d f(ϕ(t = f( Prcijln integrcij d(uv = u dv + v du uv = u dv + v du u dv = uv v du Integrcij pomo u rekurentnih formul Primer. I n = I n = ( + n +n I(n = F(I(n n ( + n u = ( +, du = n ( +, dv =, v = u n+ ( + n+ = + ( + n +n ( + n+ = ( + n +n(i n I n+ I n+ = ( n I = + = rctg + C I = ( + + I = I = ( 4 + + I = ( + n + (n I n ( + + rctg + C 4( + + 8( + + 8 rctg + C, n N
Integrcij rcionlnih funkcij f( = P( P i Q polinomi, dg P dg Q (neprv rcionln funkcij Q( P( R( = S( + Q( Q(. Posmtrjmo sluqj f( = P( dg P < dg Q (prv rcionln funkcij Q( Funkcij f se rzlжe n prcijlne rzlomke: A = Aln + C A ( k = A + C k =,,4,... k ( k I n = ( + b + c n, b 4c < 0 Integrl I se rev n slede i nqin, npiimo njpre imenilc og rzlomk u knonskom obliku: ( + b + c = + b + c b 4 = + b α + α gde je α = c b + b 4. UvođeƬem smene t =, dobijmo d je α I = α t + = α rctg t + C Pomo u iste smene, integrl I n se, z proizvoʃno n N, izrqunv u obliku I n = α (t + n. Z n >, primenom prcijlne integrcije moжe se dobiti vez između I n i I i sniжvti red sve dok se ne dođe do integrl I n, z koji smo izveli reeƭe. I = α (t + = ( t t α (t + (n + (t + n = = ( t α (t + + (n (I I n 4 Integrl J n = ( jednostvnim trnsformcijm se svodi n in- + b + c n tegrl I n : J n = gde je u = + b + c. ( + b + c n = + b b + b + c n = du u n b I n,
Integrcij ircionlnih funkcij Ako je R( p/q, p/q,..., pn/qn gde je R rcionln funkcij, p i i q i celi brojevi, uvodi se smen = t q gde je q = NZS (q,q,...,q n. UopteƬe: ko se umesto pojvi + b ili + b isto se uvodi smen + b = tq c + d ili + b c + d = tq. Primer. { = t + = 6 t = 6 } = 6t 5 = ( t = 6 t t 5 t ( t + t = 6 t + = 6 (t t + + t ln t + + C = t t + 6t 6ln t + + C = t = t + = + 6 6 6ln 6 + + C Ojlerove smene: Ako je R(, + b + c, gde je R rcionln funkcij, svodi se n rcionlnu funkcijun slede i nqin: z > 0 : + b + c = ± + t z c 0 : + b + c = t ± c Ako su nule kvdrtnog trinom i relne i rzliqite + b + c = ( ( = t(. Z < 0 i ko nem relne rzliqite nule ond je koren nedefinisn. U prve dve formule proizvoʃno se moжe stviti ili znk + ili znk. Primer. + + + + = + t, = t ( t, = t + t ( t, + t = t + t ( t + + = A + B = 0 A B = t + t ( t t ( t t + t ( t t = A t + B t + (A + Bt + (A B = A = = B = t + + = ( t t + = t t + = + + + + + + C + C = 4
Integrl binomnog diferencijl m ( + b n p, m,n,p Q ր ko je p N, svodi se n integrl stepenih funkcij p Z ց p < 0, svodi se n integrl ircionlnih funkcij p /Z q = m + n q Z, uvodi se smen + b n = t r gde je r imenilc rzlomk p b q /Z, p + q Z, uvodi se smen n + b = tr gde je r imenilc rzlomk p U ostlim sluqjevim integrl je nereiv Primer 4. m = 4, n = 6, p = { = t 4 ( 6 = t = } = t = = (t + + t t ( t = t (t (t + t 8 ( t = t (t (t + = A t + B t + + C (t + D (t + t = t (A + B + t (A B + C + D + t( A B + C D + ( A + B + C + D A + B = 0 A B + C + D = A = 5 B = 5 C = D = A B + C D = 0 4 4 4 A + B + C + D = ( 5 (t + + 4 t 5 4 t + + 4(t + = 4t + 4t + 5ln t 5ln t + t t + + C 4(t + = Primer 5. 5, m = 5, n =, p =, q = 6 = Z = t, t =, = t 5 ( t = t = (t 4 t + = t = t5 5 + t t + C 5
Primer 6., m = 0, n =, p = +, q =, p + q = 0 Z + = t, = + 4 = t, t = t t(t = + t (t (t + t + t (t (t + t + A t + Bt + C t + t + t = t (A + B + t(a B + C + A C A + B = 0 A B + C = A = B = C = A C = 0 = ln t t (t (t + t + = (t t (t + t + ( t (t (t + t + = = ( ln t d(t + t + t + t + t + t t + t + t + + = ( ln t ln t + t + + t t + t + = t + C = + t + ( t + ( + C = {u = t + } = + + C = du u + = ( ln t ln t + t + + rctg t + + C = = ln t (t + t + / rctg t + + C Integrcij trigonometrijskih funkcij R(sin,cos gde je R rcionln funkcij, td se uvodi smen t = tg : sin = t t, cos =, = + t + t + t Ako je R(sin,cos moжe se uvesti smen t = tg, sin = t + t, cos =, = + t + t 6
R(tg, smen tg = t 4 Ako je R( sin,cos = R(sin,cos tj. neprn po sin uvodi se smen cos = t, sin = t, = t 5 Ako je R(sin, cos = R(sin,cos tj. neprn po cos uvodi se smen sin = t, cos = t, = t 6 Ako je R( sin, cos = R(sin,cos uvodi se smen tg = t, sin = t, cos =, = + t + t + t Primer 7. Primer 8. + sin + cos + sin + cos = t = tg t, sin = + t + t + t + t + = t + t sin, smen t = tg. + 5cos t, cos =, = + t + t + t = ln + tg + C sin + 5cos = + t t + t + 5 + t = t + 5 = 5 ( = t t rctg +C 5 5 + 5 Primer 9. sin cos, smen t = sin. sin cos = t ( t d(sin = t ( t = t t5 5 + C Primer 0. sin 5 cos 4, smen t = cos. sin 5 cos 4 ( t = ( t 4 = t 4 t + = t t t + C Integrli koji nisu elementrne funkcije Primer: e n, sin, n n ln 7
Određen (Rimnov integrl Definicij. Podel d odseqk [,b] oznqv se s d = ( 0,,..., n ; ξ 0,ξ,...,ξ, = 0 < < <... < < n = b, i ξ i i+, i = 0,,,...,n. Definicij. Integrln (Rimnov sum funkcije f n odseqku [,b] je: S(f,d,,b = f(ξ i ( i+ i. Definicij 4. Norm e podele d je d = m ( i+i i 0 i n Oqigledno, kd d 0 ( i i+ i 0 n Definicij 5. Nek je funkcij f definisn n [,b]. Ako ( I R( ǫ > 0( δ(ǫ > 0( d( d < δ S(f,d,,b I < ǫ td se I nziv određen (Rimnov integrl funkcije f n [,b], I = b to ustvri znqi lim S(f,d,,b = I = d 0 b f(, f(. Definicij 6. Z funkciju f koj im Rimnov integrl n odseqku [,b] kжe se d je integrbiln n [,b]. Npomen, ko je f( 0 n [,b] I dobij smiso povrine. Teorem. Svk funkcij f integrbiln n odseqku [,b] ogrniqen je n [,b]. Definicij 7. Nek je funkcij f integrbiln n [,b]. Ako odseqk [,b] podelimo n 0,,..., n (podel d i formirmo sume: S(f,d,,b = m i ( i+ i S(f,d,,b = M i ( i+ i gde su m i i M i infinum tj. supremum funkcije f n [ i, i+ ], S i S su doƭ i gorƭ Drbuov sum dunkcije f n [,b]. 8
Teorem 4. Ogrniqen funkcij f je integrbiln n [,b], ko i smo ko je lim (S(f,d,,b S(f,d,,b = lim (M i m i ( i+ i = 0 d 0 d 0 M i > m i, sup[ i+ i ] > inf[ i+ i ], i+ > i. Teorem 5. Ako je funkcij f definisn i ogrniqen n [,b] i n Ƭemu im: konqno mnogo prekid, ili prebrojivo mnogo prekid, funkcij f je integrbiln n [,b]. Teorem 6. Ako je funkcij f definisn i monoton n [,b] on je i integrbiln n [,b]. Osobine Rimnovog integrl Teorem 7. f( = 0 Teorem 8. b Dokz. Z podelu f( = b f( u drugom integrlu on bi postl = 0 < <... < n = b b = 0 < <... < n = p je i i+ < 0, i znk u Rimnovoj sumi se meƭ. Teorem 9. Ako su funkcije f i g integrbilne n [,b], integrbiln je i funkcij h( = αf( + βg(, α,β R i vжi b b (αf( + βg( = α b f( + β g(. Dokz. Zsniv se n linernosti sume (αf(ξ i + βg(ξ i ( i+ i = α f(ξ i ( i+ i + β g(ξ i ( i+ i. Ako sd uzmemo lim leve i desne strne, dobijmo jednkost integrl. d 0 Teorem 0. Ako je funkcij f integrbiln n [,b] td je n [,b] integrbiln i funkcij g( = f( i vжi b f( b f(. 9
Dokz. Ovo je posledic osobine sume i i. Teorem. Ako je odseqk [α,β] sdrжn u [,b] i ko je funkcij f integrbiln n [,b], integrbiln je i n [α,β]. Dokz. Ako je limes lim d 0 (M i m i ( i+ i = 0 n [,b], pritom su α i β deone tqke, ond se u sumi primeƭenoj n [α,β] pojvʃuje deo sbirk, sledi d je limes opet nul. Teorem. b postoje. Strn 7. f( = c f( + b c f( z svku tqku c z koju i integrli Teorem. Ako je f( = g( z svko [,b] osim u konqno mnogo tqk i ko je jedn od ovih funkcij integrbiln n [,b], integrbiln je i drug i vжi b f( = b g(. Teorem 4. Nek je funkcij f integrbiln n odseqku [,b] td je ( [,b](f( 0 ( [,b](f( > 0 b b f( 0 f( > 0 Posledic: Nek su funkcije f i g integrbilne n [,b], td: ( [,b](f( g( ( [,b](f( < g( b b f( f( < b b g( g( Teorem 5. (Stv o sredƭoj vrednosti integrbilne funkcije Nek je funkcij integrbiln n [,b] i nek je ( [,b] m f( M m = inf f( M = supf( td postoji µ [m, M] tko d je b f( = µ(b. Npomen: Ako je f( jo i neprekidn n [,b] td je Dokz. b b m b m(b b f( M f( M(b b f( = f(c(b. 0
m b f( M b µ(b = b f( Ako je funkcij f( neprekidn td z ( µ [m,m]( c [,b] µ = f(c. Definicij 8. SredƬ vrednost funkcije f n odseqku [,b] je f s = b f(, b pod pretpostvkom d je funkcij f integrbiln n [, b], µ je proseqn vrednost funkcije f n [,b]. Vez određenog i neodređenog integrl Teorem 6. Nek je funkcij f integrbiln n [,b] i nek je z [,b] : F( = f(t funkcij F( je neprekidn n [,b] ko je i funkcij f neprekidn n [,b] td je funkcij F primitivn funkcij funkcije f n [,b]. Dokz. [,b], dovoʃno mlo, tko d je + [,b] F( + F( = + f(t f(t = + f(t Nek je m f( M n [,b]. N osnovu teoreme (sredƭe vrednosti F( + F( = µ m µ M je neprekidn n [,b]. lim (F( + F( = µ 0 F 0 Ako je i f neprekidn, td je µ = f(c, c (, + tj. c = + θ, 0 < θ < F( + F( = f( + θ F( + F( lim = F ( = lim f( + θ = f( lim ( + θ = f( 0 0 0 F( = f(t + C opti oblik primitivne funkcije F( = C, F(b = b f(t + C b f(t = F(b F( Ov jednkost poznt je pod nzivom ƫutn-Ljbnicov formul.
Geometrijske primene Rimnovog integrl Zpremin rotcionog tel Duжin luk krive b V = lim πf(ξ i ( i+ i = π f( d 0 b V = π f( c i = ( i+ i + (f( i+ f( i Nek su f i f neprekidne n [,b], po Lgrnжovoj f( i+ f( i = f (ξ i ( i+ i i+ ξ i i c i = ( i+ i + (f( i+ f( i = ( i+ i + (f (ξ i l = lim c i = lim + (f (ξ i ( i+ i = d 0 d 0 l = b Povrin rotcionog tel t b + (f ( b ( b + (f dy ( = + = ( + (dy } = (t t ( ( dy l = + y = y(t l = b b P = π + (f ( f( + (f (
Nesvojstveni integrl Definicij 9. Nek je integrl + b f( = lim b b + f( = lim b f( f(, ko limes n desnoj strni postoji odgovrju i integrl z svko b, odnosno, integrl n levoj strni nziv se nesvojstveni integrl funkcije f s beskonqnim grnicm. Ako je odgovrju i limes konqn, nesvojstveni integrl je konvergentn. U protivnom je divergentn. Definicij 0. Ako je funkcij f integrbiln n svkom odseqku od [,b ǫ], ǫ > 0 i neogrniqen u okolini tqke b, td je b f( = lim ǫ 0 b ǫ f( i tkođe se nziv nesvojstveni integrl, li integrl beskonqne funkcije u konqnim grnicm (nlogno z doƭu grnicu. Ako je limes konqn integrl je konvergentn, u suprotnom je divergentn. Primer. 0 = lim ǫ 0 ǫ = lim ǫ 0 ǫ = 0 =
Primer. Izrqunti povrinu ogrniqenu linijm y = +, -osom. y = i y 4 Izrqunjmo prvo koordintu tqke A, + =, =. Trжen povrin je A y = + y = = P = ( + / + ( = ( = 6 = 0 0 4 Litertur [] M. Merkle: Mtemtiqk nliz, teorij i hiʃdu zk,,akdemsk miso, Beogrd 005. [] Z. Kdelburg, V. Mi i, S. OgƬnovi : Anliz s lgebrom 4, tre e dopuƭeno izdƭe,,krug, Beogrd 00. [] Elektronski mterijl: http://mtemtik.etf.bg.c.yu/predmeti/mtemtik.htm God loves you s He loved Jcob. 4