-- 71 -- 7.2. KOORDINATNI SISTEM-KOORDINATIZACIJA Podsjetimo se pojmov dimenzij i bz prostor: ''Njveći'' broj linerno nezvisnih vektor u nekom vektorskom prostoru zovemo dimenzijom tog prostor. Ako je n dimenzij prostor V td svki skup ( e 1,..., e n ) od n linerno nezvisnih vektor nzivmo bzom vektorskog prostor. Ov dv pojm dimenzij i bz su povezni: ko znmo dimenziju, znmo koliko linerno nezvisnih vektor sdrži bz i obrnuto.tj broj jednoznčno određen, tj. d ne zvisi o mogućem izboru rzličitih bz, što smo pokzli u poglvlju o linernim vektorskim prostorim. Pojmovi bze i dimenzije prostor povezni su ztim s pojmovim: linerne kombincije, linerne zvisnosti i nezvisnosti vektor, koje smo definisli u istom poglvlju. Uvođenje koordintnog sistem (koordintizcij), koji će biti određen izborom bze i koordintnog početk, omogućv predstvljnje vektor pomoću relnih brojev. N tj nčin pojednostvnjuju se opercije s vektorim, jer se opercije s vektorim svode n odgovrjuće opercije s brojevim. Koordintizcij prvc. Prostor V 1 = V O (p) kolinernih vektor n prvoj p dobijen je tko d se z proizvoljn vektor 0 (koji leži n prvoj p) posmtrju svi vektori oblik V 1 ={k k R}. Svk dv vektor iz V 1 su linerno zvisn: jedn je višekrtnik drugog. Zto je ''njveći'' broj linerno nezvisnih vektor u prostoru V 1 jednk 1, što je uprvo dimenzij prostor V 1. Svki ne-nul vektor iz V 1 čini bzu tog prostor. Koordintizciju prvc definirmo n sljedeći nčin: odberemo n prvc p točku O p, te n njemu nnesemo brojni prvc tko d je nul u točki O. Jedinični vektor i definišemo ko i = O1, pri ćemu je broju 1 brojnog prvc pridružen točk 1. Vektor i je jednoznčno određen i vrijedi d(o,1) = i = 1. S ovim smo n prvcu p zdli koordintni sistem ko uređen pr (O, i ), gdje je O koordintni početk (tj. ishodište), i vektor bze tog prostor koji je dimenzije jedn. Svkoj točki T koj leži n prvcu p jednoznčno je pridružen njen pscis x i vektor OT. Po prvilu o množenju vektor sklrom iz prgrf 7.1 vrijedi ( T p )(!x R) OT= x O1= x i. (1) Broj x je sklm komponent vektor OT. Zbog jednoznčnosti predstvljnj (1) u koordintnom sistemu (O, i ) koristimo, umjesto (1), sljedeće oznke OT = x OT = x [ ] ili. ( ) Uvođenjem koordintizcije opercije s vektorim sveli smo n opercije s brojevim: ko je OM = 2i = 2, OP = 5i = 5, td je [ ] [ ] 3 OM 2OP 24i 24. ( ) = = [ ] (1 ) Koordintizcij rvnine. S V 2 = V O (Π) oznčvmo vektorski prostor komplnrnih vektor u rvni Π: to je prostor u kojemu su njviše dv vektor linerno nezvisn. (Vidi sl.6) Nek su i 1 2 bilo koj dv nekolinern vektor. Td su oni linerno nezvisni i svki treći vektor prostor V 2 može se izrziti u obliku linerne kombincije vektor i 1 2. Zto je 2 V = L( 1,2) = { = x1+ y2 x,y R } Vektori i 1 2 čine bzu.
-- 72 -- 2 y 2 sl. 6 x 1 1 Primijeti d bzu ovog prostor V 2 = V O (Π) čine i bilo koj (drug) dv linerno nezvisn vektor. Ako vektor npišemo ko linerne kombincije vektor i 1 2, td kžemo d smo vektor rstvili n komponente po vektorim i. 1 2 Iskžimo sd u obliku teorem jednu jednostvnu li vžnu tvrdnju koju zdovoljvju vektori prostor V 2. Student će primijetiti d će nlogne tvrdnje vrijediti i z bilo koji vektorski prostor. Stv1. Nek su 1 i 2 linerno nezvisni. Rstvljnje vektor V 2 n komponente po vektorim 1 i je jedinstveno, tj. 2 2 2 ( )( ( ) ) V! λ, λ R = λ + λ 1 2 1 1 2 2 Dokz. Pretpostvimo d se može npisti u obliku (2) n dv nčin: = λ + λ = μ + μ, λ, λ μ, μ Odvde bi slijedilo kko su 1 i 2 ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2. ( λ μ 1 1) 1+ ( λ2 μ 2)2 = 0 linerno nezvisni, zključujemo d mor vrijediti λ = μ, λ = μ. (2) 1 1 2 2 Koordintni sistem u rvni. Nek su i 1 2 dv nekolinern vektor u rvni Π s zjedničkom početnom tčkom O. Tčku O nzivmo koordintnim početkom (ili ishodištem). Trojku (O;, ) 1 2 nzivmo koordintnim sistemom u rvni. Vektori i 1 2 određuju dvije koordintne ose Ox i Oy, koje odgovrju prvcim p i q koji prolze ishodištem i nosči su vektor i 1 2 respektivno (sl.7). Svkoj točki M u toj rvni jednoznčno odgovr rdijus-vektor OM. Njeg pk možemo rstviti po bzi i 1 2 tko d vrijedi OM = x + y. 1 2 Time je položj točke M opisn uređenim prom sklr (x, y). Njih nzivmo koordinte točke M u koordintnom sistemu (O,, ). A z vektore i 1 2 1 2 kžemo d ''rzpinju'' tu rven. Geometrijski, koordinte točke M određuju se njezinim projiktovnjem n koordintne ose p i q. Projekcij se vrši u smjeru druge koordintne osi.
-- 73 -- q M(x,y) r 2 O 1 Sl.7 p Opisni koordintni sistem u rvnini Π (sl.7) nzivmo prvougli koordintni sistem (što nije obvezno) ko i smo ko su vektori i 1 2 ortogonlni. U prksi obično koristimo prvougli koordintni sistem. Koordintizcij prostor. Koordintizciju trodimenzionlnog prostor E dobijemo slično ko što je prethodno urđeno z prvu i rvn. Prvo odberemo ishodište O i međusobno okomite prvce p, q i r (jsno, ko se rdi o prvouglom koordintnom sistemu) koji prolze kroz točku O. U rvni rzpetoj prvcim p i q definišemo desni prvougli koordintni sistem jediničnih vektor ( O, i, j), gdje su i,j ortovi kordintnih os Ox i Oy koje odgovrju okomitim prvcim p i q respektivno. Ztim n prvcu r O, i, j,k u definišemo koordintni sistem ( O,k ). Time smo definisli prvougli koordintni sistem ( ) prostoru E koji je prikzn n sl.8. Pri tome vrijedi i = OI, j= OJ, k= OK, i = j = k =1. T ' Sl.8
Brojne prve koje smo nnijeli n prve p, q i r su koordintne ose i to redom pscisn, ordintn i pliktn os (x-os, y-os i z-os). Tri rvnine x-y, x-z i y-z, koje su određene odgovrjućim koordintnim osim, zovu se koordintne rvnine i dijele prostor n osm oktnt. Nek je zdn točk T E. Rvni prlelne s koordintnim rvnim koje prolze kroz točku T sijeku koordintne osi u točkm P, Q i R (sl.8). Koordinte tih točk u koordintnim sistemim( O,i ), -74- ( O, j) i ( O,k ) jednke su x, y i z. Brojevi x, y i z su kordinte tčke T, što zpisujemo s T(x,y,z), odnosno x je pscis, y je ordint, z je plikt tčke T. Brojevi x, y i z su su tkođe koordinte (ili sklrne komponente) vektor = OT u koordintnom sistemu ( O, i, j,k). Prem prvilu z sbirnje vektor vrijedi (sl.8) ' OT = OT + OR = xoi + yoj + zok, odnosno = xi + yj+ zk. Sklrne komponente jednoznčno su određene tčkom T, te se z predstvljnje vektor koristi krći zpis x = ( x,y,z ),ili = y, z koji nzivmo koordintn form (predstv) vektor. Vodeći rčun o ovome, sbirnje vektor i množenje vektor sklrom svodi se n odgovrjuće opercije s mtricm dimenzij (1,3) ili (3,1). Primjer1. Nek su dte tčke M 1 (x 1, y 1, z 1 ) i M 2 (x 2, y 2, z 2 ). Td, prem definiciji sbirnj vektor (po prvilu trougl ili ''ndovezivnjem'', tko d nm nije potrebn slik), vrijedi OM1+ M M = OM 2, odnosno M M = OM2 OM 1. Dkle, Tko je nprimjer 1 2 1 2 MM = x x i+ y y j+ z z k= x x,y y,z z. ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 A,,, B,, AB,,. ( 20 1) ( 5 23) = ( 3 24) Primjedb. Kod definicije prvouglog koordintnog sistem u prostoru koristili smo tri međusobno okomite prve p, q i r. Međutim koordintni sistem može se definisti i s prvim koje nisu međusobno okomite, smo odbrne prve treb d su nekomplnrne. Z prvougli koordintni sistem koristimo i termin Dekrtov prvougli koordintni sistem ili ortogonlni trijedr. Jedinični vektori i,j i k, postvljeni u tčki O definišu tri koordintne (Dekrtove) ose: x-osu, y-osu i z-osu, respektivno. Prvougli koordintni sistem oznčvmo s Oxyz (ili xyz). Ndlje ćemo, kd je u rvni zdn koordintni sistem (O; i, j), rvn nzivti rvn xy. Anlogno, govorimo o prostoru xyz, ko je u prostoru zdn koordintni sistem (O; i, j, k). Pojm orjentcije koordintnog sistem. U dosdšnjem izlgnju, međusobni položj bzisnih (koordintnih) vektor nije bio bitn. Z nš dlji rd, međutim, neophodno je precizirti ovj položj. U upotrebi su dv prvougl koordintn sistem: desni (engleski) i lijevi (frncuski). Definicij 2. Kod desnog sistem ili tzv. trijedr desne orijentcije njkrč rotcij vektor i prem vektoru j oko z-ose, posmtrno s krj vektor k, izvodi se u smjeru suprotnom kretnju kzljke n stu (pozitivn rotcij). Suprotno, kod lijevog sistem ili tzv. trijedr lijeve orijentcije pomenut rotcij vektor izvodi se u smijeru kretnj kzljke n stu (negtivn rotcij). Trijedr desne orijentcije može biti predstvljen s tri prst desne ruke, pri čemu plcu, kžiprstu i srednjem prstu odgovrju vektori ( O, i, j,k) respektivno. Odgovrjućim prstim leve ruke može biti predstvljen trijedr leve orijentcije. U nšem dljem rzmtrnju uvek ćemo koristiti trijedr desne orijentcije.
-75- sl.9(desni trijedr) sl.9b (lijevi trijedr) 7.3. SKALARNI PROIZVOD VEKTORA Ugo među vektorim. Pojm ugl između dv vektor je jsn: to je mnji (po psolutnoj vrijednosti) od dv ugl koji ztvrju dv zdn vektor (trnsltirn u zjednički početk). Oznčvt ćemo g s ϕ =,b. Prem tome, ugo može uzeti vrijednost π < ϕ π. ( ) sl. 10 Definicij sklrni proizvod vektor.,b V b : = b ϕ. ( ) cos Time je definisno preslikvnje s V x V u polje relnih brojev (sklr). Odtle i ime ovom proizvodu. Ukoliko je jedn od vektor ili b jednk 0, td je njihov sklrni proizvod, po definiciji, jednk nuli. T ϕ =,b među vektorim nije činjenic, strogo govoreći, ne slijedi iz (3), pošto u tom slučju ugo ( ) definisn. Definicij (3) im z posljedicu i formulu = 2. (4) Tkođer, z okomite vektore biće b = 0, jer je cosπ/2 = 0. Obrtno, ko je b = 0, td možemo zključiti d je brem jedn od vektor ili b jednk nuli, ili je ugo medu njim ϕ = π/2, tj. vektori su okomiti. Dkle b = 0, je uslov ortogonlnosti (okomitosti) vektor, pošto je nul vektor proizvoljnog smijer. Projekcij vektor n vektor. Nek su zdni vektori = OA i b= OB. Ortogonlnu projekciju točku B n prvu OA i oznčimo s B'. Vektor OB' nziv se (vektorsk) projekcij vektor b n vektor i oznčv s b (sl.11). Očito je b = bcosϕ 0. Kko je 0 =, to sklrni proizvod možemo npisti n nčin b = b i nlogno, ko zmijenimo uloge vektor i b, (3)
b b = b -76- sl. 11 Sklm projekcij vektor b n vektor je sklrn veličin Prem tome, sklrni proizvod možemo npisti i n slijedeći nčin b = pr b = b pr. b b cosϕ i oznčvmo s pr b. Osobine sklrnog proizvod. Prem već prije definisnim: sbirnju vektor i množenju vektor sklrom sklrni proizvod im sljedeć svojstv: (S 1 ) 0; = 0 = 0 (pozitivnost) (S 2 ) λ ( b) = ( λ ) b = ( λb) (homogenost) (S 3 ) b = b (komuttivnost) b+ c= b+ c (distributivnost) (S 4 ) ( ) Ov svojstv omogućvju nm d izrze s sklmim proizvodom ''sređujemo'' n ''prirodn'' nčin ko kod opercij s sklrim: ( 2 b)( 3+ 2b) = ( 2)( 3) + ( 2 )( 2b) b( 3) b( 2b) = 6 + 4b 3b 2bb = 6 + b 2bb. Svojstv (S 1 )-(S 3 ) slijede po definiciji. Z dokz svojstv (S 4 ) pogledjmo sl.12 i iskoristimo svojstv projekcije vektor: ( b + c) = pr ( b + c) = ( pr b + pr c) = prb + prc = b+ c. sl. 12. Distributivnost sklrnog proizvod Sklrni proizvod u koordintnoj formi. Nek su i, j, k knonsk bz prostor V 3. Kko nju čine međusobno okomiti jedinični vektori, z njihove sklrne proizvode vrijedi ii = l, j j = 1, kk=l, i j = 0, jk=0, ki = 0. Prikžimo ove proizvode u slijedećoj tblici množenj i j k i 1 0 0 j 0 1 0 k 0 0 1 Svki se vektor može n jednoznčn nčin prikzti preko vektor bze:
= i+ j+ k, b= b i+ b j+ b k, td z njihov sklrni proizvod dobijemo (koristeći svojstv sklmog proizvod i gore npisnu tblicu) b = i + j+ k b i + b j+ b k ( )( ) = bii + bij+ bik 1 1 1 2 1 3 + bji + bjj+ bjk 2 1 2 2 2 3 + bki + bkj+ bkk 3 1 3 2 3 3 = b + b + b. 1 1 2 2 3 3-77- Time smo dobili sljedeću formulu z rčunnje sklmog proizvod vektor zdnih Krtezijevim komponentm vektor b = 1 b 1 + 2 b 2 + 3 b 3. (5) Primjdb. Ovj izrz je u skldu s proizvodom vektor-vrste i vektor-kolone, tj. ko je T ( ) ( ) ( )( ) =,,, b= b,b,b b =,, b,b,b T. Ako poistovjetimo vektor iz prostor V 3 s njemu pridruženom vektor-kolonom u R 3, td sklmi proizvod b možemo pisti i n nčin T b, što je čest prks, pogotovo u tehničkoj literturi. Dužin vektor. Sklmi proizvod vektor s smim sobom dje kvdrt intezitet vektor. Zto je = + +. 2 2 2 1 2 3 Ugo između vektor. Ako su vektori zdni svojim komponentm, td smo u mogućnosti izrčunti sklmi proizvod direktno i pomoću njeg ugo između dv vektor: b cos ϕ= = b b+b +b 1 1 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 1 + 2+ 3 1 + 2+ 3 b b b Uglovi između vektor i koordintnih os. Nek su uglovi između vektor i koordintnih os: ( ) ( ) α = (i,), β = j,, γ = k,. Td se, prem (6), dobij Iz (7) slijedi: i j k cos = cos = cos =. (6) 1 2 α =, β =, γ = 3. (7) α β γ = 1 1 2 3. 0 = = ( cos,cos,cos ) (,, ) (8) Primjer 2. Ako je = i 3j+ 2 k, td je 1 0 = = ( i 3j+ 2k ), 14 14-3 14 14 cos α =, cos =, cos = 14 β 14 γ 2 14. Primjer 3. Ugo izmežu vektor =(2,- 3,1) i b=(1,1,0) je b 21-31+10 7 cos (,b ) = = =. b 4+9+1 1+ 1 14 Vježb. D li je ΔABC, gdje je A(1,3,1), B(0,1,2) i C(1,- 1,0) prvougli ili jednkokrki?
-78-7.4. VEKTORSKI PROIZVOD VEKTORA Definicij vektorskog proizvod vektore i b: to je vektor koji oznčvmo s b s slijedećim svojstvim: (1) b = b sin ϕ. (2) x b je vektor okomit n vektore i b. (3) Trojk (, b, x b) čini desni trijedr. Ako je jedn od vektor nul-vektor, vektorski je proizvod je prem (1) tkođe nul-vektor. Uslov kolinernosti vektor. Ukoliko su vektori i b kolinemi, td je, prem uslovu (1) njihov vektorski proizvod jednk 0 (nul-vektoru). Obrtno, ko je x b = 0, td možemo zključiti, ponovo prem istom uslovu, d vektori i b morju biti kolinemi, (ili je jedn od njih jednk nul-vektoru). b b b i i.. b b sl.13 desni trijedr,b, b ( ) sl.13b lijevi trijedr,b,b ( ) Geometrijsk interpretcij. Apsolutn vrijednost vektorskog produkt x b jednk je površini prlelogrm što g ztvrju t dv vektor. T se činjenic može iskoristiti u elementrnoj geometriji. Osobine vektorskog proizvod. N osnovu definicije vektorskog proizvod moguće je dokzti njegov slijedeć svojstv: 1) xb = - bx, (ntikomuttivnost) 2) λ(xb)= (λ)xb=x(λb), (homogenost) 3) (+b)xc=xc+bxc. (distributivnost) Svojstvo 1) posljedic je zhtjev d trojk (,b,xb) čini desni trijedr (vidi sl.13 i 13b); svojstvo 2) lhko se provjerv rzlikujići uslov λ>0 i λ<0; svojstvo 3) je netrivijlno i zsniv se n geometrijskoj interpretciji vektorskog proizvod i distributivnosti z vektorsku projekciju. Ov svojstv su nm potrebn d bi odredili izrz z vektorski proizvod ko su vektori zdni preko koordint. Zist, n osnovu definicije vektorskog proizvod, nije teško provjeriti slijedeće rezultte ixi=0, jxj=0, kxk=0, ixj=k, jxk=i, kxi=j, jxi= -k, kxj= -i, ixk= -j. Izrčunjmo sd vektorski proizvod, ko su vektori zdti preko koordint. Izlzi
-79- ( ) ( b b b ) b= i+ j+ k i+ j+ k = bi i+ bi j+ bi k 1 1 1 2 1 3 + b j + i b j + j b j k 2 1 2 2 2 3 + bk i+ bk j+ bk k 3 1 3 2 3 3 ( b b ) ( b b) ( b -b) = i+ j+ k 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 2 3 1 3 1 2 = i j+ k, tj. b b b b b b 2 3 1 3 1 2 i j k b= (9) 1 2 3 b b b 1 2 3 Primjer 4. Vektorski proizvod vektor =2i - 3j + k, b= - i + j 2k je i j k 3 1 2 1 2 3 b= 2 3 1 = i j+ k= 5i+ 3j k. 1 2 1 2 1 1 1 1 2 Primjedb. Pomoču formule (9) lhko se provjervju tvrdnje u posljednjem stvu. Svojstvo je posljedic tvrdnje d determinnt mijenj znk pri zmjeni dvije vrste, tj. i j k i j k b = b b b = = b. b b b Svojstvo 2) slijedi iz nčin kko se determinnt množi brojem i j k i j k λ( b)= λ = λ λ λ =(λ ) b. b b b b b b N sličn nčin, koristeći restvljnje determinnte n zbir dvije determinnte, dokzuje se 3). Primjer 5. Izrčunti površinu ΔABC ko je A(1,2,3), B(0,- 1, 2), C(3,3,0). Površin trugl jednk je polovini površine prlelogrm rzpetog vektorim AB = ( 1, 3, 1) AC =,,, te vrijedi ( 21 3) i j k 1 1 1 5 6 P ABC = AB AC = 1 3 1 = 150 =. 2 2 2 2 2 1 3 i
-80-7.4. PROIZVOD TRI VEKTORA 7.4.1. Mješoviti proizvod tri vektor Mješoviti proizvod tri vektor, b, c, koji oznčvmo s [,b,c ] je definisn s [,b,c] = ( b) c. (1) Ko šro vidimo, mješoviti proizvod je sklr. Nek su dti vektori,b,c. Konstruišimo prlelopiped nd ovim vektorim i stvimo xb=d. N dtoj slici (vidi sl. 1) trijedr vektor (O,, b,c) je desne orjentcije; d je tj trijedr suprotne, tj. lijeve orjentcije, vektori d= xb i c bili bi uprvljeni n rzličite strne rvni R rzpete vektorim i b. d= b H c b. Sl.1 Kko je ( b) c= dc= d pr d c, i d = b =B, gdje je B površin prlelogrm konstruisnog nd vektorim i b, tj. površin osnove prethodno konstruisnog prlelopiped. Sem tog je pr d c = H(> 0) visin prlelopiped koj odgovr ovoj osnovi, te zključujemo d ( x b)c = Bh predstvlj zpreminu V prlelopiped konstruisnog nd vektorim trijedr (, b, c), ko je tj trijedr desne orjentcije (ko n sl.15). Ako je trijedr (,b,c) lijeve orjentcije, td je pr d c < 0, te je mješoviti proizvod vektor jednk - V. U svkom slučju, mješoviti proizvod tri vektor po psolutnoj vrednosti jednk je zpremini prlelopiped konstruisnog nd ovim vektorim, tj. dokzli smo stv 1. Zpremin prlelopiped konstruisnog nd vektorim trijedr (,b,c) je ( b) c, z desni trijedr V =, (2) -( b) c, z lijevi trijedr Primjedb. Zpremin prlelopiped rzpetog pomoću vektor (,b,c) je V= ( b) c. Pomoću mješovitog proizvod ne smo d možemo srčunti zpreminu prlelopiped konstruisnog nd vektorim trijedr (,b,c), već dobijemo i odgovor d li je tj trijedr desni ili lijevi.
-81- Dkle, vrijedi: trijedr (,b,c) je desni (lijevi) kko je mješoviti proizvod [,b,c ] pozitivn (negtivn). Zpremin tetredr (pirmide) konstruisnog nd vektorim istog trijedr (,b,c) s sl.1 ) je šestin zpremine 1 V = b c. 6 prlelopiped, tj. ( ) tetr Stv 2. Nek su = 1i+ 2j+ 3k, b= b1i+ b2j+ b3k, c= c1i+ c2j+ c3k, tj. vektori, b, c zdni su preko koordint, td se mješoviti proizvod može srčunti n slijedeći nčin: 1 2 3 [,b,c ]: = ( b) c = b1 b2 b3. (3) c c c Dokz. Sd je 1 2 3 i j k c1 c2 c3 b c= 1 2 3 c1i+ c2j+ c3k = 1 2 3, (4) b b b b b b ( ) ( ) gdje smo uzeli u obzir d je vektorski proizvod x b moguće predstviti determinntom i d je ic =c 1, jc =c 2, kc =c3. Ako u determinnti n desnoj strni jednkosti (4), izvršimo dvije zmjene vrst: prvu i drugu, ztim drugu i treću, vrijednost determinnte se neće promjeniti, tj. iz (4) dobijemo (3). Sd je lhko, koristeći formulu (3) i osobine determinnte, dokzti slijedeće osobine mješovitog proizvod: 1. Akko su su vektori,b,c komplnrni mješoviti proizvod tri vektor je nul, tj. uslov komplnrnosti vektor je 1 2 3 b1 b2 b3 = 0. c c c 1 2 3 2. [,b,c] = [ b,c,] = [ c,b,] = [,c,b] = [ b,,c] = [ c,b,], odkle slijedi zključk: ciklićkom (necikličkom) permutcijom vektor trijedr (,b,c) ne mijenj (mijenj) se orjentcij tog trijedr. Gdje se mješoviti proizvodi istog znk dobiju jedn iz drugog cikličkom permutcijom vektor trijedr (,b,c) ili kd u determinnti izvršimo dv put zmjenu vrst, mješoviti proizvodi suprotnog znk dobiju se jedn iz drugog necikličkom permutcijom vektor trijedr (,b,c) ili kd u determinnti izvršimo smo jednom zmjenu vrst. 3. [,b,c ]: = ( b) c = ( b c), tj. z mješoviti proizvod bilo je oprvdno uvesti oznku [,b,c ], pošto je svejedno gdje stoji znk vektorskog, gdje sklrnog proizvod; 4. λ[,b,c] [ λ,b,c] [, λb,c] [,b, λc] = = = ; 5. [ λ + μ ] = λ[ ] + μ[ ] b,c,d,c,d b,c,d ; Primjer 1. Izrčunti zpreminu tetredr ABCD čiji su vrhovi tčke A(0,-1,0), B(3,3,0), C(-1,3,1), D(1,1,4). Volumen tetredr jednk je šestini volumn prlelopiped konstruisnog nd vektorim: = AB, b= AC, c= AD. Pošto je = AB= r r = ( 330,, ) ( 0. 10, ) = ( 340,, ) i nlogno b = ( 141,, ) i c = ( 124,, ), izlzi [,b,c] B A 3 4 0 = 1 4 1 =+ 62. Dkle trijedr (,b,c) je desni, zpremin tetredr ABCD je 1 2 4 1 V= 62. 6 Primjedb. Dkle, n jednostvn nčin smo riješili problem koji je geometrijski dost složen: odredili smo zpreminu tijel d nismo ni ncrtli to tijelo. Istovrmeno smo odgovorili s koje strne rvni ABC, koj je zdn s tri tčke (A, B i C) leži četvrt tčk (D). N isti nčin možemo provjeriti d li bilo koje četiri tčke leže u istoj rvni, jer će td (i smo td) volumen tetredr biti nul.
N sličn nčin možemo srčunti volumen bilo kojeg tijel koje je omeđeno rvnim plohm, jer svko tkvo tijelo moguće podijeliti n tetredre. Zdtk z vježbu. Primjetiti d je volumen tetredr ABCD, iz prethodnog primjer, moguće izrčunti pomoću prlelopiped rzpetog vektorim BA =, BC = BA + AC = b, BD = BA + AD = c.? Koje je orjentcije trijedr ( BA,BC,BD) Kod rčunnj zpremine tetredr mormo li uzeti vektore vezne z isti vrh tetredr, ili je moguće uzeti bilo koje tri orjentisn brid tetredr, koji nisu komplnrni? 7.4.2. Dvostruki vektorski proizvod. Vektorski proizvod vektor s vektorskim proizvodom b x c zove se dvostruki vektorski proizvod. Dkle, to je vektor x (b x c). Dokzćemo d vrijedi x (b x c) = b (c) c (b). (5) Iz definicije vektorskog proizvod slijedi d je vektor d = x (b x c) normln n vektore b x c i, to znči d je komplnrn s vektorim b i c. Prem tome postoje sklri u i v tkvi d je x (b x c) = ub + vc. (5) Nek je n jedinični vektor koji je ortogonln n vektor c i leži u rvni vektor b i c, sl.2. Ako jednkost (5) pomnožimo sklrno vektorom n izlzi [ x(b x c)]n = u(bn) [(b x c) x n] = u(bn). (6) Sd je b x c π ( b c) n = b c n sin = b c, tj. 2 ( b c) n= b c c0 = b c sin( b,c) c0 = b sin ( b,c) c= ( bn) c, gdje je c 0 c ort vektor c. Prem tome je ( b c) n= ( bn) c. (7) Iz (6) i (7) slijedi u = c. b Dlje ( b c) ( b c) = 0 n Sl. 2. ( ub+ vc) = 0 u( b) + v( c) = 0 (c)(b) + v(c) = 0 v = - (b), čime je dokz zvršen. Slično se dobije: ( x b) x c = b (c) (bc), (8) tj. dvostruki vektorski proizvod leži u rvni rzpetoj vektorim koji su u zgrdi. Vježb. 1)Koristeći formulu (5), provjeriti ( b c) + b( c ) + c ( b ) =0. (9) 2) Dokzti formule (5) i (8) ko su vektori,b i c zdni preko koordint ko u stvu 2. Pritom koristiti činjenicu d se i vektor d može zpisti preko koordint d = (d 1, d 2, d 3 ), te d je d 1 = id, d 2 = jd, d 3 = kd, itd. 3) Provjeriti d je (,b 0 ) b 1 = b+ b ( b), (10) 2 2 b b gdje formul (10) predstvlj rstvljnje vektor po komponentm (u dv međusobno normln prvc) u prvcu vektor b i vektor normlnog n b. 4) Z proizvode četeri vektor, dokzti slijedeće jednkosti c d ( b)( c d) = ; (11) bc bd ( b) ( c d) = [,b,d] c [,b,c] d. (12) -82-
-83- Provjerićemo smo 4). Stvimo c d= e i iskoristimo mogućnost cikličke permutcije u mješovitom proizvodu: c d b c d = b e= b e = b c d = bd c bc d = c bd d bc = ; bc bd ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) Sd stvimo b= ei primjenimo (5). Dobijemo: ( b) ( c d) = e ( c d) = ( ed) c ( ec) d= [,b,d] c [,b,y] d. Primjedb. Ako se u (11) umjesto c stvi i umjesto d stvi b, dobije se jednkost b 2 2 2 2 b = = b,b, b bb sin ( ) (13) Odkle se dobije Lgrnžov identitet (Lgrnge, P.J.L., frncuski mtemtičr (1736-1813)): ( ) 2 2 2 2 b + b = b. Determinnt u (13) nziv se Grmov (Grm, J.P., dnski mtemtičr (1850-1916)). Iz (13) ili (14) dobije se Košijev nejednkost (Cuchy, A. L., frncuski mtemtičr (1789-1857)) ( ) 2 ( 2 2 2 )( 2 2 2 1b 1+ 2b 2+3b3 1+ 2+3 b 1+b 2+b3) (14), (15) gdje znk jednkosti vži kko su vektori i b kolinerni, tj. kko Košijev nejednkost im generlniji oblik ( λ )( ν= 13 ) bν = λ ν R,. n n n νb ν 2 2 ν b, ν ν= 1 ν= 1 ν= 1 gdje znk jednkosti vži kko su vektori i b kolinerni, tj. kko 2 ( λ )( ν= 1 n) bν = λ ν R,. Vježb. Provjerite sklrni oblik Lgrnžovog identitet: 2 2 2 2 b -b + b -b + b - b + b+b +b = 2 + 2 + 2 b 2 +b 2 +b 2. ( 1 2 2 1) ( 2 3 3 2) ( 3 1 1 3) ( 1 1 2 2 3 2) ( 1 2 3)( 1 2 3) (16)