1 Matematička logika. 1.1 Iskazni račun

1 Matematička logika 1.1 Iskazni račun Iskaz je suvisla rečenica za koju se može utvrditi da li je tačna ili netačna. Iskaze obeležavamo slovima p, q,... Vrednost iskaza v(p) {, }, redom tačno i netačno. Složeni iskazi nastaju primenom operacija iskaznog računa i,,,, redom negacija, konjunkcija, disjunkcija, implikacija, ekvivalencija, isključiva disjunkcija (xor), čije su tablice istinitosti redom,,,,,.

1.1.1 Iskazne formule 1. Iskazno slovo je iskazna formula. 2. Ako su P i Q iskazne formule, onda je to i P, (P Q), (P Q), (P Q), (P Q), (P Q). 3. Iskazne formule nastaju samo konačnom primenom pravila 1 i 2. Prioritet operacija Brisanje nepotrebnih zagrada. ZADATAK 1 Napraviti istinitosnu tablicu iskazne formule ((p r) q) q. Prvo obrisati nepotrebne zagrade.

1.1.2 Tautologije Tautologija je iskazna formula koja je tačna za sve vrednosti iskaznih slova. Pravilo isključenja trećeg p p De Morganovi zakoni (p q) p q, (p q) p q Kontrapozicija (p q) ( q p) Definicija implikacije (p q) p q Distributivnost p (q r) (p q) (p r), p (q r) (p q) (p r) Tranzitivnost implikacije (p q) (q r) (p r) Modus ponens p (p q) q Dodajemo na pravilo 1 iskaznih formula da su i iskazne formule. Formula P je tautologija ako i samo ako (akko) je formula P tautologija. Isto za P, P, P Princip zamene za jednakost.

1.1.3 Načini dokazivanja tautologija Istinitosna tablica Svo denje na poznatu tautologiju Diskusija po slovu ZADATAK 2 Ispitati da li je tautologija (p q) (p q). ZADATAK 3 Ispitati da li je tautologija diskusijom po slovu (p r) q q.

1.2 Predikatski račun Predikat je iskaz čija istinitost zavisi od promenljive koja uzima vrednosti nad nekim modelom (skupom). Na primer P(x) = "x je paran broj" nad N. Kvantifikatori, daju istinitosnu vrednost predikatu nad nekim modelom. ( x)p(x) uzima vrednost ako je P(x) tačan za sve vrednosti x u posmatranom modelu, inače uzima vrednosti. ( x)p(x) uzima vrednost ako je P(x) tačan za neku vrednost x u posmatranom modelu, inače uzima vrednosti. Valjane formule su formule predikatskog računa koje su tačne na svakom modelu. Na primer (( x)p(x)) ( x) P(x) (( x)p(x)) ( x) P(x)

1.3 Skupovi Osnovni pojam. Poznajemo skup ako za proizvoljni element možemo utvrditi da li mu pripada. Obeležavamo ih velikim slovima engleske abecede. Oznake,, =, # odnosno i značenje Ne postoji skup svih skupova. Postoji prazan skup. Partitivni skup je skup svih podskupova nekog skupa. Zadavanje skupova {x P(x)} Operacije sa skupovima,, \, Ā u univerzalnom skupu X Skupovne formule, uvodimo ih slično kao iskazne formule Dokazivanje skupovnih formula Ure deni par (a,b) = {a,{a,b}} Dekartov proizvod A B = {(a,b) a A b B}.

2 Algebra 2.1 Relacije Za neprazan skup A, za ρ A A kažemo da je relacija (skupa A). Ako (x,y) ρ kažemo da su x i y u relaciji, pišemo xρy. Na primer u skupu {1,2,3} relacije: = {(1,1),(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,3)} ρ = {(1,1),(2,2),(3,3),(1,3),(3,1)} Refleksivnost Simetričnost Tranzitivnost Antisimetričnost ( x A) (x, x) ρ ( x,y A) (x,y) ρ (y, x) ρ ( x,y,z A) (x,y) ρ (y,z) ρ (x,z) ρ ( x,y A) (x,y) ρ (y, x) ρ x = y RST relacije nazivamo relacije ekvivalencije. RAT relacije nazivamo relacije poretka. Za skup A dijagonala je A = {(x, x) x A}. Ispitati osobine relacije: (a) A u skupu A, (b) u skupu R, (c) "daje isti ostatak pri deljenju sa 4 kao" u skupu N.

Za RST relaciju ρ skupa A klasa elementa x A je a količnički skup je C x = {y (x,y) ρ}, A /ρ = {C x x A}. Za skup A i relaciju ρ sa prethodne strane naći A /ρ. Za RAT relaciju ρ skupa A elemenat x A je najmanji ako ( y A)(x,y) ρ, najveći ako ( y A)(y, x) ρ, minimalni ako ( y A) ((y, x) ρ y = x), maksimalni ako ( y A) ((x,y) ρ y = x). Za skup A = {1, 2, 3} i relaciju naći najmanji, najveći, minimalni, maksimalni element. Haseov dijagram za relacije RAT. Za x,y N kažemo da x deli y akko ( z N)xz = y. Pišemo x y. Dokazati da je RAT. Napraviti Haseov dijagram i naći najmanji, najveći, minimalni, maksimalni element za u skupu (a) {1,2,3,4,5,6}, (b) {2,3,4,5,6}, (c) {2,3,6}, (d) {1,2,4}, (e) N, (f) N\{1}. Za n N definišemo relaciju nad Z: x n y ( z Z)(x y) = zn. Dokazati da je RST.

2.2 Funkcije Skup ure denih parova f je funkcija ako ( x D( f ))( y,z R( f )) (x,y) f (x,z) f y = z, gde je D( f ) skup prvih komponenti i R( f ) skup drugih komponenti ure denih parova iz f. D( f ) nazivamo domen, R( f ) nazivamo skup slika funkcije f. Kažemo da funkcija f preslikava A u B i pišemo f : A B ako je D( f ) = A i R( f ) B. (x,y) f pišemo f (x) = y ili f : x y. Ako f : A B i R( f ) = B, kažemo da je f sirjektivna, odnosno "na" i pišemo f : A na B. Ako f : A B i ( x,y A) f (x) = f (y) x = y, kažemo da je f injektivna, odnosno "1-1" i pišemo f : A 1-1 B. Ako je funkcija f : A B sirjektivna i injektivna, kažemo da je bijektivna, odnosno bijekcija, odnosno obostrano jednoznačno preslikavanje. Pišemo f : A 1-1 B. na Ako je f : A B bijekcija, onda je f 1 = {(y, x) (x,y) f } funkcija. Funkciju f 1 : B A zovemo inverzna funkcija od f i ona je tako de bijekcija. Ispitati da li su "1-1" i "na" funkcije x 2 : [1,2] [1,4], cos x : [ π 3, π 6 ] [ 1 2,1]

Kompozicija funkcija g : A B i f : B C u oznaci f g je funkcija definisana f g(x) = f (g(x)). Identična funkcija I A : A A je definisana I A = A, odnosno ( x A) f (x) = x. Ako f : A B, onda je f 1 f = I A i f f 1 = I B. Primer. Popuniti tabelu ( 1 2 3 4 f 1 = 1 2 3 4 f 1 f 2 f 3 f 4 f 1 f 2 f 3 f 4 ), f 2 = ( 1 2 3 4 4 3 2 1 ) ( 1 2 3 4, f 2 = 2 1 4 3 Naći f 1 1 = f2 1 = f3 1 = f 1 4 = ) ( 1 2 3 4, f 4 = 3 4 1 2 ). Naći f g i g f za f (x) = x i g(x) = x 2. Naći f g i g f za f (x) = e x i g(x) = x. Naći D( f ), R( f ) i f 1 (x) za f (x) = x+1 x 2. Neka je A = {1,2,3} i B = {4,5}. Koliko ima funkcija f : A B? "na"? "1-1"? "rastućih"? "neopadajućih"?

2.3 Grupoidi Za neprazan skup A funkciju : A 2 A zovemo binarna operacija. Umesto (x,y) = z pišemo x y = z. Kažemo da je (A, ) grupoid. Ako ( x,y A) x y = y x, kažemo da je komutativna. Ako ( x,y,z A) x (y z) = (x y) z, kažemo da je asocijativna, odnosno da je (A, ) asocijativni grupoid, ili polugrupa. Ako ( e A)( x A) x e = e x = x, kažemo da je e neutralni element grupoida (A, ). Ako je e neutralni element grupoida (A, ) i ( x A)( x A) x x = x x = e, kažemo da grupoid (A, ) ima osobinu inverznog elementa i kažemo da je x inverzni za x. Za polugrupu sa neutralnim elementom i inverznim elementom za svaki element kažemo da je grupa. Primeri Ako je B A i (A, ) grupa i (B, ) grupa, gde je poslednja operacija restrikcija operacije iz A, kažemo da je grupa B podgrupa grupe A. Primeri

Napraviti Kejlijevu tablicu, pokazati da je (F, ) grupa, gde je i naći sve podgrupe. A = {1,2,3}, F = { f f : A 1-1 A}, kompozicija funkcija na 2.4 Osobine grupa i grupoida Ako u grupoidu postoji neutralni element onda je on jedinstven. Za proizvoljan element u grupi inverzni element je jedinstven. U grupi (A, ) za sve a,b A važi (a b) = b a i jednačine a x = b i x a = b su jednoznačno rešive po x. Neka je (A, ) grupa i = B A. (B, ) je podgrupa grupe A u odnosu na restikciju akko: ( x,y B) x y B i ( x B) x B. Ako su A i B konačni skupovi i (B, ) podgrupa (A, ), onda #B #A.

2.5 Prsteni i polja (R,+, ) kažemo da je prsten ako su + i operacije na nepraznom skupu R i R1 (R, +) je komutativna grupa, R2 (R, ) je polugrupa, R3 ( x,y,z R) x(y + z) = xy + xz i (x + y)z = xz + yz. Neutralni element operacije + obeležavamo 0 i zovemo nula prstena. Inverzni element za x u odnosu na operaciju + obeležavamo x i zovemo suprotni element. Definišemo x y = x + ( y). Naravno: ( x R)x x = 0. Neutralni element operacije zovemo jedinica prstena i obeležavamo 1. U prstenu (R,+, ) ( x R)x0 = 0x = 0, ( x,y R)x( y) = ( x)y = (xy). Kažemo da je prsten (R,+, ) polje ako je F2 (R\{0}, ) komutativna grupa. Inverzni element za x u polju (F,+, ) obeležavamo x 1. Primeri

2.6 Kongruencija po modulu Za n N u skupu Z definišemo relaciju n : x n y ( z Z)x y = nz. Relacija n u skupu Z je RST. x n y akko x i y daju isti ostatak pri deljenju sa n. Količnički skup Z / n = {C 0,C 1,...C n 1 }, gde su klase ekvivalencije C x = {y x n y}. Primeri U skupu Z / n definišemo operacije + n i n: Operacije + n i n su dobro definisane. C x + n C y = C x+y i C x n C y = C x y. (Z / n,+ n, n) je prsten sa neutralnim elementom i drugom operacijom komutativnom, a za n prost broj je polje. Ubuduće obeležavamo Z / n = Z n = {0,1,...,n 1} i umesto C x za x Z n pišemo x, operacije pišemo bez n. Primer Napraviti Kejlijeve tablice grupoida + i prstena (Z 3,+, ) i (Z 4,+, ).

2.7 Kompleksni brojevi Ure dena trojka (R 2,+, ) je polje, gde su + i definisane (a,b) + (c,d) = (a + c,b + d), (a,b)(c,d) = (ac bd, ad + bc). Obeležavamo C = R 2 (x,y) = x + yi, (0,1) = i, i 2 = 1. Za z = x + yi C, Re(z) = x, Im(z) = y, z = x yi z z = x 2 + y 2. Za α R, αz = (αx,αy). Definišemo z = x 2 + y 2. Važi z z = z 2. Za z,w C i α R važi zw = z w, αz = α z, z + w z + w, z w z w.

2.7.1 Kompleksna ravan, polarne koordinate, eksponencijalni zapis Im y ρ ϕ x z = x + yi Re x = ρcos ϕ y = ρsin ϕ ρ = z = x 2 + y 2 ϕ = argz arctan y x, x > 0 arctan y x + π, x < 0,y 0 argz = arctan y x π, x < 0,y < 0 π 2, x = 0,y > 0 π 2, x = 0,y < 0 Uvodimo oznaku: e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ. z = x + iy = ρcos ϕ + iρsin ϕ = ρe iϕ Prevesti iz algebarskog u eksponencijalni zapis (i obrnuto) kompleksne brojeve 2 2i = 1 + i = 5 = i = 2e π 4 i = e π 2 i = 2 3e 5π 6 i = 2e 3π 4 i =

2.7.2 Operacije u eksponencijalnom zapisu Neka z 1 = ρ 1 e iϕ 1 i z 2 = ρ 2 e iϕ 2, za ρ 1,ρ 2 [0, ) i ϕ 1, ϕ 2 ( π,π]. z 1 z 2 = ρ 1 ρ 2 e i(ϕ 1+ϕ 2 ) Za z = ρe iϕ, ρ [0, ) i ϕ ( π,π] z 1 z 2 = ρ 1 ρ 2 e i(ϕ 1 ϕ 2 ) z n = ρ n e inϕ n z = n ρe i ϕ+2kπ n,k = 0,1,...n 1. Izračunati u algebarskom obliku i koristeći eksponencijalni zapis (1 i) 3 = (1 i)( 3 + i) = i/(3 3i) = 3 8i = Rotacija z = ρe ϕi oko koordinatnog početka za ugao α daje w = ze αi = ρe (ϕ+α)i. Rotacija z oko z 0 za ugao α daje w = z 0 + (z z 0 )e αi.

2.8 Polinomi Izrazi oblika p = a n x n + + a 1 x + a 0, gde su a n,..., a 1, a 0 F, n N {0} i a n = 0, su polinomi nad poljem (F,+, ). Nula polja 0 je tako de polinom, nazivamo ga nula polinom. dg(p) = n je stepen polinoma p, a stepen nula polinoma se ne definiše. U skupu svih polinoma nad F, u oznaci F[x], posmatramo operacije sabiranja i množenja polinoma koje se definišu na uobičajen način. (F[x], +, ) je komutativni prsten sa jedinicom. Ako su p i q nenula polinomi onda je pq = 0 i dg(pq) = dg(p) + dg(q). Za svaka dva polinoma p i q = 0 postoje jedinstveni polinomi s i r takvi da je p = qs + r i (r = 0 dg(r) < dg(q)). Kažemo da je s rezultat deljenja p sa q, r je ostatak. p je deljiv sa q ako je r = 0. Hornerova šema: Ako za n > 0, polinom p = a n x n + + a 1 x + a 0 delimo polinomom q = x α rezultat deljenja je polinom s = b n 1 x n 1 + b 1 x + b 0, a ostatak r = αb 0 + a 0 i: b n 1 = a n, b n 2 = αb n 1 + a n 1,...,b 0 = αb 1 + a 1. Polinomu p pridružujemo njegovu polinomsku funkciju ψ(p) : F F, koja vrednosti x F pridružuje vrednost a n x n + + a 1 x + a 0. Umesto ψ(p)(x) kraće pišemo p(x).

Bezuova teorema: Ostatak pri deljenju polinoma p = a n x n + + a 1 x + a 0 sa x α je p(α). a n a n 1 a 1 a 0 α a n α a n + a n 1 αb 1 + a 1 αb 0 + a 0 = b n 1 = b n 2 = b 0 = p(α) Polinom stepena većeg od 0 je svodljiv ako se može napisati kao proizvod dva polinoma čiji stepeni su manji od njegovog. Polinom stepena 1 je nesvodljiv. Ako polinom stepena n > 1 ima koren α, onda je svodljiv, jer je deljiv sa x α. Polinom stepena n ima najviše n korena. Faktorisati polinom znači napisati ga u obliku proizvoda nesvodljivih polinoma. Svaki polinom stepena većeg od 0 nad poljem kompleksnih brojeva C ima koren. U polju C polinom p stepena n > 0 se može faktorisati p = a n (x x 1 )(x x 2 ) (x x n ). Ako je polinom p deljiv polinomom (x α) k i nije deljiv polinomom (x α) k+1, kažemo da je k višestrukost korena α za polinom p. U polju C polinom p stepena n > 0 ima n korena uračunavajući višestrukost. Ako je polinom p R[x] i p(α) = 0, onda je p(ᾱ) = 0. (x z)(x z) = x 2 2 Re(z)x + z 2 Polinom nad poljem R se može faktorisati tako da činioci nemaju stepen veći od 2.

3 Linearna algebra 3.1 Sistemi linearnih jednačina Ako su a i,j R, za i = 1,2,...,m, j = 1,2,...,n, i b i R, za i = 1,2,...,m, onda a 1,1 x 1 + a 1,2 x 2 + + a 1,n x n = b 1 a 2,1 x 1 + a 2,2 x 2 + + a 2,n x n = b 2... a m,1 x 1 + a m,2 x 2 + + a m,n x n = b m zovemo sistem m linearnih jednačina sa n nepoznatih x 1, x 2,..., x n R. a i,j zovemo koeficijenti sistema, b i zovemo slobodni koeficijenti, x i su promenljive, odnosno nepoznate. Ure dena n-torka brojeva (x 1, x 2,..., x n ) koji uvršteni umesto promenljivih zadovoljavaju sve jednačine sistema zove se rešenje sistema. Ako sistem ima barem dva rešenja, onda ima beskonačno mnogo rešenja. Takav sistem zovemo neodre den. Sistem koji nema rešenja zovemo nemoguć, (kontradiktoran, nesaglasan). Sistem koji ima tačno jedno rešenje zovemo odre den.

Kažemo da su dva sistema ekvivalentna ako imaju iste skupove rešenja. Ako je b 1 = b 2 = = b m = 0, kažemo da je sistem homogen. Homogen sistem ima rešenje x 1 = x 2 = = x n = 0, koje zovemo trivijalno rešenje. 3.1.1 Ekvivalentne transformacije sistema Zamena mesta dve jednačine. Množenje jednačine brojem različitim od nule. Množenje jednačine brojem i dodavanje nekoj drugoj jednačini. Primena ekvivalentnih transformacija daje sistem ekvivalentan polaznom. Na primer: x + y z = 2 x + y + z = 4 3x y + z = 6 3x y + z = 6 x + y + z = 4 x + y z = 2 3x y + z = 6 2x + 2y + 2z = 8 x + y z = 2 3x y + z = 6 2x + 2y + 2z = 8 3x + 3y + z = 10 Relacija ekvivalencije sistema linearnih jednačina je relacija ekvivalencije (RST).

3.1.2 Gausov postupak eliminacije Kažemo da je sistem gornje trougaoni ako počevši od prve, u svakoj sledećoj jednačini ima barem jedna nepoznata manje. Gausov postupak eliminacije se sastoji u dovo denju sistema na gornje trougaoni primenom ekvivaletnih transformacija. Ako se dobije jednačina 0 = 0, ona se izbacuje. Ako se dobije jednačina 0 = b, gde je b = 0, prekida se dalji rad, sistem je nemoguć. Kada je sistem u gornje trougaonom obliku, označimo sa r (r m) broj preostalih jednačina. Ako je r = n, sistem je odre den i rešenje se može dobiti polazeći od poslednje jednačine prema prvoj, uvrštavanjem dobijenog rešenja i rešavanjem dobijene jednačine sa jednom nepoznatom. Ako je r < n, sistem je neodre den ((n r)-struko) i može se prvih r nepoznatih (sa leva) izraziti preko preostalih (n r), istim postupkom kao kod odre denog sistema sa r jednačina i r nepoznatih. Primeri

3.2 Determinante Determinanta je operacija nad n 2 elemenata polja F: a 1,1 a 1,2... a 1,n a 2,1 a 2,2... a 2,n D =... = ( 1) σ(i 1,i 2,...,i n ) a 1,i1 a 2,i2 a n,in po svim perm. a n,1 a n,2... a n,n (i 1,i 2,...,in) gde je σ(i 1,i 2,...,i n ) broj inverzija permutacije (i 1,i 2,...,i n ), čija parnost odlučuje znak. Ako je D dobijena zamenom dve vrste (ili kolone) determinante D, onda je D = D. Ako je determinanta D dobijena množenjem svih elemenata jedne vrste (ili kolone) determinante D istim brojem α, onda je D = αd. Ako je determinanta D dobijena množenjem elemenata jedne vrste (ili kolone) determinante D i dodavanjem odgovarajućim elementima neke druge vrste (kolone) determinante D, onda je D = D. Minor elementa a i,j je M i,j = determinanta D bez i-te vrste i j-te kolone. Algebarski komplement elementa a i,j je A i,j = ( 1) i+j M i,j. D = n j=1 a i,j A i,j = n i=1 a i,j A i,j.

Kažemo da je determinanta gornje trougaona ako su elementi ispod glavne dijagonale jednaki nuli. (i > j a i,j = 0) Vrednost gornje trougaone determinante jednaka je proizvodu elemenata sa glavne dijagonale (D = a 1,1 a 2,2 a n,n ) Determinante i sistemi linearnih jednačina Sistem lin. jedn. je kvadratni ako je m = n: a 1,1 x 1 + a 1,2 x 2 + + a 1,n x n = b 1 a 2,1 x 1 + a 2,2 x 2 + + a 2,n x n = b 2... a n,1 x 1 + a n,2 x 2 + + a n,n x n = b n Determinanta kvadratnog sistema je a 1,1 a 1,2... a 1,n a 2,1 a 2,2... a 2,n D =... a n,1 a n,2... a n,n Kvadratni sistem je odre den ako i samo ako je D = 0. Kramerovo pravilo: Ako je kvadratni sistem odre den, onda je x i = D x i D, i = 1,2,...,n, gde je D xi determinanta sistema u kojoj su koeficijent uz x i zamenjeni slobodnim koeficijentima.

Matrice Skup matrica m n nad poljem R definišemo a 1,1 a 1,2... a 1,n R m n a 2,1 a 2,2... a 2,n =..., a i,j R, i = 1,...,m, j = 1,...,n. a m,1 a m,2... a m,n Za matrice A = [a i,j ] i B = [b i,j ] definišemo A + B = [a i,j + b i,j ] i za α R, αa = [αa i,j ]. (R m n,+) je komutativna grupa. Za matrice A m p i B p n definišemo A B = [ p k=1 a i,kb k,j ]. (R n n, ) je nekomutativna polugrupa sa neutralnim elementom. Neutralni element je jedinična matrica I koja ima jedinice na glavnoj dijagonali, a nule na ostalim mestima. (R n n,+, ) je nekomutativan prsten sa neutralnim elementom. Za matricu A = [ a i,j ] definišemo determinantu A = ai,j. Ako za kvadratnu matricu A postoji A 1 takva da AA 1 = A 1 A = I, kažemo da je A 1 inverzna matrica matrice A.

Primena matrica Rešavanje matričnih jednačina Rešiti matričnu jednačinu AX = B, gde je A = 2 3 1 3 2 2, B = 1 1 8 3 1 2 2 4 1 [ ] 10 6 2 3 Rešiti matričnu jednačinu XA = B, gde je A =, B = 6 5 2 4. 2 10 Primenom matrica rešiti sistem jednačina x + y z = 2 2x + y + z = 5 3x y + z = 2 Primenom matrica rešiti sistem jednačina x + y z = 3 2x + y + z = 7 3x y + z = 5.

Sistemi linearnih jednačina i matrice, vežbe Primenom matrica rešiti sistem jednačina 3x + 2y = 14 2x 3y = 5 Primenom matrica rešiti sistem jednačina x + y z = 6 2x + y + z = 6 3x y + z = 2 Primenom inverzne matrice rešiti matričnu jednačinu AX + 2X = B, gde je 2 3 2 1 14 A = 3 2 2, B = 10 7. 1 1 1 9 0 Primenom sistema jednačina rešiti matričnu jednačinu AX = B, gde je 2 3 5 8 A = 3 2, B = 12 1. 2 2 2 6

Razni zadaci iz sistema i matrica Za koju vrednost parametra p je sistem odre den? 1. 2. 3. 3x + py = 14 2x 3y = 5 x + y z = 6 2x + y + z = 6 px y + z = 2 x + y = 4 2x y = 2 px + y = 8 4. x + y z = 6 px + y + z = 6 Za koju vrednost parametra p je matrica 2 p 1 3 2 2 1 2 2 singularna?

Analitička geometrija (u ravni) Jednačina prave Opšti oblik Ax + By + C = 0 Eksplicitni oblik y = kx + n Segmentni oblik x a + y b = 1 Data je prava svojom jednačinom u opštem obliku. Napisati datu jednačinu u eksplicitnom i segmentnom obliku, nacrtati u ravni i označiti na crtežu parametre k,n, a,b. (ako može) (a) 2x + 3y 4 = 0 (b) 3x 4y = 0 (c) 3y 6 = 0 (d) x 3 = 0 (e) x = 0 Jednačina prave kroz A(x 0,y 0 ) paralelna pravi y = kx + n: y y 0 = k(x x 0 ) Jednačina prave kroz A(x 0,y 0 ) i B(x 1,y 1 ): y y 0 = y 1 y 0 x 1 x 0 (x x 0 ) Postaviti u sva tri oblika jednačinu prave kroz A(1,2) i B(3, 2).

Ugao izme du pravih y = k 1 x + n 1 i y = k 2 x + n 2 : tan ϕ = k 1 k 2 1 + k 1 k 2 Postaviti jednačinu normale n na pravu p : y = 2 3 x 1 u tački prave p čija apscisa je x = 3. Dati skicu. Na pravi y = x + 6 naći tačku koja je jednako udaljena od tačaka A(2,1) i B(5,2). Dati skicu. Nacrtati u ravni prave 3x + 5y 9 = 0 i 4x 2y + 1 = 0, naći njihov presek i tangens oštrog ugla pod kojim se seku. Dati skicu. Postaviti jednačinu prave p koja sadrži tačku A(2,2) i normalna je na pravu y = 2x + 1 i odrediti preseke prave p sa koordinatnim osama. Dati skicu. Na pravi kroz tačke A(2,1) i B(5,2) naći tačku koja je najbliža tački C(7,6). Dati skicu. Kroz tačku T( 1, 1) postaviti pravu p koja pravu q : 3x + 2y = 6 seče pod uglom ϕ za koji je tan ϕ = 1 2. Dati skicu. Na pravi p : x 2y + 2 = 0 odrediti tačke čije rastojanje od koordinatnog početka iznosi 1. Dati skicu.

Slobodni vektori Vektori su orijentisane duži. Dva vektora su jednaka ako imaju isti pravac, smer i intenzitet. y y 0 + y 1 y 1 y 0 O b B b a a a + b C 1 A C α a x 1 x 0 x 0 + x 1 x a = OA, b = OB, a + b = OC b a = AB = OB OA OC 1 = 1 2 ( OA + OB) = 1 2 ( a + b) a = (x 0,y 0 ), b = (x1,y 1 ) a + b = (x0 + x 1,y 0 + y 1 ) α a = (αx 0,αy 0 ) a = x0 2 + y2 0, α a = α a Za skalare α i β i vektore a i b, linearna kombinacija je vektor α a + β b Važe sledeće osobine: 0 a = 0, α( a + b) = α a + α b, (α + β) a = α a + β a, α(β a) = (αβ) a, 1 a = a. Vektori na koordinatnim osama x i y intenziteta 1 su ortovi, redom i i j. Svaki vektor može da se izrazi kao njihova linearna kombinacija: a = (x 0,y 0 ) = x 0 i + y0 j Nula vektor 0 je vektor za koji su početna i krajnja tačka iste, nema pravac i smer.

Osobine množenja vektora skalarom: za proizvoljne skalare α i β i vektore a i b važi: α( a + b) = α a + α b, (α + β) a = α a + β a, α(β a) = (αβ) a, 1 a = a, 0 a = 0 = α 0, a + b a + b, α a = α a, a = 0 a = 0. Slobodni vektori u prostoru se predstavljaju kao linearna kombinacija ortonormiranih vektora i, j i k: a = x0 i + y0 j + z0 k, što zapisujemo a = (x0,y 0,z 0 ). Skalarni proizvod vektora a b = a b cos ( a, b), gde je ( a, b) neorijentisani konveksni ugao izme du vektora a i b. Osobine: za proizvoljni skalar α i vektore a, b i c važi a b = b a, (α a) b = a(α b) = α( a b), a( b + c) = a b + a c, a b = 0 a b (x 0,y 0,z 0 )(x 1,y 1,z 1 ) = x 0 x 1 + y 0 y 1 + z 0 z 1 Primer Data su temena trougla ABC: A(2,1,3), B(3,3,5), C(4,3,4). Izračunati stranice i uglove trougla i naći koordinate težišta T.

Vektorski proizvod vektora Vektorski proizvod vektora a i b koji označavamo a b je vektor koji je ortogonalan na pravac vektora a i b; redom a, b i a b čine desni triedar i a b = a b sin ( a, b). Osobine: za proizvoljni skalar α i vektore a, b i c važi a b = b a, (α a) b = a (α b) = α( a b), a ( b + c) = a b + a c, 0 a = 0 Primer Data su tri temena paralelograma ABCD: A(2,1,3), B(3,3,5), C(4,3,4). Naći četvrto teme D, izračunati površinu pralelograma i ugao izme du dijagonala. Mešoviti proizvod vektora Za vektore a, b, c, mešoviti proizvod je a( b c). Ako vektori a, b i c čine desni triedar mešoviti proizvod je pozitivan. Zapremina paralelopipeda nad vektorima a, b i c je a( b c).

Primer 1 Data su tri temena paralelograma ABCD: A(2,1,3), B(3,3,5), C(4,3,4). Naći četvrto teme D, izračunati površinu pralelograma. Naći presek dijagonala paralelograma. Naći vrh prave piramide ABCDE čija je zapremina V = 153. Primer 2 Naći jedinični vektor normalan na ravan trougla ABC, ako je A(2, 1,3), B( 2,3,5), C(4,3,4). Primer 3 Naći visinu paralelopipeda odre denog vektorima a, b i c na ravan odre denu vektorima a i b. Primer 4 Naći udaljenost koordinatnog početka od ravni trougla ABC, A(2, 1, 3), B( 2, 3, 5), C(4, 3, 4).