TEHNIƒKA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije, III semestar

TEHNIƒKA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije, III semestar Prof. dr Stanko Br i Prof. dr Rastislav Mandi Doc. dr Stanko ori email: cstanko@grf.bg.ac.rs Graževinski fakultet Univerzitet u Beogradu k. god. 2017/18

Sadrºaj 1 Posebni oblici kretanja krutog tela Translatorno kretanje krutog tela Rotacija krutog tela oko nepokretne ose Rotacija krutog tela oko nepokretne ta ke 2 3 Osnovni pojmovi sloºenog kretanja ta ke Brzina i ubrzanje ta ke pri sloºenom kretanju

Translatorno kretanje krutog tela Rotacija krutog tela oko nepokretne ose Rotacija krutog tela oko nepokretne ta ke Sadrºaj 1 Posebni oblici kretanja krutog tela Translatorno kretanje krutog tela Rotacija krutog tela oko nepokretne ose Rotacija krutog tela oko nepokretne ta ke 2 3 Osnovni pojmovi sloºenog kretanja ta ke Brzina i ubrzanje ta ke pri sloºenom kretanju

Translatorno kretanje krutog tela Translatorno kretanje krutog tela Rotacija krutog tela oko nepokretne ose Rotacija krutog tela oko nepokretne ta ke

Translatorno kretanje krutog tela Rotacija krutog tela oko nepokretne ose Rotacija krutog tela oko nepokretne ta ke Rotacija krutog tela oko nepokretne ose

Translatorno kretanje krutog tela Rotacija krutog tela oko nepokretne ose Rotacija krutog tela oko nepokretne ta ke Rotacija krutog tela oko nepokretne ta ke

Kinematika krutog tela : translacija i rotacija oko nepokretne ose Kod translatornog kretanja vektor brzine proizvoljne ta ke jednak je brzini referentne ta ke A: v = v A Kod rotacije tela oko nepokretne ose vektor elementarnog pomeranja proizvoljne ta ke dat je sa (Rodrigov obrazac): pa je vektor brzine jednak d r = d ρ = d θ ρ v = d r dt = d θ dt ρ

Kinematika krutog tela : rotacija oko nepokretne ose Brzina ta ke tela pri rotaciji oko nepokretne ose je v = ω ρ gde je ω = d θ dt Vektor ω je vektor ugaone brzine tela i dat je sa ω = dθ dt s 0 = θ s 0 jer je d θ = dθ s 0 ( s 0 = const) Kod rotacije oko nepokretne ose ugaona brzina je izvod po vremenu ugla obrtanja ω(t) = θ(t)

Rotacija krutog tela oko nepokretne ose

Kinematika krutog tela - sferno kretanje Brzina ta ke tela pri rotaciji oko nepokretne ta ke je v = ω ρ gde je ω = ž θ dt Vektor ω je vektor ugaone brzine tela koji je samo koli nik vektora elementarne rotacije i diferencijala vremena (nije izvod nekog ugla kao kod rotacije oko nepokretne ose!) Naravno, vektor ugaone brzine je i kod rotacije oko nepokretne ta ke promenljiv sa vremenom, ω = ω(t), jer se stalno menjaju pravci trenutnih osa rotacije

Rotacija krutog tela oko nepokretne ta ke

Kinematika krutog tela - sferno kretanje Vektor ugaone brzine tela ω kod sfernog kretanja (kao i kod op²teg kretanja) je samo koli nik vektora elementarne rotacije i diferencijala vremena (nije izvod nekog ugla kao kod rotacije oko nepokretne ose!) Vektor ω kod sfernog kretanja (kao i kod op²teg kretanja) spada u KVAZIBRZINE, jer ω nije izvod po vremenu t nekog vektora (t.j. nije izvod nekog ugla u ravni, ve je vezan za trenutnu osu rotacije)

Kinematika krutog tela - op²te kretanje Op²te (proizvoljno) kretanje slobodnog krutog tela, kako kona no, u intervalu t, tako i beskona no malo, u vremenu dt, moºe da se prikaºe kao superpozicija translacije i rotacije oko ose kroz referentnu ta ku (ekvivalentne ili trenutne) Kako je vektor poloºaja ta ke tela dat sa r = r A + ρ onda je vektor elementarnog pomeranja jednak d r = d r A + d ρ gde je d ρ = ž θ ρ (Rodrigov obrazac)

Kinematika krutog tela - op²te kretanje Vektor brzine ta ke tela je dat sa d r = d r A + d ρ / : dt Dobija se izraz za brzinu (Ojlerov obrazac): v = v A + ω ρ (1) gde je v = d r dt, v A = d r A dt, ω = ž θ dt

Kinematika krutog tela * Teorema o projekcijama brzina Posmatra se telo koje vr²i proizvoljno kretanje Uo e se dve proizvoljne ta ke tela P i Q Brzine ovih ta aka su date, redom, sa: Jedna ine (2) se mežusobno oduzmu: v P = v A + ω ρ P v Q = v A + ω ρ Q (2) v P v Q = ω ( ρ P ρ Q ) (3)

Teorema o projekcijama brzina

Kinematika krutog tela * Teorema o projekcijama brzina Deni²e se ort pravca koji povezuje ta ke tela P i Q e = P Q P Q = ρ Q ρ P ρ Q ρ P Jedna ina (3) se skalarno pomnoºi sa e, odn. projektuje sa na osu PQ: ( v P v Q ) e = ω ( ρ P ρ Q ) e (4) Izraz na desnoj strani (4) je me²oviti proizvod u kome guri²u dva kolinearna vektora: ( ρ P ρ Q ) = P Q e

Kinematika krutog tela * Teorema o projekcijama brzina Prema tome, me²oviti proizvod u (4) je jednak nuli: ω ( ρ P ρ Q ) e = 0 Jedna ina (4) postaje: ( v P v Q ) e = 0 odn. v P e = v Q e (5) Teorema o projekcijama brzina: Projekcije brzina dve ta ke krutog tela na osu koja spaja te dve ta ke su mežusobno jednake

Teorema o projekcijama brzina

Kinematika krutog tela ** Teorema... Ugaona brzina i ugaona ubrzanje krutog tela ne zavise od izbora referentne ta ke

Kinematika krutog tela *** Jedna ina trenutne ose rotacije - sferno kretanje Trenutna osa rotacije je geometrijsko mesto ta aka tela ije su brzine u tom trenutku jednake nuli (prava u telu): v = ω ρ = 0 Jedna ina trenutne ose rotacije je, prema tome: (²to predstavlja kolinearnost vektora ω i ρ) ω ρ = 0 (6) Vektori se posmatraju u prostornom sistemu x, y, z: ρ = {x, y, z} ω = {ω x, ω y, ω z }

Kinematika krutog tela *** Jedna ina trenutne ose rotacije - sferno kretanje Uslov kolinearnosti (6) moºe da se prikaºe u skalarnom obliku kao ω ρ = 0 x ω x = y ω y = z ω z (7) Jedna ina (7) je jedna ina prave, odn. trenutne ose rotacije, u prostornim koordinatama Jedna ine (7) odrežuju pravu u prostoru Oxyz sa kojom se u datom trenutku poklapa trenutna osa rotacije To su parametarske jedna ine konusne povr²i - NEPOKRETAN AKSOID (skup trenutnih osa za sve vrednosti t tokom kretanja tela)

Kinematika krutog tela *** Jedna ina trenutne ose rotacije - sferno kretanje Vektori se posmatraju u materijalnom sistemu Aξηζ: ρ = {ξ, η, ζ} ω = {ω ξ, ω η, ω ζ } = {p, q, r} Uslov kolinearnosti (6) moºe da se prikaºe u skalarnom obliku kao ω ρ = 0 ξ p = η q = ζ r (8) Jedna ina (8) je jedna ina prave, odn. trenutne ose rotacije, u materijalnim koordinatama

Kinematika krutog tela *** Jedna ina trenutne ose rotacije - sferno kretanje Jedna ine (8) odrežuju skup ta aka tela koje se u datom trenutku poklapaju sa trenutnom osom rotacije To su parametarske jedna ine konusne povr²i - POKRETAN AKSOID (skup trenutnih osa za sve vrednosti t tokom kretanja tela, u materijalnim koordinatama) Zajedni ka izvodnica OBA aksoida je trenutna osa rotacije (u datom trenutku) Moºe da se pokaºe da se poktretan aksoid kotrlja bez klizanja po nepokretnom aksoidu

Kinematika krutog tela *** Pokretan i nepokretan aksoid - sferno kretanje Skup svih pravih duº kojih je brzina ta aka bila jednaka nuli u toku obrtanja tela oko nepokretne ta ke predstavlja konusnu materijalnu povr² u telu, sa vrhom u ta ki A Nepokretan aksoid predstavlja geometrijsko mesto pravih linija u prostoru sa kojima se u odreženom trenutku poklapala trenutna osa rotacije tela i time predstavlja NEPOKRETAN geometrijski objekat Pokretan aksoid, kao materijalna povr² u telu, kre e se zajedno sa telom pri njegovom obrtanju oko nepokretne ta ke i time predstavlja POKRETAN geometrijski objekat

Jedna ina trenutne ose rotacije - sferno kretanje

Kinematika krutog tela **** Skalarni prikazi brzine ta ke tela Brzina ta ke tela koje vr²i proizvoljno (op²te) kretanje je data sa v = v A + ω ρ (9) Skalarni oblik (9) u odnosu na PROSTORNE koordinate je v = v x v y v z = ẋ A ẏ A ż A + ω y (z z A ) ω z (y y A ) ω z (x x A ) ω x (z z A ) ω x (y y A ) ω y (x x A ) Skalarni oblik (9) u odnosu na MATERIJALNE koordinate je v = v ξ v η v ζ = v Aξ v Aη v Aζ + ζ q η r ξ r ζ p η p ξ q

Kinematika krutog tela **** Skalarni prikazi brzine ta ke tela U MATERIJALNOM opisu (u odnosu na sistem Aξηζ) se prati kretanje jedne odrežene ta ke tela (ξ = const, η = const, ζ = const) To je Lagrange-ov opis kretanja (brzine) u PROSTORNOM opisu (u odnosu na sistem Oxyz) se prikazuje brzina one ta ke tela koja se u datom trenutku nalazi u ta ki prostora sa koordinatama (x, y, z). U narednom trenutku se u toj ta ki prostora nalazi neka druga ta ka tela To je Euler-ov opis kretanja (brzine)

Kinematika krutog tela - op²te kretanje Vektor poloºaja ta ke tela r = r A + ρ Vektor brzine ta ke tela (izvod vektora poloºaja) v = d r dt = v A + ω ρ Vektor ubrzanja ta ke tela (izvod vektora brzine) a = d v dt = d dt ( v A + ω ρ) Vektori su izraºeni u inercijalnom i u pokretnom sistemu

Kinematika krutog tela Diferenciranje vektora u sistemu pokretnih osa Posmatra se proizvoljan vektor izraºen u sistemu pokretnih osa: b = b(t) = {bξ, b η, b ζ } = b ξ λ + bη µ + b ζ ν Izvod po vremenu vektora b(t) je dat sa: d b dt = ḃξ d λ + b λ ξ dt + ḃη µ d µ + b η dt + ḃζ ν d ν + b ζ dt (10) Pokretan sistem Aξηζ se obr e (kao deo tela) oko ta ke A, u odnosu na nepokretan sistem Oxyz, sa ugaonom brzinom ω

Kinematika krutog tela Diferenciranje vektora u sistemu pokretnih osa Sistem materijalnih osa moºe da se posmatra kao rogljasto telo. Ta ke P 1, P 2 i P 3 su krajevi jedini nih veltora λ, µ i ν. Tako je, npr., vektor λ vektor poloºaja ta ke P 1 : λ = AP 1 Kao ²to se iz relacije d ρ = ž θ ρ dobija d ρ = žθ ρ / : dt d ρ dt = ž θ ρ = ω ρ dt tako se i za vektor λ, kao za vektor poloºaja ta ke P 1 (vektor λ je vektor ρ za ta ku P1 ), moºe da napi²e: d λ dt = ω λ

Kinematika krutog tela Diferenciranje vektora u sistemu pokretnih osa Na isti na in se i za vektore µ i ν, kao za vektore poloºaja ta aka P 2 i P 3, moºe da napi²e: d µ dt = ω µ, d ν dt = ω ν Unose i ovo u relaciju (10), dobija se d b dt = ḃξ λ + b ξ ω λ + ḃη µ + b η ω µ + ḃζ ν + b ζ ω ν odnosno, izdvajanjem zajedni kog faktora ω, d b dt = ḃξ λ + ḃη µ + ḃζ ν + ω (b ξ λ + bη µ + b ζ ν) (11)

Diferenciranje vektora u sistemu pokretnih osa

Kinematika krutog tela Diferenciranje vektora u sistemu pokretnih osa Prema tome, izvod vektora b(t) po vremenu, izraºenog u sistemu pokretnih osa, se sastoji iz dva lana: b(t) = {bξ, b η, b ζ } d b dt = b + ω b gde je b lokalni izvod vektora b: b = { ḃ ξ, ḃη, ḃζ} = ḃξ λ + ḃη µ + ḃζ ν dok je lan ω b posledica rotacije pokretnog sistema sa ugaonom brzinom ω

Kinematika krutog tela - op²te kretanje Izvod po vremenu vektora poloºaja ρ ρ = ρ + ω ρ ρ = ω ρ jer je ρ = const, pa je ρ = 0 (kruto telo) Izvod po vremenu vektora ugaone brzine ω ω = ω + ω ω ω = ω = ε jer je ω ω = 0 (kolinearni vektori) Vektor ε je vektor ugaonog ubrzanja tela

Kinematika krutog tela - op²te kretanje Ubrzanje proizvoljne ta ke tela je dato sa: pa se dobija a = d v dt = d dt ( v A + ω ρ) a = a A + d ω dt ρ + ω d ρ dt Imaju i u vidu diferenciranje vektora ω i ρ, dobija se a = a A + ε ρ + ω ( ω ρ)

Kinematika krutog tela - op²te kretanje Ubrzanje proizvoljne ta ke tela je dato sa a = a A + ε ρ + ω ( ω ρ) (12) U izrazu (12) su: a A... ubrzanje referentne ta ke A ε ρ... rotaciono ubrzanje (posledica promene intenziteta ugaone brzine) ω ( ω ρ)... aksipetalno ubrzanje (posledica promene pravca ugaone brzine)

Kinematika krutog tela - op²te kretanje Ubrzanje proizvoljne ta ke tela koje vr²i op²te kretanje je dato sa: a = a A + ε ρ + ω ( ω ρ) Rotaciono ubrzanje ε ρ ima pravac tangente na deo kruºnice u ravni na trenutnu osu rotacije Aksipetalno ubrzanje ω ( ω ρ) je usmereno ka trenutnoj osi rotacije (u pravcu polupre nika dela kruºne putanje)

- op²te kretanje

Osnovni pojmovi sloºenog kretanja ta ke Brzina i ubrzanje ta ke pri sloºenom kretanju Sadrºaj 1 Posebni oblici kretanja krutog tela Translatorno kretanje krutog tela Rotacija krutog tela oko nepokretne ose Rotacija krutog tela oko nepokretne ta ke 2 3 Osnovni pojmovi sloºenog kretanja ta ke Brzina i ubrzanje ta ke pri sloºenom kretanju

Osnovni pojmovi sloºenog kretanja ta ke Brzina i ubrzanje ta ke pri sloºenom kretanju

Sloºeno kretanje materijalne ta ke Osnovni pojmovi sloºenog kretanja ta ke Brzina i ubrzanje ta ke pri sloºenom kretanju Ta ka se kre e relativno u odnosu na telo Ta ka P se kre e po telu koje se takože kre e Dvostruko kretanje ta ke: - ta ka se kre e po telu... relativno kretanje - telo se pri tome kre e... prenosno kretanje Ukupno kretanje ta ke je apsolutno (sloºeno) kretanje Ta ka tela M na kojoj se trenutno nalazi pokretna ta ka se zove koincidentna ta ka (P M ) Vektor poloºaja ta ke koja se kre e po telu: r = r A + ρ pri emu je ρ = ρ(t) = {ξ(t), η(t), ζ(t)}

Osnovni pojmovi sloºenog kretanja ta ke Brzina i ubrzanje ta ke pri sloºenom kretanju Sadrºaj 1 Posebni oblici kretanja krutog tela Translatorno kretanje krutog tela Rotacija krutog tela oko nepokretne ose Rotacija krutog tela oko nepokretne ta ke 2 3 Osnovni pojmovi sloºenog kretanja ta ke Brzina i ubrzanje ta ke pri sloºenom kretanju

Sloºeno kretanje materijalne ta ke Osnovni pojmovi sloºenog kretanja ta ke Brzina i ubrzanje ta ke pri sloºenom kretanju Sloºeno kretanje ta ke - brzina i ubrzanje Vektor poloºaja ta ke koja vr²i sloºeno kretanje r = r A + ρ pri emu je r = {x, y, z} r A = {x A, y A, z A } ρ = {ξ(t), η(t), ζ(t)} = ξ(t) λ(t) + η(t) µ(t) + ζ(t) ν(t) Vektor brzine je izvod po vremenu vektora poloºaja v = d r(t) dt = d r A dt + d ρ dt

Sloºeno kretanje materijalne ta ke Osnovni pojmovi sloºenog kretanja ta ke Brzina i ubrzanje ta ke pri sloºenom kretanju Sloºeno kretanje ta ke - brzina i ubrzanje Imaju i u vidu diferenciranje po vremenu vektora u sistemu materijalnih koordinata, u ovom slu aju vektora ρ, dobija se v = v A + ρ + ω ρ Vektor poloºaja ta ke ima promenljive koordinate, jer se ta ka kre e po telu, tako da postoji i lokalni izvod vektora ρ Izraz za brzinu sloºenog kretanja ta ke po telu (apsolutna brzina) moºe da se pi²e u obliku v aps = v pren + v rel (13)

Sloºeno kretanje materijalne ta ke Osnovni pojmovi sloºenog kretanja ta ke Brzina i ubrzanje ta ke pri sloºenom kretanju Sloºeno kretanje ta ke - brzina i ubrzanje Apsolutna brzina je jednaka vektorskom zbiru prenosne i relativne brzine Prenosna brzina u izrazu (13) je brzina koincidentne ta ke (odn. brzina one ta ke tela na kojoj se u tom trenutku nalazi pokretna ta ka) i data je sa v pren = v A + ω ρ (14) Relativna brzina u izrazu (13) je brzina pokretne ta ke relativno u odnosu na telo po kome se kre e i data je sa v rel = ρ = { ξ, η, ζ} (15)

Sloºeno kretanje materijalne ta ke Osnovni pojmovi sloºenog kretanja ta ke Brzina i ubrzanje ta ke pri sloºenom kretanju Sloºeno kretanje ta ke - brzina i ubrzanje Apsolutno ubrzanje ta ke koja vr²i sloºeno kretanje je jednaka izvodu po vremenu apsolutne brzine: a aps = d v aps dt = d v pren dt + d v rel dt Dobija se a aps = d v A dt + d ω d ρ ρ + ω dt dt + d dt ( ρ) odn. a aps = a A + ε ρ + ω ( ρ + ω ρ) + ρ + ω ρ (16)

Sloºeno kretanje materijalne ta ke Osnovni pojmovi sloºenog kretanja ta ke Brzina i ubrzanje ta ke pri sloºenom kretanju Sloºeno kretanje ta ke - brzina i ubrzanje Grupisanjem i sreživanjem izraza (16) se dobija a aps = a pren + a rel + a cor (17) U izrazu (17) su, redom, prenosno, relativno i Koriolisovo ubrzanje: a pren = a A + ε ρ + ω ( ω ρ) a rel = ρ = { ξ, η, ζ} (18) a cor = 2 ω ρ = 2 ω v rel

Sloºeno kretanje materijalne ta ke Osnovni pojmovi sloºenog kretanja ta ke Brzina i ubrzanje ta ke pri sloºenom kretanju Primer Horizontalna plo a se konstantnom ugaonom brzinom obr e oko vertikalne ose. U idealno glatkom ºljebu koji je za b udaljen od ose obrtanja moºe da se kre e materijalna ta ka mase m. Odrediti brzinu ta ke, ubrzanje ta ke, i napisati diferencijalnu jedna inu relativnog kretanja ta ke unutar ºljeba.

Sloºeno kretanje materijalne ta ke Osnovni pojmovi sloºenog kretanja ta ke Brzina i ubrzanje ta ke pri sloºenom kretanju

Osnovni pojmovi sloºenog kretanja ta ke Brzina i ubrzanje ta ke pri sloºenom kretanju Primer: Sloºeno kretanje materijalne ta ke