Zdtk 4 (4, TUŠ) Kolik je mjer njmnjeg kut u trokutu kojemu su strnie duljin 7 m, 8 m i 9 m? Rješenje 4 Trokut je dio rvnine omeñen s tri dužine Te dužine zovemo strnie trokut Nsuprot većoj strnii u trokutu leži veći kut Nsuprot mnjoj strnii u trokutu leži mnji kut Skrtiti rzlomk znči rojnik i nzivnik tog rzlomk podijeliti istim rojem rzličitim od nule i jedinie n = n, n, n oučk o kosinusu (kosinusov poučk) U trokutu vrijede ove jednkosti = + os, = + os, = + os + + + os =, os =, os = Nek je = 7 m, = 8 m i = 9 m udući d se nsuprot njmnje strnie u trokutu nlzi njmnji kut, slijedi: + + ( 8 m) + ( 9 m) ( 7 m) os = = os = os 8 m 9 m 64 m + 8 m 49 m 96 m krtimo rzlomk = os = os 44 m 44 m s 48 m = os = 48 '3'' 3 Vjež 4 Kolik je mjer njmnjeg kut u trokutu kojemu su strnie duljin 4 m, 6 m i 8 m? Rezultt: 48 ' 3'' < < < < < < Zdtk 4 (4, TUŠ) N skii je prikzn konveksn četverokut D u kojem je + = + δ = 8
rvi i D sijeku se u točki T Točk T je 3 m udljen od točke, 6 m od točke D i m od točke Kolik je duljin strnie? 3 m 5 m 7 m D 9 m Rješenje 4 Trokut je dio rvnine omeñen s tri dužine Te dužine zovemo strnie trokut Sličnost trokut Kžemo d su dv trokut sličn ko postoji pridruživnje vrhov jednog vrhovim drugog tko d su odgovrjući kutovi jednki, odgovrjuće strnie proporionlne =, =, =, = = = k Omjer strni sličnih trokut k zovemo koefiijent sličnosti rvi poučk sličnosti (K K) Dv su trokut sličn ko se podudrju u dv kut Drugi poučk sličnosti (S K S) Dv su trokut sličn ko se podudrju u jednom kutu, strnie koje odreñuju tj kut su proporionlne Treći poučk sličnosti (S S S) Dv su trokut sličn ko su im sve odgovrjuće strnie proporionlne Četvrti poučk sličnosti (S S K) Dv su trokut sličn ko su im dvije strnie proporionlne, podudrju se u kutu nsuprot većoj strnii ko su i rojevi, kžemo d je količnik :, omjer rojev i Vrijednost omjer ne mijenj se ko se prvi i drugi roj pomnože ili podijele istim rojem ( ) ( ) ( ) : ( ) : = n : n : = : n : n Rzmjer ili proporij je jednkost dvju jednkih omjer ko je td je rzmjer ili proporij : = k i : d = k, : = : d Umnožk vnjskih člnov rzmjer i d jednk je umnošku unutrnjih člnov rzmjer i : = : d d = Dv su kut suplementn, ko je njihov zroj jednk 8, još kžemo d su ti kutovi sukuti + = 8
S slike vidi se: T = 3, TD = 6, T =, = T T D =, =, D =, D = δ Dokžimo d vrijedi: TD =, DT = TD = TD = 8 TD = 8 metod TD = + = 8 = 8 komprije DT = DT = 8 δ DT = 8 δ metod DT = + δ = 8 = 8 δ komprije 3
Uočimo d su trokuti TD i T slični jer imju jednke kutove (kut DT je zjednički z o trokut, = DT, D = TD ) Nsuprot kutu je: u trokutu TD strni T u trokutu T strni T Nsuprot kutu je: u trokutu TD strni TD u trokutu T strni T Td vrijedi rzmjer: Rčunmo duljinu strnie Odgovor je pod T : T = TD : T T : = 6 : 3 3 T = 6 3 T = 6 /: 3 T = = T T = 3 = 7 Vjež 4 N skii je prikzn konveksn četverokut D u kojem je + = + δ = 8 rvi i D sijeku se u točki T Točk T je 6 m udljen od točke, m od točke D i m od točke Kolik je duljin strnie? Rezultt: 6 m 3 m 34 m D 38 m Zdtk 43 (4, TUŠ) U prvokutnome trokutu mjer jednog šiljstog kut je sedm put već od mjere drugog šiljstog kut Kolik je mjer mnjeg kut tog trokut? 5' 5' 3 ' D 5 4 ' Rješenje 43 Trokut je dio rvnine omeñen s tri dužine Te dužine zovemo strnie trokut Zroj kutov u trokutu je 8 + + = 8 rvokutni trokuti imju jedn prvi kut (kut od 9º) Strnie koje ztvrju prvi kut zovu se ktete, njdulj strni je hipotenuz prvokutnog trokut 4 = 9, + = 9
Kko zpisti d je roj ''n put'' veći od roj? = n, =, = n n Mjer njmnjeg kut prvokutnog trokut doije se iz sustv jedndži + = 9 metod 7 + = 9 8 = 9 8 = 9 /: 8 = 5' = 7 supstituije Odgovor je pod Vjež 43 U prvokutnome trokutu mjer jednog šiljstog kut je osm put već od mjere drugog šiljstog kut Kolik je mjer mnjeg kut tog trokut? D 5 Rezultt: Zdtk 44 (Helen, pedgoški fkultet) Nek je zdn trokut tkv d je < i nek su nd strnim konstruirni kvdrti (slik) Dokžite d je N = N i M R Rješenje 44 Trokut je dio rvnine omeñen s tri dužine Te dužine zovemo strnie trokut Sukldnost trokut Kžemo d su dv trokut sukldn ko postoji pridruživnje vrhov jednog vrhovim drugog tko d su odgovrjući kutovi jednki, odgovrjuće strnie jednkih duljin =, =, =, =, =, = rvi poučk sukldnosti (S S S) Dv su trokut sukldn ko se podudrju u sve tri strnie Drugi poučk sukldnosti (S K S) Dv su trokut sukldn ko se podudrju u dvije strnie i kutu izmeñu njih Treći poučk sukldnosti (K S K) Dv su trokut sukldn ko se podudrju u jednoj strnii i o kut n toj strnii Četvrti poučk sukldnosti (S S K) 5
Dv su trokut sukldn ko se podudrju u dvije strnie i kutu nsuprot većoj strnii Četverokut je dio rvnine omeñen s četiri dužine Četverokut je ztvoren geometrijski lik koji im četiri kut i četiri strnie Kvdrt je četverokut kojemu su sve strnie sukldne, dijgonle meñusono sukldne i okomite N M S slike vidi se: R = = R = R =, M = MN = N = = =, =, = N = 9 + = 9 +, = + 9 = + 9 N N M M R Uočimo trokute N i z koje vrijedi: Td je: N N =, =, N = + 9 =, =, = + 9 R 6
N = + 9 N = = + 9 Dkle, promtrni trokuti N i imju dvije strnie jednke duljine i jednke kutove meñu tim strnim N = =, = = N = o drugom poučku o sukldnosti trokut (S K S) trokuti N i sukldni su (podudrju se u dvije strnie i kutu meñu njim) p im je i treć strni jednke duljine, tj Dokz gotov N Vjež 44 Svki vnjski kut trokut jednk je zroju dvju unutrnjih kutov trokut koji s njime nisu susjedni Rezultt: = ' ' + + = 8 ' + = 8 Zdtk 45 (Helen, pedgoški fkultet) Nek je ' = + = ED i = E (slik) Dokžite d je D = E D Rješenje 45 Trokut je dio rvnine omeñen s tri dužine Te dužine zovemo strnie trokut Sukldnost trokut Kžemo d su dv trokut sukldn ko postoji pridruživnje vrhov jednog vrhovim drugog tko d 7 E
su odgovrjući kutovi jednki, odgovrjuće strnie jednkih duljin =, =, =, =, =, = rvi poučk sukldnosti (S S S) Dv su trokut sukldn ko se podudrju u sve tri strnie Drugi poučk sukldnosti (S K S) Dv su trokut sukldn ko se podudrju u dvije strnie i kutu izmeñu njih Treći poučk sukldnosti (K S K) Dv su trokut sukldn ko se podudrju u jednoj strnii i o kut n toj strnii Četvrti poučk sukldnosti (S S K) Dv su trokut sukldn ko se podudrju u dvije strnie i kutu nsuprot većoj strnii D E Uočimo trokute i ED z koje vrijedi: = E, = DE =, = ED D D E E o trećem poučku o sukldnosti trokut (K S K) trokuti i ED sukldni su (podudrju se u jednoj strnii i o kut n toj strnii) p vrijedi: S slik vidi se: Dokz gotov D =, = ED = E D + D = + E D = D + = + E D + = + E D = E 8
Vjež 45 Zroj vnjskih kutov trokut jednk je punom kutu (36 ) Rezultt: ' + + = 8 ' = + ' + ' + ' = + + + + + ' + ' + ' = 36 ' = + ' = + Zdtk 46 (Nik, gimnzij) Duljine ktete i hipotenuze prvokutnog trokut su dv uzstopn prirodn roj Kvdrt ktete trokut je: + + D Rješenje 46 ' ( + ) = + + Trokut je dio rvnine omeñen s tri dužine Te dužine zovemo strnie trokut rvokutni trokuti imju jedn prvi kut (kut od 9º) Strnie koje ztvrju prvi kut zovu se ktete, njdulj strni je hipotenuz prvokutnog trokut itgorin poučk Trokut je prvokutn ko i smo ko je kvdrt nd hipotenuzom jednk zroju kvdrt nd ktetm Skup svih prirodnih rojev oznčvmo s N i pišemo: Zkon soijije z zrjnje Kko zpisti dv uzstopn prirodn roj? ' { n n } N =,, 3, 4, 5,,, +, ( + ) + = + ( + ) n, n +, n, n udući d su duljine ktete i hipotenuze prvokutnog trokut dv uzstopn prirodn roj, vrijedi: = n, = n + n + = ( n + ) = ( n + ) n = n + n + n + = = n + n + n = n + = n + n + = n + n + Odgovor je pod = n = + = n + ( ) 9
Vjež 46 Duljine ktete i hipotenuze prvokutnog trokut su dv uzstopn prirodn roj Kvdrt ktete trokut je: + + D Rezultt: Zdtk 47 (etr, strukovn škol) Nrtni su usporedni prvi p i q i po dvije točke n svkome od njih Koj je tvrdnj točn z površine trokut i D prikznih n skii? Rješenje 47 = 5 D = D = 5 D D = D Trokut je dio rvnine omeñen s tri dužine Te dužine zovemo strnie trokut loštin trokut izrčunv se po formuli v v, v = =, = loštin trokut jednk je polovii produkt duljine jedne njegove strnie i duljine visine koj odgovr toj strnii D E v v v = v = D = E
= = v v v S slike vidi se d trokuti i D imju jednku osnoviu (zu), visine su jednke duljine jer su prvi p i q usporedni ovršine trokut i D jednke su Odgovor je pod Vjež 47 Nrtni su usporedni prvi p i q i po dvije točke n svkome od njih Koj je tvrdnj točn z površine trokut D i D prikznih n skii? D p q Rezultt: D = 5 D D = D D = 5 D D D = D Zdtk 48 (Ivn, gimnzij) Rzlik duljin hipotenuze i jedne ktete prvokutnog trokut je 8 m, duljin je druge ktete 36 m Kolik je površin trokut? Rješenje 48 ( x + y) = x + x y + y Trokut je dio rvnine omeñen s tri dužine Te dužine zovemo strnie trokut rvokutni trokuti imju jedn prvi kut (kut od 9º) Strnie koje ztvrju prvi kut zovu se ktete,
njdulj strni je hipotenuz prvokutnog trokut itgorin poučk Trokut je prvokutn ko i smo ko je kvdrt nd hipotenuzom jednk zroju kvdrt nd ktetm loštin prvokutnog trokut čije su ktete i dn je formulom Iz zdne pretpostvke doije se sustv jedndži = = 8 = 8 + itgorin poučk ( 8 ) 36 36 36 + = + = = = + 64 + 6 + = + 96 64 + 6 + = + 96 64 + 6 = 96 6 = 96 64 6 = 3 6 = 3 /: 6 = 77 ovršin prvokutnog trokut iznosi: = 77 m, = 36 m 77 m 36 m = = 386 m = 4 Vjež 48 Rzlik duljin hipotenuze i jedne ktete prvokutnog trokut je 4 m, duljin je druge ktete 8 m Kolik je površin trokut? Rezultt: 4 m Zdtk 49 (Le, gimnzij) Koliki su kutovi jednkokrčnog trokut, ko je = 33 m i v = 5 m? Rješenje 49 Trokut je dio rvnine omeñen s tri dužine Te dužine zovemo strnie trokut N osnovi odnos meñu duljinm strni trokut može iti: ) rznostrničn, ) jednkokrčn, 3) jednkostrničn Kod jednkokrčnog trokut duljine dviju strni su jednke Strnie jednkih duljin zovemo krim trokut Visine su trokut dužine kojim je jedn krj vrh trokut, drugi sjeište okomie (koj prolzi promtrnim vrhom) s prvem n kojem leži suprotn strni trokut Zroj svih kutov u trokutu je 8º + + = 8 Z jednkokrčn trokut vrijedi: + = 8 Tngens šiljstog kut prvokutnog trokut jednk je omjeru duljine ktete nsuprot tog kut i duljine ktete uz tj kut Gledj slike!
v v v Iz prvokutnog trokut, čije su ktete v i, hipotenuz uz pomoć funkije tngens, doije se: v v v v 5 m tg = tg = tg = = tg tg = 33 m 3 m 3 m 3 = tg = tg = tg = 4 6'5'' 33 m 33 m 33 Rčunmo kut + = 8 + 4 6 '5'' = 8 + 84 3 '5 '' = 8 = 4 6 '5'' 6 ' = 8 84 3 '5 '' = = 79 59 '6 '' 84 3 '5 '' = 95 7 ' '' ' = 6 '' Vjež 49 Koliki su kutovi jednkokrčnog trokut, ko je = 66 m i v = 3 m? Rezultt: = 95 7 ' '', = 4 6 '5 '' Zdtk 5 (Le, gimnzij) U jednkokrčnom trokutu je = = 3 m i = 5 m Simetrle kutov n osnovii trokut sijeku se u točki D Koliki je kut D? Rješenje 5 Skrtiti rzlomk znči rojnik i nzivnik tog rzlomk podijeliti istim rojem rzličitim od nule i jedinie n =, n, n n Trokut je dio rvnine omeñen s tri dužine Te dužine zovemo strnie trokut N osnovi odnos meñu duljinm strni trokut može iti: ) rznostrničn, ) jednkokrčn, 3) jednkostrničn Kod jednkokrčnog trokut duljine dviju strni su jednke Strnie jednkih duljin zovemo krim trokut Visine su trokut dužine kojim je jedn krj vrh trokut, drugi sjeište okomie (koj prolzi promtrnim vrhom) s prvem n kojem leži suprotn strni trokut 3
Zroj svih kutov u trokutu je 8º + + = 8 Kosinus šiljstog kut prvokutnog trokut jednk je omjeru duljine ktete uz tj kut i duljine hipotenuze E D F E D F E D F N N S slik vidi se: = = 3, = 5, N = N =, = ND =, DN =, ND = DN Visin N okomit je n osnoviu i trokut dijeli n dv sukldn prvokutn trokut: N i N romtrjmo, n primjer, prvokutn trokut N omoću funkije kosinus doije se: N 5 m os N = os N = os N = 3 m 5 m 5 5 5 os N = os N = os N = os N = 3 m 6 6 5 N = os N = 65 '3 '' Td je ND = N ND = 65 '3'' = 6 ' ND = 64 8 '3 '' ND = 3 4'6 Zog ND = DN, slijedi ND + D + DN = 8 D = 8 ( ND + DN ) D = 8 ND D = 8 65 '3 '' = 6 ' D = 8 3 44 '64 '' D = 79 59 '6 '' 3 45'4 '' ' = 6 ' D = 49 4 '56 '' N 4
Vjež 5 U jednkokrčnom trokutu je = = 6 m i = 5 m Simetrle kutov n osnovii trokut sijeku se u točki D Koliki je kut D? Rezultt: = 95 7 ' '', = 4 6 '5 '' Zdtk 5 (Mtij, gimnzij) Duljine strni trokut jednke su m, m i 3 m Rzlik duljin dviju krćih strni sličnog trokut iznosi m Kolike su duljine strni sličnog trokut? Rješenje 5 Trokut je dio rvnine omeñen s tri dužine Te dužine zovemo strnie trokut Sličnost trokut Kžemo d su dv trokut sličn ko postoji pridruživnje vrhov jednog vrhovim drugog tko d su odgovrjući kutovi jednki, odgovrjuće strnie proporionlne = k,, = = =, = = = k = k = k Omjer strni sličnih trokut k zovemo koefiijent sličnosti Zkon distriuije množenj prem zrjnju ( ) ( ) + = +, + = + ko trokut im duljine strni, i, td njemu sličn trokut im duljine strni, i tko d vrijedi: = k = k = k Tržimo koefiijent sličnosti k udući d je rzlik duljin dviju krćih strni sličnog trokut jednk m, vrijedi: = metod k k = k ( ) = = k k komprije ( ) k = k = k = Duljine strni sličnog trokut iznose: = k = = = m = k k =, = = = 3 m 3 = k = = 3 = 43 m 5
Vjež 5 Duljine strni trokut jednke su m, m i 3 m Zroj duljin dviju krćih strni sličnog trokut iznosi 53 m Kolike su duljine strni sličnog trokut? Rezultt: = m, = 3 m, = 43 m Zdtk 5 (ntun, tehničk škol) U tupokutnome trokutu mjer kut u vrhu je 3, duljine strni su = m i = 3 m Kolik je duljin visine iz vrh? Rješenje 5 477 m 577 m 677 m D 777 m Trokut je dio rvnine omeñen s tri dužine Te dužine zovemo strnie trokut loštin trokut izrčunv se po formuli v v, v = =, = loštin trokut jednk je polovii produkt duljine jedne njegove strnie i duljine visine koj odgovr toj strnii loštin trokut zdnog dvjem strnim i kutom izmeñu njih = sin, = sin, = sin oučk o kosinusu (kosinusov poučk) U trokutu vrijede ove jednkosti = + os, = + os, = + os 3 m S slike vidi se: 3 m =, = 3, = 3 Duljinu, treće strnie trokut, izrčunmo primjenom kosinusovog poučk = + os = + os / = + os = + 3 3 os 3 = 398 m 6
Uporom formul z ploštinu trokut odredimo duljinu visine iz vrh, v v = metod v = sin 3 komprije = sin 3 v sin 3 = sin 3 / v = Odgovor je pod v 3 sin 3 = 677 398 v = m Vjež 5 U tupokutnome trokutu mjer kut u vrhu je 3, duljine strni su = 4 m i = 6 m Kolik je duljin visine iz vrh? Rezultt: 954 m 354 m 3354 m D 3554 m Zdtk 53 (Ivn, srednj škol) Izrčunj visinu n strniu u trokutu čiji su vrhovi ( 3, ), (, ) i ( 3, 3) Rješenje 53 Zkon distriuije množenj prem zrjnju n, d n = =, = d ( ) ( ) + = +, + = + Trokut je dio rvnine omeñen s tri dužine Te dužine zovemo strnie trokut Visine su trokut dužine kojim je jedn krj vrh trokut, drugi sjeište okomie (koj prolzi promtrnim vrhom) s prvem n kojem leži suprotn strni trokut Jedndž prv olik y = k x + l nziv se ekspliitni olik jedndže prv ili krće, ekspliitn jedndž prv roj k nziv se koefiijent smjer prv roj l nzivmo odsječk prv n osi y rv točkm (x, y ), (x, y ), x x, im koefiijent smjer: y y k = x x Uvjet okomitosti: ko su prvi dni ekspliitnim jedndžm y = k x + l, y = k x + l, k, k, td su okomiti ko i smo ko je k k = k = k = k k Koefiijenti, dkle, morju imti suprotne predznke i morju iti meñusono reipročni Jedndž prv zdnog koefiijentom smjer k i točkom T(x, y ) glsi 7
( ) y y = k x x Odredimo koefiijent smjer k prv (n kojem leži strni trokut ) ( x, y ) = ( 3, ) y y 3 3 k = k = k ( ) ( ) ( 3) = k 3 = x,, x x 4 y = + udući d je prv kojemu pripd visin v okomit n strniu, z njegov koefiijent smjer k vrijedi: 4 k / k = k k = k = k = k = k = k 3 3 k 3 4 4 Jedndž prv kojemu pripd visin v je: ( ) ( ) ( ) 4 k =, x, y = 3, 3 3 4 4 y 3 = ( x ( 3) ) y 3 = ( x + 3) 3 3 y y = k x x 4 4 4 y 3 = x + 4 y = x + 4 + 3 y = x + 7 3 3 3 Vjež 53 Izrčunj visinu n strniu u trokutu čiji su vrhovi ( 3, ), (, ) i ( 3, 3) Rezultt: y = x 4 Zdtk 54 (Helen, gimnzij) N skii je prikzn prlelogrm D kojemu je strni duljine 5 m, visin n tu strniu 8 m Točk S je sjeište njegovih dijgonl, točk T polovište dužine S Izrčunjte površinu trokut T 8
D S 8 m T Rješenje 54 5 m d, = = d d d Skrtiti rzlomk znči rojnik i nzivnik tog rzlomk podijeliti istim rojem rzličitim od nule i jedinie n =, n, n n rlelogrmi su četverokuti kojim su po dvije nsuprotne strnie usporedne (prlelne) Dijgonl prlelogrm je spojni dv nesusjedn vrh rlelogrm im dvije dijgonle koje se meñusono rspolvljju Trokut je dio rvnine omeñen s tri dužine Te dužine zovemo strnie trokut Visine su trokut dužine kojim je jedn krj vrh trokut, drugi sjeište okomie (koj prolzi promtrnim vrhom) s prvem n kojem leži suprotn strni trokut loštin trokut izrčunv se po formuli v v, v = =, = loštin trokut jednk je polovii produkt duljine jedne njegove strnie i duljine visine koj odgovr toj strnii = = v v v 9
D v = 8 m S h T S slike vidi se: 5 m = D = 5, = D, v = 8, h visin okomit n D Izrčunmo ploštinu trokut D T = S T = D T = D 4 S = D v 5 8 D = m D = D = loštin trokut D može se izrčunti i n sljedeći nčin D h D = romtrjmo trokute D i T Imju zjedničku visinu h, z ze vrijedi: T = D 4 omoću omjer doije se ploštin treokut T T h T h T T T T T T = = = = D h D h D D D D D D D 4 D T T 4 T T = D = = = 4 D D D D D 4 T / m 5 m = 4 D T = 4 D T = 4 T = D Vjež 54 N skii je prikzn prlelogrm D kojemu je strni duljine 5 m, visin n tu strniu 8 m Točk S je sjeište njegovih dijgonl, točk T polovište dužine S Izrčunjte površinu trokut T
D S 8 m T Rezultt: 6 m 6 m Zdtk 55 (Snj, gimnzij) Opseg prvokutnog trokut je jednk Duljin hipotenuze je jednk 78 Koliki je polumjer trokutu upisne kružnie? Rješenje 55 Trokut je dio rvnine omeñen s tri dužine Te dužine zovemo strnie trokut rvokutni trokuti imju jedn prvi kut (kut od 9º) Strnie koje ztvrju prvi kut zovu se ktete, njdulj strni je hipotenuz prvokutnog trokut ko su i duljine ktet, duljin hipotenuze prvokutnog trokut, ond je formul z opseg O = + + ko je zdn prvokutni trokut duljin ktet i i hipotenuze, td je polumjer r upisne kružnie dn formulom + r = Skrtiti rzlomk znči rojnik i nzivnik tog rzlomk podijeliti istim rojem rzličitim od nule i jedinie n =, n, n n r S inči O = + + = + + 78 = + = 78 + = = 78 = 78 olumjer trokutu upisne kružnie iznosi:
+ = + 78 44 44 r = r = r = r = r = = 78 inči O = + + = + + + + r = r = r = = 78 = 78 + + 78 56 44 44 r = r = r = r = r = r = Vjež 55 Opseg prvokutnog trokut je jednk 4 Duljin hipotenuze je jednk 56 Koliki je polumjer trokutu upisne kružnie? Rezultt: 44 Zdtk 56 (Lilly, gimnzij) Duljine strni trokut su = 5, = 6 i = 8 Kko se odnose visine trokut? Rješenje 56 Skrtiti rzlomk znči rojnik i nzivnik tog rzlomk podijeliti istim rojem rzličitim od nule i jedinie n =, n, n n Trokut je dio rvnine omeñen s tri dužine Te dužine zovemo strnie trokut loštin trokut izrčunv se po formuli v v, v = =, = loštin trokut jednk je polovii produkt duljine jedne njegove strnie i duljine visine koj odgovr toj strnii ko su i rojevi, kžemo d je kvoijent :, omjer rojev i Vrijednost omjer ne mijenj se ko se prvi i drugi roj pomnože ili podijele istim rojem ( ) ( ) ( ) : ( ) : = n : n : = : n : n Rzmjer ili proporij je jednkost dvju jednkih omjer ko je td je rzmjer ili proporij ko postoji n jednkih omjer produženi rzmjer je : = k i : d = k, : = : d : = k : = k 3 : 3 = k n : n = k, : : 3 : : n = : : 3 : : n
v v = = / v = v v = = / v = v : v : v : : = v v = = / v = člnove rzmjer v : v : v = : : krtimo s v : v : v = : : v : v : v : : = = 5 = 6 v : v : v = : : 5 6 8 = 8 člnove rzmjer proširimo s v : v : : : : : : : v = 5 6 8 v v v = 5 6 8 v : v : v 4 : : 5 = Vjež 56 Duljine strni trokut su = 3, = 4 i = 5 Kko se odnose visine trokut? Rezultt: v : v : v = : 5 : Zdtk 57 (Snny, gimnzij) S krov kuće visine 5 m vidi se podnožje tornj pod kutom depresije od 35' 8'', njegov vrh pod kutom elevije od 8 39' 4'' Kolik je visin tornj? Rješenje 57 Trokut je dio rvnine omeñen s tri dužine Te dužine zovemo strnie trokut rvokutni trokuti imju jedn prvi kut (kut od 9º) Strnie koje ztvrju prvi kut zovu se ktete, njdulj strni je hipotenuz prvokutnog trokut Tngens šiljstog kut prvokutnog trokut jednk je omjeru duljine ktete nsuprot tog kut i duljine ktete uz tj kut Kut elevije kut od horizontlnog prv prem gore Kut depresije kut od horizontlnog prv prem dolje kut elevije horizontlni prv kut depresije 3
D h d I h h D h d I h h S slik vidi se: = 35'8'', = 8 34 '4 '', = d, = h, D = h, D = h Uočimo prvokutne trokute D i omoću funkije tngens doije se: D h h d h tg = / tg tg d = = = d d tg tg metod h h d h komprije tg = tg = tg = / d = d d tg tg h h h h / h tg = = tg h = tg tg tg tg tg Visin h tornj iznosi: h tg h h h h h h h tg = + = + = + tg tg tg8 39 '4 '' h = 5 m + h = 3767 m tg 35'8'' Vjež 57 S krov kuće visine 3 m vidi se podnožje tornj pod kutom depresije od 35' 8'', njegov vrh pod kutom elevije od 8 39' 4'' Kolik je visin tornj? Rezultt: 7535 m 4
Zdtk 58 (Ivn, gimnzij) ovršin trokut jednk je 44 m, dv su njegov kut = 35 5' i = 7' Kolike su duljine strni ovog trokut? Rješenje 58 = 6 ', ' = 6 ' Trokut je dio rvnine omeñen s tri dužine Te dužine zovemo strnie trokut Zroj kutov u trokutu je 8 + + = 8 ovršin trokut zdnog duljinom jedne njegove strnie i mjerm sv tri kut dn je izrzom: sin sin sin sin sin sin =, =, = sin sin sin odsjetimo se poučk o sinusim (sinusovog poučk) U trokutu vrijedi = = = R, sin sin sin pri čemu je R polumjer opisne kružnie tog trokut Njprije odredimo mjeru kut + + = 8 = 8 + = 8 35 5' + 7 ' ( ) ( ) = 8 36 3 ' = 79 6 ' 36 3 ' = 43 8' Iz zdne površine izrčunmo, n primjer, duljinu strnie sin sin sin sin sin sin = = / = sin sin sin sin sin sin sin sin = / = sin sin sin sin 44 m sin 35 5' = = 95 m sin 7 ' sin 43 8' D ismo odredili duljine strni i primijenit ćemo poučk o sinusim: sin = = / sin = sin sin sin sin sin 95 m sin 7 ' = = 354 m sin 35 5 ' sin = = / sin = sin sin sin sin sin 95 m sin 43 8' = = 83 m sin 35 5' 5
Vjež 58 ovršin trokut jednk je 85768 m, dv su njegov kut = 35 5' i = 7' Kolike su duljine strni ovog trokut? Rezultt: = 383 m, = 658 m, = 4566 m Zdtk 59 (Ivn, gimnzij) N horizontlnom zemljištu nlzi se neoder Njegov se vrh vidi iz udljenosti d pod kutom elevije Z koliko se tremo priližiti neoderu d i se kut elevije udvostručio? Rješenje 59 Trokut je dio rvnine omeñen s tri dužine Te dužine zovemo strnie trokut rvokutni trokuti imju jedn prvi kut (kut od 9º) Strnie koje ztvrju prvi kut zovu se ktete, njdulj strni je hipotenuz prvokutnog trokut Tngens šiljstog kut prvokutnog trokut jednk je omjeru duljine ktete nsuprot tog kut i duljine ktete uz tj kut Kut elevije kut od horizontlnog prv prem gore tg tg = tg n n m n + m d d n,,,, = = = = = d d d Zkon distriuije množenj prem zrjnju ( ) ( ) + = +, + = + Skrtiti rzlomk znči rojnik i nzivnik tog rzlomk podijeliti istim rojem rzličitim od nule i jedinie n =, n, n n h D S slike vidi se: x d d - x D = x, D = d x, = d, = h Uočimo prvokutne trokute i D omoću funkije tngens doije se: 6
h D x d d - x h D x d d - x tg = h h tg = tg = / d d d h h tg = tg = tg = / ( d x) D d x d x h = d tg metod d tg = ( d x) tg h = ( d x) tg komprije ( ) d tg = d tg x tg x tg = d tg d tg x tg = d tg tg ( ) d tg tg tg x tg = d ( tg tg ) / x = tg = tg tg tg tg tg tg tg tg ( tg ) d tg d d tg tg tg x = x = x = tg tg tg tg tg tg tg tg + tg 3 tg + tg 3 tg + tg 3 d d d tg tg tg x = x = x = tg tg tg tg tg tg 7
( 3 ) ( ) tg ( ) ( ) d tg + tg d tg + tg d + tg d + tg x = x = x = x = tg tg tg Vjež 59 N horizontlnom zemljištu nlzi se neoder Njegov se vrh vidi iz udljenosti 6 m pod kutom elevije Z koliko se tremo priližiti neoderu d i se kut elevije udvostručio? Rezultt: = ( + ) x 3 tg m Zdtk 6 (Deny, gimnzij) Izrčunj duljinu hipotenuze prvokutnog trokut ko polumjer tom trokutu upisne kružnie iznosi 4 m, jedn kut trokut 67º 5' Rješenje 6 + = +, = = n n n Skrtiti rzlomk znči rojnik i nzivnik tog rzlomk podijeliti istim rojem rzličitim od nule i jedinie n =, n, n n Trokut je dio rvnine omeñen s tri dužine Te dužine zovemo strnie trokut rvokutni trokuti imju jedn prvi kut (kut od 9º) Strnie koje ztvrju prvi kut zovu se ktete, njdulj strni je hipotenuz prvokutnog trokut Sinus šiljstog kut prvokutnog trokut jednk je omjeru duljine ktete nsuprot tog kut i duljine hipotenuze Kosinus šiljstog kut prvokutnog trokut jednk je omjeru duljine ktete uz tj kut i duljine hipotenuze ko je zdn prvokutni trokut duljin ktet i i hipotenuze, td je polumjer r upisne kružnie dn formulom + r = r r r S slike vidi se: r = 4 m, = 67 5', sin =, os = Rčunmo duljinu hipotenuze + + r + r r = r = / = = + 8
zmjen r r r = + = + sin = = sin + os os = r r r = sin + os / = = sin + os sin + os sin + os 4 m = = 63 m sin 67 5' + os 67 5 ' Vjež 6 Izrčunj duljinu hipotenuze prvokutnog trokut ko polumjer tom trokutu upisne kružnie iznosi 8 m, jedn kut trokut 67º 5' Rezultt: 56 m 9