IZVODI ZADACI (I deo Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C0.. (. ( n n n-. (a a lna 6. (e e 7. (log a 8. (ln ln a (>0 9. ( 0 0. (>0 (ovde je >0 i a >0. (cos. (cos - π. (tg kπ cos. (ctg kπ. (arc 6. (arccos - 7. (arctg 8. (arcctg - <
. [cf(]cf ( Kad je konstanta vezana za funkciju, nju prepišemo a tražimo izvod samo od funkcije. A kad je konstanta sama, izvod od nje je 0.. [f( ± g(] f ( ± g( Od svakog sabirka tražimo izvod posebno.. (uοvuvvu izvod proizvoda u uv vu. v v Zadaci:. Nađi izvode sledećih funkcija: a b 0 c f( d log e f( f f( 7 g 8 h i Rešenje: a kao -ti tablični izvod količnika b 0 0 ln0 kao -ti tablični c f( f ( kao 0-ti tablični d log pa je ln kao 7-mi tablični e f( Pazi: Ovde funkciju moramo prvo pripremiti za izvod. Iskoristićemo pravilo vezano za stepenovanje: m m n n. Dakle pa dalje radimo kao ( n n n- f ( f f( I ovde moramo pripremiti funkciju. Kako je 7 f ( -7-7- -7 8 n a a n to je 7 7 pa je izvod
g 8 8 ovde je pa će izvod biti 8 8 8 8 h pa je i 6 pa će izvod biti 6 6 6 6. Nađi izvode sledećih funkcija: a b ln c tg d π e f( arctg f f( - a ctg g 0 h -ab Rešenje: a je konstanta, pa nju prepišemo i tražimo izvod od, a to je cos. Dakle: cos b ln je konstanta... c tg konstanta ostaje a od tg je izvod. tablični, pa je d π Pazi : π je takodje konstanta, a od izvod je, pa je dakle: π cos e f( arctg f ( ( kao 7. tablični
a f f( - a ctg f ( -a ( g 0 Pazi: kad je konstanta sama izvod od nje je 0. Dakle 0 h -ab Ovde je ab konstanta, akako je od izvod to je : -ab. Nađi izvode: a 6 8 b f( - e 7arctg c Rešenje: a 6 8 Iskoristićemo pravilo [f( ± g(] f ( ± g( i od svakog člana tražiti izvod posebno, naravno prepisujući konstantu ispred funkcije. ( 6 ( ( 8 0 0 Pazi još jednom, kad je konstanta sama izvod je 0. 0 b f( - e 7arctg f ( ( - (e 7(arctg f ( cos - e 7-0 cos - e 7 c Najpre ćemo koristeći već pomenuta pravila za stepenovanje i korenovanje, pripremiti funkciju, a zatim tražiti izvode u tablici... - - - - - ( (- - (- - 0-6 - -
. Nađi izvode sledećih funkcija: a f( b f( e arc c ( ( d cos Rešenje: Kao što primećujete, u ovom zadatku moramo koristiti pravilo za izvod proizvoda: (uοvuvvu a f( Ovde je kao funkcija u, dok je kao funkcija v f ( ( ( f ( cos (cos b f( e arc Ovde je e kao funkcija u, dok je arc kao funkcija v f ( (e arc (arce f ( e arc e e ( arc c ( ( Naravno ovde možemo sve pomnožiti pa tražiti izvod od svakog posebno, ali malo je lakše upotrebiti izvod proizvoda. ( ( ( ( 6 ( ( [(6 9 (6 ][ ] d cos Od je izvod a cos moramo kao izvod proizvoda [ (cos (cos] [ cos cos - ] Znamo da je cos cos - cos
. Nađi izvode sledećih funkcija: a b c d cos e e ln ln u uv vu Rešenje: Ovde ćemo koristiti izvod količnika : v v a ovde je funkcija u, dok je - funkcija v ( ( ( ( savet : imenilac nek ostane ovako do kraja! ( ( ( izvuci zajednički ispred zagrade ako ima, biće lakše za rad! ( [( ( ] malo prisredimo... ( evo konačnog rešenja! ( b cos u je cos ; a v je - (cos ( ( cos nadjemo izvode u brojiocu... ( ( cos cos (
cos kako je cos to je ( skratimo, naravno postavimo uslov da je to različito od 0 ( i evo konačnog rešenja! c e e ( e ( e ( e ( e ( e e ( e e ( e izvlačimo e kao zajednički ispred zagrade ( e e ( e e malo sredimo... ( e 7e konačno rešenje ( e d ln ln (ln ln (ln (ln ln ln (ln ln ln ln ln pa je ln konačno rešenje ln
IZVODI ZADACI ( II deo U ovom delu ćemo pokušati da vam objasnimo traženje izvoda složenih funkcija. Prvo da razjasnimo koja je funkcija složena? Pa, najprostije rečeno, to je svaka funkcija koje nema u tablici ( tamo su samo elementarne funkcije i čiji izvod se ne može naći primenom datih pravila. Evo par primera: Primer. Nađi izvod funkcije ( Kako da razmišljamo? Da je data funkcija, njen izvod bi bio, i to ne bi bio problem. Ali mi umesto -sa imamo i to nam govori da je funkcija složena! Radimo isto kao za elementarnu funkciju, i dodamo izvod od onog što je složeno! Dakle: ( ( ( [ od jedinice je izvod 0, a od je izvod ] ( 60 ( Primer. Podsetimo se : ako je izvod je, ali pošto unutar korena imamo, funkcija je složena! ( cos
Primer. Nađi izvod funkcije e Znamo da je (e e. A pošto umesto -sa imamo izraz, to se znači radi o složenoj funkciji. e ( e ( e Primer. Nađi izvod funkcije ln Od ln funkcije izvod je, ali ovde je umesto - sa izraz pa radimo kao složenu funkciju! Dakle: ln ovde pazimo, jer je ( izvod količnika! ( ( ( ( ( skratimo po - u imeniocu je razlika kvadrata konačno rešenje! ZNAČI: Radimo sve isto kao da je elementarna funkcija i pomnožimo sve sa izvodom od onog što je složeno!
Ako nismo ovo baš razumeli evo tablice izvoda složene funkcije, f(u a u g( pa je f (u g(. (u u u. (u n nu n- u. (a u a u lna u. (e u e u u. (log a u u u ln a 6. (lnu u u 7. u u u 8. u u u 9. (ucosu u 0. (cosu - u u. (tgu u cos u. (ctgu u u. (arcu u u. (arccosu - u u. (arctgu u u 6. (arcctgu - u u
ZADACI:. Nađi izvod funkcije a Rešenje: b Ovde moramo voditi računa, ćemo raditi kao drugi tablični, jer važi ( dok ćemo raditi kao deveti tablični, to jest kao u, gde je u a b ( cos cos( cos cos. Nađi izvod funkcije ln Rešenje: Ovde imamo višestruko složenu funkciju...najpre idemo izvod ln u, gde je u ln ( sada radimo izvod u u gde je u u ( pazi : je izvod količnika ( ( ( ( ( cos ( cos ( (
cos cos cos cos ( cos pokratimo šta može... ( cos u imeniocu je razlika kvadrata ( ( cos znamo da je cos cos skratimo cos cos konačno rešenje! cos. Nađi izvod funkcije arc tg Rešenje: Kako razmišljamo? Moramo raditi kao (arctgu u u gde je u arc tg pazi : je izvod količnika i odmah ostalo sredjujemo ( ( ( ( ( ( (
( ( ( ( ( ( pokratimo (- sredimo malo... ( ( Dakle, konačno rešenje je: (. Nađi izvod funkcije arc Rešenje: Radimo po formuli (arcu u u gde je u arc ( ( ( ( ( sredjujemo dalje izraz pod korenom... ( ( ( ( (
( ( ( ( ( ( ( pokratimo... i dobijamo konačno rešenje ( ( Podsetimo se teorijskog dela iz izvoda višeg reda... Izvodi višeg reda ( ( drugi izvod je prvi izvod prvog izvoda treći izvod je prvi izvod drugog izvoda (n ( n- n-ti izvod je prvi izvod (n--vog izvoda Znači da ovde praktično nema ničeg novog, jer mi ustvari uvek tražimo prvi izvod i naravno moramo da idemo redom, prvi izvod, pa drugi, pa treći itd... Evo nekoliko primera: Primer. Odredi drugi izvod sledećih funkcija : a b v e
Rešenja: a 6 6 b e Pazi, ovo je složena funkcija... e ( e (- - e evo ga prvi izvod, sad radimo kao izvod proizvoda, a konstanta ostaje ispred -[ e ( -[ e (- e e ] ] pa je -[ e - - e [- ] evo drugog izvoda e ] v Najpre radimo kao izvod količnika... ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( sada tražimo drugi izvod, ali radi lakšeg rada ćemo napisati radimo kao složenu funkciju ( ( i ovo dalje ( ( ( ( (