METODE NUMERICE APLICAŢII

MARILENA POPA ROMULUS MILITARU METODE NUMERICE APLICAŢII 7

. Metod Guss cu pvotre prţlă l ecre etpă petru rezolvre sstemelor de ecuţ lre Prezetre proleme Se cosderă sstemul lr: () A t ude: A R mtrce sstemulu () t R termeul ler l sstemulu (). Ne propuem să determăm dcă este posl R soluţ ucă sstemulu (). Prezetre metode Mtrce etsă cre crcterzeză sstemul () o otăm (A t) ş elemetele e le otăm j j ude t. Metod Guss costă î prelucrre mtrce (A t) stel îcât îtr-u umăr t de etpe (ş ume -) mtrce A să e trgulrztă superor dcă să oţem mtrce: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) L ( ) ( ) ( ) ( ) L ot ( ) ( ) () M M M M M ( A t ) ( ) ( ) ( ) L ( ) ( ) L () () () ude m ott (A t) cu ( A t ) j j. Oservţe. Mtrce () crcterzeză u sstem echvlet cu sstemul () (dec cu ceeş soluţe). ( ) Astel presupuâd - ude ( ) elemetul se umeşte pvot petru oţe î l mtrce () se plcă ormulele: 8

() ( ) j ( ) j ( ) ( ) ( ) j ( ) j j j j j. Compoetele soluţe sstemulu () se oţ drect pr susttuţe versă pe z ormulelor: ( ) ( ) ( ) / dcă (4) petru - -... ( ) ( ) ( ) j j /. j ( ) Dcă ( ) - stel îcât tuc petru pute plc ormulele () se recomdă o procedură de pvotre de eemplu pvotre prţlă cre costă î: - se cută î colo pvotulu cel elemet ( ) cre re proprette: ( ) ( ) (5) m. Î legătură cu procedur de pvotre prţlă se m mpu următorele oservţ: ( ) ) dcă tuc sstemul () u re soluţe ucă; ) dcă ( ) ş tuc se permută ( ) ( ) ( ) (terschmă) lle ş î mtrce A t după cre se cotuă cu plcre ormulelor () ş î l (4). Aplcţ ) Mtrce etsă soctă sstemulu () este: 9

6 Procedur de pvotre prţlă coduce l următorele permutăr de l: - l etp : l l ; - l etp : l l ; - l etp : u se eectueză permutăr. Se oţe soluţ:.

. Metod Guss cu pvotre totlă l ecre etpă petru rezolvre sstemelor de ecuţ lre (cu evlure determtulu mtrce dte ţl) Prezetre proleme Se cosderă sstemul lr: () A t ude: A R mtrce sstemulu () t R termeul ler l sstemulu (). Ne propuem să determăm dcă este posl R soluţ ucă sstemulu (). Prezetre metode Mtrce etsă cre crcterzeză sstemul () o otăm (A t) ş elemetele e le otăm j j ude t. Metod Guss costă î prelucrre mtrce (A t) stel îcât ît-u umăr t de etpe (ş ume -) mtrce A să e trgulrztă superor dcă să oţem mtrce: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) L ( ) ( ) ( ) ( ) L ot ( ) ( ) () M M M M M ( A t ) ( ) ( ) ( ) L ( ) ( ) L () () () ude m ott (At) cu ( A t ) j j. Oservţe. Mtrce () crcterzeză u sstem echvlet cu sstemul () (dec cu ceeş soluţe). ( ) Astel presupuâd - ude elemetul ( ) se umeşte pvot petru oţe î l mtrce () se plcă ormulele:

() ( ) j ( ) j ( ) ( ) ( ) j ( ) j j j j j. Compoetele soluţe sstemulu () se oţ drect pr susttuţe versă pe z ormulelor: ( ) ( ) ( ) / dcă (4) petru - -... ( ) ( ) ( ) j j /. j Oservţe. Vlore determtulu mtrce sstemulu () este: ( ) ( ) (5) det A. Dcă ( ) - stel îcât tuc petru pute plc ormulele () se recomdă o procedură de pvotre de eemplu pvotre totlă cre costă î: ( ) - se cută cel elemet j cre re proprette: 6) ( ) ( ) m. j j j j Aplcţ. Mtrce etsă soctă sstemulu () este: 9 6 ( )

Procedur de pvotre totlă l ecre etpă coduce l următorele permutăr de l ş / su coloe: - l etp : colo colo ; - l etp : l l 4 colo colo 4; - l etp : l l 4 colo colo 4. Se oţe soluţ termedră: ş po (permutâd î orde: compoet compoet 4 compoet compoet 4 compoet compoet ) se oţe soluţ:. Vlore determtulu mtrce sstemulu dt ţl este: -6.

. Metod Guss cu pvotre prţlă l ecre etpă petru versre mtrcelor Prezetre proleme Se cosderă mtrce A R dcă: L L A j R. M M M M L Ne propuem să determăm dcă este posl A - (vers mtrce A). Prezetre metode dcă j Fe I ( δ j ) j δj I - mtrce dcă j utte de ord ; de semee cosderăm () δ () - coloele mtrce A - respectv le lu I. Atuc egltte A A - I este echvletă cu: () A () δ (). Oservţe. () repreztă ssteme de ecuţ lre cu ceeş mtrce coeceţlor A. Sstemele () pot rezolvte smult ecre vâd soluţ o coloă mtrce A - ş termeul ler colo corespuzătore mtrce I. Mtrce etsă soctă ormulelor () este (A I) ş elemetele e le otăm j j ude dcă j () j j. dcă j Metod Guss costă î prelucrre mtrce (A I) stel îcât î etpe să se oţă mtrce etsă (I A - ) dcă: 4

( ) ( ) ( ) L L ( ) ( ) ( ) L L () ude m M M M M M M ( ) ( ) ( ) L L () ott cu j j elemetele mtrce (A I). ( ) Astel presupuâd ude elemetul ( ) se umeşte pvot petru oţe mtrce () se plcă ormulele: ( ) ( ) j / j ( ) (4) ( ) j ( ) ( ) j j ( ) j. Dcă ( ) petru cre ( ) tuc petru pute plc ormulele (4) se recomdă o procedură de pvotre de eemplu pvotre prţlă cre costă î: - se cută î colo pvotulu cel elemet ( ) cre re proprette: ( ) ( ) (5) m Aplcţe Se dă mtrce A Aplcâd ormulele () mtrce versă este: ( 6) ( ) ( 6) ( 6) ( ) ( ) ( ) ( ) A - 6 6 ( 6) ( ) ( 6) ( 6). 5 5

4. Codesre pvotlă petru clculul determţlor Prezetre proleme Se cosderă mtrce A R clculăm det(a). ş e propuem să Prezetre metode Iţl se plcă ormul: () det (A) M M L L L M ude ş î coture se re ormul () petru... pâă câd se clculeză u determt de ordul. Oservţ ) dcă ş ( ) petru cre tuc se permută î A lle ş r det (A) îş schmă semul; 4) dcă ş ( ) vem tuc det (A). Aplcţ 4 5 4 ) Se dă mtrce A 6 - petru 4 (l prm prcurgere cclulu repettv) vem: det 6 ş 6

4 9 9 7 A A ; 7 4 4 4 4 4 4 4 4 4 - petru vem: det 6 9 4 ş 9 664 48 664 48 4 748 48 A A ; 4 4 748 4 4 748 4 4 4 4 4 4 - petru vem: 664 48 4 4864 48 A ş respectv 4 4 748 4 4 4 4864 48 4 4864 48 A. 4 4 748 4 4 4 Urmeză det 4864 / 4 6 dec det (A) 6. 7

5. Fctorzre LR mtrcelor plctă l rezolvre sstemelor de ecuţ lre Prezetre proleme Se cosderă sstemul lr: () A t ude A R t R repreztă mtrce respectv termeul ler petru sstemul (). Ne propuem să determăm dcă este posl soluţ ucă sstemulu () R. Prezetre metode Deţe. O descompuere de orm: () A L R ude L este o mtrce eror trughulră dcă l j j j ş R este o mtrce superor trughulră dcă r j j se umeşte ctorzre LR mtrce A. Elemetele mtrcelor L ş R cre relzeză ctorzre LR mtrce A se pot clcul drect d egltte (). Petru sgur uctte ctorzăr LR treue preczte elemetele dgole î mtrce L (su î mtrce R). Astel dcă presupuem: () l tuc procedur de ctorzre LR este cuoscută su umele de metod Doolttle. D () se oţ egltăţ: m ( j) (4) l r j j j rezolvte succesv î rport cu elemetele r j j ş l >. Astel ţâd cot de () vem: 8

(5). r / r j r r r / j r h h h h hj h j j j j l l l l Aplcâd metod Doolttle (ormulele (5)) mtrce sstemulu () tuc: A t L R t Petru determre soluţe se rezolvă succesv sstemele: (6) y R t y L Sstemul eror trughulr L y t se rezolvă drect (pr susttuţe drectă) oţâd: (7) y t y t y l Sstemul superor trughulr R y se rezolvă drect (pr susttuţe versă) oţâd: (8) r / r y... r / y 9

Aplcţ ) Mtrce etsă (A t) soctă sstemulu () este: 8 6 9 7 - - 5 - - Permutre llor ş î mtrce de m sus deorece ş coduce l: 8 6 9 7 - - 5 - Apo: 8 6 9 7 - - 5 - -/ petru 8 6 9 7 - / -/ / - -/ petru 8 6 9-6/ / -/ / - -/ petru 4. I l oţem succesv î ultm coloă mtrce:

9 respectv cre este soluţ sstemulu. 4 6/

6. Fctorzre LR petru mtrce trdgole cu plcre l rezolvre sstemelor de ecuţ lre Prezetre proleme Se cosderă sstemul A t A R trdgolă (dcă pe dgol prcplă re elemetele desupr dgole prcple re elemetele - ş su dgol prcplă re lemetele c - restul d ule) ş t R. Ne propuem să determăm R soluţ ucă sstemulu lr dt. Prezetre metode Fctorzre LR petru rezolvre sstemulu dt presupue două etpe: I. Descompuere mtrce A î produs de două mtrce: A L R ude L este eror trughulră ş R este superor trghulră vâd următorele elemete: î L - pe dgol prcplă tote cele elemete sut egle cu ; - su dgol prcplă se lă elemetele l - ce treue determte; - restul elemetelor sut ule; î R - pe dgol prcplă se lă elemetele r ce treue determte; - desupr dgole prcple se lă elemetele s - ce treue determte; - restul elemetelor sut ule. II. Rezolvre succesvă sstemelor lre: () L y t () R y

cu ormule drecte de clcul. Astel prcurgere etpe I îsemă ormulele: r () s c l r r l s r prcurgere etpe II- îsemă: y t (4) y t l y respectv y r (5) ( y s )... r Aplcţe Se dă sstemul lr trdgol: 4 6 447 / 4448. Se oţe soluţ: 5/ 78 6 99 / 4448 6

49464 5899858 89774 /6 65 / ude /.9( 6) /.8() /4.9(8574) 4

7. Fctorzre LR petru mtrce petdgole cu plcre l rezolvre sstemelor de ecuţ lre Prezetre proleme Se cosderă sstemul A t A R petdgolă (dcă dgol prcplă - prm suprdgolă c - prm sudgolă d - dou suprdgolă e - dou sudgolă î rest elemetele ule) ş t R. Ne propuem să determăm R soluţ ucă sstemulu lr dt. Prezetre metode Fctorzre LR petru rezolvre sstemulu dt presupue două etpe: I. Descompuere A L R ude L eror trughulră ş R superor trughulră cu următore cogurţe: î L elemete egle cu pe dgol prcplă; l - prm sudgolă; m - dou sudgolă; (elemete ce treue determte) restul elemetelor ule; î R r dgol prcplă; s - prm suprdgolă; v - dou suprdgolă; (elemete ce treue determte) restul elemetelor ule; II. Rezolvre succesvă sstemelor lre: () L y t () R y 5

cu ormule drecte de clcul. Astel prcurgere etpe I îsemă ormulele: () ( ). m v s r r / m s c v s r / e m d v s r r / c s r l l l l l r prcurgere etpe II- îsemă: (4) y m y t y y t y t y l l respectv (5) ( ) ( )... r / v s y r / s y r / y Aplcţe Se dă sstemul lr petdgol: ). Se oţe:. 54 6 8 7 8 8 8 9 8 6 4 4 4 5 5 5 6

8. Metod Jco petru rezolvre tertvă sstemelor de ecuţ lre Prezetre proleme Fe sstemul lr (cu soluţe ucă): () A t A R mtrce sstemulu; t R termeul ler l sstemulu. Ne propuem să determăm soluţ ucă R. Prezetre metode Petru () R promţ ţlă soluţe sstemulu () les rtrr (de eemplu vectorul ul) clculăm: ( ) ( ) () t j j / j j pâă câd este îdepltă codţ: ( ) ( ) () m ε ude ε - precz cu cre dorm să oţem soluţ (ε -p p 4). Atuc (). O codţe sucetă petru oţere soluţe sstemulu () cu precz ε este: (4) > j j dgolă pe l ) su (4 ) > j jj j j dgolă pe coloe ). (mtrce A este domt j (mtrce A este domt 7

Aplcţ ) Se du: ş 4 4 A t. Petru: ε -4 t ş ; 9999889 59999884 59999884 9999889 ε -7 t ş ; 99999998 599999998 599999998 99999998 ε - t 4 ş 6 6 cre este soluţ ectă sstemulu lr A t. 8

9. Metod Sedel Guss petru rezolvre tertvă sstemelor de ecuţ lre Prezetre proleme Fe sstemul lr (cu soluţe ucă): () A t A R mtrce sstemulu; t R termeul ler l sstemulu. Ne propuem să determăm soluţ ucă R. Prezetre metode Petru () R promţ ţlă soluţe sstemulu () les rtrr (prctc vectorul ul) clculăm: ( ) ( ) () () t j j j j / j j pâă câd este îdepltă codţ: ( ) ( ) () m ε ude ε precz cu cre dorm să oţem soluţ (ε -p p 4). Atuc (). O codţe sucetă petru oţere soluţe sstemulu () cu precz ε este: (4) > j j dgolă pe l) su (4 ) > j jj j j dgolă pe coloe). (mtrce A este domt j (mtrce A este domt 9

Aplcţ 4 ) Se du: A ş t. 4 Petru: 9999885557 ε -4 657 t ş ; 59999979 45 9999999888 ε -7 66 t 5 ş ; 5999999997 4 ε - 6 t ş 6 cre este soluţ ectă sstemulu A t.

. Metod Sedel Guss petru rezolvre tertvă sstemelor lre cu mtrce sl populte Prezetre proleme Î rezolvre uor stel de ssteme se olosesc metode tertve î prcpu celeş c ş petru ssteme lre cu mtrce ple dereţele părâd î modul î cre relţle geerle de terţe se trsormă îtr-u lgortm de clcul cre utlzeză l mm memor clcultorulu evtâd î celş tmp operţle de îmulţre ş dure cu zero. Prezetre metode Metod Sedel Guss petru rezolvre sstemulu: A t A R este mtrce sl popultă se zeză pe relţle : () R ( ) ( ) () () t j j j j / j j pâă câd: ( ) ( ) () m ε ε precz mpusă. Preczre. Î lgortmul de clcul petru mtrce sstemulu se prevede u umăr de locţ de memore egl cu umărul elemetelor eule d mtrce. Aceste elemete eule treue detcte ş de cee vom lucr cu următor vector (preczâd că repreztă umărul de ecuţ ş ecuoscute r umărul de elemete eule d mtrce): ) A ( ) - coţe elemetele eule d mtrce sstemulu. ) L (l ) coţe umărul elemetelor eule d ecre le.

) C (c ) coţe dc coloelor î cre sut elemetele eule d ecre le prcurgâd lle î orde lor crescătore. Oservţe. Cum c c Z. Preczre. Cu jutorul vectorlor L ş C se stlesc ră testăr terme cre tră î ormulele (). 4) T (t ) coţe termeul ler 5) X ( ) coţe ţl () d (). 6) ε R repreztă precz. 7) tm Z repreztă umărul mm de terţ petru oţe soluţ sstemulu cu precz dortă. 4 Aplcţe 4 4 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 4 6 6 6 6 4 7 7 7 7 4 Avem: ş 46. Apo: -4; ; ; (î l ) 4 ; 5-4; 6 ; 7 ; (î l ) 8 8 8 8 8 4 9 9 9 9 4 4 4 875 5 5 5 5 5

8 ; 9-4; ; (î l ) ; -4; ; 4 ; ( î l 4) 5 ; 6 ; 7-4; 8 ; 9 ; (î l 5) ; ; -4; ; (î l 6) 4 ; 5-4; 6 ; 7 ; (î l 7) 8 ; 9 ; -4; ; (î l 8) ; 4 ; 5-4; 6 (î l 9) 7 ; 8-4; 9 ; (î l ) 4 ; 4 ; 4-4; 4 ; (î l ) 44 ; 45 ; 46-4; (î l ) l ; l 4; l ; l 4 4 l 5 5; l 6 4; l 7 4; l 8 5; l 9 4; l ; l 4; l ; c ; c ; c 4; (î prm le) c 4 ; c 5 ; c 6 ; c 7 5; (î dou le) c 8 ; c 9 ; c 6; (î tre le) c ; c 4; c 5; c 4 7 (î ptr le) c 5 ; c 6 4; c 7 5; c 8 6; c 9 8; (î cce le) c ; c 5; c 6; c 9 (î şse le) c 4 4; c 5 7; c 6 8; c 7 ; (î şpte le) c 8 5; c 9 7; c 8; c 9; c ; (î opt le) c 6; c 4 8; c 5 9; c 6 ; (î ou le) c 7 7; c 8 ; c 9 ; (î zece le) c 4 8; c 4 ; c 4 ; c 4 ; (î usprezece le) c 44 9; c 45 ; c 46 ; (î douăsprezece le) t -875; t -5; t -5; t 4-5; t 5 ; t 6 ; t 7-5; t 8 ; t 9 ; t -5; t ; t ; ;.

Petru: 7499956 49999764 499957 74998877 49998757 ε -4 4999569 t ş ; 7499879948 499986546 49996 7499894 4999877789 4999958 4

. Metod Leverrer petru determre coeceţlor polomulu crcterstc Prezetre proleme Fe A R. Ne propuem să determăm coeceţ polomulu crcterstc. () p A (λ) λ σ λ - σ λ -... (-) σ Prezetre metode Coeceţ cre pr î () se oţ d relţle: σ s () σ (sσ sσ... ( ) s σ ( ) () s Tr(A ). Aplcţe s ) ude 4 Se dă A 4. 4 Se oţ: s σ s ; s 4 σ (s σ s )/ -7; s 8 σ (s σ s σ s )/ 6. p A (λ) λ σ λ σ λ σ λ 7λ 6. 5

. Metod Krylov petru determre coeceţlor polomulu crcterstc Prezetre proleme Fe mtrce A R. Ne propuem să determăm coeceţ polomulu crcterstc. () p A (λ) λ c λ -... c - λ c Prezetre metode ) Se lege rtrr y () R eul ) Se oţ: () y () A y (-). ) Se rezolvă sstemul lr: c () (y (-) y (-)... y () y () ) c y () M c Dcă u re soluţe ucă se lege lt y () ş se re de l ). Dcă re soluţe ucă cest repreztă coeceţ polomulu crcterstc petru mtrce dtă dec (). Oservţ:. Notăm cu B mtrce sstemulu (). Ultm coloă lu B se troduce ş clculăm po ecre coloă d B î ucţe de succesore e olosd ().. Dcă m tşăm o coloă î plus l mtrce B petru termeul ler l sstemulu () cest se v clcul olosd () cu elemetele d prm coloă mtrce.. Petru rezolvre sstemulu () pelăm o procedură (de eemplu Guss). 6

Aplcţe Se dă: A Oţem: coeceţ polomulu crcterstc l mtrce dte sut: 6 6. Preczăr: ) Se oţe p A (λ) λ 4 6λ λ λ 6 petru legere. ) Dcă legem tuc sstemul lr de orm () cre se oţe (îte de psul 5. l lgortmulu): y ) ( y ) ( 6 6 54 4 8 4 4 4 6 u re soluţe ucă (este comptl edetermt). 7

. Metod Fdeev petru determre coeceţlor polomulu crcterstc Prezetre proleme Fe A R. Ne propuem să determăm coeceţ polomulu crcterstc. () p A (λ) λ c λ -... c - λ c Prezetre metode ) A A; c -Tr(A ); B c I A ; ) A A B ; c -Tr(A )/; B c I A ;... ) A A B - ; c -Tr(A )/; B c I A. Oservţ:. B O (mtrce ulă) dec u se v clcul.. Dcă c A - B-. Aplcţe 4 ) Se dă: A. 4 Se oţe: A A; c ; B ; 6 6 A A B ; c 5; B ; 4 5 4 c 8

A A B ; c 6; B. 6 6 6 p A (λ) λ λ 5λ 6. Cum c A - B 6. / 6 / / / / 9

4. Metod Dlevs petru ducere ue mtrce l orm ormlă Froeus Prezetre proleme Fe mtrce: A R ş e propuem să trsormăm pr procedee de semăre cestă mtrce î orm ormlă Froeus: L L () L L L L L L L Oţem: () p A (λ) λ λ - λ - - λ. Prezetre metode Se trsormă mtrce A î orm () după etpe l ecre etpă oţâd câte o le d () de l ultm le pâă l prm le. Astel l etp presupuem - petru oţe ultm le d (). Cu cestă presupuere vom prelucr mtrce A pe z relţlor: / () / j j urmte de relţle: / (4) j / / j j j / j j. / Apo l etp presupuem 4 petru oţe peultm le d () (ultm le s- oţut dej l

etp ). Cu cestă presupuere vom prelucr mtrce A oţută după prcurgere etpe dcă după plcre relţlor () ş (4) pe z uor relţ semăătore dcă: // / ( ) // / j j urmte de relţle: / // / / j // (4 ) j j j / // j j. Î cocluze otâd cu vrl ce umără etpele î metod Dlevs vem: ş -. Oservţe. Dcă estă... stel îcât - tuc sutem îtr-u cz prtculr. Aplcţe 6 7 6 A A coeceţ polomulu crcterstc sut: -6 7-6. Detl clcule: A ; u ( -) 4

A ; u (-/ 4/ / /) 4/ / 5/ / 5/ / / / / / 4/ / 5/ / / / A ; u ( 6-7) 9 /4 5 /4 /4 9 /4 7 6 A 6 7 6 p A (λ) λ 4 6λ 7λ 6. 4

5. Metod Dlevs petru determre uu vector propru corespuzător ue vlor propr Prezetre proleme Fe mtrce: A R ş e propuem determre uu vector propru l mtrce petru o vlore propre specctă. Prezetre metode Se trsormă mtrce A î orm ormlă Froeus: L L () L L L L L L L olosd relţle () (4) ( ) (4 ) d lucrre precedetă. Notâd cu vrl ce umără etpele de trsormre lu A î () vem: -... ş -. Oservţe. Dcă estă -... stel îcât - tuc sutem îtr-u cz prtculr (cre u se trteză î lgortmul cre urmeză). Cum mtrce A ş orm s ormlă Froeus sut mtrce semee teoretc l ecre etpă oţem o mtrce M - cre deră de mtrce utte dor î l - le cre re următore compoeţă: ()...... Prctc l ecre etpă oţem l - dtr-o mtrce M R - olosd (). Î cest mod după prcurgere celor - etpe mtrce () se pote scre teoretc 4

M... M M A M M... M M M Ştd că y R este u vector propru corespuzător ue vlor propr λ petru mtrce () vem R este u vector propru corespuzător celeeş vlor propr λ petru mtrce ţlă A clcult teoretc stel: () M - M -... M M y Oservţe. Produsele d () se c de l drept l stâg dcă: M - (M - (...(M (M y))...)) Acest deorece produsul M y modcă compoet d vectorul y. Aplcţe Fe A A 6 7 6 p A (λ) λ 4 6λ 7λ 6. D p A (λ) (λ)(λ )(λ λ) dec λ - λ λ 4 C ±. Petru λ - y () ; λ λ λ 9 7 44

petru λ y (). λ λ λ 4 8 De semee: M / / / / /4 /4 /4 /4 7 / / Otem: y () 9 / / 7/6 6 7 / / 5/6.8().(6).(6) respectv y () 4 /7 7 / 5/7.(7485).(4857) 45

6. Metod Brstow petru rezolvre ecuţlor lgerce Prezetre proleme Se cosderă polomul cu coeceţ rel: P () -... - ş e propuem determre rădăclor cestu polom. Prezetre metode Metod Brstow costă î descompuere lu P î ctor pătrtc (dcă pr) su î ctor pătrtc ş u ctor lr (dcă mpr). Notăm prmul ctor pătrtc cu p q ( * ) P () ( p q)( - -... - ) r s. restul r Notăm deorece ăcâd produsele î drept ş s p eglâd cu memrul stâg vem: () p p q r (pq) Evdet (d ()) s (pq) Vom determ p ş q stel îcât restul împărţr ( * ) să e promtv ul dcă: (pq) () sstem elr (pq) Rezolvăm sstemul () cu metod Newto. Dcă p q R sut promţle ţle le lu p ş q tuc: 46

() q p q p ) q (p q ) q (p p ) q (p q ) q (p p ) q (p ) q (p Notăm: (4) Δ p p S q q R p q q p. Atuc d () vem: ( ) Δ Δ / S q q / R p p ude pr Δ R S m ott vlorle ucţlor Δ R ş respectv S î (p q ). Ţâd cot de () ş clculâd dervtele prţle cre pr î (4) oţem: (5) q p q q p p p p q q p p Notăm (6) c p ; () p p q p p. Dec c pc - qc - ude c - c -. 47

Alog otăm (7) d q ; () q q q q p. Dec d pd - qd - ude d - d -. Î cocluze oţem c d su (8) - qc pc c p c c Îlocud (6) respectv (7) î (5) vem: c p ; c q ; p c- - pc - pc c q de ude îlocud î (4) vem: (4 ) Δ c c S c c R c c c c Astel petru determ u ctor pătrtc procedăm stel: legem promărle ţle p q determăm... cu ormulele () determăm c c... c - cu ormulele (8) determăm Δ R S cu ormulele (4 ) determăm p q cu ormulele ( ) Ne oprm tuc câd p q vercă sucet de e ecuţle sstemulu () dcă { } ε s r m ude r - ş s p -. 48

U lt test de oprre d ( ) m { p p q q } ε dcă R S Δ ε. Câd testul de oprre este îdeplt ultmele vlor clculte p q repreztă promţ sucet de ue (î ucţe de ε) petru coeceţ tromulu p q r soluţle cestu trom sut rădăc rele su complee le ecuţe (*). Cotuăm ceeş tctcă cu polomul de grd - cre pre î drept relţe (*). Aplcţ ) P() 4 ; 4 ; -; ; ; 4 -; p legâd ε -5 p î terţ q q po (repetă) ( ( p q ) / ε -5 ) /. ; p î terţ q 49

7. Fctorzre LR petru oţere vlorlor propr le ue mtrce Prezetre proleme Fe A R. Ne propuem să determăm vlorle propr le mtrce dte: λ λ λ. Prezetre metode Notăm A A; A L R ; A R L ; A L R ; A R L ; ş..m.d. Î geerl A L R ; A R L. Oservţ: ) Mtrcele L ş R se oţ olosd ormulele corespuzătore ctorzăr LR Doolttle (vez lucrre de lortor r. 5 ormulele (5). ) Mtrcele A ş A sut semee (A ~ A); A L - A L ude L L L L. ) A R mtrce superor trughulră ş λ r. 4) Dcă y R este u vector propru corespuzător ue vlor propr λ petru mtrce R tuc L y este u vector propru corespuzător celeş vlor propr λ petru mtrce A. Aplcţ ) A re vlorle propr L prm etp se ote: ± 5. 5

L ; R / / / ş respectv 4 / / A / / 4 / / L dou etp se oţe: 4 / / 4 / 8 / 4 5/ 4 L ; R / 8 9 / 6 6 / 7 / ş respectv / 4 7 / 5/6 89 / 5 / 4 5/ 4 A ş..m.d. 9 / 5 7 /69 6 / 7 / petru ε -4 după 7 terţ vem:.999986468.6847454-6.8974e-. petru ε -6 după 4 terţ:.99999984.684685-6.89888e-. 5

8. Metodă tertvă de tp Newto petru estmre umercă vlorlor propr etreme le ue mtrce rele smetrce Cosderâd o prolemă de orm: dtă o ucţe : [ ;] R cotuă dervlă se cere să se determe * stel îcât: (*) () metod Newto petru clculul umerc l soluţe ecte * se pote crcterz stel: legâd () promţe ţlă petru * se geereză şrul de promţ succesve () cu jutorul ormule: () Γ( () ) () ude ucţ de terţe Γ() este dtă pr: () Γ () () () Fe A R mtrce smetrcă. Notăm cu P A (λ) polomul crcterstc l lu A vâd epres ltcă: PA ( λ) λ αλ α λ... α (4) ude α j R j ; α Fucţ de terţe Γ() î czul polomulu crcterstc P A (λ) petru λ λ () ude λ () u este u d vlorle propr le lu A este dtă de: () () () det( λ I A) Γ( λ ) λ (5) () det λ I A j ( ) ) ude I repreztă mtrce dettte de ord. r A jj repreztă mtrce oţută d A pr elmre le j ş coloe j. 5 jj

Aplcţ ) Se cosderă A R A Se cere promre vlorlor propr etreme cu precz ε -9. Folosd lgortmul prezett oţem: λ m - 8798545 umăr de terţ eectute: 7. λ m 588886 umăr de terţ eectute: 6. 5

9. Apromre ucţlor pr terpolre Lgrge Prezetre proleme Se du: R cu j j (umte odur de terpolre); y ( ) (vlorle cuoscute le ue ucţ î odurle de terpolre); z R cu z [ ]. Se cere să se promeze (z) olosd polomul Lgrge de terpolre pe odurle dte. ude Prezetre metode z (z) y L ()de y este polomul Lgrge de terpolre pe odurle. Aplcţe Fe - 4 y - 8 Să se evlueze (-) ş () olosd polomul Lgrge de terpolre pe odurle dte. Se oţe: (-) u se pote evlu deorece - [- 4] () - 4 54

. Dereţe dvzte pe odur smple Prezetre proleme Se du... R j j; y y... y vlorle cuoscute le ue ucţ î.... Dereţele dvzte de ordul zero le ucţe sut: de () y Dereţe dvzte de ord îtâ le ucţe sut: de () - Dereţe dvzte de ordul l dole le ucţe sut: () de ş.. m. d. Dereţ dvztă de ordul - ucţe este: (4) de... -...... Prezetre metode Se cere tloul D l dereţelor dvzte cre î ecre coloă j j - să coţă dereţele dvzte de ord j crcterzte pr ormulele () (4). D () d y D () (4) d j d j d j j j. j 55

Aplcţe Se du: - 4 y - 8 Se oţ: - dereţele dvzte de ordul sut ; ; ; ; 8. - dereţele dvzte de ordul sut: 5; -; ; 7; - dereţele dvzte de ordul sut: ; 4; -; - dereţele dvzte de ordul sut: 5; - 5 ş - dereţ dvztă de ordul 4 este 6. 56

. Apromre ucţlor pr terpolre Newto Prezetre proleme Se du: R cu j j (umte odur de terpolre); y ( ) (vlorle cuoscute le ue ucţ î odurle de terpolre); z R cu z [ ]. Se cere să se promeze (z) olosd polomul Newto de terpolre pe odurle dte. ude Prezetre metode (z) N ()de... ( z )... ( ) este polomul Newto de terpolre pe odurle. ş y y... Aplcţe j j ( ) j Fe - 4 y - 8 Să se evlueze (-) ş () olosd polomul Newto de terpolre pe odurle dte. Se oţe: (-) u se pote evlu deorece - [- 4]; () - 4 57 j

. Dereţe dvzte pe odur multple Prezetre proleme Se du... R j j odur multple cu multplctăţle m N* ş vlorle: (*) (j) j m cuoscute î odur petru o ucţe ş o prte d dervtele sle. Prezetre metode Cosderăm s m Dereţele dvzte de ordul zero le ucţe sut: () de ( ) Dereţe dvzte de ord îtâ le ucţe sut: ( ) () /! su de ( ) - Dereţe dvzte de ordul l dole le ucţe sut: ( ) () /! su de ( ) respectv - de 58

su ( ) de ş.. m. d. Dereţ dvztă de ordul s - ucţe este: de su ( (4) <............ > 44 m or 44 44 4 m or m or 44 4 (m ) or 44 (m ) or 44 4 m or <......... > <......... > 44 4 m or Î geerl dereţele dvzte cre pr sut de tpul: (p) ( ) (5) <... > p m 44 (p )! por (6) <...... j j... j > 44 44 por ( q-) qor <...... j j... j > 44 44 ( p-) por 44 or or <......... > ) / j j j 44 qor ( ) j de p m j q m j j. Se cere tloul D l dereţelor dvzte cre î ecre coloă j j s - să coţă dereţele dvzte de ordul j crcterzte pr ormulele () (6). Notăm elemetele tloulu cu d j j s- s-j. 59

Aplcţe Se du: - - - -4 - Dec m ; m ; m s 8. Se oţe tloul: - dereţele dvzte de ordul sut: ; ; ; -; -; -; -; -; - dereţele dvzte de ordul sut: -4; -4; -5; ; 5; ; ; - dereţele dvzte de ordul sut: ; 5; 75; -75; 5; ; - dereţele dvzte de ordul sut: 65; 5; -65; ; -65; - dereţele dvzte de ordul 4 sut: -875; -875; 465; -85; - dereţele dvzte de ordul 5 sut: -785; 565; -46875; - dereţele dvzte de ordul 6 sut: 4565; 5475; - dereţ dvztă de ordul 7 este: -965. 6

. Polom de terpolre Hermte Prezetre proleme Se du... R j j odur multple cu multplctăţle m N* ş vlorle (j) j m - cuoscute î odur petru o ucţe ş o prte d dervtele sle. Se cere determre uu polom H căru vlor î puctele să cocdă cu vlorle ucţe dcă: H( ) ( ) petru ş î plus vlorle dervte polomulu H să cocdă cu vlorle dervte ucţe pâă l ordul m - petru ecre vlore. Petru vlor z vlore polomulu H(z) promeză vlore ucţe (z). Prezetre metode Petru costrucţ polomulu H propuem ormul Hermte. Petru z [ z ] se cere: H () z ( z )... < > 44... m or m or m m (z ) <... > ( z )... 44 < > 44... 444... 4... 44... 4 mor m or m m m ( z ) ( ) ( ) z... z m or ude dereţele dvzte pe odur multple sut elemetele tloulu D d lgortmul precedet. 6

4. Apromre ucţlor pr sple cuc cu dervt dou ulă l etremtăţle tervlulu de promre Prezetre proleme Se du... R j j odur de terpolre;... R vlorle cuoscute î le ue ucţ ş treue să oţem ucţ S cu propretăţle [ ] ot S S este polom de grdul ; S( ) ; S S S cotue pe [ ]. Prezetre metode Notăm h - ş vem: () ( ) ( ) ( ) h 6 h u 6h u u S h 6 h u [ - ] ude m ott S ( ) u Avem S ( ) S ( ) u u. Petru oţe sple-ul cuc S vem evoe de restrcţle sle S pe ecre tervl ude: u u... u - sut ecuoscute determte c soluţe sstemulu: () h h u 6 h u h h u 6 h - cu u u. 6

Mtrce sstemulu () este trdgolă smetrcă ş re următorele elemete: () h c h ( h h ) / - pe dgol prcplă /6 - /6 - desupr dgole prcple su dgol prcplă r termeul ler l sstemulu () re compoetele: (4) t ( - )/h ( - )/h -. Petru rezolvre sstemulu () olosm ctorzre LR petru mtrce trdgole ş îlocud u u... u - stel oţute î () găsm S. Aplcţe Se dă telul: - 5 Avem: h h h ; u u. Se oţe sstemul: 4 u 4 4 u 6 cu soluţ: u 4 ş u 44. 6

5. Apromre ucţlor pr sple cuc cu prm dervtă eglă cu prm dervtă ucţe l etremtăţle tervlulu de promre Prezetre proleme Se du... R j j odur de terpolre;... R vlorle cuoscute î le ue ucţ ; vlorle ( ) ş ( ). Treue să oţem ucţ S cu propretăţle S [ ] S este polom de grdul ; S( ) ; S ( ) ; S S S cotue pe [ ]. ot Prezetre metode Notăm h - ş vem: u () ( ) ( ) ( ) u h S u 6h 6 h h u 6 [ - ] h ude m ott S ( ) u. Petru oţe sple-ul cuc S vem evoe de oţere restrcţe sle S pe ecre tervl ude: u u... u sut ecuoscute determte c soluţe sstemulu: 64

() h u h u 6 h h h u 6 h u h h u 6 h h u 6 h u h. Mtrce sstemulu () este trdgolă smetrcă ş re elemetele pe dgol prcplă desupr dgole prcple ş respectv su dgol prcplă dte de relţle: () ( ) /6 h c /6 h / h ; / h h h / r termeul ler re compoetele: (4) ( ) ( ) ( ) ( ) /h - t /h /h t /h t 65

Aplcţe Se dă telul: - - -6-6 9 - - -5 Avem: h h h. Se oţe sstemul: u u u u 4 4 cu soluţ: u u 6 u 6 u. 66

6. Metod celor m mc pătrte petru promre ucţlor czul dscret Prezetre proleme Se du... m R;... m R (repreztă vlor cuoscute î m petru o ucţe ); w w... w m R (repreztă poder) ş se cere: () ( ) ( ) ϕ p elemetul de ce m uă promre petru î sesul celor m mc pătrte ude: este dt r: () ( ) ( ) ( ) ( ) ϕ ϕ R R Prezetre metode Notăm: () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). ~ ; ~ ; ~ m m m ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ L L L Petru u v R m dem produsul sclr: (4) m v u w v u Petru oţe coeceţ... lu p d () se rezolvă sstemul: 67

(5) ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ L L L L L L L L L. De semee cosderăm o coloă î plus î mtrce B colo cre coţe terme ler sstemulu (5). Folosd () () (4) clculăm elemetele mtrce B cu ormulele: (6) w ; w j w j w ; w m m m j j j m m j j j Aplcţe Se dă telul: 4 6 5 w 68

Să se promeze prolc ucţ de m sus. Avem: m 4 p (). Se oţe sstemul: 4 57 57 89 57 89 569 cu soluţ: 4.557789 5.666585.55684. 8 4 98 69

7. Metod trpezulu petru evlure tegrlelor Prezetre proleme Fd dtă tegrl detă: ( ) e propuem stlre ue ormule cre să promeze vlore tegrle. d Prezetre metode Fe [ ] R ş < <... < o dvzue lu [] cu h h. Metod trpezulu propue următore promre petru tegrl detă: ( ) d ( ) ( ) ( ). Aplcţe d I petru ε -5 I 69484 î 9 pş petru ε -8 I 6947846 î 4 pş petru ε -9 I 694788 î 5 pş Vlore ectă I l 6947856 7

8. Metod Smpso petru evlure tegrlelor Prezetre proleme Fd dtă tegrl detă: ( ) e propuem stlre ue ormule cre să promeze vlore tegrle. d Prezetre metode Fe [ ] R ş < <... < o dvzue lu [] cu h h. Metod Smpso propue următore promre petru evlure tegrle: h ( ) d ( ) ( ) 4 ( ). 6 Aplcţe d I petru ε -5 I 6947658 î 4 pş petru ε -8 I 6947867 î 7 pş petru ε - I 6947856 î 9 pş 7

9. Metod Newto petru evlure tegrlelor Prezetre proleme Fd dtă tegrl detă: ( ) e propuem stlre ue ormule cre să promeze vlore tegrle. d Prezetre metode Fe [ ] R ş < <... < o dvzue lu [] cu h h. Metod Newto propue următore promre petru evlure tegrle: ( ) d ( ) ( ) ( ) Aplcţe d I petru ε -5 I 6947968 î 4 pş petru ε -8 I 694786 î 7 pş petru ε - I 6947856 î 8 pş 7

. Evlure umercă tegrlelor dule pe dome covee de roteră polgolă Cosderăm tegrl dulă ( y)ddy ude D R este u domeu coe de roteră polgolă. I. Presupuem că D este u domeu trughulr de vârur V ( y ) V ( y ) V ( y ). ( y)ddy pote promtă umerc olosd u d următorele ormule: S () ( y)ddy (( y ) ( y ) ( y )) ude D S repreztă r domeulu D (ormulă vâd ordul de ecttte uu). D () ( y)ddy D D S (( y ) ( y ) ( y ) 9( G y G )) ude S repreztă r domeulu D r G( G y G ) cetrul de greutte l lu D (ormulă vâd ordul de ecttte do). D [ / S ( ( ) ( ) ( ) / / / / / () ( y)ddy 8 y y y 6 ( ( y ) ( y ) ( y ) 7 ( G y G )] ude S repreztă r domeulu D G( G y G ) cetrul de greutte / / / / / / / / / l lu D r V ( y) V ( y ) V ( y) mjlocele lturlor opuse vârurlor V V V respectv (ormulă vâd ordul de ecttte tre). II. Presupuem că D este u domeu cove de roteră polgolă. Itroducem pe domeul D o trgulrzre T dtă U NE K de T ude K trugh de vârur V ( y ) ; 7

V ( y ) ; V ( y) NE r NE umărul totl de elemete trughulre le lu T. Astel oţem: D ( y)ddy NE ( y) ddy K Evluâd umerc ecre tegrlă dulă detă pe câte u domeu trughulr K NE coorm ormulelor de l czul I oţem pr sumre rezulttelor vlore promtvă tegrle dule ( y)ddy ţl dtă. D Aplcţe. Cz I y y ddy ude D trughul de vârur V (); D V (); V (). Aplcâd ormul () oţem: y y ddy 4495 D Aplcţe. Cz II y ddy ude D {( y) [ ; ]; y [ ; ]}. D ( y) Oservţe: Vlore ectă este: 496. 74

. Metod Euler petru rezolvre ue proleme Cuchy soctă ue ecuţ dereţle ordre Prezetre proleme Fe prolem Cuchy: y' ( y) () y( ) y Prezetre metode Se cosderă [ ] R ude: h - ş se cer vlorle promtve le soluţe proleme () otte y ude y y( ). Formulele oloste sut: h () y y h ( y ) cu Aplcţe y y' Fe prolem () y() Se cosderă [; 5] cu 5. Se cer vlorle y y y y 4 y 5 cre promeză y(); y(); y(); y(4); y(5). Astel petru ceste vlor oţem promărle: 995748 4996866 689847757 î 8 îmuătăţr petru ε -4 9597854 75

4977456 999744 4999444 68999478 î îmuătăţr petru ε -9 95998676 49986888 Vlorle ecte le soluţe y sut: ; 44; 69; 96; 5. 76

. Metod Ruge-Kutt de ordul do petru rezolvre ue proleme Cuchy soctă ue ecuţ dereţle ordre Prezetre proleme Fe prolem Cuchy: y' ( y) () y( ) y Prezetre metode Se cosderă [ ] R ude: h - ş se cer vlorle promtve le soluţe proleme () otte y ude y y( ). Formulele oloste sut: h ( ) y y /4 ude () h ( y ) h ( h/ y /) cu Aplcţe y y' Fe prolem () y() Se cosderă [; 5] cu 5. 77

Se cer vlorle y y y y 4 y 5 cre promeză y(); y(); y(); y(4); y(5). Astel petru ceste vlor oţem promărle: su: 9997846 499949 6899978 î 5 îmuătăţr petru ε -5 9599875787 499884 99999998 499999996 689999999 î îmuătăţr petru ε -8 959999999 499999987 Vlorle ecte le soluţe y sut: ; 44; 69; 96; 5. 78

. Metod Euler petru rezolvre ue proleme Cuchy soctă uu sstem de două ecuţ dereţle ordre Prezetre proleme Fe prolem Cuchy: y' ( yz) z' g( yz) () y( ) y z( ) z Se cere să se promeze soluţ proleme dte pe [ ]. Prezetre metode Se cosderă [ ] R cu dvzue de ps h: h ş se cer vlorle promtve le soluţe proleme () otte y respectv z ude y y( ) z z( ). Formulele oloste sut: h y y h ( y z ) () z z hg( y z ) cu 79

Aplcţe y' / y z' z( y ) /(y ) Fe prolem () y() z() Se cosderă tervlul [; 5] cu dvzue 5. Se cer vlorle y y y y 4 y 5 respectv z z z z 4 z 5 cre promeză y(); y(); y(); y(4); y(5) zespectv z(); z(); z(); z(4); z(5). Astel petru ceste vlor oţem promărle: 5 ş 999946 ş 49984 45 ş 68997454 î îmuătăţr 46 ş 959958986 petru ε 4 575 ş 49945664 Soluţ ect este y() z() 8