MATEMATIKA II. Dr Boban Marinković

MATEMATIKA II VEŽBE Dr Boban Marinković 1

Neodredjeni integral dx = x + C, dx x = ln x + C, dx = arcsin x + C, 1 x 2 a x dx = ax ln a + C, cos x dx = sin x + C, dx x 2 a = 1 2 2a ln x a x + a + C, dx x2 + λ = ln x + x 2 + λ + C, ( dx x cos x = ln tg 2 + π ) + C, 4 dx sin 2 = ctg x + C. x x m dx = xm+1 m + 1 + C, dx = arcctg x + C, x 2 + 1 e x dx = e x + C, sin x dx = cos x + C, dx x 2 + a = 1 2 a arctg x a + C, dx a2 x = arcsin x 2 a + C, dx sin x = ln tg x 2 + C, dx = tg x + C, cos 2 x 1. Izračunati 2. Izračunati 2 x x 3 + 5x 1 x ( x 5 5 + 5x 3 1 dx. ) dx sin 2 x cos 2 x. tg x ctg x + C. + C. 3. Izračunati dx x + 1 x. 2

4. Izračunati 5. Izračunati 2 3 (x + 1) 3 2 + 2 3 x 3 2 + C. 3 1 + 3 sin x cos x dx. (1 + 3 sin x) 4 3 4 sin x cos x dx. + C. 2 cos x + C. 6. Izračunati dx (arccos x) 5 1 x 2. 7. Izračunati 8. Izračunati 1 4arccos 4 x + C. x 2 + 1 3 x3 + 3x + 1 dx. 1 2 (x3 + 3x + 1) 2 3 + C. dx x ln x. ln ln x + C. 3

9. Izračunati arctg x dx. xarctg x 1 2 ln(1 + x2 ) + C. 1. Izračunati x cos x dx. x sin x + cos x + C. 11. Izračunati x 3 ln x dx. 1 4 x4 ln x 1 16 x4 + C. 12. Izračunati (x 2 2x + 5)e x dx. e x (x 2 + 5) + C. 13. Izračunati 15x 2 4x 81 (x 3)(x + 4)(x 1) dx. ln (x 3) 3 (x + 4) 5 (x 1) 7 + C. 14. Izračunati x x 3 + 1 dx. 1 3 ln x + 1 + 1 6 ln(x2 x + 1) + 3 3 arctg 2x 1 3 + C. 4

15. Izračunati x 2 + 1 (x 1) 3 (x + 3) dx. 16. Izračunati 1 4(x 1) 3 2 8(x 1) + 5 32 ln x 1 x + 3 + C. dx 5 + sin x + 3 cos x. 2 ( ) 1 + 2tg x 2 arctg + C. 15 15 17. Izračunati dx x2 + 2x + 5. ln x + 1 + x 2 + 2x + 5 + C. 18. Izračunati dx 3x2 + 4x 1. 1 3 arcsin(3x 2) + C. 5

Njutn-Lajbnicova formula: Odredjeni integral b a f(x) dx = F (x) b a = F (b) F (a), gde je F (x) primitivna funkcija funkcije f(x). Površina krivolinijskog trapeza, ograničenog krivom y = f(x), f(x), pravama x = a i x = b i odsečkom [a, b], računa se po formuli S = b a f(x) dx. Dužina luka krive y = f(x) na intervalu [a, b] računa se po formuli L = b a 1 + y 2 dx. Zapremina tela koje nastaje rotacijom krivolinijskog trapeza, ograničenog krivom y = f(x), f(x), pravama x = a i x = b i odsečkom [a, b], oko x ose, računa se po formuli b V = π y 2 dx. a Površina tela koje nastaje rotacijom krive y = f(x), x [a, b], oko x ose, računa se po formuli b S = 2π y 1 + y 2 dx. a 1. Izračunati 1 3 3. 2. Izračunati 1 3. π 4 π 6 e 1 dx cos 2 x. ln 2 x x dx. 6

3. Izračunati 1 xe x dx. e 2 e. 4. Naći površinu figure ograničene parabolom y = 4x x 2 i osom O x. P = 32 3. 5. Naći površinu figure ograničene parabolom y = x 2 i pravom x+y 2 =. P = 9 2. 6. Naći dužinu luka krive y 2 = x 3 od x = do x = 1. ( L = 8 13 ) 27 8 13 1. 7. Naći dužinu luka krive y = ln sin x od x = π 3 do x = π 2. L = 1 ln 3. 2 8. Naći zapreminu tela koje nastaje rotacijom oko x ose figure ograničene krivom y 2 = (x 1) 3 i pravom x = 2. V = π 4. 7

Funkcije dve promenljive Neka je M(x, y ) stacionarna tačka funkcije z = f(x, y). Označimo A = 2 f(x, y ), B = 2 f(x, y ), C = 2 f(x, y ). x 2 x y y 2 Neka je = AC B 2. Tada važi: 1. > i A < (ili C < ) funkcija ima maksimum. 2. > i A > (ili C > ) funkcija ima minimum. 3. < funkcija nema ekstremum. 4. = potrebno je dodatno ispitivanje. 1. Naći parcijalne izvode funkcije z = e x2 +y 2. z x +y2 = 2xex2, z y +y2 = 2yex2. 2. Naći druge parcijalne izvode funkcije z = y ln x. 2 z x 2 = y x 2, 2 z y 2 =, 2 z x y = 1 x. 3. Naći ekstremume funkcije z = x 2 + xy + y 2 3x 6y. Tačka M(, 3) je tačka minimuma. 4. Naći ekstremume funkcije z = x 3 + y 3 15xy. Tačka M(5, 5) je tačka minimuma. 8

Diferencijalna jednačina koja razdvaja promenljive Jednačina oblika Ako je g(y) tada Jednačina oblika y = f(x)g(y). dy g(y) = f(x)dx + C. y = f(ax + by + c) se smenom z = ax + by + c svodi na prethodnu. 1. Naći rešenje diferencijalne jednačine koje zadovoljava uslov y(1) = 1. Opšte rešenje je a partikularno se dobija za C = π 4. (1 + x 2 ) dy + y dx = ln y = arctg x + C 2. Naći rešenje diferencijalne jednačine koje zadovoljava uslov y() = 1. y cos x = y ln y Opšte rešenje je ( 1 2 ln2 y = ln x tg 2 + π ) + C 4 a partikularno se dobija za C =. 3. Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine y = x 2 2xy + y 2 + 2. Smena x y = u. Opšte rešenje je x + arctg(x y) = C. 9

4. Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine y = 2x + 2y + 5 x + y + 1. Smena x + y + 1 = u. Opšte rešenje je y 2x + 1 ln x + y + 2 = C. 5. Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine y = 3x 2y + 1. Smena 3x 2y + 1 = u. Opšte rešenje je 4y 6x + 1 = Ce 2x. 1

Homogena diferencijalna jednačina Jednačina oblika y = f ( y x). Smenom y = ux svodi se na jednačinu koja razdvaja promenljive. Jednačina ( ) y a1 x + b 1 y + c 1 = f, a 2 x + b 2 y + c 2 pri čemu je a 1 a 2 b 1 b2, se rešava uvodjenjem smene x = X + α, y = Y + β. Koeficijente α i β odredjujemo tako da slobodan član bude jednak nuli. Tada se jednačina svodi na homogenu. 1. Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine Opšte rešenje je (y 2 + xy) dx x 2 dy =. ln x + x y = C. 2. Naći rešenje diferencijalne jednačine y = xy2 yx 2 x 3 koje zadovoljava uslov y( 1) = 1. Opšte rešenje je y 2x y a partikularno se dobija za C = 3. = Cx 2 3. Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine Opšte rešenje je y = 4y 2x 6 x + y 3. (y x 1) 2 (y 2x) 3 = C. 11

Linearna diferencijalna jednačina Jednačina oblika Njeno rešenje je dato sa y + P (x)y = Q(x). [ y = e P (x)dx C + ] Q(x)e P (x)dx dx. 1. Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine Opšte rešenje je y + y cos x = e sin x. y = e sin x [C + x]. 2. Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine y + y ctg x = x 2. Uz dve parcijalne integracije dobija se opšte rešenje y = C sin x x2 ctg x + 2x + 2 ctg x. 3. Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine y = y y 2 + x. Jednačina se transformiše u linearnu diferencijalnu jednačinu x 1 y x = y, čijim rešavanjem se dobija opšte rešenje x = y 2 + Cy. 12

Bernulijeva diferencijalna jednačina Jednačina oblika y + P (x)y = Q(x)y α. Smenom u = y 1 α svodi se na linearnu diferencijalnu jednačinu u + (1 α)p (x)u = (1 α)q(x). 1. Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine y 4 x y = x y. Posle svodjenja na linearnu jednačinu u 2xu = x 2, dobijamo opšte rešenje y = 1 4 x4 ln 2 xc. 2. Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine 3y y 2y y tg x = 2x 2. Posle svodjenja na linearnu jednačinu u tg xu = 3x 2, dobijamo opšte rešenje y = ( ) C 2 cos x + 2x + 3 (x2 2) tg x. 3. Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine y xy 2 3xy =. Posle svodjenja na linearnu jednačinu u + 3xu = x, dobijamo opšte rešenje 3 y = Ce 3 2 x2 1. 13

Jednačina totalnog diferencijala Jednačina oblika uz uslov da je P (x, y) dx + Q(x, y) dy =, P y Q (x, y) = (x, y). x Opšte rešenje je oblika u(x, y) = C gde je [ u = P (x, y)dx + Q(x, y) ] P (x, y)dx dy. y 1. Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine (e x + y + sin y) dx + (e y + x + x cos y) dy =. Opšte rešenje je e x + xy + x sin y + e y = C. 2. Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine Opšte rešenje je y x dx + (3y2 + ln x) dy =. y ln x + y 3 = C. 3. Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine Opšte rešenje je (x + y 1) dx + (e y + x) dy =. e y + x2 2 + xy x = C. 14

Integracioni množitelj I λ(u), u = u(x, y) : II λ(x) : III λ(y) : dλ λ = p q y x q u p u x y du 1 λ(x) = e q ( p y q x )dx 1 λ(y) = e p ( q x p y )dy 1. Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine (x 4 + y 4 ) dx xy 3 dy = ako se zna da ona ima integracioni množitelj u obliku funkcije od x. Integracioni množitelj je µ(x) = 1 x 5 y = 4 4x 4 ln x 4Cx 4. 2. Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine (2xy 2 y) dx + (y 2 + x + y) dy = a opšte rešenje je ako se zna da ona ima integracioni množitelj u obliku funkcije od y. Integracioni množitelj je µ(y) = 1 y 2 a opšte rešenje je x 2 x y + y + ln y = C. 3. Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine (x y) dx + (x + y) dy = ako se zna da ona ima integracioni množitelj u obliku funkcije od x 2 +y 2. Integracioni množitelj je µ(x 2 + y 2 ) = 1 x 2 +y 2 ln x 2 + y 2 arctg x y = C. a opšte rešenje je 15

I Neke diferencijalne jednačine višeg reda y (n) = f(x). Rešava se n puta integracijom. II F (x, y, y ) =. Uvede se smena y = p pa se dobije jednačina prvog reda. III F (y, y, y ) =. Uvede se smena y = p(y), (y = p p), koja snižava red jednačine. 1. Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine Opšte rešenje je y = xe x. y = (x + 2)e x + C 1 x + C 2. 2. Naći ono rešenje diferencijalne jednačine y IV = cos 2 x, koje zadovoljava uslove y() = 1 32, y () =, y () = 1 8, y () =. Partikularno rešenje je y = 1 48 x4 + 1 8 x2 + 1 cos 2x. 32 3. Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine Opšte rešenje je xy = y ln y x. y = 1 C 1 xe 1+C 1x 1 C 2 1 e 1+C 1x + C 2. 16

4. Naći ono rešenje diferencijalne jednačine y y x 1 = x(x 1) koje zadovoljlava uslove y(2) = 1, y (2) = 1. Partikularno rešenje je y = 3x4 4x 3 36x 2 + 72x + 8. 24 5. Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine Opšte rešenje je 1 + (y ) 2 = yy. 1 ln(c 1 y + C C 1y 2 2 1) = ±(x + C 2 ). 1 6. Naći ono rešenje diferencijalne jednačine yy (y ) 2 = koje zadovoljlava uslove y() = 1, y () = 2. Partikularno rešenje je y = e 2x. 17

Homogena diferencijalna jednačina n-tog reda sa konstantnim koeficijentima Jednačina oblika y (n) + a 1 y (n 1) +... + a n y =. Opšte rešenje se formira u zavisnosti od korena karakteristične jednačine r n + a 1 a 1 r (n 1) +... + a n =. 1) Svakom realnom korenu reda 1 u opštem rešenju odgovara sabirak Ce kx. 2) Svakom realnom korenu reda m u opštem rešenju odgovara sabirak (C 1 + C 2 x +... + C m 1 x m 1 )e kx. 3) Svakom kompleksnom korenu α ± β i, reda 1, u opštem rešenju odgovara sabirak e αx (C 1 cos βx + C 2 sin βx). 4) Svakom kompleksnom korenu α ± β i, reda m, u opštem rešenju odgovara sabirak e αx [(C 1 + C 2 x +... + C m 1 x m 1 ) cos βx + (C 1 + C 2x +... + C m 1x m 1 ) sin βx]. 1. Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine y + 3y + 2y =. λ 1 = 1, λ 2 = 2, y = C 1 e 2x + C 2 e x. 2. Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine y 8y + 16y =. λ 1 = λ 2 = 4, y = C 1 e 4x + C 2 xe 4x. 3. Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine y (4) 13y + 36y =. λ 1 = 3 λ 2 = 3, λ 3 = 2, λ 4 = 2, y = C 1 e 3x + C 2 e 3x + C 3 e 2x + C 4 e 2x. 18

4. Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine y + 8y =. λ 1,2 = 1 ± i 3, λ 3 = 2, y = C 1 e 2x + C 2 e x cos 3x + C 3 e x sin 3x. 19

Nehomogena diferencijalna jednačina n-tog reda sa konstantnim koeficijentima Jednačina oblika y (n) + a 1 y (n 1) +... + a n y = f(x). f(x) Oblik e αx P n(x), α n.k.k.j. y p = e αx Q n(x) e αx P n(x), α j.k.k.j. reda s y p = x s e αx Q n(x), e αx [P n(x) cos βx + Q m(x) sin βx], α ± βi n.k.k.j. y p = e αx [R k (x) cos βx + S k (x) sin βx] e αx [P n(x) cos βx + Q m(x) sin βx], α ± βi j.k.k.j. reda s y p = x s e αx [R k (x) cos βx + S k (x) sin βx] gde je k = max (m, n). 1. Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine y 7y = 5xe x. Opšte rešenje je ( y = C 1 + C 2 e 7x + 2. Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine 5 6 x + 25 36 y + 6y + 9y = (x 2)xe 3x. ) e x. Opšte rešenje je y = (C 1 + C 2 x)e 3x + ( 1 6 x 1 ) x 2 e 3x. 3. Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine y y + y y = 2e x. Opšte rešenje je C 1 e x + C 2 cos x + C 3 sin x + xe x. 2

4. Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine y + y = ( x + 3 ) e x 2x. 2 Opšte rešenje je y = C 1 + C 2 e x + 1 2 xex x 2 + 2x. 5. Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine Opšte rešenje je y + 3y + 2y = (2x + 3) sin x + cos x. y = C 1 e x + C 2 e 2x + 6. Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine Opšte rešenje je ( 1 5 x + 21 ) ( 3 sin x 25 5 25) x + 3 cos x. y + y + 2y 4y = 21e x 26 sin x. y = C 1 e x + C 2 e x + cos 3x + C 3 e x sin 3x + 3xe x + cos x + 5 sin x. 21

Sistemi diferencijalnih jednačina Sisteme rešavamo svodjenjem na diferencijalnu jednačinu višeg reda. 1. Naći opšte rešenje sistema difrencijalnih jednačina y = z 5 cos x, z = 2y + z. Diferenciramo drugu pa y ubacimo u prvu. Opšte rešenje sistema je z(x) = C 1 e x +C 2 e 2x +3 cos x+sin x, y(x) = C 1 e x + C 2 2 e2x 2 sin x cos x. 2. Naći opšte rešenje sistema difrencijalnih jednačina d 2 y dx + dz 2 dx + y = ex, dy dx + d2 z dx = 1. 2 Diferenciramo prvu pa d2 z ubacimo u drugu. Opšte rešenje dx 2 sistema je y(x) = e x x3 6 +C 1x 2 +C 2 x+c 3, z(x) = e x + x4 24 C x 3 1 3 +(1 C 2) x2 2 (2C 1+C 3 )x+c 4. 3. Naći opšte rešenje sistema difrencijalnih jednačina x + y + 3x = e t, y 4x + 3y = sin(2t). Diferenciramo prvu pa izrazimo y iz druge, pa ponovo diferenciramo i dobijamo jednačinu po funkciji x(t), čije je rešenje x(t) = C 1 cos t + C 2 sin t + C 3 cos(3t) + C 4 sin(3t) + e t 5 + 2 15 cos(2t). 4. Naći opšte rešenje sistema difrencijalnih jednačina x = x y + z, y = x + y z, z = 2x y. Diferenciramo prvu pa z i z ubacimo u drugu i treću. Zatim izrazimo y preko x i x i još jednom diferenciramo i dobijamo jednačinu po x(t).opšte rešenje sistema je x(t) = C 1 e t +C 2 e t +C 3 e 2t, y(t) = C 1 e t 3C 2 e t, z(t) = C 1 e t 5C 2 e t +C 3 e 2t. 22

Dvostruki integrali D = {(x, y) a x b, y 1 (x) y y 2 (x)} D f(x, y) dxdydz = [ b y2 (x) a y 1 (x) f(x, y) dy ] dx = b a y2 (x) dx f(x, y) dy. y 1 (x) Zapremina tela se računa po formuli V = D f(x, y) dxdy, gde je f(x, y) funkcija kojom je definisana površ S čija je projekcija na ravan Oxy oblast D i koje, zajedno sa cilindričnom površi sa strane, ograničavaju telo. 1. Izračunati D x 2 1 + y 2 dxdy, gde je D = {(x, y), x 2, y 1}. 2 1 x 2 dx 1 + y dy = 2π 2 3. 2. Izračunati (x + 2y) dxdy, D gde je D unutršnjost trougla sa temenima u tačkama A(, ), B(1, 2) i C(3, ). I 1 + I 2 = 8 gde su I 1 = 1 2x 3 3 x dx (x + 2y) dy, I 2 = dx (x + 2y) dy. 1 23

3. Izračunati x 2 y 2 1 x 3 y 3 dxdy, D gde je D oblast definisana relacijama x, y, x 2 + y 2 1. 1 3 x 2 1 x 3 dx y 2 1 x 3 y 3 dy = 4 135. 4. Izračunati (xy 2x + 3y) dxdy, D gde je D oblast ograničena krivim y = x i y = x 3. 1 x dx (xy 2x + 3y) dy = 43 x 3 168. 5. Izračunati (2x 3y) dxdy, D gde je D unutrašnjost kruga x 2 + y 2 = 16 u I kvadrantu. Polarne koordinate: 4 x = ρ cos φ, y = ρ sin φ, J = ρ, π 2 dρ (2ρ cos φ 3ρ sin φ)ρ dφ = 64 3. 6. Izračunati (2x 3y + 4) dxdy, gde je D unutrašnjost elipse x2 + y 2 = 1. 4 9 x = 2ρ cos φ, y = 3ρ sin φ, J = 6ρ, 1 D 2π dρ (2ρ cos φ 3ρ sin φ + 4)ρ dφ = 24π. 24

7. Izračunati (x 2 + y 2 ) 2 dxdy, gde je D unutrašnjost kruga x 2 + y 2 = 2y. D x = ρ cos φ, y = 1 + ρ sin φ, J = ρ, 1 2π dρ (ρ 2 + 2ρ sin φ + 1) 2 ρ dφ = 1π 3. 8. Izračunati zapreminu tela ograničenog eliptičkim cilindrom x2 4 + y2 = 1 i ravnima z = 12 3x 4y, z = 1. x = 2ρ cos φ, y = ρ sin φ, J = 2ρ, 1 2π dρ (11 3ρ cos φ 4ρ sin φ)2ρ dφ = 22π. 9. Izračunati zapreminu tela ograničenog površima (x 1) 2 + y 2 = z i 2x + z = 2. Eliminacijom z iz jednačina površi dobijamo x 2 + y 2 = 1. Uvodjenjem polarnih koordinata dobijamo da je 2π 1 V = dϕ ρ(1 ρ 2 )dρ = π 2. 1. Izračunati zapreminu tela ograničenog kružnim cilindrom x 2 + y 2 = 2x i ravnima z = x, z = 3x. x = ρ cos φ + 1, y = ρ sin φ, J = ρ, 1 2π V = dρ (2 + 2ρ cos φ)ρ dρ = 2π. 11. Izračunati zapreminu tela koje ograničavaju paraboloid z = x 2 + y 2 i ravan z = x + y. Eliminacijom z i uvodjenjem smena x = X + 1 2 i y = Y + 1 2 dobijamo, uz pomoć polarnih koordinata, da je V = 2 2 2π dρ ( 1 2 ρ2 )ρ dρ = π 8. 25

Trostruki integrali V = {(x, y, z) a x b, y 1 (x) y y 2 (x), z 1 (x, y) z z 2 (x, y)} [ b [ y2 (x) ] ] z2 (x,y) f(x, y, z) dxdydz = f(x, y, z) dz dy dx. a y 1 (x) z 1 (x,y) V Zapremina tela G se računa po formuli V = G dxdydz. 1. Izračunati V x dxdydz, gde je V oblast u prvom kvadrantu ograničena sa ravni x 2 + y 2 + z = 1. 2 3 dx 2 x+3 2. Izračunati V 1 x 2 dy y 3 x dz = 67 512. xy dxdydz, gde je V oblast ograničena hiperboloičnim paraboloidom z = xy i ravnima x + y = 1, z = (z ). 1 1 x xy dx dy xy dz = 1 18. 3. Izračunati (x + y 2z + 1) dxdydz, V gde je V deo lopte x 2 + y 2 + z 2 4 u prvom oktantu. 26

Sferne koordinate: x = ρ sin φ cos θ, y = ρ sin φ sin θ, z = ρ cos φ, J = ρ 2 sin φ, 2 π 2 dρ dφ π 2 f(ρ, φ)ρ 2 sin φ dθ = 4π 3. 4. Izračunati (x 2 + y 2 + z 2 ) dxdydz, V gde je V oblast koju ograničava elipsoid x 2 + y 2 + z2 4 = 1. x = ρ sin φ cos θ, y = ρ sin φ sin θ, z = 2ρ cos φ, J = 2ρ 2 sin φ, 1 5. Izračunati π 2π dρ dφ f(ρ, φ)ρ 2 sin φ dθ = 16π 3. V x 2 + y 2 dxdydz, gde je V oblast ograničena konusom x 2 + y 2 = z 2 i sa ravni z = 1. Cilindrične koordinate: x = ρ cos φ, y = ρ sin φ, z = z, J = ρ, 1 dz 2π z dφ f(ρ, φ)ρ dρ = π 6. 6. Izračunati zapreminu tela koje ograničavaju paraboloidi z = x 2 + y 2, z = 2x 2 + 2y 2, cilindrična površ y = x 2 i ravan y = x. V = 1 x 2x 2 +2y 2 dx dy dz = 3 x 2 x 2 +y 2 35. 27

Krivolinijski integrali prve vrste y = y(x), x [a, b] : l f(x, y) ds = b x = x(t), y = y(t), t [t, t 1 ] : l f(x, y) ds = a t1 t f(x, y(x)) 1 + (y (x)) 2 dx f(x(t), y(t)) (x (t)) 2 + (y (t)) 2 dt x = ρ cos φ, y = ρ sin φ, ρ = ρ(φ), φ [α, β] : l f(x, y) ds = β α f(ρ(φ) cos φ, ρ(φ) sin φ) (ρ(φ)) 2 + (ρ (φ)) 2 dφ 1. Izračunati l x y ds gde je l luk parabole y 2 = 2x izmedju tačaka (2, 2) i (8, 4). 1 6 (17 17 5 5). 2. Izračunati (x 2 + y 3 ) ds l gde je l trougao sa temenima u tačkama A(1, ), B(, 1) i O(, ). 7 2 12 + 1 4 + 1 3 = 7( 3. Izračunati 2+1). 12 l y 2 ds gde je l luk cikloide x = 2(t sin t), y = 2(1 cos t), t 2π. 2π 64 sin 5 t 248 dt = 2 15. 28

4. Izračunati l x 2 + y 2 ds gde je l kriva zadata parametarskim jednačinama x = cos t + t sin t, y = sin t t cos t, t 2π. 2π t 1 + t 2 dt = 1 3 5. Izračunati (x 2 + y 2 ) ds gde je l krug x 2 + y 2 = ax, (a > ). l [ (1 + 4π 2 ) 3 2 1 ]. x = ρ cos φ, y = ρ sin φ, a 3 π 2 π 2 cos 2 φ dφ = πa3 2. 29

Krivolinijski integrali druge vrste y = y(x), x [a, b] : b P (x, y) dx + Q(x, y) dy = [P (x, y(x)) + Q(x, y(x))y (x)] dx a l x = x(t), y = y(t), t [t, t 1 ] : l P (x, y) dx + Q(x, y) dy = b a [P (x(t), y(t))x (t) + Q(x(t), y(t))y (t)] dt 1. Date su tačke A(3, 6), B(3, ) i C(, 6). Izračunati (8x + 4y + 2) dx + (8y + 2) dy gde je l: a) Odsečak OA. b) Izlomljena linijia OBA. c) Izlomljena linijia OCA. l d) Parabola, simetrična u odnosu na osu Oy, koja prolazi kroz O i A. a) 234; b) 198; c) 27; d) y = 2 3 x2, 222. 2. Izračunati l y dx + x dy 1 + x gde je l luk krive y = 2 x x u prvom kvadrantu. 2I 1 I 2 + I 3 = 4 4 arctg 2 + ln 5 gde su: 3 4 x I 1 = 1 + x dx = 4 2 arctg 2, (smena x = t), I 2 = I 3 = 4 4 x dx = 4 ln 5, 1 + x ( x x) dx = 8 3. 3

3. Izračunati (2a y) dx (a y) dy l gde je l prvi svod cikloide x = a(t sin t), y = a(1 cos t), t 2π. 2π a 2 (sin 2 t sin t cos t) dt = πa 2. 31

Grinova formula l P (x, y) dx + Q(x, y) dy = D ( ) Q P (x, y) (x, y) dxdy x y 1. Izračunati (3xy 2x 2 ) dx + (4xy 2y 2 ) dy l gde je l zatvorena kriva koja se sastoji od delova krivih y = x 3 i y = 3 x. Rešenje. 2. Izračunati 1 3 x dx (4y 3x) dy = 8 x 3 35. (x 2 3xy) dx + (xy + 2y 3 ) dy l gde je l elipsa (x 1) 2 (y 2)2 + = 1. 16 Rešenje. x = 1 + ρ cos φ, y = 2 + 4ρ sin φ, J = 4ρ, 3. Izračunati 2π 4 1 dφ (5 + 4ρ sin φ + 3ρ cos φ)ρ dρ = 2π. (x 2 + 2y 2 y) dx + (2 + x x 2 ) dy gde je l elipsa x2 4 + y2 9 = 1. 32 l

Rešenje. x = 2ρ cos φ, y = 3ρ sin φ, J = 6ρ, 4. Izračunati 2π 6 gde je l kriva x 2 + y 2 = 3x. 1 dφ (2 4ρ cos φ 12ρ sin φ)ρ dρ = 12π. (xy + x + y) dx + (xy + x y) dy l Rešenje. x = 3 + ρ cos φ, y = ρ sin φ, J = ρ, 2 2π 3 2 dφ (ρ sin φ 3 ρ cos φ)ρ dρ = 27π 2 8. 5. Izračunati l 2(x 2 + y 2 ) dx + (x + y) 2 dy gde je l trougao sa temenima u tačkama A(1, 1), B(2, 2) i C(1, 3). Rešenje. 6. Izračunati 2 4 x 2 dx (x y) dy = 4 1 x 3. (2x 3y) dx + (x 2 xy) dy l gde je l deo krive y = 4 x u prvom kvadrantu. Rešenje. 4 4 x dx (2x y + 3) dy 16 = 196 15. 33

Brojni redovi Teorema 1. Neka red a n konvergira i neka je njegova suma jednaka S. Tada red αa n konvergira i njegova suma je jednaka αs. Teorema 2. Neka redovi a n i b n konvergiraju i neka su njihove sume jednake S 1 i S 2. Tada red (a n + b n ) konvergira i njegova suma je jednaka S 1 + S 2. Teorema 3. Neka red a n konvergira. Tada je lim n a n =. Teorema 4. Neka su a n i b n redovi sa pozitivnim članovima i neka ( n )( n)n n a n b n. Tada: 1) Ako red b n konvergira tada i red a n konvergira. 2) Ako red a n divergira tada i red b n divergira. Teorema 5. Neka su a n i b n redovi sa pozitivnim članovima i neka je a n lim = c, (c, ± ). n b n Tada: 1) Red a n konvergira ako i samo ako red b n konvergira. 2) Red a n divergira ako i samo ako red b n divergira. Teorema 6 (Dalamberov kriterijum). Neka je a n red sa pozitivnim članovima i neka je a n+1 lim = l. n a n Tada: 1) Ako je l > 1 tada red a n divergira. 2) Ako je l < 1 tada red a n konvergira. 3) Ako je l = 1 tada se za red a n ne može tvrditi ni da konvergira ni da divergira. 34

Teorema 7 (Košijev kriterijum). Neka je a n red sa pozitivnim članovima i neka je n an = l. lim n Tada: 1) Ako je l > 1 tada red a n divergira. 2) Ako je l < 1 tada red a n konvergira. 3) Ako je l = 1 tada se za red a n ne može tvrditi ni da konvergira ni da divergira. Teorema 8 (Integralni kriterijum). Neka je a n red sa pozitivnim članovima za koji postoji pozitivna, neprekidna i monotono-opadajuća funkcija, definisana na intervalu [1, ), takva da je f(n) = a n, n = 1, 2,.... Tada: 1) Red a n konvergira ako i samo ako integral 1 f(x) dx konvergira. 2) Red a n divergira ako i samo ako integral 1 f(x) dx divergira. 1. Naći lim n S n za sledeće redove i ispitati konvergenciju: a) 1 + 2 + 3... + n +.... b) 1 1 2 + 1 2 3 +... + 1 n (n + 1) +.... a) S = ; b) S = 1. 2. Naći lim n a n za sledeće redove: a) n + 1 2n + 1. b) c) n + 2 ln(n + 1). n 2 n 3 + 2. 35

a) lim n a n = 1 2 ; b) lim n a n = ; c) lim n a n =. 3. Ispitati konvergenciju sledećih redova: a) 2 + sin n. n b) c) arctg n + 1 n 2. 5 n + 1 2 n. Primenjujemo teoremu 4: a) 2+sin n 1 pa red divergira. b) n n arctg n+1 π n 2 2 +1 pa red konvergira. c) 5n +1 5n pa red divergira. n 2 2 n 2 n 4. Ispitati konvergenciju sledećih redova: a) n + 2 n 2 + n + 1. b) c) n n + 2 n6 + 2n 2. n + 3 n n + 3 n 5. Primenjujemo teoremu 5: a) Podelimo opšti član sa 1 pa n dobijamo da red divergira. b) Podelimo opšti član sa 1 pa dobijamo da red konvergira. c) Podelimo opšti član sa 1 divergira. n 7 6 n 5 2 pa dobijamo da red 36

5. Ispitati konvergenciju sledećih redova: a) n 5 3 n+1. b) c) d) n n n!. 3 n n!. n 3 3 n. a Primenjujemo teoremu 6: a) lim n+1 n a n = 1 pa red konvergira. b) lim n+1 a 3 a n a n = e pa red divergira. c) lim n+1 n a n = pa red a konvergira. d) lim n+1 n a n = 1 pa red konvergira. 3 6. Ispitati konvergenciju sledećih redova: a) ( ) n + 2 3n+1. 2n + 1 b) c) ( ) n 1 n(n 1). n + 1 ( n 1 1 ) n 2. n Primenjujemo teoremu 7: a) lim n n a n = 1 pa red konvergira. b) lim n n a n = 1 pa red konvergira. c) lim e 2 n n a n = 1 pa e 8 red konvergira. 37

7. Ispitati konvergenciju sledećih redova: a) n=2 1 n ln n. b) c) n=2 1 n ln n. 1 (n + 1) ln 2 (n + 1). Primenjujemo teoremu 8: a) 2 f(x) dx = pa red divergira. b) 2 f(x) dx = pa red divergira. c) 1 f(x) dx = 1 pa red ln 2 konvergira. 38

Alternativni redovi Teorema 1. Neka je: 1) a n > a n+1, 2) lim n a n =. Tada red ( 1) n a n konvergira. Teorema 2. Ako red a n konvergira tada i red ( 1) n a n konvergira. 1. Ispitati konvergenciju reda: ( 1) n 1 2 n 1. Lako je videti da uslovi 1) i 2) iz teoreme 1 važe i alternativni red konvergira. Pored toga red 1 2 divergira, jer je n 1 1 2 n 1 > 1 2 n, pa primenjujemo teoremu 4. Prema tome red ( 1) n 1 2 n 1 uslovno konvergira. 2. Ispitati konvergenciju reda: ( 1) n+1 1 2n ln n. Uslovi 1) i 2) iz teoreme 1 važe pa alternativni red konvergira. Primenimo teoremu 5 za ispitivanje apsolutne konvergencije. Kada podelimo a n sa 1, dobijamo da red ne konvergira apsolutno pa imamo n da alternativni red uslovno konvergira. 39

Stepeni redovi Oblast konvergencije stepenog reda je interval ( R, R) gde je R = lim a n n a n+1 ili 1 R = lim n. an 1. Naći poluprečnik konvergencije sledećih stepenih redova i ispitati konvergenciju u krajevima intervala. a) n! (x 3) n 1 2 n+1. b) c) d) n=2 3 n 1 (x + 1) n n n. (x 2) n+1 3 n (n + 2). (x + 5) n 3 n+1 n ln 3 n. a) R =. b) R =. c) R = 3. Za x = 1 red konvergira po teoremi 1 (za alternativne redove). Za x = 5 red divergira po teoremi 5 (podelimo a n sa 1 ). d) R = 3. Za x = 8 red apsolutno konvergira n po teoremi 8 pa zaključujemo da konvergira. Za x = 2 red konvergira po teoremi 8. 4

Tejlorov i Maklorenov red Tejlorova formula: f(x) = f(x ) + f (x ) 1! Maklorenova formula: (x x ) + f (x ) 2! f(x) = f() + f () 1! x + f () 2! Maklorenov red nekih funkcija: x (, + ): x (, + ): (x x ) 2 +... + f (n) (x ) (x x ) n +... n! x 2 +... + f (n) () x n +... n! e x = 1 + x 1! + x2 2! +... + xn n! +... = n= x n n!. x 2n 1 sin x = x x3 3! + x5 5! +... + x 2n 1 ( 1)n 1 (2n 1)! +... = ( 1) n 1 (2n 1)!. x (, + ): x ( 1, 1]: cos x = 1 x2 2! + x4 x2n +... + ( 1)n 4! (2n)! +... = ( 1) n x2n (2n)!. ln(1 + x) = x x2 2 + x3 xn +... + ( 1)n 1 3 n= n +... = n 1 xn ( 1) n. 41

x [ 1, 1] za m > ; x ( 1, 1] za 1 < m < ; x ( 1, 1) za m 1: (1 + x) m = m(m 1) 1 + mx + x 2 m(m 1)... (m n + 1) +... + x n +... = 2! n! m(m 1)... (m n + 1) 1 + x n. n! 1. Funkciju e x2 razviti u Maklorenov red. e x2 = 1 x2 1! + x4 2! x6 3!. 2. Funkcije a) f(x) = arctg x; b) f(x) = 1 razviti u Maklorenov red. (1 x) 2 Naci im izvode, razviti ih u red a zatim integraliti član po član. a) f(x) = n= ( 1) n x2n+1 b)f(x) = (2n+1)! nx n 1. 3. Naći 2. lim x 2e x 2 2x x 2. x sin x 4. Naći 1 6. 5. Naći sin x arctg x lim. x x 3 3 arctg x 3 tg x + 2x 3 lim. x x 5 2; tg x = x + x3 3 + 2x5 15. 42