3. INDICATORII STATISTICI 3.. Necestatea folosr dcatorlor statstc. Idcator statstc prmar. Idcator statstc dervaţ Am văzut că obectul de studu al statstc îl costtue feomeele ş procesele de masă. Acestea se caracterzează pr varabltatea formelor de mafestare î tmp î spaţu ş sub raport orgazatorc. Petru caracterzarea ue astfel de colectvtăţ statstca a trebut să-ş elaboreze metodolog ş tehc specfce de obţere a uor determăr cattatvumerce care se umesc dcator statstc. Idcatorul statstc este epresa umercă a uor feomee procese actvtăţ sau categor ecoomce tehce socale defte î tmp spaţu ş structură orgazatorcă el este elaborat ţal ca metodologe ca ş coţut ş cu legătur stablte cu alţ dcator. Idcatorul statstc este purtător de formaţ avâd coţut real obectv determat are o formulă de calcul ş valor cogtve propr. Idcator statstc pot f folosţ atât ulateral cât ş î terdepedeţă recprocă. Trebue sublat că î procesul de elaborare de stablre a coţutulu ş a metodologe de calcul ale uu dcator se poreşte de la atura feomeulu studat de la domeul cărua acesta î aparţe. U dcator statstc cuprde două părţ: determarea oţoală ş epresa umercă asocată acestua. După fucţle pe care le îdepleşte u dcator acesta poate f: de măsurare de comparare de aalză sau steză de estmare de verfcare a potezelor ş (sau) de testare a semfcaţe parametrlor utlzaţ. După etapa î care apar î procesul de cuoaştere statstcă dcator pot f: prmar ş secudar. Î practcă se îtâlesc ma multe tpur de dcator prmar dtre care amtm: a) Idcator prmar obţuţ pr agregarea uor valor dvduale cu acelaş coţut ş calculaţ la treptele erarhce feroare cum ar f: costurle totale de producţe etc. b) Idcator prmar obţuţ drect d observare de eemplu petru o îtreprdere dcator valorc a producţe sut î acelaş tmp ş dcator absoluţ prmar ş îregstraţ drect la velul utăţ.
4 Idcator statstc - 3 O trăsătură caracterstcă a dcatorlor prmar este faptul că elemetele costtutve se regăsesc la velul tuturor utăţlor foloste la culegerea datelor statstce. Să cosderăm următorul tabel al datelor îregstrate corespuzător ue colectvtăţ statstce: Nr. curet al utăţ observate Tabelul 3.. Caracterstcle îregstrate la velul fecăre utăţ observate X X X r r r M M M M I r M M M M N r Total r Tabelul de ma sus al datelor îregstrate petru caracterstcle X r ale populaţe statstce P u : permte ma multe caracterzăr statstce: c ) Iterpretarea corelată a dcatorlor îregstraţ la velul fecăre utăţ pe baza valorlor caracterstclor luate pe orzotală... r. c ) Iterpretarea sstemulu de dcator care poate f format la velul îtregulu asamblu pr agregarea tuturor valorlor dvduale îregstrate. Presupuâd că X r este caracterstcă statstcă petru care are semfcaţe statstcă adtvtatea valorlor îregstrate se obţe dcatorul absolut Σ totalzator X Σ (3..) X X Î practcă apar îsă varable (caracterstc) statstce petru care o îsumare drectă a valorlor îregstrate u are ses ecoomc. U astfel de caz este atuc câd valorle îregstrate prov dtr-u calcul statstc ca de eemplu: productvtatea muc salarul medu rata retabltăţ etc. Î ses statstc astfel de valor îregstrate au coţut de dcator dervaţ:
3.. - Necestatea folosr dcatorlor statstc. Idcator prmar. Dervaţ 43 Estă stuaţ câd datele dvduale ale ue caracterstc u sut drect îsumable dar î urma aplcăr uu coefcet de echvaleţă se poate obţe u dcator absolut totalzator de forma: Σ (3..) X X e D cele de ma sus se costată că pr totalzare pe grupe ş pe îtreaga populaţe petru varable care au ses ecoomc petru îsumare se stablesc dcator absoluţ care eprmă velul cumulat al dfertelor caracterstc î utăţ de măsură specfce caracterstc observate (buc. g. m. etc.). Această descrere cattatvă pr velul absolut u permte euţarea uor aprecer caltatve asupra obectulu cercetăr dar stă la baza îtreg aalze statstce deoarece pr cofrutarea compararea dverşlor dcator absoluţ (prmar) pr completarea lor cu alte formaţ utle se emt aprecer caltatve asupra obectulu cercetăr statstce ar cuoaşterea acestora repreztă o premsă a coducer raţoale a actvtăţ ecoomce socale tehce etc. Idcator dervaţ se obţ î faza de prelucrare statstcă a mărmlor absolute pr aplcarea dfertelor metode de calcul statstc: comparaţ abstractzăr geeralzăr etc. Idcator dervaţ fac posblă aalza aspectelor caltatve ale feomeelor ş procedeelor cercetate e pu î lumă legăturle de terdepedeţă dtre feomee tedţa obectvă de mafestare a feomeelor rolul ş cotrbuţa dferţlor factor la formarea ş modfcarea uu feome comple. Idcator dervaţ se obţ de obce pr aplcarea uu model de calcul statstc de comparare sau de estmare. Compararea se poate efectua pe baza operaţe de dfereţă sau pe baza operaţe de raport. De eemplu sporul produsul brut se obţe scăzâd d velul acestua d aul curet pe cel d aul precedet. Compararea pe bază de raport este ma puţ restrctvă decât cea pe bază de dfereţă ş coduce la aşa umtele mărm relatve ş dc statstc. Modelele de estmare sut foloste î statstcă petru a putea măsura gradul de flueţă a dferţlor factor asupra feomeulu aalzat. Recurgâdu-se la autorul uor fucţ matematce se poate măsura statstc pr ua sau ma multe ecuaţ de estmare depedeţa ue caracterstc de factor care o determă sau î fucţe de tmp. Aceste probleme fac obectul captolelor de aalză statstcă a serlor depedete ş a serlor croologce. Idcator dervaţ î geeral au u caracter abstract dar î acelaş tmp sut utl î măsura î care au u coţut real. Nu este sufcet ca u dcator statstc dervat să fe corect calculat el trebue î acelaş tmp să corespudă atur feomeulu sau procesulu studat. Petru a realza cele două cerţe statstca recurge la o sere de teste care au la bază prcple teore probabltăţlor ş la o fă cuoaştere a domeulu de
44 Idcator statstc - 3 cercetare. Aceste cosderete stau la baza dezvoltăr statstc ca dscplă de se stătătoare ş a statstclor de ramur. Categora cea ma smplă de dcator dervaţ ş care au o largă răspâdre î statstcă este aceea a mărmlor relatve care va f prezetată î paragraful următor. 3.. Idcator dervaţ relatv Idcatorul relatv (mărmea relatvă) este rezultatul comparăr sub formă de raport a do dcator statstc ş eprmă prtr-u sgur umăr proporţle dcatorulu raportat faţă de dcatorul bază de raportare umtă ş bază de comparaţe. Forma de eprmare a dcatorlor relatv se stableşte î raport cu gradul de varaţe a feomeelor scopul urmărt ş partculartăţle specfce ale feomeelor cercetare. Rezultatul raportăr este u umăr îtreg sau o fracţe. Petru a măr epresvtatea acestua se îmulţeşte cu 00.000 0.000 respectv 00.000 ş astfel rezultatul se eprmă î procete promle prodecmle respectv procetmle. Mărmle relatve se eprmă î utăţ sau coefceţ. Î acest caz dcatorul relatv arată câte utăţ d mărmea raportată rev la o sgură utate d mărmea bazată pe raportare. Astfel se eprmă: dcator vteze de crculaţe a mărfurlor dcator efceţe ecoomce dcator tehco-ecoomc de utlzare a fodurlor etc. Î geeral aceşta au valor suprautare. Forma cea ma frecvetă de eprmare a dcatorlor relatv o costtue procetele care arată câte utăţ d mărmea raportată rev la 00 utăţ ale mărm bază de raportare. Promlele prodecmle se folosesc câd mărmea comparată este mult prea mcă faţă de mărmea bază de raportare ş eprmarea î coefceţ sau î procete ar coduce la mărm relatve dfcl de terpretat. Mărmle relatve se dovedesc a f utle î aalza îtreg actvtăţ tehcoecoomce ş socale. Calcularea dcatorlor statstc mpue îsă o alegere atetă a baze de comparaţe ş verfcarea comparabltăţ datelor raportate. Alegerea baze de raportare u trebue să se facă î mod mecac c pe baza ue aalze caltatve prealable. Ca umtor al raportulu trebue folostă baza de referţă care corespude d puct de vedere al reprezetatvtăţ sale î tmp î spaţu ş î structură orgazatorcă. Mărmle selectve pot f împărţte î următoarele clase: de structură de coordoate ale damc ale plafcăr (programăr) ş de testate. Mărmle relatve de structură stablesc î ce raport se află fecare elemet sau grup de elemete ale colectvtăţ faţă de volumul (velul) îtreg colectvtăţ. Astfel îtr-o sere tertorală sau petru o varablă statstcă costrută pe baza uor
3.. - Idcator dervaţ relatv 45 compoete poderea sau greutatea specfcă ( g ) a uu elemet î totalul colectvtăţ se obţe pe baza relaţe (3..) g Să cosderăm cazul ue grupăr smple î care datele dvduale petru o caracterstcă X se caracterzează pe fecare grupă ş mărmea relatvă de structură eprmă raportul dtre aceste mărm ş valoarea agregată pe îtregul asamblu. Atuc poderle grupelor vor f date pr: (3..) g Să cosderăm o grupare combată utlzâd două varable (...... ) ş (y y... y... y m ) petru care s-au cetralzat ş varablele dvduale pe grupe. Greutăţle specfce se calculează cu formulele: g (3..3) g y y Îtr-o grupare smplă sau combată se pot calcula greutăţ specfce petru toate caracterstcle care au fost cetralzate. Îtr-o dstrbuţe de frecveţă fecare mărme de structură eprmă poderea grupulu de elemete ş frecveţă î volumul total. y y y
46 Idcator statstc - 3 Atuc câd se cuosc valorle cetralzate pe grupe greutăţle (poderle) specfce vor f: (3..4.) g ar câd se cuosc frecveţele poderle specfce pe grupe sut: (3..5) g Mărmle relatve de structură care arată raportul dtre umărul utăţlor d fecare grupă ş umărul utăţlor d îtreaga populaţe se umesc * frecveţe relatve. Dacă le otăm pr acestea sut date de: (3..6) * * Se observă medat că ar dacă le calculăm î procete: * (3..7) 00 * atuc avem: 00. Pr reprezetarea grafcă mărmle relatve de structură dev ma sugestve. Să cosderăm o colectvtate statstcă reprezetată pr raport cu o aumtă caracterstcă î tre grupe cu poderle 45% 5% ş respectv 40%. Î cazul dagrame de structură pr sectoare de cerc se cosderă că îtregul asamblu de 00% este proporţoal cu cele 360 O ale uu cerc. Se îmulţesc greutăţle specfce cu 360 O ş se împarte la 00. Se obţe reprezetarea d fg.3.. O dagramă de structură corespuzătoare se poate obţe utlzâd u pătrat. Se efectuează o reţea dublă de 0 dvzu egale ş se haşurează u umăr de pătrate egal cu poderea grupe. Se obţe reprezetarea grafcă d fg.3.. Î mod aalog se obţe o reprezetare grafcă î trugh sau sub alte forme.
3.. - Idcator dervaţ relatv 47 Mărmle relatve de coordoate caracterzează raportul umerc î care se găsesc do dcator de acelaş fel aparţâd uor grupe ale aceleaş colectvtăţ statstce sau uor colectvtăţ statstce de acelaş fel dar stuate î spaţ dferte. Aceste mărm relatve de coordoate admt propretatea de reversbltate. 5% 45% 40% Fg.3.. 40 % 5 % 45% Fg.3.. Fe A ş B cele două mărm comparate; î fucţe de scopul cercetăr mărmea relatvă de coordoate poate f cosderată: (3..8) A K A / B sau K B B / A B A Petru a reprezeta grafc mărmle relatve de coordoate de obce se cosderă grupa sau colectvtatea aleasă ca bază de comparaţe ca fd proporţoală cu 00% ş scara de reprezetare se va alege î fucţe de valoarea mamă procetuală.
48 Idcator statstc - 3 Mărmle relatve ale damc se utlzează petru caracterzarea evoluţe feomeelor î tmp. Ele se obţ ca raport al velulu feomeulu îtr-o peroadă de tmp ş velul aceluaş feome dtr-o peroadă ateroară cosderată drept bază de comparaţe. Studul dezvoltat al acestor mărm relatve ale damc face obectul captolelor Ser croologce ş Metoda dclor. Mărmle relatve ale programăr de dezvoltare se calculează la velul fecăre utăţ î fucţe de programele elaborate prvd aprovzoarea producţa ş desfacerea de mărfur. Petru stablrea acestor dcator sut ecesare următoarele formaţ: 0 velul realzat î peroada de bază pl velul programat î peroada curetă ş velul realzat î peroada curetă. Pe baza acestor mărm putem calcula dcator relatv: pl (3..9) K 00 K pl / 0 / pl 00 0 pl al velulu plafcat î peroada curetă faţă de velul realzat î peroada de bază ş respectv al velulu realzat faţă de cel plafcat î peroada curetă. La studerea realzăr programăr (plaulu) statstca urmăreşte îdeplrea acestea la toţ dcator pr care se caracterzează actvtatea ageţlor ecoomc: producţe desfacere servc productvtatea muc costur fod de salarzare umărul medu al salaraţlor etc. Fecăru dcator se ataşează câte o deumre î fucţe de tedţa de modfcare ş de semul dfereţe dtre mărmea relatvă eprmată î procete ş 00% cât ş de coţutul sarc de program (pla) de a f mme sau mame. Astfel avem: spor (ecedet) surplus defct (rspă) ecoome (reducere). Desfăşurarea pe bază de cotracte a relaţlor drecte dtre utăţle ecoomce ecestă î practcă ş u dcator al gradulu de acoperre a sarclor d programele de producţe cu cotracte c (3..0) Kc / pl 00 pl obţut pr raportarea velulu cotractărlor î cadrul peroade curete ( c ) la sarca de program (pla) ( pl ). Mărmle relatve de testate se obţ pr raportarea a do dcator absoluţ X Y de atură dfertă care se află îtr-o relaţe de terdepedeţă. Eemple de mărm relatve de testate sut: - productvtatea muc (producţa î utatea de tmp) - cursul de schmb valutar (eprmată cu câţ le se poate cumpăra u dolar) - preţul utar - retabltatea ecoomcă (beefcul ecoomc î ses larg la u leu actv global)
3.3. Mărmle med 49 - efceţa actvelor fe - durata mede a zle (lu) de lucru. Specfc mărmlor relatve de testate este faptul că ele pot f terpretate sub forma uor valor dvduale ale ue varable aleatoare petru care se poate stabl repartţa lor de frecveţă. Să otăm cu mărmea relatvă de testate y z y z fd mărmle absolute comparate. Dacă asmlăm pe z ca u (frecveţă absolută ataşat lu atuc fecare mărme relatvă de testate calculată cel puţ la velul ue grupe de utăţ smple poate f cosderată ca avâd coţut de mărme mede. Meţoăm că mărmle relatve de testate care se calculează sub formă de rapoarte cu baze dferte de raportare ş au coţut de mede u admt operaţa de adţue adcă mărmea relatvă corespuzătoare la velul asamblulu u se obţe ca o sumă a mărmlor relatve parţale de acelaş coţut calculat la velul grupelor c ca o mede a acestora: y z Pr dferte raportăr cattatve mărmle relatve de testate permt seszarea ue multtud de aspecte caltatve ale colectvtăţ cercetate. 3.3. Mărmle med Mărmle med costtue categora de dcator dervaţ ş de dcator stetc geeralzator utlzaţ pe scară largă î actvtatea de cercetare statstcă de plafcare ş de coducere. Idcator med repreztă u strumet prcpal de cuoaştere a feomeelor de masă ş au u grad mare de aplcabltate practcă. Cu cât valorle dvduale d care se obţ medle sut ma apropate cu atât medle calculate oferă u coţut ma real. Î calcularea valorlor med trebue avută î vedere omogetatea datelor dvduale. Eterogetatea acestora mpue calcularea uor med parţale ş a mede de asamblu ca o steză a acestora.
50 Idcator statstc - 3 Petru a obţe o mede cu u coţut cât ma real este ecesar ca aceasta să se bazeze pe u umăr mare de cazur dvduale dferte a căror varaţe să fe aleatoare î raport cu feomeul î totaltatea lu valorle d care se va calcula meda să fe omogee forma de mede utlzată trebue să corespudă cât ma be forme de varaţe a datelor dvduale. Pr defţe meda valorlor dvduale ale ue varable statstce este epresa stetzăr îtr-u sgur vel reprezetatv a tot ce este eseţal tpc ş obectv î aparţa mafestarea ş dezvoltarea acestea. Î statstcă meda este terpretată ca velul la care ar f aus o caracterstcă îregstrată dacă î toate cazurle toţ factor eseţal ş eeseţal ar f acţoat costat. Î acest ses se terpretează meda ca fd speraţa matematcă către care td toate valorle varaţa dtre ele fd flueţa factorlor aleator. Ţâd seama de dverstatea feomeelor ecoomce tehce socale etc. care astăz sut cercetate cu metode statstce ş luâd î calcul varabltatea acestor feomee î practcă trebue să se aleagă tpul de mede adecvat. Medle cele ma frecvet foloste sut: artmetcă geometrcă armocă pătratcă ş croologcă calculate ca med smple ş poderate. 3.3.. Meda artmetcă Să cosderăm o sere statstcă udmesoală (3.3.) X:...... dscretă formată d valor dstcte ca rezultat al celor observaţ efectuate. Defţa. Se umeşte mede artmetcă smplă a sere (3.3.) valoarea otată cu ş calculată ca raport al sume valorlor observaţlor ş umărul observaţlor. Aşadar avem: (3.3.) Eemplul. Să cosderăm că sera statstcă X coţe formaţ refertoare la vechmea î mucă (î a) a membrlor ue echpe de 8 specalşt îtr-u domeu de actvtate. X: 3 5 7 9 0 8. Atuc vechmea mede a echpe respectve este: 8 ( 3 + 5 + 7 + 9 + 0 + + + 8) 9375 a Să cosderăm că sera statstcă X este ua de frecveţe adcă fecăre valor î este asocată frecveţa absolută a aparţe î urma observaţlor efectuate adcă:
3.3. Mărmle med 5 (3.3.3) K X : K ude 3 *. Defţa. Se umeşte mede artmetcă poderată a sere X ş se otează cu valoarea obţută ca raport al sume produselor dtre valorle ş frecveţele absolute corespuzătoare ş umărul observaţlor efectuate care cocde cu suma frecveţelor absolute. Adcă î acest caz: (3.3.4) Eemplul. Fe X sera de frecveţe a otelor obţute de studeţ ue grupe la u eame: X : 4 5 6 6 7 8 8 5 9 0 Î acest caz umărul absolveţlor este 5++6+8+5++ ar meda (ota mede) poderată a otelor grupe este: 4 + 5 + 6 6 + 8 7 + 5 8 + 9 + 0 73 69 5 5 Să cosderăm cazul câd valorle sere statstce X sut date pr tervalele de valor la care aparţ adcă ştm că [e e + ] cu frecveţa absolută. Î poteza că valorle sut uform repartzate î fecare terval [e e + ] atuc meda artmetcă poderată a sere statstce de tervale de valor se calculează pr: (3.3.5) c e e ude ş c + + Dacă petru orce () atuc d (3.3.5) obţem meda artmetcă smplă a ue ser statstce de tervale de valor: (3.3.6) c
5 Idcator statstc - 3 Observaţa. Dacă petru o sere de frecveţe cosderăm (sau sut date) frecveţele relatve (3.3.7) f cu f atuc medle artmetce poderate (3.3.4) ş (3.3.5) au forma: (3.3.8) f ş respectv f c Eemplul 3. Să cosderăm că sera statstcă de frecveţe a grupelor de vechme petru muctor uu ateler este dată de Tabelul 3.. Grupe de vechme [a] Număr de muctor [ ] c c 7 5 45 5 8 3 4 05 40 4 8 6 65 990 9 5 5 5 5 6 3 85 570 Total - 3330 Să se calculeze vechmea mede pe ateler. Utlzâd datele d Tabelul 3. ş formula (3.3.5) obţem: Tabelul 3.. 333 53 [a] Meda artmetcă a ue ser statstce preztă uele propretăţ cu utltate practcă. Meţoăm ma îtâ că formulele de calcul prezetate ma sus rămâ valable uma dacă valorle dvduale îregstrate sut umerce. Petru o sere cu valor eumerce sau cu valor măsurable pe o scală caltatvă u se poate calcula meda artmetcă. P) Valoarea mede artmetce calculate este ucă ea poate să cocdă sau u cu vreo valoare dvduală îregstrată. P) Îtotdeaua mărmea mede artmetce se îcadrează î tervalul de varaţe a caracterstc X adcă m ma. Petru o sere de dstrbuţe de frecveţe meda osclează î urul termelor cu frecveţa cea ma mare.
3.3. Mărmle med 53 P3) Petru o sere statstcă suma algebrcă a tuturor abaterlor dvduale d - ale termelor sere de la valoarea mede este egală cu zero. Adcă petru o sere smplă avem: (3.3.9) ( ) 0 ar petru o sere de frecveţe are loc: (3.3.0) ( ) 0 P4) Meda artmetcă calculată pe baza datelor ue ser statstce mcşorate sau mărte cu o costată a se modfcă î acelaş ses cu aceeaş mărme a faţă de meda artmetcă a sere ţale. Îtr-adevăr fe sera smplă de date ţală X:...... cu meda artmetcă. Pord de la sera dată să cosderăm serle : X: ±a ±a... ±a... ±a. Atuc meda a sere X este: (3.3.) ' ' ± ( ± a) ± a ± a a Î mod smlar se demostrează propretatea de ma sus petru ser de frecveţe. P5) Meda artmetcă calculată pe baza datelor ue ser statstce împărţte cu acelaş coefcet p 0 se obţe pr împărţrea mede artmetce a sere ţale cu coefcetul p. Să cosderăm sera X:...... petru care meda artmetcă este ş să costrum sera X" K K p 0. p p p p Atuc meda a sere X este: (3.3.) " p p p
54 Idcator statstc - 3 Demostraţa de ma sus rămâe valablă ş î cazul serlor de frecveţe de valor sau pe tervale. D (3.3.) rezultă relaţa: p care oferă o metodă avataoasă de calcul a mede sere X atuc câd estă u dvzor comu p petru toate valorle ale sere X. Propretăţle 4 ş 5 pot f foloste împreuă petru obţerea ue metode avataoase de calcul a mede artmetce petru o sere de frecveţe pe tervale X petru care [e e + ) cu frecveţa. Î acest caz putem scre: (3.3.3) c p p c c + ude c repreztă mlocul tervalulu [e e + ) c umt orge arbtrară poate f cosderat cetrul de terval cu poderea cea ma mare ar p este u coefcet coveabl ales de mcşorare a termelor sere date. P6) Fe o sere statstcă de frecveţe X : K K K K pe care o împărţm î două grupe: a : X K K + + + + b : X K K Dacă a este meda sere X a b este meda sere X b atuc meda sere cosderate ţal X este meda artmetcă poderată a medlor serlor celor două grupe X a ş X b cu frecveţele cumulate a + b adcă are loc (3.3.4) b a b b a a + + ude a a + b b Pord de la relaţa (3.3.4) se deduce că atuc câd se efectuează o ouă măsurătoare ş astfel se obţe o ouă sere statstcă cu o dată î plus meda acestea
3.3. Mărmle med 55 se poate obţe pord de la meda sere ţale ş utlzâd valoarea adăugată. Ma eact petru sera smplă X {... + } are loc relaţa: + (3.3.5) ' + + ude este meda sere X{... }. Dacă porm de la o sere de frecveţe X : K K cu ş î urma a + măsurător a apărut valoarea + atuc meda sere statstce de frecveţe se poate obţe pr: (3.3.6) X': K K + + + ' + + + + P7) Cazul caracterstclor alteratve. Dacă petru fecare utate a populaţe geerale P o caracterstcă X a îregstrează o formă de mafestare cosderată ormală caracterzată de valoarea sau o formă opusă acestea caracterzată de valoarea 0 spuem că avem o caracterstcă alteratvă (cu valor alteratve). Observăm că cele două varate ormală ( ) ş aormală ( 0) caracterzează populaţa sau o grupă de utăţ statstce pr frecveţa cu care apar. Să otăm cu a ş respectv b cele două frecveţe. Atuc sera de frecveţe asocată caracterstc X a se poate scre sub forma: va f: (3.3.7) 0 Xa : a + b a b Coform defţe mede artmetce meda varable statstce alteratve X a 0 a + b a a a fd o mărme relatvă de structură se eprmă de regulă sub formă procetuală ş ea arată câte utăţ î mede la o sută de utăţ ale populaţe posedă forma de mafestare ormală a caracterstc X a.
56 Idcator statstc - 3 Eemplul 4. Să presupuem că d 0.000 caddaţ la admtere la o facultate au fost admş uma.500 caddaţ. Să se determe meda caddaţlor admş î totalul caddaţlor. Populaţa P costă d ce 0.000 caddaţ. Cosderăm caracterstca X care poate lua valor alteratve: adms (A) ş resps (R). Ea va avea dstrbuţa de frecveţe: X : A.500 R 7.500 atuc meda caddaţlor admş î procete va f:.500 X : 00 5% 0.000 O reprezetare grafcă a mede caddaţlor admş se obţe pr: 5% adms 500 75% resps 7500 Fg.3.3. care arată că d fecare sută de caddaţ au fost admş uma 5 (u sfert). P7) Meda artmetcă admte următoarea geeralzare aturală astfel că alte med cuoscute ş utlzate apar drept cazur partculare ale aceste geeralzăr. Fe X o varablă statstcă de frecveţe: K X : K ş f: D {... } 3 o fucţe mootoă (crescătoare sau descrescătoare) atuc umm f - meda varable statstce de frecveţe X cattatea f deftă de egaltatea f f (3.3.8) ( ) r f ( )
ude frecveţele relatve r sut defte pr relaţle: (3.3.9) r 3.3. Mărmle med 57 Dacă fucţa f este deftă pr f(t) t atuc f meda se umeşte mede de ordul t ş de obce se otează cu t. Se demostrează că au loc relaţle: t > dacă t > (3.3.0) t dacă t t < dacă t < Petru t deve meda pătratcă ş dec avem > petru t - - deve meda armocă ş dec avem - <. De asemeea pot f cosderate alte f - med. Observaţa. Prcpalul dezavata al folosr mede artmetce costă î sesbltatea sa faţă de valorle etere. Ea deve ereprezetatvă dacă terme sere sut prea împrăştaţ ar dacă î colectvtatea statstcă se observă modfcăr dstcte d puct de vedere caltatv meda tde să devă o mărme lpstă de coţut. Î acest caz este dcat să se calculeze med parţale petru fecare tp caltatv ş î fal să se determe meda geerală. Omogetatea colectvtăţ petru care se determă meda este de fapt codţa reprezetatvtăţ petru orce tp de mărme mede. 3.3.. Alte tpur de med utlzate î aalza serlor statstce Î cazur specale de ser statstce smple sau de frecveţe se aplcă aumţ dcator med dtre care prezetăm: Meda pătratcă o otăm cu p ea repreztă acea valoare a caracterstc care dacă ar îlocu fecare valoare dvduală d sere suma pătratelor termelor sere u s-ar modfca. Fe X o varablă statstcă smplă. X:....... Petru aceasta meda pătratcă p este deftă de relaţa: (3.3.) p+ p+... + p p
58 Idcator statstc - 3 Deducem medat formula de calcul a mede pătratce asocate ue varable statstce smple: (3.3.) p Dacă varabla statstcă X este ua de frecveţe adcă avem: (3.3.3) K K X : K K atuc meda pătratcă corespuzătoare este dată pr: (3.3.4) p cu. Dacă se trece la frecveţe relatve f atuc (3.3.4) deve (3.3.5) p f. Relaţle de calcul ale mede pătratce coduc la următoarele observaţ: Deş meda pătratcă se poate calcula ş î cazul câd varabla statstcă a ş valor egatve sau ule ea are semfcaţe practcă (ecoomcă) uma dacă se calculează d valor poztve. Î mod frecvet meda pătratcă se utlzează petru a caracterza tedţa cetrală î asamblul abaterlor valorlor dvduale de la valoarea lor mede. De asemeea meda pătratcă se utlzează câd se doreşte să se acorde o mportaţă ma mare la velul medu a acelor utăţ petru care caracterstca îregstrată preztă valor absolute mar. Meda armocă o otăm cu h ea se defeşte ca valoare versă a mede artmetce a verselor valorlor dvduale îregstrate. Petru o sere statstcă smplă X:...... relaţa de defţe a mede armoce este: (3.3.6) + +... + h h h 4444 3 h de ude rezultă că: or
(3.3.7) h Petru o sere statstcă de frecveţe: X : K K 3.3. Mărmle med 59 pr termedul relaţe (3.3.6) de defţe rezultă următoarea formulă de calcul a mede armoce poderate: (3.3.8) h Dacă ître două varable statstce estă o relaţe de vers proporţoaltate ş petru ua dtre ele se foloseşte meda artmetcă atuc petru cealaltă varablă este oblgatoru să se folosească meda armocă deoarece raportul de versă proporţoaltate se realzează ş ître cele două valor med. Eemplul. Fe w productvtatea muc îtr-u ateler de producţe t cosumul specfc de tmp de mucă pe utatea de produs T cheltuelle totale de tmp de mucă ş q producţa obţută; atuc productvtatea mede a muc se determă cu relaţa: q wt (3.3.9) w wf T T T ude f ar q w T T Cosumul specfc de tmp de mucă este dat pr: T (3.3.30) t q
60 Idcator statstc - 3 q Ţâd seama că w rezultă relaţa: T (3.3.3) t. w Avâd î vedere relaţa de vers proporţoaltate de ma sus ş faptul că productvtatea mede a fost calculată ca mede artmetcă poderată rezultă că petru calculul cosumulu specfc medu se va folos meda armocă poderată: (3.3.3) T T T t h q qt T t t Am văzut că h - este ma mcă decât meda artmetcă. Dacă valorle caracterstc X sut egale atuc cele două med au aceeaş valoare. De asemeea î stuaţa câd petru o caracterstcă u se cuosc poderle reale ale valorlor c poderle complee atuc cele două med artmetcă ş armocă au valor egale. Îtr-adevăr (3.3.33) h Î practcă atuc câd se cuosc valorle caracterstc ş poderle pot f foloste orcare d mărmle med câd îsă se cuosc uma valorle ş poderle complee se aplcă meda armocă care de asemeea este utlzată la calculul dclor med. Eemplul. Să presupuem că petru efectuarea ue operaţ u lucrător cheltueşte 5 mute ar altul 30 mute. Care este tmpul medu de lucru petru această operaţe? Dacă utlzăm meda artmetcă atuc tmpul medu cosumat petru operaţa dată este (30+5)/ 5 mute. Dacă utlzăm meda armocă atuc tmpul medu cosumat pe această operaţe este:
5 + 30 0 0 mute. 3 3.3. Mărmle med 6 Dacă acceptăm tmpul medu de lucru de 0 mute atuc îtr-o oră ce do 60 60 lucrător efectuează + 6 operaţ. Dacă cosderăm tmpul medu de lucru de 0 0 60 60 5 mute atuc ce do lucrător efectuează îtr-o oră + 5 operaţ. 5 5 60 60 Î realtate îtr-o oră ce do lucrător efectuează + 6 operaţ. 5 30 Observăm că î acest caz este raţoal să se calculeze meda armocă petru a stabl tmpul medu pe operaţe. Meda geometrcă o otăm cu g. Ea se calculează pe baza ue relaţ multplcatve ître terme ue ser statstce smple sau de frecveţe Meda geometrcă g repreztă acea valoare a caracterstc care dacă ar îlocu fecare valoare dvduală d sere produsul acestora u s-ar modfca. Dec g se defeşte pr relaţa: (3.3.34) g g K g g de ude rezultă: (3.3.35) g relaţe valablă petru o sere smplă X:....... Petru o sere de dstrbuţe de frecveţe: K X : K se obţe: (3.3.36) g
6 Idcator statstc - 3 Utlzâd propretăţle logartmulu se obţe d (3.3.35) următoarea relaţe de defţe a mede geometrce g : l ( g ) l Calculul velulu medu al ue varable statstce ca mede geometrcă se efectuează uma atuc câd operaţa de multplcare ître terme sere este posblă ş are ses ecoomc. Utlzarea mede geometrce este dcată atuc câd terme sere preztă o cocetrare către valorle cele ma mc sau câd se urmăreşte să se dea o mportaţă deosebtă valorlor dvduale reduse. Cel ma frecvet meda geometrcă se utlzează la calculul tedţe cetrale d sera dclor de damcă cu baza fă ş ma ales moblă. Î mod evdet atuc câd u terme al sere statstce este zero produsul d relaţa de defţe (3.3.34) deve ul ş defţa u poate furza formaţ utle. Eemplul 3. Î tre a cosecutv o îtreprdere a realzat u proft de 0 ml. le 0 ml. le ş respectv 60 ml. le. Să se determe dcele medu al proftulu realzat. Î aul al dolea proftul s-a dublat ar î aul al trelea a crescut de 8 or faţă de precedetul. Meda artmetcă a dcelu de multplcare e arată că î mede + 8 proftul s-a multplcat de 5 or pe a. Acest rezultat u cocordă cu realtatea deoarece dacă multplcăm pe 0 ml. le pr 5 obţem 50 ml. le profturle corespuzătoare aulu al dolea ş al trelea obţute astfel sut mult ma mar. Să utlzăm meda geometrcă. Vom avea g 8 4. Pr multplcarea cu 4 obţem petru aul al dolea ş al trelea 40 ml. le respectv 60 ml. le care oferă u rezultat mult ma apropat de cel real ş putem cosdera ca dce medu al proftulu realzat I4 ca u rezultat corect. Î geeral meda geometrcă se aplcă atuc câd feomeul cercetat poate f apromat prtr-o evoluţe epoeţală. 3.4. Idcator de pozţe De multe or formaţle utle î fudametarea deczlor legate de serle de repartţe le furzează pe lâgă dcator med dcator de pozţe care reflectă forma î care se raportează utăţle colectvtăţ cercetate după caracterstca respectvă. Î caracterzarea tedţe cetrale î serle de repartţe rolul de valoare
3.4. Idcator de pozţe 63 tpcă poate f ucat de dcator de pozţe: modul ş cuatle care evdeţază tedţa de aglomerare de cocetrare a utăţlor după caracterstca studată. Valoarea modală a caracterstc umtă ş valoare domată sau modul repreztă acea valoare a caracterstc care corespude celu ma mare umăr de utăţ sau acea valoare care are cea ma mare frecveţă de aparţe. Petru o repartţe dscretă valoarea modală este uşor de stablt pr smpla eamare a şrulu de frecveţe X :. Valoarea modală a caracterstc este acea valoare dvduală petru care frecveţa de aparţe este cea ma mare. De eemplu petru sera de frecveţe X : 5 6 8 3 9 0 modul este m 0 8. Sera de repartţe de ma sus este reprezetată grafc î fg.3.4. Fg.3.4 Î cazul serlor de repartţe pe tervale egale valoarea modală se obţe astfel: se detfcă tervalul cu frecveţă absolută sau relatvă cea ma mare apo î tervalul modal se estmează valoarea modală. Estmarea valor modale se efectuează î dferte varate: Dacă î cadrul tervalulu modal frecveţele sut dstrbute smetrc sau apromatv smetrc atuc modul cocde cu cetrul tervalulu modal. Dacă repartţa frecveţelor î cadrul tervalulu modal u este smetrcă atuc se calculează ma îtâ dfereţele: dfereţa dtre frecveţa tervalulu modal ş frecveţa tervalulu premodal (precedet); dfereţa dtre frecveţa tervalulu modal ş cea a tervalulu postmodal (următor).
64 Idcator statstc - 3 Dacă tervalul modal este [ + ] de lugme h + atuc valoarea modală (modul) sere statstce este dat pr: m 0 + h + Eemplul. Dstrbuţa a 50 de utăţ după volumul îcasărlor luare este dată î tabelul 3.3. Grupe de utăţ după volumul îcasărlor Număr de utăţ Cetrul de terval Număr de utăţ cumulate crescător Tabelul 3.3. Observaţ 00-50 3 5 3 50-00 75 5 00-50 7 5 3 Iterval modal 50-300 8 75 40 300 350 4 35 44 350-400 6 375 50 Valoarea modală a îcasărlor luare sau îcasarea luară cea ma frecvetă este dată apromatv pr: 7 m 0 00 + 50 8 ( 7 ) + ( 7 8) Î mod asemăător cu valoarea modală se defeşte valoarea atmodală cu cea ma mcă frecveţă sau cea ma puţ probablă. Modul are avataul că se determă rapd ş are o semfcaţe smplă. Pe grafcul repartţe statstce valoarea modală corespude puctulu de pe abscsă î care grafcul îş atge mamul. Î practcă estă ser de dstrbuţe multmodale adcă se determă ma multe valor modale (pe grupe) de obce ele u pot f stetzate îtr-o sgură valoare modală cu semfcaţe petru îtreaga colectvtate. Î uele stuaţ practce valoarea modală furzează formaţ ma utle decât valoarea mede de eemplu î lasarea uu tp de cofecţe pe paţă este mportată cuoaşterea valor modale pe câd o valoare mede este lpstă de semfcaţe. Cuatlele dcă o dvzare a dstrbuţe observaţlor îtr-u umăr oarecare de părţ. Ele sut dcator care descru pozţle partculare d cadrul serlor de dstrbuţe statstcă.
3.4. Idcator de pozţe 65 Cuatlele de ordul r (r ) le otăm cu C r ele fd valor ale caracterstc urmărte care împart dstrbuţa observaţlor î r părţ egale care au acelaş efectv r d umărul total al observaţlor. Cele ma frecvet utlzate cuatle sut: - cuatla de ordul (r) umtă ş medaa (m e ); - cuatla de ordul 4 Q 3 (umtă smplu cuatlă); - cuatlele de ordul 0 (r0) cuoscute ş sub umele de cetle. Î mod evdet cuatlele de ord superor r 4 se calculează î cazul dstrbuţlor cu umăr mare de grupe sau clase de valor dvduale. Medaa (m e ) repreztă acea valoare a caracterstc localzată î mlocul sere sau repartţe statstce cu valor dvduale araate î orde crescătoare sau descrescătoare. Cu alte cuvte medaa împarte umărul utăţlor vestgate î două părţ egale ua coţâd utăţle cu valor ale caracterstc feroare medae ar cealaltă parte utăţle populaţe cu valor ale caracterstc superoare medae. Deoarece P ( m ) P( m ) e e medaa se ma umeşte ş valoare echprobablă a caracterstc. Am văzut că determarea medae presupue ordoarea crescătoare sau descrescătoare a valorlor dvduale ale caracterstc. Să cosderăm o sere statstcă smplă X:... ordoată crescător. Dacă sera are u umăr mpar de terme atuc medaa m e este valoarea de rag + d sere adcă: m e + De eemplu dacă avem X: 5 6 0 5 8 50 atuc m e 0. Dacă sera este formată dtr-u umăr par de terme atuc medaa se determă î mod coveţoal ca valoare mede (meda artmetcă) a valorlor dvduale de rag ş + adcă: + + me.
66 Idcator statstc - 3 De eemplu petru sera X: 5 8 5 5 30 37 45 5; 8 4 5 30 m 4 + 5 + e 75. Observăm că î cazul sere smple cu umăr mpar de valor dvduale medaa respectă eact defţa dată ar î cazul umărulu par de valor medaa este stabltă coveţoal ca să apromeze defţa dată. Î acest caz medaa poate să u fe o valoare dvduală a sere date. Î cazul sere de dstrbuţe de frecveţe pe varate dstcte semfcaţa valor medae este afectată de metoda sa de calcul. Î acest caz valoarea medaă este acea valoare dvduală a caracterstc care corespude prme frecveţe care + pr cumulare ascedetă depăşeşte Eemplul. Î urma cotrolulu de caltate a 00 lotur de aparate electrotehce s-au îregstrat datele prezetate î tabelul 3.4. Număr de aparate cu defecţu 0 3 4 5 Număr de lotur de aparate 5 5 30 5 0 5 Tabelul 3.4. Număr cumulat crescător de lotur 5 40 70 85 95 00 Total 00-6 + 00 + 505. 70 este prma frecveţă cumulată crescător care depăşeşte 505. Dec umărul meda de aparate defecte este m. Observăm îsă că valoarea medaă m u împarte sera î două părţ egale uma 40% d lotur au u umăr de defecte ma mc decât ş u 50% cum ar f trebut coform defţe. Î asemeea stuaţ medaa u repreztă o valoare tpcă petru caracterzarea tedţe cetrale de repartţe ş sut dcate alte mărm ale tedţe cetrale.
3.4. Idcator de pozţe 67 Î cazul dstrbuţe de frecveţe pe tervale valoarea medaă se determă î tervalul meda î mod apromatv prtr-u procedeu de terpolare lară î poteza repartzăr uforme (după o aumtă lege de repartţe) a frecveţelor î tervalul meda. Î acest caz se parcurg următoarele etape: Se determă ma îtâ tervalul meda ca fd tervalul care corespude + prme frecveţe cumulate crescător ce depăşeşte. Î cadrul tervalulu meda valoarea medaă se poate determa pr formula de terpolare: + me + h ude [ + ] este tervalul meda ar h + - este lugmea acestua. De eemplu pe baza datelor d Eemplul obţem: 55 5 m e 00 + 50 3 m le 7 ceea ce semfcă faptul că 50% d utăţ au îcasăr ma mc de 3 m le ar 50% au îcasăr ma mar de 5 m le. Î mod asemăător se calculează medaa î cazul serlor de dstrbuţe de frecveţe relatve. Pr geeralzarea metodologe de determare a medae se obţ procedee de calcul a cuatlelor de ordul r 4. Pozţle pe care le ocupă î cadrul ue ser de valor meda artmetcă valoarea modală ş medaa coduc la formaţ utle asupra forme de dstrbuţe a utăţlor colectvtăţ după caracterstca aalzată. Dacă m 0 m e atuc dstrbuţa frecveţelor este smetrcă. Dacă dstrbuţa este umodală uşor asmetrcă atuc frecveţele sut uşor deplasate îtr-o parte sau alta. Î acest caz ître ce tre dcator a tedţe cetrale estă după o cocluze emprcă o relaţe de forma: - m 0 3( - m e ) Î fucţe de dfertele cazur partculare uul d ce tre dcator a tedţe cetrale: mede valoare modală medaă poate să abă o semfcaţe ma putercă.
68 Idcator statstc - 3 Fe sera X: 4 4 8 9 0 000; î această sere meda artmetcă u este semfcatvă fd afectată de o valoare foarte mare faţă de celelalte; o ma buă semfcaţe este ofertă de medaă. Petru agaaţ ue îtreprder au semfcaţ dferte d pucte de vedere dferte salarul medu ş salarul modal. Coducerea este teresată î a cosdera ca tedţă salarul medu. Cum acesta este afectat de salarle mar d îtreprdere sdcatul muctorlor cosderă că stuaţa veturlor agaaţlor este ma realst reflectată de salarul modal. D cele de ma sus reese că î aalza tedţe cetrale a ue ser de date după calculul dcatorlor corespuzător trebue acordată o ateţe deosebtă acelora cu cea ma reprezetatvă îcărcătură formaţoală care reflectă ş gradul de împrăştere (varaţe) a valorlor dvduale.