Osnove inženjerskog prorčun Skript z studente Sveučilišt Sjever Ktrin Pisčić, UNIN 04.
Kut Kut je dio rvnine omeđen s dv prvc koj se sijeku. Obično se obilježv kružnim lukom među prvcim. Ako je duljin luk mnj od četvrtine opseg kružnice, kut je šiljst ili oštr, ko je jednk četvrtini, kut je prvi, ko je već od četvrtine mnj od polovine, kut je tup, ko je jednk polovini, kut je ispružen, ko je već od polovine, kut je izbočen ili konkvn, i npokon, ko je jednk opsegu kružnice, kut je puni. Dv kut su komplementrn ko im je zbroj prvi kut, suplementrn ko im je zbroj ispruženi kut. Njvžnije jedinice mjere kut su stupnjevi ( ) i rdijni (rd). Kut od jednog rdin je kut koji obuhvć kružni luk čij je duljin jednk rdijusu tog luk. duljin kružnog luk = rdin Slik. Rdijnsk mjer kut Oznčimo s Φ kut izržen u rdijnim s φ oznčimo kut izržen u stupnjevim. Td formule z pretvorbu izgledju: 360 360 Formule u kojim se koristi lučn mjer kut: Duljin kružnog luk: rdiju () ()
s r (3) Opseg krug: O r (4) Površin krug: Ar (5) Površin kružnog isječk: r A (6) Kutevi s okomitim krcim su sukldni (sl..) (Sukldnost je istovremen sličnost i jednkost odn. podudrnost geometrijskih likov.) Slik. Kutevi s okomitim krcim ZADACI PRETVORBA RADIJANA U STUPNJEVE. Zdne su mjere kut u stupnjevim, pretvorite ih u rdijne 50, 7, 93, 05, 6, 57, 93, 40. Zdne su mjere kut u rdijnim, pretvorite ih u stupnjeve 3 0. rd, rd, 6 rd, 7. rd,.5 rd, rd, rd, rd 3
Trokut. Sličnost trokut Trokut omeđuju tri strnice, njihove duljine oznčvmo mlim slovim. Obično duljine strnic oznčvmo slovim, b i c. Vrh trokut je zjedničk točk dviju strnic. Vrhove oznčvmo velikim tisknim slovim, obično A, B i C. Unutrnji kutovi trokut oznčvju se uglvnom mlim grčkim slovim, i. Uobičjeno je d se oznčv becednim redom i to tko d je vrh kut točk A, nsuprot je strnic (nlogijom se oznčvju i ostli kutevi, točke i strnice) Slični trokuti imju jednke kuteve i proporcionlne strnice. C' b C k b k A c B A' k c B' Slik. Sličnost trokut Trokuti su slični ko je ispunjen neki od sljedeć četri uvjet: SSS: trokuti imju sve tri strnice proporcionlne : b: b c: c. (7) SKS: trokuti imju dvije strnice proporcionlne i kuteve među njim jednke, b: b c: c. (8) KK: trokuti imju dv kut jednk kut,. (9) SSK: trokuti imju dvije strnice proporcionlne, kutovi nsuprot većoj strnici su sukldni 3
, : b: b, ( b). (0) Površine sličnih trokut proporcionlne su kvdrtim strnic.. Prvokutni trokut Kutevi u prvokutnom trokutu: 90, 90 Strnice koje se nlze uz prvi kut, odnosno zjedno tvore prvi kut nzivju se ktete, strnic nsuprot prvog kut nziv se hipotenuz B Pitgorin teorem: c Površin kvdrt nd hipotenuzom jednk je zbroju površin kvdrt nd ktetm c b C b Slik. Prvokutni trokut A Odnosi ktet i hipotenuze: ctg sin, sin c c b cos, cos c c () sin cos tg Odnosi među ktetm: b tg, tg b b ctg, ctg b () Slik.3 Jediničn kružnic Riječim: Sinus kut kojeg čine ktet i hipotenuz jednk je omjeru nsuprotne ktete i hipotenuze. Kosinus tog kut jednk je omjeru priležeće ktete i hipotenuze. Tngens tog kut jednk je omjeru nsuprotne i priležeće ktete. Kotngens kut jednk je omjeru 4
priležeće i nsuprotne ktete. Tngens i kotngens kut su obrnuto proporcionlni: ctg tg (3) tg -.. Ngib Ngib se izržv u postocim, dobiv se iz formule: H i tn( ) 00% 00% (4) L B ngib i % - ngib u postocim c H L m - horizontlni rzmk između točk H m - visinsk rzlik točk A b L C Slik.4 Ngib Primjer. Ako je ngib 0% izrčunjte koliki je kut. 0 tn( ) i 00 0 rctn( ) 5.7 00 Objšnjenje: Ngib od 0% znči d se primjerice n 00 m ceste, teren uzdiže ili spušt 0 m. Primjer. Koliki je ngib ceste ko kut iznosi 45? i tn( ) 00% tn(45 ) 00% 00% 5
ZADACI PRAVOKUTNI TROKUT, TRIGONOMETRIJA (s rješenjim). Izrčunjte duljine strnic i kutove prvokutnog trokut ko je zdno: ) P 60 cm, 8 4''' b) b 3 cm, c 7 cm 8.07deg sin ( ) c cos ( ) b c P b 6
b c b 3cm c) 4 cm, v 6.7 cm sin( ) v b c sin( ) v b d) : b 3:4, v 9. cm 3 v v tn( ) sin( ) sin( ) 4 b 90deg deg b c 7
e) O 0 cm, 30 sin( ) c cos( ) b c O b c. Visin prvokutnog trokut dijeli trokut n dv dijel kojim se površine odnose ko :4. Koliki su kutovi tog trokut? b 4 tn( ) 75.964deg 4.036deg 3. Smetrl prvog kut prvokutnog trokut dijeli hipotenuzu n dijelove čije su duljine u omjeru :3. Koliki su kutovi tog trokut? sin( 45deg) v sin( ) 3 v v v sin( 45deg) sin( ) cos( ) 3 sin( ) cos( ) sin( 45deg) sin( 45deg) sin( ) 3 sin( 45deg) cos( ) sin( 45deg) 3 tn( ) 56.3deg 33.69deg v sin( ) sin( 45deg) 3 cos( ) sin( 45deg) 8
ZADACI PRAVOKUTNI TROKUT, TRIGONOMETRIJA 55 77 6 4. Izrčunjte: sin cos tg 6 3 4 3 7 5 5. Izrčunjte: sin ctg cos 3 6 4 5 9 ctg ctg 6. Izrčunjte: 8 8 7 3 ctg ctg 8 8 sin 8 sin08 sin sin6 7. Izrčunjte: sin55 sin5 sin35 sin45 4 3 8. Izrčunjte: sin sin sin37 sin53 9. Izrčunjte: cos 4 sin5x cos x cos3x sin x 0. Izrčunjte: cos 3x cos x 85 43. Izrčunjte: cos cos 4 4.3 Općeniti trokut, sinusov i kosinusov poučk.3. Sinusov poučk C Dužin CD v oznčv visinu spuštenu iz točke C. Time je trokut podijeljen n dv prvokutn trokut. Iz slike se vidi d je bsin v, što znči d je v bsin li isto tko je v sin. Znči d vrijedi: b sin bsin, ili. sin sin N potpuno isti nčin se može b c dokzti d je sin sin Slik.5 Općeniti trokut Sinusov poučk glsi: Omjer strnice trokut i sinus nsuprotnog kut jednk je z sve strnice trokut. A b D c R B 9
b c (5) sin sin sin Ovj odnos jednk je promjeru opisne kružnice: R sin ZADACI - SINUSOV POUČAK. Riješite trokut ko su zdni 50, 7, 4.6 cm (dv kut i strnic nsuprot jednog od njih). Riješite trokut ko su zdni 563', 4.56 cm, b 5.7 cm (dvije strnice i kut nsuprot većoj strnici) 3. Riješite trokut ko su zdni 3 cm, b5 cm, 30(dvije strnice i kut nsuprot mnjoj strnici) 4. Riješite trokut ko su zdni opseg trokut 0 cm i dv kut 4.6 i 69.5. 5. Rzlik duljin dviju strnice trokut je 6 cm, kutevi nsuprot tim strnicm su 3.6 i 75.8. Odredi nepoznte strnice i kuteve trokut. 6. Riješite trokut ko su zdni 3.68 cm i 3537', 36 47'36'' b c R sin sin sin R... polumjer opisne kružnice.3. Kosinusov poučk Dužin CD je visin iz točke C. Iz slike čitmo d je b AD v b ( c BD) BD b c c BD BD BD b c c BD BD Iz slike se vidi d je kut uz B jednk cos znči d je BD cos. To uvrstimo u gornju formulu i dobijemo: 0
b c ccos. (6) N isti nčin možemo izvesti i z ostle strnice Kosinusov poučk glsi: Kvdrt strnice u trokutu jednk je zbroju kvdrt drugih dviju strnic, umnjenom z dvostruki umnožk tih strnic i kosinus kut između njih b c bc b c c c b b cos cos cos (7) ZADACI - KOSINUSOV POUČAK. Riješite trokut ko je 40 cm, b 37 cm i 8 (dvije strnice i kut između njih). Riješite trokut ko je 7 cm, b0 cm, c 9 cm (tri strnice) 3. Duljine strnic trokut su u omjeru 3 : 4 : 5. Odredite njmnji kut trokut. bc cos c cos bcos 4. Odredite kutove trokut ko je 0 cm, b3 cm, c cm b c cos 5. Odredite strnicu c ko je 0 cm, b8 cm, 48 40' bc 6. Odredite strnicu ko je b. m, c 3.4 m, 63 50' c b cos c 7. Odredite strnice i b ko je c 0 cm, vc 5 cm, 6 0' b c cos 8. Odredite t c ko je 8 cm, b56 cm, 98 6' b b c b c c b
9. Iz točke A n moru vidi se vrh svjetionik pod kutem 9', iz točke B koj je z d = 5,7m bliže, vidi se vrh pod kutem 3048', 0. Kolike su npetosti n dijelovim AC i BC konstrukcije ko je G = 4750N, 74', 345'? podnožje pod kutem 945'. Kolik je visin svjetionik?. Dv brod isplovil su pod kutem od 37. Dok je jedn brod prešo 3km, drugi je prešo 5km. Koliko su td bili udljeni jedn od drugog?. N putu iz grd A u grd B zrkoplov je skrenuo s kurs 38'. Nkon 78 km let pilot je isprvio kurs i letio još 0km do mjest B. Ako zrkoplov leti stlnom brzinom 40km n st, izrčunjte koliko je vremen zrkoplov dulje letio zbog skretnj? 3. Brod plovi prem luci i od nje je udljen km. Nkon što su prešli 5 km kpetn shvti d je skrenuo s kurs z. Koliko su td bili udljeni od luke?
3 Jedndžb prvc y n P( x, y) m P( x, y ) 0 0 0 x 3. Implicitn jedndžb prvc Implicitn jedndžb prvc je x by c () gdje su, b i c relni brojevi, pri čemu je brem jedn od brojev i b rzličit od nule. 3. Eksplicitn jedndžb prvc Eksplicitn jedndžb prvc je y kx l () pri čemu su k i l relni brojevi ( k je koeficijent smjer prvc, l njegov odsječk n osi y ). Slik 3. Prvc u rvnini k y x y x 0 0 tn (3) 3.3 Segmentni oblik jedndžb prvc Segmentni oblik jedndžbe prvc je x y (4) m n gdje su m i n relni brojevi rzličiti od nule. Točke ( m,0) i (0, n ) su točke presjek prvc i koordintnih osi. 3
3.4 Jedndžb prvc kroz dvije točke Jedndžb prvc koji prolzi točkm A( x0, y 0) i B( x, y ) (uz uvjet x0 x ) glsi: y y 0 y ( x x0) y0 x x0 (5) Implicitn jedndžb se lgno dobije množenjem s x x0 i sredivnjem izrz: ( y y ) x( x x ) y ( y y ) x ( x x ) y (6) 0 0 0 0 0 0 pri čemu se ov formul smije upotrijebiti i u slučjevim kd vrijedi x0 x. 3.5 Jedndžb prvc s zdnim koeficijentom smjer koji prolzi kroz jednu točku Jedndžb prvc koji prolzi točkom A( x0, y 0) i im koeficijent smjer k je: y k( xx ) y (7) 0 0 presjeci prvc i koordintnih osi Točk presjek prvc i osi x se dobije tko d se u jedndžbu prvc uvrsti y 0 i dobiven jedndžb riješi po x. Dobiveno rješenje x 0 određuje trženu točku presjek s osi x : ( x 0,0). Točk presjek prvc i osi y se dobije tko d se u jedndžbu prvc uvrsti x 0 i dobiven jedndžb riješi po y. Dobiveno rješenje y 0 određuje trženu točku presjek s osi y : (0, y 0). 3.6 Skicirnje prvc u prvokutnom koordintnom sustvu Budući je prvc jednoznčno određen s dvije svoje točke, dovoljno je odrediti položj dviju njegovih točk u prvokutnom koordintnom sustvu i ztim skicirti prvc koji njim prolzi. D bi skic bil preciznij, može se odrediti i više od dvije točke, korisno je odrediti i sjecišt prvc s koordintnim osim. 4
3.7 Skicirnje prvc u prvokutnom koordintnom sustvu Ako su koordinte točke A( xa, ya) i točke B( xb, y B). Koordinte polovišt su : = xa x xp B = y y yp i A B (8) Udljenost točk: AB = ( x x ) ( y y ) (9) A B A B Koeficijent smjer prvc: ya yb k= tn x x A B Ako su zdn dv prvc y kx l i y kx l: (0) Prvci su okomiti kd su im koeficijenti smjer recipročni i suprotnog predznk: k= k () Prvci su prlelni kd imju jednke koeficijente smjer: k= k kut između tih prvc iznosi: tn( ) k k () kk Površin trokut kojemu su vrhovi A( xa, y A), B( xb, y B), C( xc, y C) : P xa( yb yc) xb( xc xa) xc( xa xb) (3) Udljenost točke T( x0, y 0) i prvc Ax By C 0 : d Ax By C 0 0 A B (4) ZADACI JEDNADŽBA PRAVCA (s rješenjim). Odredite površinu trokut što g prvc y 8x 3 ztvr s koordintnim osim. 5
. Odredite jedndžbu prvc prlelnog prvcu x y40koji prolzi točkom T(-, -). x y 3. Odredite jedndžbu prvc okomitog n prvc koji prolzi točkom T(-4, ). 3 4 6
4. Odredite jedndžbu prvc okomitog n prvc kroz točke: A(, ), B(, 4) koji prolzi točkom T(-3, 0). 7
5. Odredite udljenost T(, 3)od prvc 3 y x. 4 ZADACI JEDNADŽBA PRAVCA 6. Zdne su točke A( 8, 4) i B(,9). Npišite eksplicitni, implicitni i segmentni oblik jedndžbe prvc koji prolzi točkm A i B, odredite sjecišt prvc s koordintnim osim i skicirjte prvc u prvokutnom koordintnom sustvu. 7. Zdne su točke A( 3, 3) i B(3, 7). Npišite eksplicitni, implicitni i segmentni oblik jedndžbe prvc koji prolzi točkm A i B, odredite sjecišt prvc s koordintnim osim i skicirjte prvc u prvokutnom koordintnom sustvu. 8. Zdne su točke A( 3, 3), B(3, 4) i C(6,8). Npišite jedndžbe prvc koji prolze točkm A i B te B i C, odredite koeficijente smjer pojedinog prvc i skicirjte prvce u prvokutnom koordintnom sustvu. 8
4 Metod njmnjih kvdrt - MNK Linern metod njmnjih kvdrt zsniv se n jedndžbi prvc y bx (5) (Eksplicitni oblik jedndžbe prvc smo u prethodnom poglvlju zpisivli u obliku y l kx) koristi se d bismo zdni skup podtk, x y, x, y,...,,, x y, gdje ne n opisli pomoću jedndžbe prvc. Metod njmnjih kvdrt zsniv se n izjvi d krivulj koj njbolje proksimir zdne podtke im njmnji kvdrt greške odstupnj: n yi f( xi) yi ( bxi) min (6). i i n Pri čemu su i b nepoznti koeficijenti, zdni su x i i y i. D bi se postigl njmnj pogrešk rzlike kvdrt prv prcijln derivcij gornjeg izrz po i b mor dti nulu. n n n yi ( bxi) 0 i n ( yi ( bxi)) xi0 b i Sređivnje gornjih izrz dobije se: n n n yi bxi i i i n n n xiyi xi bxi i i i Odkle nepoznte prmetre i b dobijemo rčunjući sljedeći izrz: b yx xxy nx x nxy xy nx x (7) (8) (9) Gdje znči n i... i 9
Pri čemu se ukupn grešk rčun: s n i ( f ( x ) y ) n i i y i i (0) ZADACI MNK. Koristeći linernu metodu njmnjih kvdrt pronđi prvc koji njbolje proksimir zdne točke. Odredi grešku proksimcije. i 3 4 5 6 7 8 9 0 x 0 3 4 5 6 7 8 9 0 y 0.36004.66888 5.98046 9.540.07 5.0563 8.45 0.3067 4.876 6.955 9.40 Rješenje: 0.0830330909090966 +.978765888884* x 0
35 30 5 0 Zdn funkcij Aproksimcij 5 0 y =,978765888x + 0,083033090909 5 0 0 4 6 8 0
5 Linern interpolcij Interpolcij dolzi od riječi inter između i polos os, osovin, odnosno točk, čvor. Svko izrčunvnje nove točke između dviju ili više postojećih točk podtk je interpolcij. Postoje mnoge metode interpolcije od kojih mnoge uključuju prilgođvnje nekkve vrste funkcije zdnim podcim i ztim procjenu vrijednosti te funkcije n željenoj točki. Dnom nizu od n rzličitih brojev x k koje nzivmo čvorovi tko d z svki x k postoji drugi broj y k, nći ćemo funkciju f z koju vrijedi f ( x ) y, k,..., n () k k Pr x k, y k nziv se točk podtk, f se nziv interpolnt z te točke podtk. Jedn od oblik interpolcije je izrčun ritmetičke sredine iz vrijednosti dviju susjednih točk kko bi se odredil točk u njihovoj sredini. Isti se rezultt dobiv određivnjem vrijednosti linerne funkcije u srednjoj točki. Linern interpolcij (ponekd se nziv linterp) je jedn od njjednostvnijih metod interpolcije. Kod ove metode se vrijednosti funkcije između dvije susjedne točke grf x, y i, x y prikzuju ko d leže n prvcu između te dvije točke. Dkle, z b b x x, x se uzim d je interpolnt zdn: b ( yb y) y y ( xx) ( x x ) n točki x, y. b () Linern interpolcij je brz i lgn, no nije odveć precizn.
Primjer Pretpostvimo d immo tblicu u kojoj su nvedene vrijednosti nepoznte funkcije f. x f(x) 0 0 0.845 0.9093 3 0.4 4-0.7568 6-0.9589 6-0.794 0 0 3 4 5 6 - - - Slik 5. Vizulno predočeni podci iz tblice Interpolcij osigurv nčin procjenjivnj funkcije n međutočkm, npr. ko x.5. Budući d je.5 sredin između i 3, rzumljivo je uzeti sredinu f (.5) između f () 0.9093 i f (3) 0.4, što dje rezultt od 0.55. (0.4 0.9093) y 0.9093 (.5 ) 0.55 (3 ) 0 0 3 4 5 6 - - - Slik 5. Prikz podtk s dodnom linernom interpolcijom 3
Primjer N slici je prikzn tblično zdn funkcij. x f ( x ) 0-3 3 4 5 5 7 8 6 8 7 6 5 4 3 0 0-3 4 5 6 7 8 - Slik 5.3 Vizulni prikz podtk Odredi vrijednost f (.6). y(3) y() f(.6) y() (.6 ).6 3 8 7 6 5 4 3 0 0 3 4 5 6 7 8 - - Slik 5.3 Linern interpolcij 4
6 Mjerne jedinice i SI sustv Medunrodni sustv jedinic SI (krtic SI izveden je prem frncuskom nzivu Le System Interntionl d'unites) je moderni metrički sustv mjer, kojeg je uspostvil 960. Generln konferencij o utezim i mjerm (CGPM, Conférence Générle des Poids et Mesures). CGPM je međunrodn orgnizcij koj se brine o širenju SI i po potrebi njegovoj modifikciji, sukldno npretku u znnosti i tehnologiji. Sdšnj verzij SI, usvojen 97., temelji se n sedm osnovnih jedinic z sedm osnovnih veličin koje su medusobno neovisne. Tblic 6. Osnovne fiziklne veličine i pripdne jedinice SI sustv FIZIKALNA VELIČINA NAZIV SIMBOL SI - JEDINICA SIMBOL Duljin l metr m Ms m kilogrm kg Vrijeme t sekund s Električn struj I mper A Termodinmičk tempertur T kelvin K Količin tvri n mol mol Intenzitet svijetlosti Iv kndel cd Tblic 6. Dopunske SI jedinice FIZIKALNA VELIČINA NAZIV SIMBOL SI - JEDINICA SIMBOL Kut,,,... rdijn rd Prostorni kut,,,... sterdijn sr Sve druge veličine, nzvne izvedene veličine, mogu se definirti pomoću tih sedm osnovnih veličin. Sukldno tome, izvedene veličine imju izvedene jedinice. 5
Tblic 6.3 Neke od izvedenih SI jedinic bez posebnih znkov i nziv FIZIKALNA VELIČINA NAZIV SIMBOL SI - JEDINICA SIMBOL Površin A, S četvorni metr m Volumen V kubni metr 3 m Brzin Ubrznje Gustoć Obujmni protok v Q metr u sekundi metr u sekundi n kvdrt kilogrm po kubičnom metru kubičnih metr u sekundi m/s m/s 3 kg/m 3 m/s Moment sile M njutn metr Nm Neke od izvedenih velicin toliko su česte i vžne u prksi d su njihove (izvedene) jedinice dobile specijlni nziv i oznku (simbol). SI sustv im tkve specijlne oznke, z nše potrebe nbrojt ćemo smo sljedeće: Tblic 6.4 Neke od izvedenih SI jedinic s posebnim imenom FIZIKALNA VELIČINA NAZIV SIMBOL SI - JEDINICA SIMBOL Frekvencij f herc (hertz) Hz Sil F njutn (newton) N Tlk, npreznje p pskl (pscl) P, N/m Energij E džul (joule) J Sng P vt (wtt) W Električni npon U, V volt V Količin elektricitet Q kulon (coulomb) Električni otpor R om (ohm) Ω C 6
Primjer: Po definiciji je sil = ms kcelercij ms je osnovn veličin (ne definir se pomoću drugih pojmov) kcelercij nije osnovn veličin; on se definir ko brzin/vrijeme, p zhtjev prethodno definirnje brzine: brzin = dužin/vrijeme; brzin je izveden veličin koj je definirn smo s osnovnim veličinm. Končno, složeni pojm sile može se objsniti korištenjem smo osnovnih pojmov (veličin): sil = ms dužin vrijeme -, s jedinicm: N = kg m s -. Pojmovi tlk, energij i sng su složeniji od pojm sil, p bi izržvnje tih veličin s osnovnim jedinicm bilo vizulno još komplicirnije i stog neprktično. To je i rzlogom d su z kompleksnije kombincije osnovnih jedinic uvedene nove oznke, poput N u nšem primjeru. SI definir 0 prefiks, z potencije n bzi 0, koji se mogu koristiti uz osnovne ili izvedene jedinice. U inženjerskoj prksi korištenje prefiks je svkodnevic, p smim time i prijek potreb, tko d će se u kolegiju dt posebn nglsk n rčun s prefiksim, kko bi student čim brže i bolje svldo njihovo korištenje. Tblic 6.5 SI prefiksi Fktor Nziv Oznk Fktor Nziv Oznk 0 4 yott Y 0 - deci d 0 zett Z 0 - centi c 0 8 ex E 0-3 mili m 0 5 pet P 0-6 micro μ 0 ter T 0-9 nno n 0 9 gig G 0 - pico p 0 6 meg M 0-5 femto f 0 3 kilo k 0-8 tto 0 hecto h 0 - zepto z 0 dek d 0-4 yocto y 7
ZADACI JEDINICE (s rješenjim). Odredite smično npreznje ko je zdno: F 45 kn = 45000 N D 0.6 cm =0.006 m = r Površin se rčun po izrzu: A r = (0.003 m) =0.00003 m Ukupn smičn sil se dijeli n četiri zkovice: F 45000 N V = 50 N 4 4 Smično npreznje se rčun prem: V 50 N = 375000000 N/m 375 MP A 0.00003 m. Odredite smično npreznje ko je zdno: M 7500 Nm D 0 cm = 0. m = R Polrni moment tromosti: 4 (0.05 m) 4 0.0000098 m 4 I R Smično npreznje iznosi: MR ( 7500 Nm)(0.05 m) 4 = 3800000 N/m 38. MP I 0.0000098 m 3. Kolik je količin topline potrebn z tljenje kg olov početne temperture t0 4 C? Q Qg Qt Gdje je: g grijnje do tlišt t tljenje Q mc(t t ) g Q g kg 0.30 kj kg K (37 4)K 39.4 KJ Qt ml kg 3 kj kg 3 KJ Q 39.4 3 6.4 kj = 6 kj 6 Q 6 kw s = kw h = 0.07 kw h 3600 4. Koliko je topline potrebno z grijnje kg olov, željez i luminij od 0 do 00 C? Specifične su topline: olov 0.3 kj/(kg K), željez 0.46 kj/(kg K) i luminij 0.9 kj/(kg K) QPb mcp,pb t 0.300 6 KJ QFe 0.4600 9 KJ 8
QFe 0.9 00 84 KJ 5. Koliko kockic led temperture 0 C, strnice cm treb otopiti u L vode d bi ju ohldili s 6.5C n 0 C? Specifičn toplin tljenj led je 333 kj kg, specifični toplinski kpcitet vode je 490 J kg K, gustoć vode je 3 3 0 kg m, led 90 kg m 3. Gubitke topline u okolinu vlj znemriti! 3 Ms led: ml N L Utrošen toplin je z zgrijvnje led: 3 Q ml( ctl) N L ( c TL) Izgubljen toplin hlđenj vode Q mv ctv) V V c TV Topline su jednke (koliko se ohldi vod, toliko se zgrije led) N 3 L ( ctl) V V c TV V V ctv N = 3 L ( ctl) 3 3 0 0 490 6.5 N = 5 3 5 900.0 (3.330 4900) 6. U horizontlnoj cijevi promjer 0 cm vod teče brzinom m/s pri sttičkom tlku br. Koliki je tlk u užem dijelu cijevi promjer 5 cm? D bi tok kroz širi i uži dio cijevi bio jednk vrijedi: v S Sv S v, odnosno v S Površine presjek cijevi su proporcionlne promjerim p je: v d v d d v d v Prem Bernoullijevom teoremu je v v p p 4 d d p p v v p v v 4 d p p v d Zdno: 9
5 = br = 0 P p 3 000 kg/m v = m/s 4 5 000 0 p 0 4 70000 P =.7 br 5 ZADACI JEDINICE 7. Pretvorite u određene mjerne jedinice:. b. 0.5 mm.5 0 m 750000 m 7.5 0 m c. 4.850 4 mm 4.850 cm 4.850 m d. 0000000km. 0 km. 0 m e. god = s 8. Izrčunjte u trženim mjernim jedinicm:. S 300 mm 0,00 km dm,5 m 0,84 km S mm b. A 5 m 0,00005 km 7,5 dm 30 cm A m c. 3 3 3 V 500 cm m 3 dm V l 9. Izrčunjte vrijednosti u trženim mjernim jedinicm: s. v t v v 8 km 3 dn m / s b. c. v v, 5 m s km / h 300 km v 4 dn, st 30
d. v m / s s t v t t 36500 km 700 m / s sti 0. Izrčunjte vrijednosti u trženim mjernim jedinicm: v. t 0 km / h 0 min m / s b. 6 km / h dn m / s c. v t v,8m / s 5min v m / s. Izrčunjte vrijednosti u trženim mjernim jedinicm:. F k x F 0,3 N/m 0,00 km F N b. m v F t 300 g 0 km/h F 0 s F N c. v F t m 3
4 N s v 0,004 t v d. F t N F t N m/s 6,50 MN 0,00 kn. Izrčunjte vrijednosti u trženim mjernim jedinicm: F. p A 0,00 MN p 50000 mm p P N/m b. p p g h 0 3 4 p 0300 P 000 kg/m 9,8 m/s 0 mm p P c. p g h 3 p 500 kg/m 9,8 m/s 50cm p P d. F p A p m g m g m A 3 g p 3 0 kg 0000 mg,8 0 t g g g 800000 mm p P 3. Izrčunjte vrijednosti u trženim mjernim jedinicm:. W F h W m g h 3
4 W 0 mg 9,8 m/s 500 mm kg m W J( ) s m m b. F G r F 7 4 0 kg 9,5 0 t 6,67 Nm /kg 3 F MN,5 0 m c. W P t 35 kj P P J/s dn d. Q Av Q 0,05m km/h Q l/s Q Q e. F k r F 9 90Nm/C F μn 8 8,30 C,5 0 C 4 30 km f. F E Q E 8, 5 0 MN 7 0 C N E C g. Q k r r Q k 600 V,5 cm Q 9 90 Nm/C 33
Q C h. F l E A 5 kn 500 cm 4, 0 MN/m 00 dm 5 m 34