( ) ( )

ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 9. siječnj 05. 4. rzred-rješenj OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA, ČLAN POVJERENSTVA DUŽAN JE I TAJ POSTUPAK BODOVATI I OCIJENITI NA ODGOVARAJUĆI NAČIN.. Prvi nčin: 05 5 (5 3 3 3 5 0) 05 5 (35 375 0) 05 5 (338 75 0) 05 5 (43 0) 05 5403 05 05 0.. UKUPNO 6 BODOVA 05 5 (5 3 3 3 5 0) 05 5 (53 3 75 0) 05 5 (53 3 65) 05 5 (53 3 53) 05 53 (5 5) 05 533 05 05 0.. UKUPNO 6 BODOVA. Trženi umnožk je 367 357 = 84509. U umnošku je 5 znmenki širine po 6 mm i znmenk širine mm p je njihov širin 5 6 + = 3 mm. Između 6 znmenk je 5 rzmk čij je ukupn širin 5 = 5 mm. Ukupn širin umnošk 84509 iznosi 3 + 5 = 37 mm... UKUPNO 6 BODOVA 3. Iz 3. jednkosti slijedi + 7 + 7 + 7 = 30 p je = 9. Iz. jednkosti slijedi + 7 + + 7 = 0 p je = 3. Iz. jednkosti slijedi 9 + 3 + 9 + 7 = p je =8. Iz 4. jednkosti slijedi + 3 + + 9 = 4 p je = 6... UKUPNO 6 BODOVA Npomen: Točni odgovori bez obrzloženj donose po bod. 4. Prvi nčin: Ako bi svki broj imo po 40 listov, komplet bi imo 6 40 = 40 listov. D bi ukupn broj listov u kompletu bio 60 listov, morli bi dodti 60 40 = 0 listov. Kko je 44 40 = 4 i 0 : 4 = 5, godišnji komplet će imti 60 listov ko je 5 brojev s po 44 list i broj s 40 listov... UKUPNO 6 BODOVA Ako bi svki broj imo po 44 list, komplet bi imo 6 44 = 64 list. D bi ukupn broj listov u kompletu bio 60 listov, morli bi oduzeti 64 60 = 4 list.

Kko je 44 40 = 4 i 4 : 4 =, godišnji komplet će imti 60 listov ko je broj s 40 listov i 5 brojev s po 44 list... UKUPNO 6 BODOVA Npomen: Točn odgovor bez obrzloženj vrijedi bod. 5. Broj 6 se dobije zmjenom znmenk što znči d je dobiven od broj 6. Broj 6 je dobiven prepolvljnjem p je dobiven od broj 6 = 5. Broj 5 je dobiven dodvnjem broj 5 p je dobiven od broj 5 5 = 37. Broj 37 je dobiven od zmišljenog zmjenom znmenk, to znči d je zmišljeni broj 73... UKUPNO 6 BODOVA Npomen: Točn odgovor bez obrzloženj vrijedi bod. 6. Prvokutnici su: ABNO, ACMO, ADLO, AEKO, BCMN, BDLN, BEKN CDLM, CEKM DEKL po z svki prvokutnik UKUPNO 0 BODOVA 7. Prvi nčin: Ukupn vrijednost kovnic od kune je 48 = 496 kun, kovnic od kune je 89 = 89 kun, kovnic od 50 lip je 87 50 = 4350 lip odnosno 43 kune i 50 lip, kovnic od 0 lip je 45 0 = 900 lip odnosno 9 kun i kovnic od 0 lip je 35 0 = 350 lip odnosno 3 kune i 50 lip. Ukupno to iznosi 74 kunu. 3 BODA Kko je 74 : 3 = 47, prodno je 47 šlic čokolde. UKUPNO 0 BODOVA Ukupn vrijednost kovnic od kune je 48 = 496 kn =49600 lp, kovnic od kune je 89 = 89 kn = 8900 lp, kovnic od 50 lip je 87 50 = 4350 lp, kovnic od 0 lip je 45 0 = 900 lp i kovnic od 0 lip je 35 0 = 350 lp. Ukupno to iznosi 7400 lip. 3 BODA Kko je 3 kn = 300 lp i 7400 : 300 = 47, prodno je 47 šlic čokolde. UKUPNO 0 BODOVA

ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 9. siječnj 05. 5. rzred-rješenj OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA, ČLAN POVJERENSTVA DUŽAN JE I TAJ POSTUPAK BODOVATI I OCIJENITI NA ODGOVARAJUĆI NAČIN.. Prvi nčin: 49 76 (55 5 3) (00 6 4) + 76 9 = =49 76 (55 5) (00 4) + 76 9 = =49 76 40 76 + 76 9 = =76 (49 40 + 9) = =76 (09 + 9) = =76 400 = =30 400.. UKUPNO 6 BODOVA 49 76 (55 5 3) (00 6 4) + 76 9 = =49 76 (55 5) (00 4) + 76 9 = =49 76 40 76 + 76 9 = =34 3040 + 6= =884 + 6= =30400.. UKUPNO 6 BODOVA. Prirodni broj je neprn ko mu je znmenk jedinice, 3, 5, 7 ili 9. D bi broj bio njmnji mogući znmenke mu trebju biti i 0, d bi bio njveći mogući znmenke mu trebju biti 9 i 8. Njmnji peteroznmenksti neprni prirodni broj kojemu su 3 znmenke neprne, prne je broj 00. Njveći peteroznmenksti neprni prirodni broj kojemu su 3 znmenke neprne, prne je broj 99889... UKUPNO 6 BODOVA Npomen: Točni odgovori bez obrzloženj donose po bod. 3. Prvi nčin: Ako podijelimo umnožk sv tri broj s umnoškom prvog i trećeg broj, dobit ćemo drugi broj. Drugi broj je 3600 : 544 = 5. Ako podijelimo umnožk sv tri broj s umnoškom drugog i trećeg broj, dobit ćemo prvi broj. Prvi broj je 3600 : 45 = 3. Trženi umnožk prvog i drugog broj je 3 5 = 800... UKUPNO 6 BODOVA Ako je prvi broj, b drugi broj, c treći broj, ond vrijedi bc 3600 c 544 bc 45. Iz. i. jednkosti slijedi 544 b 3600 odnosno b 3600 : 544 5. Iz. i 3. jednkosti slijedi 45 3600 odnosno 3600 : 45 3. Trženi umnožk prvog i drugog broj je b 3 5 800... UKUPNO 6 BODOVA

Treći nčin: Ako je prvi broj, b drugi broj, c treći broj, ond vrijedi bc 3600 c 544 bc 45. Kko je 3600 = 5 5 7, 544 = 7 i 45 = 5 5 7, ond vrijedi bc557 c7 bc557. Slijedi b = 5 5 = 5 i = = 3. Trženi umnožk prvog i drugog broj je b 3 5 800... UKUPNO 6 BODOVA 4. Broj je djeljiv s 3 ko je zbroj njegovih znmenk djeljiv s 3 p je zbroj 9 + + 6 + b + 9 = 4 + + b djeljiv s 3. Kko su i b prosti brojevi, ond su,b{,3,5,7}. Z immo d je 6 + b djeljiv s 3 p je b 7. Z 3 immo d je 7 + b djeljiv s 3 p je b 3. Z 5 immo d je 9 + b djeljiv s 3 p je b 7. Z 7 immo d je 3 + b djeljiv s 3 p je b {,5}. Trženi brojevi su 9679, 93639, 95679, 9769, 97659... UKUPNO 6 BODOVA Npomen: Točni odgovori bez obrzloženj donose 4 bod. 5. Prvi nčin: N dužini AB istknuto je pet točk koje određuju (5 4) : = 0 dužin. Postoji još 5 dužin kojim je jedn krjnj točk n dužini AB, drug je točk C. Dkle, n slici je ukupno 5 dužin. Kko svk istknut dužin s dužine AB s točkom C određuje jedn trokut, n slici je ukupno 0 trokut... UKUPNO 6 BODOVA Dužine su AD, AE, AF, AB, DE, DF, DB, EF, EB, FB,CA,CD,CE,CF,CB te ih im ukupno 5. 4 BODA Trokuti su ADC, AEC, AFC, ABC, DEC, DFC, DBC, EFC, EBC, FBC te ih im ukupno 0.

.. UKUPNO 6 BODOVA Npomen: Točni odgovori bez obrzloženj donose po bod. 6. Prvi nčin: Ako su strnice kvdrt duljine cm, ond je opseg jednk 4. Duljine strnic trokut uzstopni su brojevi, npr. b, b+ i b+ te je ond opseg 3 b + 3 =3 (b + ). Duljine susjednih strnic prvokutnik rzlikuju se z cm p su njihove duljine c i c +, opseg je 4 c + 4. Budući d su opsezi jednki, vrijedi 4 = 3 (b + ) što znči d je višekrtnik od 3. Ispituju se slučjevi: = 3, 6, 9,,... Z = 3 cm je O = 4 3 = cm te je 3 (b + ) = odnosno b = 3 cm i 4 c + 4 = odnosno c = cm. Duljine strnic trokut su 3 cm, 4 cm i 5 cm, duljine susjednih strnic prvokutnik su cm i 4 cm. Z = 6 cm je O = 4 6 = 4 cm te je 3 (b + ) = 4 odnosno b = 7 cm i 4 c + 4 = 4 odnosno c = 5 cm. Duljine strnic trokut su 7 cm, 8 cm i 9 cm, duljine susjednih strnic prvokutnik su 5 cm i 7 cm. Z = 9 cm je O = 4 9 = 36 cm te je 3 (b + ) = 36 odnosno b = cm i 4 c + 4 = 36 odnosno c = 8 cm. Duljine strnic trokut su cm, cm i 3 cm, duljine susjednih strnic prvokutnik su 8 cm i 0 cm. Z = cm je O = 4 = 48 cm te je 3 (b + ) = 48 odnosno b = 5 cm. Td bi b + = 6 cm bilo veće od 5 cm što nije moguće, isto tko niti z još veće višekrtnike broj 3..... UKUPNO 0 BODOVA Kko su duljine strnic trokut tri uzstopn prirodn broj, ispitujemo moguće slučjeve. Z cm, cm, 3 cm ne dobije se trokut. Z cm, 3 cm, 4 cm opseg bi bio 9 cm što nije djeljivo s 4. Z 3 cm, 4 cm, 5 cm opseg bi bio cm p bi strnice kvdrt bile duljine 3 cm. Td je zbroj duljin susjednih strnic prvokutnik 6 cm, duljine susjednih strnic prvokutnik su cm i 4 cm. Z 4 cm, 5 cm, 6 cm opseg bi bio 5 cm što nije djeljivo s 4. Z 5 cm, 6 cm, 7 cm opseg bi bio 8 cm što nije djeljivo s 4. Z 6 cm, 7 cm, 8 cm opseg bi bio cm što nije djeljivo s 4. Z 7 cm, 8 cm, 9 cm opseg bi bio 4 cm p bi strnice kvdrt bile duljine 6 cm. Td je zbroj duljin susjednih strnic prvokutnik cm, duljine susjednih strnic prvokutnik su 5 cm i 7 cm. Z 8 cm, 9 cm, 0 cm opseg bi bio 7 cm što nije djeljivo s 4. Z 9 cm, 0 cm, cm opseg bi bio 30 cm što nije djeljivo s 4. Z 0 cm, cm, cm opseg bi bio 33 cm što nije djeljivo s 4. Z cm, cm, 3 cm opseg bi bio 36 cm p bi strnice kvdrt bile duljine 9 cm. Td je zbroj duljin susjednih strnic prvokutnik 8 cm, duljine susjednih strnic prvokutnik su 8 cm i 0 cm. Z cm, 3 cm, 4 cm opseg bi bio 39 cm što nije djeljivo s 4. Z 3 cm, 4 cm, 5 cm opseg bi bio 4 cm što nije djeljivo s 4. Z 4 cm, 5 cm, 6 cm bi strnic iml duljinu veću od dopuštenih 5 cm..... UKUPNO 0 BODOVA Npomen: Točni odgovori bez obrzloženj donose po bod. 7. Kko je zbroj m + 3 djeljiv s 3, i pribrojnik 3 je djeljiv s 3, ond i m mor biti djeljiv s 3. S obzirom d je rzlik m 7 djeljiv s 7, i umnjitelj 7 je djeljiv s 7, ond i m mor biti djeljiv s 7.

Budući d kd se m podijeli s dobijemo količnik djeljiv s, ond je m djeljiv s 4. Dkle, m je troznmenksti broj djeljiv s 3, 7 i 4. Kko je V(3,7,4) = 884, ond je m = 884. 3 BODA UKUPNO 0 BODOVA Npomen: Točn odgovor bez obrzloženj donosi 4 bod.

ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 9. siječnj 05. 6. rzred-rješenj OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA, ČLAN POVJERENSTVA DUŽAN JE I TAJ POSTUPAK BODOVATI NA ODGOVARAJUĆI NAČIN.. 4 7 0.5 4 8 8 8 8 8 7 5 6 4 5 0.75 0.5 8 8 8 8 8 7 5 6 7 0.75 8 4 8 8 8 8 7 7 5 5 7 5 3 8 8 8 8 8 8 8 7 3 5 3 4 0.5 8 8 8 8 8 7 5 8 6 0.75 8 8 8 8 8 0.75 7 8 = 0.875 4 8 = 0.5 5 8 =0.65 8 3 = 0.375 0.5 8.. UKUPNO 6 BODOVA. Prvi nčin: Vldo je skupio 7 48 boc. 3 Petr je skupio 4 48 64 boc. 3 Mrko, Vldo i Petr su zjedno skupili 7 = 44 boce. Kko je 44 (48 + 64) = 44 = 3, to znči d je Mrko skupio 3 plstične boce. Vldo je skupio 7 7 7 4 48 boc. 3

Petr je skupio 48 48 48 6 64 boc. 3 Mrko, Vldo i Petr su zjedno skupili 7 = 44 boce. Kko je 44 (48 + 64) = 44 = 3, to znči d je Mrko skupio 3 plstične boce. 3. Prvi nčin: U školi im određen broj grup od 7 + 8 = 5 učenik. Tkvih grup im 675 : 5 = 45. Dječk im 45 7 = 35. Kko n 9 dječk dolzi učitelj i 35 : 9 = 35, u školi im 35 učitelj. U školi je 7 5 dječk i 8 5 Ukupno im 675 učenik p dječk im djevojčic od ukupnog broj učenik. 7 675 7 45 35 5. Kko n 9 dječk dolzi učitelj i 35 : 9 = 35, u školi im 35 učitelj. 4. Ako je broj djeljiv s 5, ond je djeljiv i s 5 i s 3. Zbog djeljivosti s 5 znmenk b zdnog broj može biti 5 ili 0. Zbog djeljivosti s 3 zbroj znmenk zdnog broj mor biti djeljiv s 3.. slučj: b = 0 Zdni osmeroznmenksti broj je oblik 0000. Zbroj njegovih znmenk je 4 p vrijedi d je { 3, 6, 9 }. Trženi brojevi su 33 330 000, 66 660 000 i 99 990 000.. slučj b = 5 Zdni osmeroznmenksti broj je oblik 5555. Zbroj njegovih znmenk je 4 + 0 p vrijedi d je {, 4, 7 }. Trženi brojevi su 5 555, 44 445 555 i 77 775 555. 5. Rzlik mse posude ispunjene do vrh vodom i mse posude do pol ispunjene vodom je polovin mse vode te iznosi 7 9. 5 7. 5 kg. Ms vode u punoj posudi je 75. 5kg. Ms przne posude je 7 5 kg... UKUPNO 6 BODOVA 6. Prvi nčin: A E B C D

Trokut BCE je jednkokrčn trokut jer vrijedi d je BC CE što je posljedic sukldnosti jednkostrničnih trokut ABC i CDE. Veličin svkog unutrnjeg kut jednkostrničnih trokut je 60⁰ p vrijedi d je BCE BCA ACE 607430 3430. BE je osnovic jednkokrčnog trokut BCE p vrijedi d je EBC CEB (803430') : 4530' : 4490' : 45'. 3 BODA Dlje slijedi d je ABE ABC EBC 6045 375..... UKUPNO 0 BODOVA A E B C D Trokut BCE je jednkokrčn trokut jer vrijedi d je BC CE što je posljedic sukldnosti jednkostrničnih trokut ABC i CDE. Veličin svkog unutrnjeg kut jednkostrničnih trokut je 60⁰ p vrijedi d je BCE BCA ACE 607430 3430. BE je osnovic jednkokrčnog trokut BCE p vrijedi d je EBC CEB (803430') : 4530' : 730' : 365' 45'. 3 BODA Dlje slijedi d je ABE ABC EBC 6045 375..... UKUPNO 0 BODOVA 7. Iz Zgreb je krenuo nepoznt broj putnik odnosno x putnik. U Zdru ih je izišlo 4 x p je put prem Šibeniku nstvilo 3 4 x putnik. U Šibeniku je izišlo 3 x 3 x putnik. 5 4 0 Rzlik broj putnik koji su izišli u Šibeniku i onih koji su izišli u Zdru je 3 6 5 x x x x x odnosno putnik. 0 4 0 0 0 Ako je od x =, ond je x = 40. Dkle, iz Zgreb je n put krenulo 40 putnik. 0 U Zdru je izišlo 3 40 0 putnik, u Šibeniku 40 = putnik. 4 0 U Split je stiglo 40 (0 + ) = 8 putnik..... UKUPNO 0 BODOVA

ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 9. siječnj 05. 7. rzred-rješenj OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA, ČLAN POVJERENSTVA DUŽAN JE I TAJ POSTUPAK BODOVATI I OCIJENITI NA ODGOVARAJUĆI NAČIN.. Prvi nčin: Biciklist je z st i 4 minute odnosno.4 st prešo put duljine.4 30 = 4 km. U povrtku je putovo st i minut odnosno. st. Brzin n povrtku je 4 :. = 35 km/h. Biciklist je vozio brzinom od km/min odnosno 0.5 km/min. Z st i 4 minute odnosno z 84 minute prešo je put duljine 0.5 84 = 4 km. U povrtku je putovo st i minut odnosno 7 minute. Brzin n povrtku je 4 : 7 = 7 km/min.. Iz uvjet zdtk moguće je zpisti jednkost x x... x 56.4. Nkon dodvnj dvju novih brojev jednkost glsi x x... x x3 x4 78.4. Oduzimnjem prve jednkosti od druge dobivmo x3 x4. Srednj vrijednost dvju brojev čiji je zbroj jest x( x3 x4 ). 3. Prije 4 godine susjed An je iml 3 kokoši. Prije 3 godine susjed An je iml 5% od 3 odnosno 40 kokoši. Prije godine susjed An je iml 5% od 40 odnosno 50 kokoši. Prije godinu dn je iml 80% od 50 odnosno 40 kokoši. Ove godine im 80% od 40 odnosno 3 kokoši. 4. Prvi nčin: Troznmenkstih brojev im 900 p je toliko i kuglic u bubnju. Zbroj može se dobiti izvlčenjem triju kuglic (00, 0, 0). Zbroj 5 može se dobiti izvlčenjem 5 kuglic (500, 40, 40, 30, 30, 3, 30, 03,,, 40, 04, 3, 3, ). Zbroj znmenk jednk ili 5 može se ostvriti izvlčenjem jedne od 8 kuglic. Vjerojtnost d se to dogodi je 8 : 900 = 0.0 = %... UKUPNO 6 BODOVA Skup jednostvnih dogđj je S = {00, 0, 0, 03, 997, 998, 999}. Dogđj A je dogđj kd je izvučen kuglic n kojoj je broj čiji je zbroj znmenk ili 5. Td je A = {00, 0, 0, 500, 40, 40, 40, 04, 30, 30, 30, 03, 3, 3, 3,,, }. 3 BODA

k( A) 8 Tržen vjerojtnost je PA ( ) %. ks ( ) 900 00.. UKUPNO 6 BODOVA Npomen: Ko isprvn odgovor rvnoprvno prihvtiti %, 0.0 ili 00. 5. Skic: 6 C 4 A B 5 4 6 C Duljin osnovice je 5 jedinic. Kko površin trokut mor biti 5 kvdrtnih jedinic, to znči d duljin visine n osnovicu AB mor biti 6 jedinic. S obzirom d je ABC jednkokrčn, vrh C se nlzi n simetrli osnovice koj prolzi točkom s koordintm (.5, 0). Zdtk im rješenj: C (.5, 6) i C (.5, 6)... UKUPNO 6 BODOVA Npomen: Točni odgovori bez obrzloženj donose 3 bod. 6. Oznčimo s x broj kilogrm trešnj po 8 kn. Ukupn vrijednost trešnj po 8 kn je x 8 kn. Ukupn vrijednost trešnj po 5 kn je 0 5 = 50 300 kn. Ukupn ms trešnj je x + 0 kg. Ukupn ms trešnj prodje se z 0 kn po kilogrmu p je njen vrijednost (x + 0) 0 kn. S obzirom d vrijednost ukupne mse trešnj mor biti jednk zbroju vrijednosti jeftinijih i skupljih trešnj, vrijedi ( x + 0 ) 0 = x 8 + 50300 0x + 4040 = 8x + 50300 x = 0060 x = 5030 kg Treb pomiješti 5030 kg trešnj čij je cijen 8 kn/kg.... UKUPNO 0 BODOVA

7. Skic: Oznčimo duljinu strnice dnog kvdrt s. Td je površin tog kvdrt. Pk Iz uvjet zdtk vrijedi BM = 3 4. Trokut MBN je prvokutn trokut s ktetm BM i BN. Ako oznčimo b BN, ond površin prvokutnog trokut MBN iznosi 3 BM BN b 4 3 Pt b. 8 3 b Pt Iz uvjet zdtk vrijedi 8 Pk 4 p slijedi d je b = BN. 3 To znči d je CN 3 BN p je 3 :. CN 3 Dkle, točk N dijeli dužinu BC u omjeru : (počevši od vrh B)..... UKUPNO 0 BODOVA

ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 9. siječnj 05. 8. rzred-rješenj OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA, ČLAN POVJERENSTVA DUŽAN JE I TAJ POSTUPAK BODOVATI I OCIJENITI NA ODGOVARAJUĆI NAČIN.. Prvi nčin: 04 x 05 04 x 05 05 04 (05 04)(05 04) 409 Ukupn broj prirodnih brojev x z koje je nejednkost točn jednk je 05 04 409 408.. UKUPNO 6 BODOVA 04 x 05 04 x 05 4 056 96 < x < 4 060 5 Nejednkost zdovoljvju brojevi 4 056 97, 4 056 98,,4 060 4. Ukupn broj prirodnih brojev x z koje je nejednkost točn jednk je 4 060 4 4 056 96 = 408.. UKUPNO 6 BODOVA. Prvi nčin: Rzmjer : b : 5 možemo npisti u obliku Podijelimo li brojnik i nzivnik zdnog izrz s b b b b b b b. b 5 b i uvrstimo d je, dobivmo b 5 b = b 4 5 5 = 7 5 5 45 4 5 7 35.. UKUPNO 6 BODOVA Rzmjer : b : 5 možemo npisti u obliku b. 5 b b 4 b b 5 5 bb b bb 5 5

4 4 b 5 5 7 7 b 5 5 45 4 57 35 Treći nčin: 5 Rzmjer : b : 5 možemo npisti u obliku b. b b 5 5 5 5 4 35 35 4 4 4 35 Četvrti nčin: Rzmjer : b : 5 možemo npisti u obliku. b 5 b b b b( b) b b 5 b 5 5 5 5 7 5 5 4 5 7 35 Peti nčin: Budući d vrijedi : b : 5, postoji rcionln broj k tkv d je = k i b = 5k. ( k) b b k 5 k (5 k) 4k 4k 0k 5k 35k 4 35 3. Prvi nčin: Kock im 8 vrhov. S tri strne obojeno je 8 jediničnih kockic koje su u vrhovim velike kocke. Kock im bridov. S dvije strne obojeno je jediničnih kockic koje su uz bridove velike kocke. Kock im 6 strn. S jedne strne obojeno je 6 jediničnih kockic, po jedn n svkoj strni kocke.

Niti s jedne strne nije obojen 7 8 6 = jediničn kockic. Nkon lijepljenj jediničnih kockic, velik kock izgled ko n donjoj slici. S tri strne obojeno je 8 jediničnih kockic. S dvije strne obojeno je jediničnih kockic. S jedne strne obojeno je 6 jediničnih kockic. Niti s jedne strne nije obojen 7 8 6 = jediničn kockic. Npomen: Točni odgovori bez obrzloženj ili bez slike donose po bod. 4. Nek je n broj strnic (vrhov) trženog mnogokut. Iz jednog vrh tog mnogokut može se ncrtti n 3 dijgonle, nn ( 3) ukupn broj dijgonl tog mnogokut jednk je. U mnogokutu koji im n + 5 strnic, iz jednog vrh može se ncrtti n + 5 3 = n + dijgonle, ( n 5)( n ) ukupn broj dijgonl tog mnogokut je. Prem uvjetu zdtk vrijedi: nn ( 3) ( 5)( ) 50 n Rješvnjem ove jedndžbe dobiv se redom nn ( 3) 00 ( n5)( n ) n 3n00n 7n 0 0n 90 i končno n = 9... UKUPNO 6 BODOVA Npomen: Rješenje dobiveno metodom uzstopnog približvnj (npr. ispunjvnjem tblice) može se bodovti s 0 bodov. Ako nem svih rčun, nego smo točn končn rezultt, ond se boduje s bod.

5. Prvi nčin: A α l l3 γ β α β B C γ l Duljine kružnih lukov AB, BC i AC oznčimo redom l, l i l 3, odgovrjuće im središnje kutove γ, α i β. 3 r r 80 Budući d je l r r i l, slijedi d je 90. 4 80 r Anlogno dobivmo d je 0 i 50. Kutovi trokut α, β i γ obodni su kutovi odgovrjućih središnjih kutov α, β i γ p je končno α = 60, β = 75 i γ = 45... UKUPNO 6 BODOVA A α l l3 γ β α β B C Duljine kružnih lukov iste kružnice proporcionlne su veličinm pripdnih središnjih kutov p uz oznke ko n slici vrijedi : : 3:4:5. Budući d je 360 i 360 : (3 + 4 + 5) = 360 : = 30, zključujemo d je 330 90, 430 0 i 530 50. Kutovi trokut α, β i γ obodni su kutovi odgovrjućih središnjih kutov α, β i γ p je končno α = 60, β = 75 i γ = 45... UKUPNO 6 BODOVA 6. Prvi nčin: γ l 4 3 3 Površin sivog dijel jednk je zbroju površin 7 sukldnih jednkostrničnih trokut s strnicom duljine 4 3 cm umnjenim z zbroj 6 = površin (n bijelim mjestim preklopljeni su i oduzeti dijelovi dvju trokut!) jednkostrničnih trokut s strnicom duljine 3 cm. 3 BODA Primjenom Pitgorinog poučk izrčun se duljin visine većeg trokut.

4 3 4 3 v 3 3 v (4 3) ( 3) 48 36 v 6 cm Površin tog trokut jednk je P 4 3 6 3 cm. Primjenom Pitgorinog poučk izrčun se duljin visine mnjeg trokut. 3 3 v 3 3 v ( 3) ( 3) 3 9 v 3 cm Površin tog trokut jednk je P 3 3 3 3 cm. Površin sivog dijel lik jednk je 7 PP 7 3 3 3 84 3 36 3 48 3 cm..... UKUPNO 0 BODOVA D 3 C 4 3 v A v 6 3 Površin sivog dijel jednk je površini trpez ABCD umnjenoj z zbroj površin bijelih jednkostrničnih trokut. Duljine osnovic trpez su AB 44 3 6 3 cm i CD 34 3 3 cm Duljin visine trpez jednk je duljini visine jednkostrničnog trokut s strnicom duljine 4 3 cm. Određujemo je primjenom Pitgorinog poučk. B 4 3 4 3 v 3 3 v (4 3) ( 3) 48 36 v 6 cm Površin trpez ABCD jednk je 6 3 3 P ABCD 6 4 3 6 84 3 cm. Primjenom Pitgorinog poučk izrčun se duljin visine mnjeg trokut.

3 3 v 3 3 v ( 3) ( 3) 3 9 v = 3 cm Površin tog trokut jednk je P 3 3 3 3 cm. Površin sivog dijel lik jednk je PABCD P 84 3 3 3 84 3 36 3 48 3 cm..... UKUPNO 0 BODOVA Treći nčin: Romb ABCD n slici sstvljen je od dv sukldn jednkostrničn trokut s strnicom duljine 3 cm. Ti su trokuti sukldni bijelim trokutim s slike C D B A Neke od sivih rombov možemo podijeliti n trokute i presložiti tko d popune bijele dijelove, ko što je prikzno n slici: p p 3 p 5 p p' p' p 4 p' 3 p' 4 p 6 p' 5 p' 6 Dkle, površin sivih dijelov slike jednk je površini četiriju jednkostrničnih trokut s strnicom duljine 4 3cm. Primjenom Pitgorinog poučk izrčun se duljin visine većeg trokut. 4 3 4 3 v 3 3 v (4 3) ( 3) 48 36 v 6 cm Površin tog trokut jednk je P 4 3 6 3 cm. Površin sivog dijel lik jednk je 4 P 4 348 3cm..... UKUPNO 0 BODOVA Četvrti nčin: Sivi dio zdnog lik možemo podijeliti, ko što je prikzno n slici, n 6 jednkostrničnih trokut.

3 BODA Budući d su dužinm spjn polovišt strnic jednkostrničnih trokut, dobiveni su trokuti slični zdnom velikom trokutu, s upol krćim strnicm. Dkle, duljin strnice tih trokut je 3 cm. 3 BODA Primjenom Pitgorinog poučk izrčun se duljin visine mnjeg trokut. 3 3 v 3 3 v ( 3) ( 3) 3 9 v = 3 cm Površin tog trokut jednk je P 3 3 3 3 cm. Površin sivog dijel lik jednk je 6 P 6 3 3 48 3 cm..... UKUPNO 0 BODOVA Npomen: Točno izrčunt površin velikog trokut, odnosno površin mlog trokut vrednuje se s po 3 bod (ko su isprvno izrčunte obje površine, to donosi ukupno 6 bodov). 7. Prvi nčin: E F b D C A B b G H Skic ili opis (Oznčimo s duljinu veće, s b duljinu krće strnice.) Td vrijedi b 30 odnosno b 5 i b 3. Budući d je ( b) b b, nkon uvrštvnj dobivmo 5 3 b odnosno b 5 3. Budući d je ( b) b b, nkon uvrštvnj dobivmo ( b) ( b ) b3, odnosno ( b). Ako je ( b), ond (uz pretpostvku d je > b tj. d je b > 0) mor biti b =. b5 Duljine strnic zdovoljvju sustv jedndžbi b Rješvnjem sustv nlzimo rješenje = 8 cm i b = 7 cm..... UKUPNO 0 BODOVA

E F b D C A B b G H Skic ili opis (Oznčimo s duljinu veće, s b duljinu krće strnice.) Td vrijedi b 30 odnosno b 5 i b 3. Iz b 5 slijedi d je b5 p nkon uvrštvnj dobivmo (5 ) 3 odnosno 5 30 3. Sređivnjem jedndžbe dobivmo 30 0, nkon dijeljenj cijele jedndžbe s, dobivmo 556 0. Tu jedndžbu možemo fktorizirti tj. npisti u obliku umnošk ( 8)( 7) 0. Umnožk dvju brojev jednk je nuli smo u slučju d je jedn od tih brojev jednk nuli, tj. smo u slučju = 8 cm (i td je b = 7 cm) ili = 7 cm (i td je b = 8 cm). Kko smo oznčili s dulju strnicu prlelogrm, drugi slučj otpd. Dkle, = 8 cm i b = 7 cm..... UKUPNO 0 BODOVA Npomen: Anlogn postupk i bodovnje provodi se u slučju d je korišten supstitucij 5 b. Npomen: Rješenje dobiveno metodom uzstopnog približvnj (npr. ispunjvnjem tblice) može se bodovti s 0 bodov, li mor biti jsno nvedeno znčenje korištenih oznk i vidljiv zpis postupk (rčun). Dkle, tim nčinim rješvnj mor prethoditi skic ili opis E F b D C A B b G H (Oznčimo s duljinu veće, s b duljinu krće strnice.) Td vrijedi b 30 odnosno b 5 i b 3. 4 3 0 9 8 b = 5 3 4 5 6 7 + b 97 73 53 7 5 7 3 U tom se slučju rješenje može bodovti s 0 bodov. Ako oznk, rčun i objšnjenj nem, točn končn rezultt donosi bod.