CALCULO DIFERENCIAL. x x. = c. , que verifica f ( 0) > 0 e f ( 1) < 1 demostrar que existe

Transcript

1 CALCULO DIFERENCIAL º- s < Dada a función f ( ) = s Rprsnraa gráficamnt studia a súa s > continuidad º Estudia a continuidad da función f ( ) = s 0 cos s > 0 0 0, tals qu f ( < g(0) f ( ) > g() Dmostrar qu ist c (0,) talqu f ( c) = g( c) º Sa f unha función continua no intrvalo [ 0,], qu vrifica f ( 0) > 0 f ( ) < dmostrar qu ist c (0,) tal qu f ( c) = c º Xustifica qu o polinomio f ( ) = tn unha raíz no intrvalo [,] º San f g duas funcións continuas no intrvalo [,] 0) 6º Estudia a drivabilidad das funcións: s > 0 f ( ) = 0 s 0 s < 0 g ( ) = s 0 = no intrvalo [ ] º a) Póds aplicar o torma d Rôll á función f ( ),? b) Eist algún punto no intrvalo (, ) no qu s anul a drivada da función? 8º Dada a función un dos intrvalos: [,0] f ( ) 0, [ ] =, comproba a vrificación do torma d Rôll, s é aplicabl, n cada 9º Razoa s o Torma d Rôll, é aplicabl a función tg y = no intrvalo [,π ] 0º Estudia s a función f ( ) = cumpr as condicións do Torma do Valor Mdio do Calculo 0 Difrncial no intrvalo [,] No caso afirmativo, calcula o punto c qu o torma garanta qu ist º Razoa qu o anaco da parábola y = comprndido ntr os puntos (, ) no qu a tannt a curva é paralla a corda AB Calcula dito punto º- Dtrmina os puntos da curva A B (,9) hai un punto y = nos qu a tannt é paralla a rcta = y º- Dtrminar os valors do parámtro "a" para os qu as tannts a curva y = a a 8, nos puntos d abscisa = = son parallas º- Calcular utilizando a rgra d L Hôpital os sguints límits: ln ln 0) lim 0) lim 0) lim 0 ( cos ) sn 0) lim sn 0) lim 0 cotg ( ) ln 0 ) lim ( ) ) lim( ) 0) ) ( sn ln ) ) lim ( cos ) 0 lim π ( ) tg lim sn sn 6) lim sn 0 ln 06) lim 08 09) lim ( tg ln ) 0 ) lim sn sn ( a ) sn a ( a ) sn a 0 ) lim sn 0 0 ) lim ln cos a ) lim 0 ln cosb ( ) ( ) 8) lim 0 Ercicios d anális

2 9) lim ln ) lim 0 ( ) ) lim ( 6 ) 0 0 ) lim ( ln ) ) lim 0 sn º- Dbua razoadamnt as gráficas das sguints funcións: a ) f ( ) = b ) f ( ) = ) ( ) = d f ) f ( ) = g ) f ( ) = h) f ( ) = j) f ( ) = sn cos k) f ( ) = ln 6º- Dtrminar os posibls trmos da función: ( ) f = 0 ) lim 0 tg c ) f ( ) = f ) f ( ) = i) ln f ( ) = l) f ( ) = º- Dtrminar a pndnt das posibls asíntotas oblicuas para a gráfica da función: 8º- Calcular os posibls trmos da función: ( ) f = f 9º- Calcular as asíntotas oblicuas da gráfica da función: ( ) arctg 0º- Dada a función f ( ) º- Dada a función ( ) a) = f ( ) = =, dtrminar o su campo d dfinición as zonas d crcmnto dcrcmnto f = ln Calcular: lim f ( ) b) lim f ( ) c) asíntotas d f () 0 f = º- Obtr os trmos rlativos d ( ) º- Obtr os trmos os intrvalos d monotonía da función: f ( ) ( ) = ln º- Dtrminar o valor qu tría qu tomar o parámtro " a" para qu a función a f ( ) = poida tr un trmo n = º- D tódolos triángulos isóscls d crto prímtro, qué dimnsións tn o d ára máima? 6º- Un aram d 60 cm d largo cortas n dúas parts; con unha dlas formas un circulo coa outra un cadrado Cómo dbmos cortalo para qu a suma das áras do circulo do cadrado sa mínima? º- Con unha corda d 0 m d larga dsas formar un triángulo isóscls d ára máima Canto mdirán os lados d dito triángulo, cal srá o valor da ára? 8º- Achar as dimnsións do rctángulo d ára máima inscrito nunha circunfrncia d 8 m d radio 9º- Un bot cilíndrico d consrva tn unha altura d cm un diámtro d cm Rdisñar o nvas d forma qu os gastos d producción san mínimos 0º- Dunha chapa cadrada d mtal, d 60 cm d lado, trátas construír unha caia d bas cadrada Para tal fin, cortas d cada vértic un pquno cadrado d manira qu qudn catro altas, qu ó sr dobradas soldadas forman unha caia Qué dimnsión dbrá tr a caia para qu poida contr a maior cantidad d líquido posibl? º- Dun disco mtálico rcortas un sctor circular para formar un vaso cónico Cal db sr, n radiáns, o ángulo do sctor rcortado para qu o vaso tña volum máimo? Ercicios d anális

3 CALCULO DIFERENCIAL SELECTIVIDADE º- Rprsntar a función y =, calculando: dominio d dfinición, máimos mínimos, puntos d inflión, asíntotas puntos d cort cos ios º- a) Drivada dunha función nun punto Función drivada(concptos) cos b) S f é unha función dfinida n D = { R : 0 < < π } tal qu D, f ( ) =, obtéñans os intrvalos d crcmnto dcrcmnto os trmos rlativos d f (non db intntars o cálculo d f) º- a) Torma d Roll b) Dtrminar os posibls trmos da función: f ( ) = º- Dtrminar os posibls trmos da función: f ( ) = º- a) Enunciado da rgra d L Hôpital para a indtrminación 0 0 b) Calcular a pndnt das posibls asíntotas oblicuas para a gráfica d: 6º- a) Enunciado da rgra d L Hôpital para a indtrminación f ( ) = b) Obtr a asíntota ou asíntotas vrticais da curva: = y º- Dtrminar os posibls trmos da función: f ( ) = 8º- Enunciado do torma d Roll É aplicabl dito torma a función: f ( ) = E no [ 0, ]? No caso afirmativo, compróbs a súa vrificación 9º- Trazar a gráfica da función: f ( ) = 0º- a) Enunciado da rgra d L Hôpital para a indtrminación 0 0 b) Calcular: lim ln 0 no intrvalo [, ]? º- Dada a función: f ( ) =, dtrminar o su campo d dfinición,os intrvalos d crcmnto dcrcmnto os sus trmos º Rprsntar graficamnt a función: y = calculando dominio d dfinición, máimos mínimos, intrvalos d crcmnto dcrcmnto, asíntotas puntos d cort cos is º- a) Drivada dunha función nun punto Función drivada (Concptos) b) Obtr os intrvalos d crcmnto dcrcmnto da función: f ( ) = º- a) Torma do Valor Mdio do Cálculo Difrncial:nunciado, dmostración intrprtación ométrica Por un mplo da súa aplicación = 8 tña no punto ( ) b) Calcula a b para qu a función y a b, 6 unha tannt horizontal º- Dfinición d drivada dunha función nun punto Intrprtación ométrica Cálculo dos intrvalos d crcmnto dcrcmnto dunha función difrnciabl (con dmostración) 6º- a) Enuncia a rgra d L Hôpital Ercicios d anális

4 sn b) Calcula os sguints límits: i) lim ii) lim ( π ) tg 0 π (989) º- a) Enunciado da rgra d L Hôpital sn( a ) sna b) Calcular: lim 0 sn( a ) sna (989) 8º- Rprsntar graficamnt a función, y =,calculando: dominio d dfinición, máimos mínimos, intrvalos d crcmnto dcrcmnto, asíntotas puntos d cort cos is (989) 9º- Rprsntar graficamnt a función y = ln Indicando o dominio d dfinición, puntos d cort cos is, intrvalos d crcmnto dcrcmnto, trmos rlativos, intrvalos d concavidad convidad, puntos d inflión asíntotas (990) 0º- a) Xustifica brvmnt a vrdad ou falsdad da sguint afirmación: S f() é unha función dfinida continua no intrvalo [a, b] drivabl no (a, b), ntoncs vrificas qu n c (a,b) f (c) = 0 s, só s, f() admit un máimo ou un mínimo rlativo n c: b) Pod tr algún máimo ou rlativo a función: y = cos (990) º- a) Enunciar o torma do valor mdio do cálculo difrncial no intrvalo 0, (990) º- a) Drivada dunha función nun punto b) Dtrminar os valors do parámtro a para os qu as tannts a curva y = a a 8 nos puntos d abscisas = = son parallas (990) º- Rprsntar graficamnt a función: y = Calculando dominio d dfinición, máimos mínimos, intrvalos d crcmnto dcrcmnto, asíntotas puntos d cort cos is (990) º- a) Torma d Roll Enunciado, dmostración intrprtación ométrica Pon un mplo da súa aplicación b) Torma do Valor Mdio d Cálculo Difrncial Enunciado, dmostración intrprtación ométrica (99) b) Comprobalo plicitamnt para a función f ( ) = [ ] º- Rprsntar graficamnt a función y = Indicando o dominio d dfinición, puntos d cort cos is, intrvalos d crcmnto dcrcmnto, trmos rlativos, intrvalos d concavidad convidad, puntos d inflión asíntotas (99) 6º- Achar os trmos rlativos da función f ( ) = ( ) (99) º- Rprsntar graficamnt a función y = ( ) Estudiando o dominio d dfinición, puntos d cort cos is, intrvalos d crcmnto dcrcmnto, intrvalos d concavidad convidad, puntos trmos d inflión as asíntotas (99) 8º- Torma do Valor Mdio d Cálculo Difrncial Enunciado, dmostración intrprtación ométrica Pon un mplo n qu s vrifiqu (99) 9º- A tmpratura dun corpo corpo (Y) vén dada n función do tmpo (t) pola función Y = 0 0 0' 0t s t 0 ond Y vén n graos cntígrados t n minutos i) Rprsnta graficamnt a función Y = Y(t) (calcula o dominio, puntos d cort cos is, intrvalos d crcmnto dcrcmnto, intrvalos d concavidad convidad, puntos trmos d inflión as asíntotas) ii) Busca o tmpo qu tarda n nfriar a 0 graos cntígrados (99) 0º- a) Enunciado da rgra d L Hôpital b) Calcula as asíntotas da función f ( ) = (99) º- a) Torma do Valor Mdio d Cálculo Difrncial Enunciado, dmostración intrprtación ométrica Ercicios d anális

5 b) Rprsntar graficamnt a función: y = Calculando, no su caso, o dominio d dfinición, máimos mínimos, intrvalos d crcmnto dcrcmnto, asíntotas puntos d cort cos ios (99) para 0 º- S f ( ) = a b para 0 < < dtrminar a, b (númros rals) para qu f() sa para continua Póds aplicar o torma do valor mdio do cálculo difrncial no intrvalo [0, ]? (99) º- a) Dfinición d drivada dunha función nun punto d función drivada Intrprta omtricamnt o concpto d drivada b) Obtén os intrvalos d crcmnto dcrcmnto da función f ( ) = (99) º- a) Torma d Roll Enunciado, dmostración intrprtación ométrica b) Rprsntar graficamnt a función f ( ) = ( ) Calculando o dominio d dfinición, puntos d cort cos is, intrvalos d crcmnto dcrcmnto, intrvalos d concavidad convidad, puntos trmos d inflión as asíntotas(99) º- a) i) Enunciado do torma d Roll ii) Comproba s s vrifica o torma d Roll para a función f ( ) =, no intrvalo [, ] b) Dmostra qu a cuación =, tn unicamnt a solución ral = 0 (99) 6º- a) Dfinición d drivada dunha función nun punto Intrprtación ométrica b) Dmostrar qu a rcta y = é tannt á curva y = 6 8 Calcular o punto d tanncia studiar s a rcta dada corta a curva noutro punto distinto ao d tanncia (99) º- a) Dfinición d drivada dunha función nun punto d función drivada Intrprtación ométrica do concpto d drivada (99) b) Achar a tannt á lips y = no punto dond corta á bisctriz do primiro cuadrant 8º- Rprsntar graficamnt a función f ( ) = Calculando o dominio d dfinición, puntos d cort cos is, intrvalos d crcmnto dcrcmnto, intrvalos d concavidad convidad, puntos trmos d inflión as asíntotas (99 NB) 9º- a) Torma d Roll: Enunciado intrprtación ométrica b)comprobar qu s vrifica o torma d Roll para a función f ( ) = no intrvalo [0, ] (99 NB) α 0º- a) Dtrminar o valor d α sabndo qu a función f ( ) = tn un mínimo n = - b) Achar os intrvalos d concavidad convidad d f Tn algunha asíntota oblicua? En caso afirmativo calculala (99 NB) º- a) Enunciado da Rgra d L`Hôpital b) Calcula-los sguints límits d funcións: () i) lim ii) lim sn( ) (996) 0 sn( ) º- Torma do Valor Mdio do Cálculo Difrncial Enunciado, dmostración intrprtación ométrica (996) º- º- A Enunciado intrprtación ométrica do torma d Roll (un 99) B Comprobar s s vrifica st torma para a función f ( ) = sn( ) cos( ) no intrvalo [ 0,π ] º- º- A Dfinición d trmos rlativos dunha función Critrios para o cálculo d trmos rlativos dunha función (sn dmostrar) B Calcular os puntos trmos os puntos d inflión da función f ( ) = (st-99) Ercicios d anális

6 º- Dfinición d drivada dunha función nun punto Intrprtación ométrica Drivadas latrais Razoa a vracidad ou falsdad da afirmación sguint: S unha función é continua nun intrvalo abrto ntón é drivabl n dito intrvalo (S é crta dmostraa, s é falsa pon un contra mplo) (uño 998) 6º- Acha o valor da constant c para qu a rcta qu un os puntos (0, ) (, -) sa tannt á curva c y = ( Stmbro 998) º- Considrar a montaña rusa rprsntada na figura, na qu un vagón s dsplaza da A a B a vlocidad lnta, pro constant a) Rprsnta mdiant unha gráfica a vlocidad qu acada o vagón sgundo vai prcorrndo a distancia qu spara A d G Sinala razoadamnt os lmntos caractrísticos da msma (situación dos puntos A a G, continuidad, crcmnto,convidad, trmos rlativos absolutos, inflións, tc) (uño 999) b) S ( t) = 600 t 0 t t t t 6 é a función qu nos dá o spacio n mtros prcorrido polo vagón n t minutos, dtrminar a cantos mtros da saída stá o punto no qu s acada a máima vlocidad ( ) 0 < 8º- Considrar a función, f, dfinida por f ( ) = ( ) Dmostrar qu a f pódsll aplicar o TEOREMA DO VALOR MEDIO DO CÁLCULO DIFERENCIAL no intrvalo [ 0,] Calcular o valor ou valors intrmdios vaticinados polo torma (uño 999) 9º- Dunha función f sábs qu é continua nun intrvalo pchado [ a, b] drivabl no abrto ( a, b) Constrús unha nova función, g, mdiant g( ) = ( f ( b) f ( a)) ( b a) f ( ) a) Comproba qu g cumpr as hipótss do TEOREMA DE ROLLE; a sabr:hip) g é continua n [ a, b] HIP), HIP) b) Qué s pod dducir dst fito para a función f? (stmbro 999) 0 0º- Dada a función f dfinida por f ( ) =, constrús unha nova función a[f] mdiant: s < 0, a f = ára dlimitada polo grafo d f co io OX mailas rctas ntón [ ]( ) 0 = 0 = 0 0 a) Comprobar qu a función a[f], así dfinida, é continua b) S s rptis a construcción para a función a[f], razoar qu a función obtida a[a[f]] sría drivabl (uño 000) º- Dado un punto, P ( 0, y0), na parábola y =, con 0 0, píds: a) Dtrminar a intrscción, A, da rcta tannt á parábola por P coa rcta y = b) Probar qu a rcta qu pasa por A polo punto F (0,) é prpndicular á rcta qu pasa por P F (uño 000) º- Dmostrar qu a cuación 0,0 (st 000) = tn unha única raíz dntro do intrvalo [ ] º- Nunha noria coma a da figura nun parqu d atraccións, a distancaia n mtros do asinta númro ó chan, ós t sgundos d comnzar a irar, vn dada por d( t) = sn( tπ / 0) a) Dtrminar a qu altura do chan s atopaba o númro cando comnzou a irar t 0, b) Esbozar o gráfico da función d para [ ] Ercicios d anális 6

7 c) Xustificar canto mid o diámtro da noria n qu sntido ira (stmbro 000) º- Sa f unha función continua drivabl tal qu f(0) = Dtrminar canto tría qu valr f() para garantizar qu n (0, ) istis un c tal qu f ( c) = 8 Enunciar corrctamnt o torma qu s utilic no apartado a) (00) º- a) S unha función drivabl s anula n dous puntos, qué s pod afirmar da súa función drivada?razoar b) Dmostrar qu a gráfica da función f ( ) = corta á rcta y = usto n trs puntos (00) 6º- a) Pod habr dúas funcións distintas qu tñan igual función drivada? S a rsposta é afirmativa, poña un mplo S, polo contrario, a rsposta é ngativa, razona c) Calcul a drivada da función f ( ) = n =, s é posibl Rprsnt a gráfica da función, sobr la, razo a súa rsposta (00) º- a) Aplicación da drivada á rprsntación gráfica d funcións c) Prténds nchr un dpósito como o da figura cunha manguira qu bota un caudal constant d auga d c litros/sg Dbua a gráfica aproimada da función h(t) qu indica a altura qu acada a auga ós t sgundos Razoar aspctos da gráfica tals coma continuidad, drivabilidad, crcmnto concavidad (00) 8º- a) Intrprtación ométrica da drivada b) Atopar o punto P da curva y = rprsntada no dbuo, para o qu a pndnt da rcta tannt á curva no punto P é máima (00) 9º- Sabndo qu P() é un polinomio d trciro grao cun punto d inflión n (, 0) con P ( ) = dond, admais, a tannt ó polinomio ns punto é horizontal, calcul dito polinomio (00) 60º- a) Qu é un punto d inflión dunha función? b) Ach a condición qu db cumprir λ para qu o polinomio λ sa cóncavo nalgún intrvalo Dtrmin o intrvalo d concavidad n función d λ (00) 6º- a) Enunciado intrprtación ométrica do torma d Bolzano b) Póds asgurar, mprgando o torma d Bolzano, qu a función f() = tg() tn unha raíz no π π intrvalo,? Razon a rsposta Esboc a gráfica d f ns intrvalo Nota: tg dnota a función tannt (00) 6º- a) Esciba os distintos casos d indtrminacións qu podn urdir ó calcular límits d sucsións d númros rais poña un mplo sinlo (sn rsolvlo) d, polo mnos, catro dss casos b) Calcul lim ( n n ) n indicando qu tipo d indtrminación (ou indtrminacións) s prsntan ó intntar rsolvr st límit (uño 00) 6º- Un barco B dúas cidads A C da costa forman un triángulo rctángulo n C As distancias do barco ás cidads A C son Km Km, rspctivamnt Un hom situado n A dsa chgar ata o barco B Sabndo qu pod nadar a Km/h camiñar a Km/h, a qu distancia d A db abandoar a costa para nadar ata B s qur chgar o ants posibl? (uño 00) 6º- Diamos car unha plota dsd unha altura d mtros, tras cada rbot, a altura acadada rdúcs á mtad da altura antrior Qué altura acadará a plota tras cada un dos cinco primiros rbots? E tras o rbot viésimo? E tras o n-ésimo rbot? S a n dnota a altura acadada tras o Ercicios d anális

8 n-ésimo rbota, obtña unha cota suprior outra infrior dsta sucsión Calcul lim a (stmbro 00) 6º- a) Intrprtación ométrica da drivada duñnha función nun punto b) Dtrmin as abscisas dos puntos da curva y = nos qu a rcta tannt forma un o ángulo d co sntido positivo do i d abscisas ( stmbro 00) 66º- a) Dfinición d función continua nun punto Epliqu brvmnt os tipos d discontinuidads qu istn b)estudi a continuidad n toda a rcta ral da función f dada por: 6º- A Enunciado da Rgra d L Hopital sn( ) s > 0 f ( ) = (st 00) s 0 B Calcul a rlación ntr a b para qu sa coninua n toda a rcta ral a función f : R R a s 0 dfinida por f ( ) = (uño 00) b s = 0 68º- A Dfinición d cota suprior dunha sucsión d númros rais Dfinición d sucsión acotada infriormnt n B Dmostr qu a sucsión d trmo ral a n = é crcnt ach unha cota infrior positiva n (justificando qu é cota infrior) (uño 00) 69º- A Continuidad latral dunha función nun punto (stmbro 00) s < 0 B Analic a continuidad, no punto = 0, da función f dada por f ( ) = cos( ) s 0 n 8 0º- Calcul: ( ) a ) lim n n n b) lim n n n º- Calcula a cuación da rcta tannt á gráfica d f ( ) = ( ) no punto d cort d f () co i OX a) Calcula, para f ( ) = ( ) : intrvalos d crcmnto dcrcmnto, trmos rlativos, puntos d inflión, concavidad convidad b) Enunciado intrprtación ométrica do torma do valor mdio do cálculo intgral (Xuño 006) º- Enunciado intrprtación ométrica do torma do valor mdio do cálculo difrncial a) D ntr tódolos triángulos rctángulos con hipotnusa 0 cm, calcula as lonituds dos cattos qu corrspondn ó d ára máima b) Calcula o valor d m, para qu a ára do rcinto limitado pola rcta y = m a curva y =, sa unidads cadradas (Xuño 006) b º- Calcula os valors d a b para qu a gráfica d f ( ) = a tña un mínimo rlativo no punto, Para ss valors d a b, calcula: asíntotas intrvalos d crcmnto dcrcmnto d f () n Ercicios d anális 8

9 a) Calcula lim 0 cos b) Dfinición d primitiva intgral indfinida duna función Enunciado da rgra d Barrow (St 006) º- Dfinición d función continua nun punto Qué tipo d dscontinuidad tn n = 0 a función f ( ) =? a) Un aram d 0 cm D lonitud divíds n dúas parts Con unha das parts quérs formar un cadrado coa outra un rctángulo d ito qu a bas mida o dobr da altura Calcula as lonituds das parts nas qu s tn qu dividir o aram para qu a suma das áras do cadrado do rctángulo sa mínima b) Calcula a ára do rcinto limitado pola rcta y = ; a curva y = (St 006) a s < º- a) Dada a función f ( ) = s calcula a para qu f () sa continua n = Para o valor obtido d a, é f () drivabl n =? b) Dada g ( ) = a b c, calcula os valors d a,b,c para qu g () tña no punto (, ) un mínimo rlativo a rcta tangnt á gráfica d g (), n = 0, sa paralla á rcta y = c) Enunciado do torma fundamntal do cálculo intgral Dada a función = t F( ) dt, tn F () 0 puntos d inflión? Justifica a dsposta (uño 00) 6º- a) Enunciado intrprtación gométrica do torma d Roll b) Dada f ( ) = 9, calcula para f () : puntos d cort cos is, intrvalos d crcmnto dcrcmnto, máimos mínimos rlativos, intrvalos d concavidad convidad puntos d inflión c) Calculo a ára da rión do plano limitada polo i OX a curva y = 9 (uño 00) sn º- a) Calcula lim 0 b) Calcula os vértics ára do rctángulo d ára máima qu s pod construír d modo qu a súa bas sta sobr o i OX os vértics do lado oposto stan sobr a parábola y = c) Enunciado do torma fundamntal do cálculo intgral Calcula a cuación da rcta tangnt á gráfica d F ( ) = [ cos( t )] dt, no punto d abscisa = 0 (stmbro 00) 8º- a) Enunciado do torma d Bolzano Podmos asgurar qu a gráfica d f ( ) = corta ao i OX Nalgún punto do intrvalo (,)? b) Dada a función 0 g ( ) = s s > É g () continua n =? É drivabl n =? c) Calcula a ára da rión do plano limitada polasa gráficas d g () h ( ) = (stmbro 00) 9º- a) Dfinición intrprtación gométrica d drivada dunha función nun punto a b s < b) Calcula os valors d a b para qu a función f ( ) = sa continua s drivabl n = (uño 008) c) Calcula a ára do rcinto limitado polas par bolas y = ; y = Ercicios d anális 9

10 80º- a) Enuncia o torma d Wirstrass S unha función () a, b é stritamnt dcrcnt ns intrvalo, ond alanza o máimo o mínimo absoluto? m cos b) Calcula o valor d m para qu : lim = 0 0 sn( ) c) Calcula d (uño 008) 8º- a) Enunciado intrprtación gométrica do torma d Roll b) Sa f ( ) = ( ) Calcula os intrvalos d crcmnto dcrcmnto a cuación da rcta tangnt á gráfica d f () no punto d abscisa = 0 f é continua n [ ] c) Calcula : ( ) d (stmbro 008) 0 a b c s 0 8º- a) Calcula a, b, c, para qu f ( ) = sa continua drivabl n R tña un ln( ) s > 0 trmo rlativo n = b) Sa g ( ) = ( ), 0 Razoa s g () tn máimo mínimo absolutos no intrvalo [0, ] En caso afirmativo, calcúlaos c) Dfinición d primitiva dunha función Enunciado da rgra d Barrow (stmbro 008) ln( ) 8º- a) Dfin función continua nun punto Qué tipo d dscontinuidad prsnta a función f ( ) = n = 0? b) Calcula os intrvalos d crcmnto dcrcmnto, os trmos rlativos os puntos d inflión da función g( ) = (uño 009) c) Calcula a ára do rcinto limitado pola gráfica d g( ) = a rcta y = 8º- a) Enuncia intrprta omtricamnt o torma do valor mdio do cálculo difrncial b) Calcula un punto da gráfica da función g( ) = no qu a rcta tangnt sa paralla ao io ( ) OX ; scrib a cuación dsa rcta tangnt Calcula as asíntotas, s as tn, d g () c) Calcula: ln 0 ( ) d ; (Nota: l ln = logaritmo npriano) (uño 009) 8º- a) Enuncia intrprta gométricamnt o torma dbolzano Dada a función f ( ) = ln( ), justifica s podmos asgurar qu a súa gráfica corta ao i OX nalgún punto do intrvalo [,0] a b s 0 b) Calcula os valors d a b par qu a función f ( ) = sa continua sn() s > 0 drivabl n = 0 (stmbro 009) 86º- a) Calcula aa cuación da rcta tangnt a gráfica d f ( ) = ( ) no punto d abscisa = 0 b) Calcula o dominio, as asíntotas, os intrvalos d crcmnto dcrcmnto os trmos rlativos da función f ( ) = (stmbro 009) 8º- a) Dfin función continua nun punto Cando s di qu unha discontinuidad é vitabl? Para qu valors d k, a función f ( ) = é continua n todos os puntos da rcta ral? k b) Dtrmina os valors d a, b, c, d para qu a función g ( ) = a b c d tña un máimo rlativo no punto ( 0,) un mínimo rlativo no punto (,0) (Xuño 00) Ercicios d anális 0

11 88º- Dbua a gráfica d f ( ) =, studando: dominio, puntos d cort cos ios, asíntotas, intrvalos d crcmnto dcrcmnto, máimos mínimos rlativos, puntos d inflión intrvalos d concavidad convidad (uño 00) 89º- a) Dfinición intrprtación gométrica da drivada dunha función nun punto cos b) Calcula: lim (Stmbro 00) 0 sn( ) 90º- Dbua a gráfica da función f ( ) =, studando: dominio, puntos d cort cos ios, asíntotas, intrvalos d crcmnto dcrcmnto, máimos mínimos rlativos, puntos d inflión intrvalos d concavidad convidad (Stmbro 00) 9º- a) Enuncia o torma d Roll Calcula o valor d k para qu a función f ( ) = k 0 cumpla as hipótsis d Roll no intrvalo [,0] para s valor dtrmina un punto do intrvalo no qu s anul a drivada d f () b) Calcula o dominio os intrvalos d crcmnto dcrcmnto da función g ( ) = ln (Nota: ln=logaritmo npriano) (uño 0) 9º- Dbua calcula a ára da rión limitada pola gráfica da parábola f ( ) =, a súa rcta tangnt no punto (,) o io OX ( Nota: para o dbuo da gráfica da parábola, indica os puntos d cort cos ios, o vértic concavidad ou convidad) (uño 0) 9º- Nunca circunfrncia d radio 0 cm, divíds un dos sus diámtros n dúas parts qu s toman como diámtros d dúas circunfrncias tangnts intriors a la Qué lonitud db tr cada dss dous diámtros para qu sa máima a ára dlimitada polas trs circunfrncias (rión sombrada)? (uño 0) 9º- a) Dfin función drivabl nun punto Calcula, s istn, os valors d a b, para qu sa drivabl s < 0 a función f ( ) = a b s 0 b) Dfin intgral indfinida dunha función Calcula: cos d (uño 0) 9º-a) Enuncia o torma d Bolzano Podmos asgurar qu a gráfica da función f ( ) = sn cos( ) corta o io OX nalgún punto do intrvalo ( 0, π )? Razoa a rsposta b) Dscompón o númro 0 n dous sumandos tals qu o producto do cubo dun dls polo cadrado do outro sa máimo Canto val s producto? (Stmbro 0) 96º- a) Calcula os valors d a, b, c sabndo qu y = a b y = c, tñn a msma rcta tannt no punto (,) b) Enuncia a rgra d Barrow Calcula ln d (Nota ln = logaritmo npriano) (Stmb 0) 9º- a) Calcula os trmos rlativos da función f ( ) = 8 Calcula tamén o máimo absoluto o mínimo absoluto dsta función no intrvalo [,] b) Calcula os valors d a b para qu a función f ( ) = a b ln tña un punto d inflión no punto (,) Para sts valors d a b, calcula o dominio os intrvalos d concavidad convidad d f () (Nota ln = logaritmo npriano) (Stmb 0) 98º- a) Dfin primitiva intgral indfinida dunha función Ercicios d anális

12 b) Dbua calcula a ára d rión limitada pola gráfica da parábola f ( ) = a rcta y = 9 (Nota: para o dbuo das gráficas, indica os puntos d cort cos ios, o vértic da parábola concavidad ou convidad) (Stmbro 0) 99º- a) Enuncia o torma d Bolzano Probar qu a función f ( ) = corta o i OX nalgún punto do intrvalo [,] Pod cortalo n máis dun punto? / b) Calcula lim 0 (uño 0) 00º- Dbua calcula a ára da rión limitada pola parábola y = a súa rcta normal no punto (,0) (Nota: para o dbuo das gráficas, indicar os puntos d cort cos is, o vértic da parábola a concavidad ou convidad) (uño 0) 0º- a) Dtrmina os valors d a para qu a función f : R R a s f ( ) = s > a Sa continua É drivabl para algún valor d a? (uño 0) b)enunciado intrprtación ométrica do torma do valor mdio do cálclo difrncial 0º- Calcula d (uño 0) 0º- a) Enunciado intrprtación gométrica do torma d Roll a b s < b) S c >, calcula os valors d a, b, c para qu a función f ( ) = cumpra as s 0 (Stmbro 0) hipótsis do torma d Roll no intrvalo [,c] ( ) 0º- a) Calcula as asíntotas os intrvalos d crcmnto dcrcmnto d f ( ) = ( ) b) Calcula d (stmbro 0) 0º- a) Dunha función drivabl f () sabmos qu pasa polo punto ( 0,) qu a súa drivada é ( ) = Calcula () f f a rcta tangnt á gráfica d f () no punto corrspondnt a = 0 b) Enuncia o torma fundamntal do cálculo intgral (stmbro 0) 0º- a) Enuncia o torma d Bolzano Tn a cuación algunha solución no intrvalo? Tn sta cuación máis dunha solución ral? b) Calcula os valors d para qu (uño 0) 08º- a) Calcula os intrvalos d crcmnto dcrcmnto os intrvalos d concavidad convidad da función b) Dbua calcula a ára d rión limitada pola gráfica d a bisctriz do primiro cuadrant (Nota: para o dbuo da gráfica d, é suficint utilizar o apartado antrior calcular os puntos d cort cos is) (uño 0) C 09º- Nunha circunfrncia d cntro O radio 0 cm trázas un diámtro AB una corda CD prpndicular a s diámtro A qu distancia do cntro O da circunfrncia db star a corda CD, para qu a difrnza ntr as ára dos triángulos ADC BCD sa A O B máima? (uño 0) D Ercicios d anális

13 0º- a) Enuncia o torma d Roll Dtrmina o valor d para qu sa aplicabl o torma d Roll á función, no intrvalo Para st valor d, calcula un punto no qu a rcta tannt á gráfica d sa paralla ao i OX b) Calcula (uño 0) º- a) Calcula: b) S () lim (stmbro 0) f é unha función continua no intrvalo [,] tal qu f ( ) d = f ( ) d =, cal é o valor d f ( ) d? Enuncia as propidads da intgral dfinida qu utilics º- Dbua calcula a ára da rión limitada pola gráfica da parábola f ( ) = 9, as rctas y = 0 ; y = 0 (Nota: para o dbuo da gráfica da parábola, indicar os puntos d cort cos is, o vértic da parábola a concavidad ou convidad) (stmbro 0) º- Calcula o dominnio, as asíntotas, os intrvaloa d crcmnto dcrcmnto os máimos mínimos d f ( ) = (stmbro 0) º- a) Dfin primitiva dunha función nuncia a rgra d Barrow b) Calcula d (stmbro 0) TIPOS Potncial a Logarítmica Eponncial Sno Cosno a TÁBOA DE INTEGRAIS INMEDIATAS FORMAS SIMPLES a d = a d = ln k = L k d = k k ( f ( )) COMPOSTAS a ( f ( )) a f ( )d = k a f ( ) d = ln f( ) k = L f ( ) k f ( ) a f ( ) a a d = k a f ( )d = ln a ln a k cos d = sn k cos f ( ) f ( ) d = sn f ( ) k sn d = cos k sn f ( ) f ( ) d = cos f ( ) k f ( ) f ( )d = Tannt ( tg ) d = tg k ( tg f( )) sc cos d = tg k d = tg k sc cos f ( ) f ( ) ( f ( )) d = f ( ) f ( ) f ( )d = tg f ( ) k f ( )d = tgf ( ) tg f ( ) k k Ercicios d anális

14 Cotannt ( cot g ) Arco sno Arco tannt d = cot g k cot g ( f( )) f ( )d = cos c d = cot g k d = cot g k sn d = arcsn k d = arctg k Tipo npriano-arcotannt [ ] cos c f ( ) sn ( f ( )) f ( ) ( f ( )) f ( ) ( f ( )) ( f( )) d = f ( )d = d = d = arctg cot g f( ) k arcsn f ( ) f ( ) cot g f( ) cot g f ( ) k k k k M N d = npriano arco tannt k a b c s M 0, a b c é irrductibl Ercicios d anális

15 Calcula as intgrais sguints: 6 ) 6 d ( a constant) CÁLCULO INTEGRAL a ) ( 6 ) ) ( ) d ) d d ) d 6 6) d 6 a ) b d 0) d ) n 6) 9) ) ( ) d d 8) d 6 ) d 6sn ) ( ) ( ) d ) ) 6 π d 9) d ) a d cos Ercicios d anális 8) sn d 0) ( ) ( ) d ) d sn d ) cos sn d ) d cos arctg ) d 8) d ) / ) ) d d d ( ) 6) d 9) ) ( arctg ) ln d ) d d ) d 0) d arcsn 6 ) d 6) sn( ) 8) d cos sn 9) d cos a cos a 0) d ) d sn a ) d ) d ) d 6) d ) sn d 8) d sn d 0) 6 ln d ) d 9) ( ) ) ( ) sn d ) ( cos a sn a) ) ln d ) arcsn d d d d d

16 ) sn d 6) / cos d ) ln 8) sn cos d 9) d 6) d 6) d 6 6 6) d 6) d ) d 68) d 6 0) d ) d 6 6 ) d ) d 9 6) d 9) d ) d 6 80) d sn 8) sn cos d 8) d cos d 60) sn ( ln ) d 9 6) d ) d 69) d 6 ) d ) d 6 8) ( ) ( ) 8) sn cos d sn 8) d cos º- Achar unha primitiva d f ( ) = d manira qu a súa gráfica pas polo punto ( ln,π ) º- Achar unha primitiva F, d f ( ) = d manira qu vrifiqu a condición F( 0 ) = º- D crta función f sábs qu f ( ) = para todo R, qu ( ) = Dtrmina f º- Achar a ára da rión limitada pola curva y = 6 8 o i d abscisas º- Achar a ára da rión limitada pola parábola y = a rcta = 6º- Achar a ára da rión limitada polas parábolas º- Achar a ára da rión limitada pola curva =, y 8º- Achar a ára da rión limitada pola curva ( ) y y = y = a parábola y = y = o i das X 9º- Achar a ára da rión limitada polas curvas: y = 6, y = 9 0º- Achar a ára da rión limitada polas curvas: ( y ) = 6, y = d f Ercicios d anális 6

17 º- Achar a ára da rión limitada pola curva y = a rcta y = Rprsnta graficamnt dita ára º- a) Achar os trmos rlativos da función f ( ) = ( ) b) Achar a ára limitada pola gráfica da función f ( ) os is d coordnadas º- a) Achar os trmos rlativos da función f b) Achar a ára limitada pola gráfica da función ) º- Calcular a ára da rión do plano dtrminada pola gráfica d: =, = ( ) = f (, o i OX as rctas =, = y = CÁLCULO INTEGRAL SELECTIVIDADE º- Torma fundamntal do cálculo intgral Enunciado dmostración º- a) Enunciar o torma do valor mdio do cálculo intgral ( ) = no intrvalo, f b) Comprobar a vrificación da súa ts para [ ], o i OX as rctas º- Calcular d º- Calcular a ára da rión do plano dtrminada pola gráfica d f ( ) =, o i OX as rctas = = º- a) Enunciar o torma do valor mdio do cálculo intgral f : 0, f ( ) = 6º- Calcular a ára da rión do plano dtrminada pola gráfica d f ( ) =, o i OX as rctas = = º- Calcular d ( ) ( ) 8º- a) O concpto d intgral dfinida O problma da ára b) Calcular a ára da rión do plano dtrminada pola gráfica d f ( ) =, o i OX as rctas b) Comprobar a súa vrificación na función: [ ] = = - 9º- a) Rgra d Barrow (nunciado dmostración) b) Calcular a ára da rión do plano dtrminada pola gráfica d f ( ) = = =, o i OX as rctas 0º- Calcular a ára da rión acotada do plano dlimitada pola gráfica d f ( ) = o i OX º- Calcular a ára limitada pola parábola y = a rcta y = º- Calcular a ára limitada pola curva y = a rcta y = Rprsnta graficamnt dita (99) ára Ercicios d anális

18 ln º- Rsolvr as sguints intgrais: a) d b) d (Na rsolución da sgunda intgral rcoméndas fctuar o cambio d variabl = t º- Calcular a ára da rión do plano dtrminada pola gráfica d f ( ) = = = (99) ), o i OX as rctas º- a) Torma do valor mdio do cálculo intgral Enunciado, dmostración intrprtación ométrica b) Calcular a intgral ( ) ln d (989) 6º- Rgra d Barrow (Enunciado dmostración) (989) º- Torma fundamntal do cálculo intgral (990) 8º- Calcular a intgral d (990) 9º- a) Enunciado do torma fundamntal do cálculo intgral 9 b) Calcula a ára limitada polas curvas: ( y ) = 6 y = (99) 0º- a) Torma do Valor Mdio do Cálculo Intgral: nunciado intrprtación ométrica b) É aplicabl o Torma do Valor Mdio do Cálculo Intgral á función: f ( ) = En caso afirmativo, comproba a súa vrificación (99) º- a) Enunciado do torma fundamntal do cálculo intgral b) Calcular a ára limitada polas curvas: y = 6, y = (99) º- a) Enunciado intrprtación ométrica do Torma do Valor Mdio do Cálculo Intgral no intrvalo [ 0, ]? b) Comproba qu s vrifica o Torma do Valor Mdio do Cálculo Intgral para á función: f ( ) sn( ) dfinida no intrvalo [ ] 0,π (99) º- Rsolv as sguints intgrais: a ) 8 d b) d (99) º- Calcular a ára da suprfici limitada polas curvas y =, y = 8 Rprsnta graficamnt a figura rsultant (99) º- Torma Fundamntal do Cálculo Intgral Enunciado, dmostración intrprtación ométrica(99) 6º- a) Torma do Valor Mdio do Cálculo Intgral: nunciado intrprtación ométrica b) Rsolv as sguints intgrais: a ) d b) d ( ) (NB 99) º- Rsolv a sguint intgral: ( ) d (NB 99) 8º- a) Torma Fundamntal do Cálculo Intgral Enunciado intrprtación ométrica b) Calcular a ára do rcinto limitado polas gráficas das funcións f ( ) = g( ) = sus puntos d d cort (NB 99) =,, ntr os 9º- Calcular a ára do rcinto limitado pola parábola y =, o io d abscisas a tannt á parábola paralla á rcta y = Facr un dbuo do rcinto dscrito (996) 0º- a) Enunciado da Rgra d Barrow Ln d b) Calcula-lo valor da intgral: ( ) (996) º- Torma fundamntal do Cálculo Intgral Enunciado dmostración (uño 99) º- A Ó calcular a ára dun rcinto por unha intgral dfinida, dpnd o cálculo, da primitiva qu s utilic? Razoa a rsposta Ercicios d anális 8

19 d (ln ) B Calcular a intgral dfinida: (st 99) º- Torma Fundamntal do Cálculo Intgral Enunciado, dmostración intrprtación ométrica (Xuño 998) 6 6 º- Calcula 8 d (Stmbro 998) º- Analizar a dmostración do TEOREMA DO VALOR MEDIO DO CÁLCULO INTEGRAL qu sgu plicar os puntos suspnsivos, (), () () [dicir por qué é crto, coma s fai no mplo para () ] Enunciado: S f é unha función continua n[a, b], ntón ist c ( a, b) tal qu f ( ) d = f ( c) ( b a) Dmostración: Como f é continua n [a, b], ntón () tn un mínimo, m, un máimo, m, polo qu b () b () f ( ) d a m ( b a) f ( ) d M ( b a) ou, quivalntmnt, m M a b a b f ( ) d a Como f é continua n [a, b] () ist c tal qu f ( c) = b a Emplo: En () úsas o torma d Bolzano- Wirstrass, qu di qu s f é unha función continua nun intrvalo pchado, [a, b], ntón f acada un valor máimo un valor mínimo ns intrvalo (stmbro 999) 6º- a) Enunciado do Torma do Valor Mdio do Cálculo Intgral b b) San f g, dúas funcións continuas, dfinidas no intrvalo [a,b], qu vrifiqucan qu f = b g a a Dmostr qu istn, β [ a,b] α tals qu f ( a) = f ( b) (00) º- Dtrmin a ára da rión do plano limitada pola gráfica da función f ( ) =, o i OX as rctas = y = 6 (00) 8º- Dbu a gráfica d ( ) = 9º- Dmostr qu a función f dada por f no intrvalo [,] b a calcul a súa intgral ns intrvalo (00) ( ) = da rión dtrminada pola gráfica d f, o i d abscisas as rctas = = 0º- Calcul d f é strictamnt positiva n [, ) (stmbro 00) ach a ára (uño00) º- A Enunciado intrprtación ométrica do torma do valor mdio do cálculo intgral para funcións continuas (uño 00) B Sa f : [, ] R R continua n [,] tal qu f ( t )dt = f ( t )dt, póds asgurar qu istn b c n [,] tals qu b, c f ( b ) = f ( c )? Xustifiqu a súa rsposta º- A Epliqu brvmnt o método d intgración d funcións racionais P()/Q(), no caso d qu o polinomio dnominador, Q(), tña só raícs rais B Calcul: ( ) d (uño 00) º- A Enunciado intrprtación ométrica do Torma Fundamntal do Cálculo Intgral para funcións continuas (stmbro 00) Ercicios d anális 9

20 B Sa ( ) = sn( t ) dt Calcul a sgunda drivada da función F (sn intntar rsolvr a intgral) F 0 º- Calcul: d (stmbro 00) º- a) Calcula a ára do rcinto limitado polo i OX a parábola y = (stmbro 009) b) Enuncia intrprta gométricamnt o torma do valor mdio do cálculo intgral (stmbro 009) 6º- Dbua a calcula a ára da rión limitada pola rcta y = a gráfica da parábola ( ) = f (Nota: para o dbuo das gráficas, indicar os puntos d cort cos ios, o vértic da parábola concavidad ou convidad) (Xuño 00) º- a) Enuncia o torma fundamntal do cálculo intgral Sabndo qu f ( t) dt = ( ), con f unha función continua n todos os puntos da rcta ral, calcula f () b) Calcula d (Xuño 00) 8º- Dbua calcula a ára da rión limitada pola gráfica d y = as rctastannts a sta parábola nos puntos d cort da parábola co io OX (Nota: para o dbuo das gráficas, indicar os puntos d cort cos ios, o vértic da parábola concavidad ou convidad) (Stmbro 00) 9º- a) Calcula ln( ) d (Nota: ln = logaritmo npriano) 0 b) Enuncia intrprta omtricamnt o torma do valor mdio do cálculo intgral (Stmbro 00) Ercicios d anális 0

21 Solucións ás intgrais indfinidas ) a 8): ) 6 a ) ) ) ) 6 6) ) b 8) a 9) ln 0) 6 ) 6 cos ) a tg ln n n n n ) arcsn ) ) arctg arcsn 6) arctg arcsn ) 9) π 8) ctg ln ln ln 8 ( ) arcsn ) ln 0) 8 ) ( ) ) sn 6 6 ) cos ) arctg 6) arctg ) 8) ln( ) 9) ( ln ) arctg arcsn ln 0) arcsn ) ) ) ln(ln ) ) ln( 6 ) arctg( ) ln 6 / ) ( ) 8 6) ( ) / cos( ) ) ln ( ) ln 8) tg 9) ln( cos) 0) cotg a ) ln ) sn a a sn a a Ercicios d anális

22 ) ( ) ) ( 6) 6) ( ) 8 ) ( ) ) sn cos 8) ( ) 0) ln 9) ( )sn ( ) cos ) ( 9 6 ) ) ( 6)sn ( 6 )cos ) (ln ) ) arcsn ) ( sn cos ) 6) ( cos() sn() ) / 8 ) ( ) 8) sn cos sn 9) ln 60) ( sn(ln ) cos(ln ) ) 6) ln ln 6) ln 6 8 6) ln 6 6) ln ln 6) ln 9 ( ) 66) ln 6) arctg 68) ln 69) ln 0) 6 6 ln 0 ln ) ln ) ln( ) 9 6 ) ln ) ln ln ln ) ln ln 0 ln ) ln ln ln 8) arctg arctg 6 6 6) ln 6 80) arctg ln 9) ln ln ln 8) sn sn 6 6 8) sn sn 8) cos 8) cos sn sn sn ln sn Ercicios d anális