METODE DE APROXIMARE NUMERICĂ A FUNCŢIILOR. Puere probleme Apre î multe tuţ d ştţă ş tehcă î geerl ş d domele utomtcă formtcă ş clcultore î prtculr. Î cete dome pr plcţ î cre u e cuoşte epre ltcă fucţe cre trebue promtă c dor vlorle e îtr-u umt umăr de pucte obţute pe cle ltcă u epermetlă tereâd obţere promtvă vlorlor corepuzătore ltor pucte Preztă tere ş determre celor pucte corepuzătore uor vlor dte de eemplu zero le fucţe. Î czul geerl l probleme promăr umerce fucţlor e coderă o fucţe f: [ b] R.. Se cere determre ue lte fucţ g: [ b] R.
Metode de promre umercă fucţlor vâd o epree reltv mplă cre ă promeze cât m be fucţ f î tervlul [ b] dcă g ă fe cât m propt de f [ b]. Problem pre î următorele două tuţ poble: dcă epre ltcă fucţe f f ete cuocută dr de formă reltv complctă utlzre î clcule ulterore fd comodă; b dcă epre ltcă fucţe f f u ete cuocută e fd deftă prtr-u et de pucte determte ltc u epermetl. Petru tuţ b frecvet îtâltă î domele meţote e coderă că ut cuocute pucte dtcte defte de perechle de vlor: f.. Î czul cel m geerl cele pucte dtcte pot f orecr î tervlul [ b]. Îă î mjortte plcţlor ele ut echdtte cu pul de dcretzre h > prmul ş ultmul puct corepuzâd lmtelor tervlulu dcă: b b h..4 Î tuţle prctce u ete epărt eceră obţere eplctă fucţe de promre g fd ufcetă găre
Puere probleme vlorlor g [ b]. Dcă vlorle lu petru cre e promeză fucţ f prţ tervlulu [ b] tuc e utlzeză termeul de terpolre petru problem euţtă r dcă problem e etde ş î fr tervlulu [ b] tuc e utlzeză termeul de etrpolre. Î e lrg: terpolre petru mbele tuţ le probleme. Petru obţere fucţlor de promre g e utlzeză de regulă combţ lre le uor fucţ de formă mplă prţâd ue cle de fucţ { g g b } de form: g g... g [ ].5 ude ut coefceţ rel. Cele m utlzte cle de fucţ de promre: moome { } cre duc l polome de promre de form: g P... ;.6 b fucţ epoeţle { e b } cre duc l fucţ de promre de form: g... b b b b e e e e ;.7 c fucţ trgoometrce { co } cre duc l fucţ de promre de form 8: g b b co b co... b... co.8
4 Metode de promre umercă fucţlor Obervţe: Î relţle.6.8 coefceţ ş b j j m ut rel. Î plcţ prctce de terpolre petru legere fucţe de promre ete eceră cuoştere forme fucţe cre trebue promtă utlzâd formţle prmre prvd problem tehcă d cre fot cotrut modelul mtemtc cre clude fucţ cre trebue promtă. Dcă u etă tfel de formţ tuc cel m de utlzte ut polomele de terpolre defte de.6 cu următorele vtje: - vlorle polomelor e pot clcul reltv uşor; - umele dfereţele produele de polome precum ş dervre ş tegrre polomelor u c rezultt polome; - chmbărle de cră ş trlţle ut reltv mple vâd c rezultt polomele P ş repectv P cu ; - teor promăr polomelor u rdcă probleme deoebte.
Puere probleme 5 Remember d teor promăr polomelor teorem de promre lu Wetr: Dcă fucţ f ete cotuă pe [ b] tuc ε > etă u polom P de grd ε tfel îcât f P < [ b] ε. Obervţ:. Teorem oferă jutfcre teoretcă fptulu că î czul utlzăr polomelor de terpolre erore de promre pote f făcută orcât de mcă. Îă utltte prctcă teoreme ete reltv reduă dtortă modltăţlor de geerre polomelor de promre ş î plu ecuoşter epree f.. Teorem oferă ş uportul teoretc de demotrre fptulu că temele fuzz ş reţelele eurle ut promtor uverl. Sut trtte fucţle de promre polomlă! metodele de determre eplctă u mplctă coefceţlor polomulu de promre P ott ş cu P u P m. Metodele vor pute f ete reltv mplu cu modfcărle de rgore l lte cle de fucţ.
6 Metode de promre umercă fucţlor Î czul promăr fucţlor de m multe vrble e pot utlz metode emăătore îă dptte corepuzător. Î plcţ d domele utomtc clcultorelor ş formtc pre ueor ş ecette promăr vere dcă găr vlorlor rgumetulu corepuzătore ue vlor dte f î prtculr ule.. Apromre pr terpolre polomlă Se coderă o fucţe relă f: [ b] R petru cre ut cuocute vlorle f î pucte dtcte d tervlul [ b] dcă perechle de vlor: ; ; ;...;.. Î geerl puctele pot f orecr dr de regulă ele ut echdtte cu pul de dcretzre h: b b h.. form: Se cere ă e determe polomul P grd P de P... [ b] R.
Apromre pr terpolre polomlă 7 cre ă trecă pr puctele dte dec ă verfce codţle: P..4 Scrd detlt.4 temul lr.5 de ecut cu ecuocute reprezette de coefceţ :.................5 Determtul Δ l mtrce temulu.5 ete de tp Vdermode: > j j j......................6 Puctele ut dtcte temul.5 ete comptbl determt polomul de promre pr terpolre P ete uvoc deft. Metodele de terpolre e deoebec ître ele pr modul de determre cetu polom uc u uor forme echvlete le le.
8 Metode de promre umercă fucţlor Î czul mjortăţ polomelor de terpolre e opereză cu clculul cu dfereţe plcte mulţm de pucte.. Tpur de dfereţe: - dfereţele fte drecte l drept u îte ; - dfereţele vere l tâg u îpo ; - dfereţele metrce cetrle. Prmul tp! Dfereţele fte drecte de ordul clculte tât petru cât ş petru ut defte tfel:.7..8 Obervţe: h petru pucte echdtte. Dfereţele fte drecte de ordul ut defte:..9 D.8 ş.9 relţ geerlă de defre dfereţe drecte de ordul :.. Î clculele prctce e utlzeză tbele de dfereţe eemplfcte petru czul :
Apromre pr terpolre polomlă 9 Dverele polome de terpolre e pot cre m mplu dcă e defeşte putere geerlztă de ordul... ue vlor umerce ottă cu form produulu de fctor: [ ] [ ] ub h h h...[ h]. cu h cottă cuocută. Obervţ: []. Petru. []. Petru dcă putere geerlztă e reduce l ce clcă. Cel m frecvet utlzte polome de terpolre: - de tp Newto de peţ ş ; - de tp Gu de peţ ş ; - de tp Strlg;
Metode de promre umercă fucţlor - de tp Beel; - de tp Lgrge. Polomele de terpolre de tp Newto de peţ Euţul probleme de promre pr terpolre prezett teror - relţle... Polomul de terpolre de tp Newto de peţ : P [] [] [ ].... fd eceră determre coefceţlor. Petru cet e recru codţle.4 ub form echvletă: P.. Utlzâd. cre eprmă echdtţ cu pul de dcretzre h puctelor puterle geerlzte pot f due l form: [ ].....4 Aplcâd codţle. petru P P.5 - obţut prmul coefcet. Aplcâd d ou. petru
Apromre pr terpolre polomlă h P P P.6 epre coefcetulu : h!..7 Procedâd mlr petru cellţ coefceţ d. epre geerlă: h!.8 ude petru. polomul de terpolre Newto de peţ deve: h P ] [!..9 Î czul puctelor echdtte ete utlă defre îtregulu u epărt îtreg! cre repreztă umărul de pş ecer petru juge de l l : h. polomul de terpolre Newto de peţ v obţe form:!......! P..
Metode de promre umercă fucţlor Obervţ:. Petru. coduce l formul de terpolre lră: P... Petru. coduce l formul de terpolre prbolcă: P!... Dcă umărul de pucte cuocute le fucţe f pote f orcât de mre ş grdul polomulu de terpolre pote f orecre. Acet umăr de pucte ete le prctc tfel îcât dfereţele ă fe promtv egle î lmtele ue eror dme ε r pote f orcre dtre puctele dte. 4. Dcă umărul de pucte le fucţe ete ft grdul polomulu de promre pote f cel mult egl cu umărul de pucte dmut cu î celeş codţ c l obervţ. 5. Petru tuţle de l obervţle ş 4 erore retul e pote prom cu epre: R...!..4
Apromre pr terpolre polomlă Eemplu: Se coderă o fucţe relă de vrblă relă f: [ ] R f petru cre e cuoc vlorle î 4 pucte echdtte le tervlulu [ ] cu pul de dcretzre h coform tbelulu: f..45 4.97 6.98 Se cere ă e promeze fucţ f cu polomul de terpolre Newto de peţ petru următorele vlor le rgumetulu :.;.8;.;.8. Soluţe: Prtculrzre petru î czul cuoşter 4 pucte echdtte cu pul h î tervlul [b] [ ]. Petru îceput e determă tote dfereţele drecte defte î. cu rezulttele orgzte coform tbelulu:..945.6.55.45.78.6 4.97.7 6.98
4 Metode de promre umercă fucţlor Pe bz dfereţelor drecte d. ş prm le tbelulu polomul de terpolre Newto de peţ de grdul eprmt î :.945.6 [].55 P [] []...945.58. 9!!!. Petru. d.:. []. vlorle puterlor geerlzte: [] [].9 [].7. Pr îlocure î P prm promţe: f...945..58.9.9.7.56 Eercţu clculul celorllte tre promţ... Apromre cu metod celor m mc pătrte Puere probleme: e coderă fucţ relă f: [ b] R petru cre ut cuocute vlorle f î pucte dtcte vlor: d tervlul [ b] dcă perechle de ; ; ;...;.. Î czul geerl puctele pot f orecr dr de regulă ele ut echdtte cu pul de dcretzre h:
Apromre cu metod celor m mc pătrte 5 b b h.. de form: Se cere ă e determe polomul P m grd P m m << P m m... [ ]. m b cre ă promeze fucţ f tfel îcât ă fe mmztă um pătrtelor dfereţelor dtre vlorle promte ş cele ecte î cele pucte. Atfel pu trebue rezolvtă următore problemă de optmzre: Pˆ m { P m m J J [ Pm ] }..4... Metod de clcul rezulttă e umeşte metod celor m mc pătrte CMMP ş ete utlzblă tuc câd fe perechle. u ut cuocute cu ecttte fe ete forte mre. Remrcă: Apromre fucţe f cuocute ub form etulu de vlor. prtr-u polom de form. pr metod CMMP ete umtă î geerl ş regree polomlă cu prtculrzărle lrg utlzte regree lră m ş regree prbolcă m. Apromre pr metod CMMP pote f plctă îă ş ltor fucţ de promre g dferte de cele polomle.
6 Metode de promre umercă fucţlor Apromre polomlă prbolcă m pr metod CMMP Fucţ polomlă de promre prbolcă umtă ş regree prbolcă: P..5 Fuct J cre trebue mmztă prvtă c fucţe de vrblele ş : J..6 Petru mmzre fucte covee J ete ufcet ă fe ulte dervtele le prţle J.7 J.8 J..9 Notţ: t t t 4 4.
Apromre cu metod celor m mc pătrte 7 temul.7....9 e v trform î următorul tem lr î ecuocutele ş : 4 t t t.. Eemplu: Se coderă d ou fucţ d eemplul teror f: [ ] R f petru cre e cuoc vlorle î 4 pucte echdtte le tervlulu [] cu pul de dcretzre h coform tbelulu prezett. Se cere ă e gecă u promt prbolc l fucţe f cu metod CMMP. Soluţe: Se vor clcul petru îceput coefceţ temulu. plcâd formulele. î czul : 77.75..9; 47 ; 8 ; 6 ; 4 ; 6 ; 4 4 4 4 4 t t t Efectuâd îlocurle î. temul: 77.75 8 6 4.9 6 4 6 4.7 4 6 4 rezolvre oluţle:
8 Metode de promre umercă fucţlor.544;.8;.7. polomul de promre prbolcă obţut pr metod CMMP: Pˆ 7.544.8.. Comprre vlorlor promte P cu cele ecte î cele 4 pucte pr dfereţe ş clculul vlor mme lu J! 4. Apromre cu fucţ ple Euţul probleme de promre: celş c î czurle terore cu obervţ că de cetă dtă vlorle fucte f ut promte cu fucţ ple polomle de grd m <<. Se defeşte dvzue tervlulu [ b]: < < <... b :. 4. Fucţ ple polomlă de ordul reltv l dvzue tervlulu [ b] ete deftă c o fucţe g: [ b] R de clă m C [ b] le căre retrcţ g pe fecre ubtervl [ - ] l dvzu ut polome de grd m << : g P [ ] ; grdp m. 4. m m
4 Apromre cu fucţ ple 9 Fuct ple g re coform defţe prmele m dervte cotue pe tervlul [ b]: j j g g ; j m ;. 4. Dervt de ordul m ete dcotuă î puctele le dvzu ete o fucţe polomlă etedă pe porţu curbur fd determtă de vlore lu m. Fucţ ple g ete codertă fucţe ple de promre pr terpolre fucţe f pe dvzue dcă î tote puctele dvzu ut îdeplte codţle: g. 4.4 Coefceţ fucţlor polomle P m e obţ pr rezolvre temulu lr formt d ecuţle 4. ş 4.4 împreuă cu cele m codţ l lmtele terlulu [ b]. Fucţle ple g de terpolre prbolcă m L cete retrcţle g u eprele: g b c [ ] 4.5 cu coefceţ cre trebue determţ b c R î vedere defr fucţe g.
Metode de promre umercă fucţlor Dcă ut mpue codţle de terpolre 4.4 petru puctele : g 4.6 d 4.5 ş 4.6 coefceţ : 4.7 u răm de determt coefceţ b c. Petru determre cetor e îcepe cu recrere ecuţe 4.5 ub form: g b c [ ]. 4.8 Dervâd 4.8 î rport cu g b c [ ]. 4.9 Impuâd codţle 4.4 b c [ ]. 4. Impuâd ş codţle 4. b b c. 4. că g m ete evoe de o codţe. De regulă e coderă ete cuocută: g b b c 4.
4 Apromre cu fucţ ple dcă e lege b pe bz epereţe pecltulu cre promeză pe f. temul lr 4.... 4. de ecuţ cu ecuocute. Î czul puctelor echdtte cu pul de dcretzre h temul e trformă î: b g h b h c - 4. b h c b. După rezolvre temulu petru promre ue vlor f e detfcă ubtervlul ] ş po e plcă 4.8. [ Dcă e prtculrzeză temul 4. petru u tem lr de 6 ecuţ cu 6 ecuocute: b g hb h c b hc b hb h c b hc b hb h c. 4.4 Stemul obţut ete feror trughulr rezolvre mplă.