Priprem z ispit - RJEŠENJA 1. Odredi duljinu strnie i kutove trokut ABC ko je = 16 m, = 11.2 m te + = 93⁰. = 16 m = 11.2 m + = 93⁰,,, =? Njprije ćemo izrčunti kut jer je = 180⁰ - ( + ) = 87⁰ No, sd znmo tri element trokut ABC dvije strnie ( i ) i kut između njih () p primjenom poučk o kosinusu možemo izrčunti strniu : 2 = 2 + 2 2 * * * os Preostje nm još izrčunti kutove i. To ćemo nprviti primjenom poučk o sinusim: Unkrsnim množenjem njprije doijemo te nkon dijeljenj ijele jedndže s : = = = I n krju, iz + = 93⁰ slijedi: = 93⁰ - 2. Zroj duljin dviju strni trokut jednk je 49 m, nsuprot tim strnim nlze se kutovi od 99⁰ i 53⁰. Izrčunj duljinu treće strnie trokut. + = 49 = 99⁰ = 53⁰ =? Lko je primijetiti d je = 180⁰ - (99⁰ + 53⁰) = 28⁰ D i doili strniu morli i izrčunti jednu od strni i. Prem zdnim podim tre u trokutu uočiti strnie i te kutove i i primijeniti poučk o sinusim: =
Lko je primijetiti d u toj jedndži immo dvije nepoznnie p je potreno iskoristiti i činjeniu d je + = 49 iz čeg je jednostvno izrziti jednu nepoznniu npr. = 49. Ako to uvrstimo u poučk o sinusim immo: = Unkrsnim množenjem se rješvmo nzivnik p doivmo jedndžu: = Kd rzmnožimo zgrdu te člnove s nepoznniom grupirmo n lijevoj strni jedndže doijemo: = Množenjem s -1 te izlučivnjem fktor n lijevoj strni jedndž prelzi u: += Dijeljenjem ijele jedndže s + doijemo: = + Sd primijenimo poučk o sinusim n prove, i, : = Pomnožimo li gornju jedndžu s doijemo izrz iz kojeg doijemo trženu strniu. = 3. Opseg trokut ABC jednk je 30 m, = 47⁰, = 65⁰. Izrčunj duljine strni trokut. o = 30 = 47⁰ = 65⁰,, =? S ozirom d znmo dv kut možemo izrčunti i kut = 180⁰ - (47⁰ + 65⁰), = 68⁰. Npišimo poučk o sinusim: = = = Izrzimo strnie trokut pomoću polumjer R trokutu opisne kružnie: = = = i uvrstimo to u izrz z opseg:
+ + = 30 + + = 30 Dijeljenjem s 2 i izlučivnjem R- doijemo: R (sin + sin + sin ) = 15 kd sve podijelimo s (sin + sin + sin ) moguće je izrčunti polumjer: = ++ smim tim i strnie, i. 4. Opseg trokut jednk je 30 m, njegovi su unutrnji kutovi u omjeru 5 : 7 : 8. Kolike su duljine strni trokut? o = 30 : : = 5 : 7 : 8,, =? Njprije veličine, i izrzimo ko: = 5k =7k = 8k te iskoristimo činjeniu d je zroj kutov u trokutu 180⁰: Sd je postupk identičn onome iz prošlog zdtk (vidi 3. Zdtk): Npišimo poučk o sinusim: = = = Izrzimo strnie trokut pomoću polumjer R trokutu opisne kružnie: = = = i uvrstimo to u izrz z opseg: + + = 30 + + = 30 5k + 7k + 8k = 180⁰ iz čeg slijedi k = 9 odnosno: = 45⁰, = 63⁰, = 72⁰ Dijeljenjem s 2 i izlučivnjem R- doijemo: R (sin + sin + sin ) = 15 kd sve podijelimo s (sin + sin + sin ) moguće je izrčunti polumjer: smim tim i strnie, i. = ++
5. U trokutu ABC je = 96⁰ 45, = 7 m, v = 5.5 m. Kolike su duljine strni i tog trokut? = 96⁰ 45 = 7 m v = 5.5 m, =? v Ako oznčimo sve poznte elemente n trokutu primijetiti ćemo d u lijevom prvokutnom trokutu (isrtno) immo pozntu hipotenuzu ko i ktetu v p možemo primjenom trigonometrije prvokutnog trokut izrčunti kut : = Nrvno, kd znmo dv kut jednostvno je izrčunti i treći: = 180⁰ - ( + ). Sd nm preostje d primjenom poučk o sinusim njprije izrčunmo strniu pomoću: odnosno, nkon množenj s sin: te nkon tog strniu s: odnosno, nkon množenj s sin: = = = = 6. Duljin hipotenuze prvokutnog trokut jednk je 15 m, jedn šiljsti kut trokut iznosi 42⁰ 28. Odredi duljinu odsječk simetrle prvog kut koji se nlzi unutr trokut. = 15 = 42⁰28 s =? Simetrl kut je prv koji prolzi vrhom kut i dijeli kut n dv jednk dijel (rspolvlj g) S ozirom d znmo dv element prvokutnog trokut moguće je izrčunti i preostle elemente koji su nm potreni z rčunnje duljine dijel simetrle. s
Vidimo d je simetrl stvoril još dv trokut te postl strni tih trokut. Potreno je vidjeti u kojem je trokutu lkše doći do tri poznt element jer je ond moguće izrčunti i simetrlu primjenom jednog od poučk trokut. Lgno je uočiti d u desnom trokutu već dv kut znmo je zdn, kut između simetrle i ktete je 45⁰ (jer simetrl dijeli prvi kut n dv jednk dijel). Sznmo li još duljinu ktete to i io treći poznti element u tom trokutu p i mogli izrčunti i simetrlu s. Stog privremeno znemrimo simetrlu prvog kut te primijenimo trigonometriju prvokutnog trokut n hipotenuzu, kut i ktetu uz kut (dkle, funkij os): = odnosno, nkon množenj s : = Sd kd immo i ktetu uočimo desni trokut: S ozirom d znmo smo jednu strniu mormo primijeniti poučk o sinusim (poučk o kosinusu primjenjujemo kd immo rem dvije strnie). Prije tog ćemo izrčunti kut nsuprot strnie (nzovimo g φ): φ = 180⁰ - (45⁰ + ) Končno primijenimo poučk o sinusim n prove (s, ) i (, φ): = te množenjem ijele jedndže s sin možemo doći do veličine s: = 45⁰ s 7. Duljine strni trokut u omjeru su 4 : 3 : 6. Koliki je njmnji kut ovog trokut? : : = 4 : 3 : 6 =? Njmnji kut trokut leži nsuprot njmnjoj strnii, to je jer njoj pripd njmnji roj u produženom omjeru. S ozirom d smo omjerom povezli sve tri strnie iskoristit ćemo poučk o kosinusu primijenjen n strniu (jer se nlzi nsuprot kut kojeg tre izrčunti): = +
Nkon preivnj čln s os lijevo i 2 desno te dijeljenjem s 2 immo: iz čeg izrčunmo kut. = + 8. U trokutu ABC je = 5.3 m, = 6 m, v = 4.2 m. Kolik je duljin strnie ovog trokut? = 5.3 m = 6 m v = 4.2 m =? v U trokutu ABC znmo smo dv element ( i ) P je potreno iz jednog od prvokutnih trokut Koje smo doili povlčenjem visine n strniu Pronći još jedn element (kut ili kut ). Lko je vidjeti d u osjenčnom prvokutnom trokutu immo zdnu hipotenuzu i ktetu v koj se nlzi nsuprot nm interesntnog kut, p primjenom funkije sinus immo: = Međutim, sd u trokutu ABC znmo dvije strnie ( i ) i kut između njih () p primjenom poučk o kosinusu n strniu možemo riješiti zdtk tj. izrčunti tu strniu: = + 9. Površin trokut iznosi 33 m 2, dv njegov kut su 53⁰ 16 i 62⁰ 18. Kolik je duljin njkrće strnie ovog trokut? P = 33 m 2 = 53⁰ 16 = 62⁰ 18 =? Njprije izrčunjmo i treći kut kko i usporedom sv tri kut znli koj je strni njkrć: = 180⁰ - ( + ) = 64⁰ 26 Dkle, njmnj je strni. Strniu ćemo jednostvno izrčunti koristeći formulu z površinu trokut kd su poznt sv tri kut i jedn strni: = Prije uvrštvnj tre jedndžu njprije pomnožiti s 2 sin pri čemu doijemo: A nkon dijeljenj s : Iz čeg lgno izrčunmo strniu. = =
10. Površin trokut jednk je 30.2 m 2, ztim je * = 64 m 2, te = 42⁰ 25. Odredi duljine strni i kutove trokut. P = 30.2 m 2 * = 64 m 2 = 42⁰ 25,,,, =? Iz zdnih podtk njolje je iskoristiti činjeniu d postoji formul z površinu trokut s dvije strnie i kutom između njih. Npišimo onu vrijntu te formule koj u sei im strnie i : = 1 2 sin Izrzimo sin iz te formule, ztim izrčunjmo kut : sin= 2 Nrvno, lko je nći i treći kut: = 180⁰ - ( + ) U potrgu z strnim polzimo pomoću poučk o sinusim primijenjenim n prove, i, : = Bitno je uočiti d u toj jedndži immo dvije nepoznnie, p nm je nužn još jedn jedndž s te iste dvije nepoznnie. Tkvu jedndžu već immo. To je * = 64. Sd tre pristupiti kreirnju nove jedndže u kojoj ćemo imti smo jednu nepoznniu. To se postiže tko d iz jedne od gore spomenute dvije jedndže izlučimo jednu nepoznniu (nepoznni mor ostti sm n jednoj strni jedndže) ztim je uvrstimo u drugu jedndžu. Pomnožimo jedndžu = s sin kko i nepoznni ostl sm n lijevoj strni: = Uvrstimo doiveni izrz z u drugu jedndžu (* = 64): = Množenjem s sin i dijeljenjem s sin doijemo izrz iz kojeg izrčunmo : =
Dlje je reltivno jednostvno i rzumljivo njprije ćemo izrčunti uvrštvnjem u = ili u = 64/ ztim nći i (to zdovoljstvo prepuštm vm ) 11. Odredi duljinu strni i te kutove trokut ABC ko je površin trokut 142 m 2, = 35.2 m, + = 98⁰ 15. P = 142 m 2 = 35.2 m + = 98⁰ 15,,,, =? Kut izrčunmo odmh: = 180⁰ - ( + ) = 81⁰ 45 Površinu možemo izrziti preko dvije strnie i kut između njih. Jedn strni nek ude jer je zdn, drug, s ozirom d je jedini kut koji znmo, nek ude strni koj s ztvr tj kut tj. strni : = Iz te formule je moguće izrčunti strniu tko d ijelu jedndžu pomnožimo s 2, ztim podijelimo s sin: = Ali, sd u trokutu znmo dvije strnie ( i ) i kut među njim () p primjenom kosinusovog poučk lgno izrčunmo strniu : = + Preostje nm još izrčunti kutove i. Koristit ćemo poučk o sinusim primjenjujući g n prove, i, : Te unkrsnim množenjem njprije doći do = = A ztim dijeljenjem s do končnog izrz z rčunnje kut : N krju, izrčunmo i kut : = 98⁰ 15 -. = 12. Odredi duljine strni trokut ABC ko je v = 8.7 m, v = 10.3 m te = 48⁰ 35. v = 8.7 m v = 10.3 m = 48⁰ 35,, =? U ovom zdtku je vžno d se ne rtju odmh oje visine već jedn po jedn kko se ne i dogodilo d od previše linij ne uočite trokut od kojeg i trelo krenuti u rčunnje nepozntih podtk. v Stog nrtjmo njprije smo visinu v :
Vidljivo je d u desnom prvokutnom trokutu (ijeli trokut) možemo primjenom trigonometrije prvokutnog trokut povezti hipotenuzu tog trokut, kut i ktetu v nsuprot kut funkijom sinus: Odnosno nkon množenj s i dijeljenj s sin : = = Sd i trelo skiirti trokut ABC i unutr njeg prikzti smo visinu v : Iz slike se vidi d je iz donjeg trokut (isrtno) moguće povezti hipotenuzu, kut i ktetu v nsuprot kut funkijom sinus: = v i doiti strniu slično ko prethodno strniu : = N krju iskoristimo činjeniu d smo izrčunvnjem strni i u glvnom trokutu ABC doili dvije strnie te d nm je poznt kut između tih strni p primjenom kosinusovog poučk rčunmo i treću strniu : = + 13. Izrčunj duljine strni trokut ABC ko je = 36⁰ 25, = 51⁰ 28, duljin polumjer trokutu opisne kružnie iznosi 24 m. = 36⁰ 25 = 51⁰ 28 R = 24,, =? S ozirom d je poznt polumjer opisne kružnie trelo i krenuti od poučk o sinusim: sin = sin = sin =2 Uzmimo njprije 1. I 4. čln iz poučk o sinusim te pomnožimo s sin : = N sličn nčin iz 2. I 4. čln iz poučk o sinusim doijemo : = te kominirnjem 3. I 4. čln (uz prethodno rčunnje kut = 180⁰ -( + ) ): =
14. U trokutu ABC je = 11 m, R = 12 m te = 50⁰ 33 28. Kolik je površin trokut? Zdtk se rješv n isti nčin ko i prethodni, 13. Zdtk 15. Površin trokut ABC iznosi 113 m 2, te je = 33⁰, = 44⁰. Izrčunj duljine strni trokut. P = 113 = 33⁰ = 44⁰,, =? Primijenimo formule z površine trokut ko su poznt sv tri kut i jedn strni = sin sin 2 sin = sin sin 2 sin = sin sin 2 sin te iz njih izrzimo strnie: = 2 P sin sin sin = 2 P sin sin sin = 2 P sin sin sin 16. N zidu visokom 4 m nlzi se stup visok 6 m. Koliko je udljen točk od podnožj zid iz koje se zid i stup vide pod jednkim kutom? 17. Dv su kut trokut ABC jednk 44⁰ i 72⁰. Duljin dijel simetrle trećeg kut koji je unutr trokut iznosi 15 m. Kolik je duljin strnie nsuprot tom trećem kutu? 18. Duljine strni prlelogrm jednke su 15 m i 20 m, duljin jedne njegove dijgonle iznosi 32 m. Koliki su unutrnji kutovi prlelogrm i kolik je duljin njegove druge dijgonle? = 15 = 20 e = 32,, f=? e Lko je uočiti d u isrtnom dijelu prlelogrm immo poznt 3 element p je moguće, primjenom kosinusovog poučk izrčunti kut : Odnosno, nkon sređivnj: = + = +
Sd izrčunjmo kut koristeći činjeniu d susjedni kutovi prlelogrm zjedno dju 180⁰: = 180⁰ - Preostje nm još izrčunti drugu dijgonlu. Nrtjmo ponovno prlelogrm i urtjmo dijgonlu koju želimo izrčunti (dijgonlu čiju duljinu znmo nemojte rtti): Primjenom kosinusovog poučk lgno je izrčunti dijgonlu f: = + f 19. Površin prlelogrm jednk je 14.8 m 2, duljine dijgonl jednke su 5m i 8 m. Kolike su duljine strni i koliki su unutrnji kutovi prlelogrm? P = 14.8 e = 5 f = 8,,, =? Povlčenjem dijgonl prlelogrm nstlo je nekoliko trokut li ni jedn od njih nem tri poznt element. No, ko pogledmo formule z površinu prlelogrm: e f = i = i usporedimo ih s zdnim podim vidjet ćemo d je moguće iz druge formule izrčunti kut između dijgonl prlelogrm: = Ali, sd immo trokut u kojem znmo tri element P primjenom kosinusovog poučk rčunmo strniu : = + f/2 e/2 Ako i iz prlelogrm izdvojili trokut s strnim, e/2 i f/2 iz njeg i mogli izrčunti strniu jer je kut između strni e/2 i f/2 moguće izrčunti (180⁰- ): Nrvno, opet primjenjujemo poučk o kosinusu: e/2 = + Ako uzmemo u ozir d je os(180⁰ - φ) = -os φ doijemo: = + + f/2
Kutove i doit ćemo ko u prlelogrmu povučemo smo jednu dijgonlu te oderemo jedn od dv trokut n koji t dijgonl podijeli prlelogrm: Npišimo poučk o kosinusu primijenjen n trokut: = + te izrzimo os : e = + Kut je lgno doiti iz = 180⁰ -. 20. Odredite duljine strni i te kutove trokut ABC ko je = 18.8 m, t = 14.2 m i v = 11.8 m. 21. Duljine osnovi trpez jednke su = 7.2 m i = 3 m, duljine krkov = 5.5 m i d = 3.8 m. Koliki su unutrnji kutovi trpez i kolike su dijgonle trpez? = 7.2 = 3 = 5. d = 3.8,,, δ =? e, f =? d δ e Urtvnjem jedne dijgonle doili smo dv trokut, li ni u jednom nemmo dovoljno element koji i nm omogućili d izrčunmo dijgonlu. Ako i uspjeli sznti kut prolem i io riješen jer i td imli poznte dvije strnie ( i ) i kut između njih (). Kutove i n osnovii trpez možemo pokušti izrčunti iz trokut koji nstje kd trpez podijelimo n prlelogrm i trokut (trpez = trokut + prlelogrm) Vidljivo je u isrtnom trokutu d su mu poznte sve tri strnie p je moguće primjenom poučk o kosinusu doiti kutove i(li) : d δ = + Iz čeg slijedi: - = + Sd je moguće izrčunti dijgonlu e iz prije spominjnog trokut: = +
Pomoću istog trokut iz kojeg smo izrčunli kut moguće je izrčunti i kut. Primijenimo ovj put poučk o sinusim n prove d, i, : ond izrzimo sin: = = Sd, kd immo kut nrtjmo trpez i drugu dijgonlu unutr njeg, te primijenimo poučk o kosinusu n trokut s kutom : = + Gornje kutove unutr trpez doijemo Koristeći činjeniu d je zroj kutov uz Krkove trpez jednk 180⁰. Stog immo: = 180⁰ -, δ = 180⁰ - d δ f 22. Duljine osnovi trpez jednke su 12.5 m i 4 m, dv su šiljst kut jednk 72⁰ i 58⁰. Izrčunj površinu tog trpez. = 12.5 m = 4 m = 72⁰ = 58⁰ P =? = + 2 d δ - Ponovno ćemo trpez rzdijeliti n trokut i prlelogrm i primijetiti d u trokutu immo poznt tri element, što znči d možemo izrčunti i preostle elemente. Kd znmo d nm z rčunnje površine nedostje visin trpez jsno je d tre izrčunti jedn od krkov trpez. Td ćemo u prvokutnom trokutu kojeg stvorimo povlčeći visinu trpez znti ktetu (visin) kut nsuprot ktete ( ili ) i hipotenuzu. Idemo izrčunti jedn krk, npr.. Izrčunjmo njprije treći kut trokut δ = 180⁰ - ( + ) = 50⁰ ztim primijenimo poučk o sinusim n prove, i -, δ: = odnosno =
Urtjmo sd visinu trpez te primijenimo funkiju sinus n prvokutni trokut koji pri tom nstne i izrčunjmo visinu: = = d v - I sd visinu uvrstimo u formulu z površinu.