SLIČNOST TROUGLOV Z dve figure F i F kžemo d su slične ( s koefiijentom sličnosti k ) ko postoji trnsformij sličnosti koj figuru F prevodi u figuru F. Činjeniu d su dve figure slične obeležvmo s F F. Sličnost bi neformlno mogli d opišemo ko: Sličnost je preslikvnje neke figure F u figuru F tko d je rzmer odgovrjućih duži figur F i F isti broj i ko su odgovrjući uglovi jednki. Z utvrñivnje sličnosti trouglov koristimo četiri stv: γ b b γ α α I stv Dv trougl i su sličn ko i smo ko je jedn pr strni jednog trougl proporionln pru strni drugog, uglovi zhvćeni ovim strnim jednki su meñu sobom. II stv Trouglovi i su slični ko i smo ko su dv ugl jednog trougl jednk s dv odgovrjuć ugl drugog. III stv Trouglovi i su slični ko i smo ko su im sve odgovrjuće strnie proporionlne. IV stv Dv trougl i su sličn ko i smo ko su dve strnie jednog trougl proporionlne odgovrjućim strnim drugog, uglovi nsprm dveju od tih odgovrjućih strni jednki, nsprm drugih dveju odgovrjućih strni su ob ugl oštr, ob prv ili ob tup.
U zdim, pošto zključimo d su nek dv trougl sličn, primenjujemo : : = b : b = : = O : O = k Nrvno : O= + b+ je obim prvog trougl O = + b + je obim drugog trougl k je koefiijent sličnosti : b : = : b : Ovu gornju jednkost možemo zpisti i s : Vrlo lko možemo zključiti d vže i sledeće proporionlnosti: : = t : t = h : h b : b = t : t = h : h b b b b : = t : t = h : h P : P = : = b : b = : 2 2 2 2 2 2 Nrvno ovde su : t- težišne duži, h visine i P površine sličnih trouglov. primer. N rtežu su dti podi o trouglovim i PQR. Odrediti dužine strni PQ i PR trougl PQR. Q 4m 2m m R α 5m α P 2
Uočimo njpre d su trouglovi slični po II stvu o sličnosti trouglov. Dlje predlžemo d s rtim obeležite koj kojoj strnii odgovr. Pogledjte n sledećoj slii: Q 2m m R 4m 5m Kko immo podtke z njmnje duži ( s po jednom rvenom rtkom) one će biti n početku proporije... P : RQ= : PR : 4= 2 : PR PR= 4 2 48 PR= PR= 8m : RQ= : PQ : 4= 5: PQ PQ= 4 5 0 PQ= PQ= 0m primer 2. ko su oznke i podi ko n priloženom rtežu, odrediti dužinu zjedničke strnie trouglov i D. α 3m D α m 3
Ko i u prethodnom primeru, trouglovi i D su slični po II stvu, jer imju po dv odgovrjuć ugl jednk. I ovde ćemo upotrebiti trik s rtim... 3m D m Uočimo dlje d nm strnie s po tri rtie ( njduže) ne trebju, jer nijedn od njih nem dtu dužinu. Mormo pziti jer je zjedničk strni istovremeno njkrć z trougo i srednj po dužini z trougo D. Dkle: : = : D : = : 3 = 3 2 = 8 = 8 = 9 2 = 3 2 primer 3. Strnie trougl su = 2m, b = 8m, = 8m. Odrediti obim njemu sličnog trougl čij je njduž strni 2m. 4
Ovde ćemo upotrebiti: : = b : b = : = O : O = k Njpre se pitmo : koj je to strni u sličnom trouglu dt? P pošto je b njduž strni u prvom trouglu, to je b = 2m. Dlje rčunmo obim prvog trougl: O= + b+ O= 2+ 8+ 8 O= 38m Sd koristimo deo ove velike proporije koji nm treb: b : b = O : O 8: 2= 38 : O 8 O = 2 38 2 38 O = 8 O = 5m primer 4. Dv trougl su sličn. Zbir dve odgovrjuće visine je 2m koefiijent sličnosti je,5. Odrediti visine. Reimo d se rdi o visinm koje odgovrju strnii, odnosno. Td je: h + h = 2 pošto znmo koefiijent sličnosti, ond je h : h =,5. Upkujmo sd ove dve jednkosti: h : h =,5 h =,5 h h + h = 2, 5 h + h = 2 2, 5 h = 2 h h = 2 2,5 = 44m h =,5 h h =,5 44 h = m 5
primer 5. Osnovie jednkokrkog trpez D su 2m i 8m, njegov visin 3m. ko se prve D i seku u tćki E, odrediti dužinu visine EF trougl E. x3m 8m N F 2m Uočimo slične trouglove E i DE, koji ko i u prethodnim zdim imju jednke uglove. Uočimo visinu trougl E koj je očigledno EF = 3 + x i visinu trougl DE koj je EN = x. : = h : h 2 :8 = (3 + x) : x 2x= 8(3 + x) 2x= 24+ 8x 2x 8x= 24 4x= 24 x= m Dkle, visin trougl EF = 3 + x = 3 + = 9 m
primer. Mrko je visok,5 m i stoji pored jrbol koji je ortogonln n vodorvnom pločniku. U jednom trenutku, dužine senki Mrk i jrbol su 0,5 m i m. Odrediti visinu tog jrbol. jrbol x Mre,5m m 0,5m Uočimo slične trouglove i postvimo proporiju: x :,5 = : 0,5 0,5 x=,5,5 x= 0,5 x= 3 x= 8m Nrvno, sličnost se primenjuje i kod četvorouglov, petouglov... Evo pr primer: primer. Strnie četvorougl odnose se ko 20:5:9:8, zbir dve mnje strnie njemu sličnog četvorougl je 25,5m. Odrediti strnie drugog četvorougl.
: b : : d = 20 :5 :9 :8 : b : : d = 20 :5:9:8 Iz proporije vidimo d su njmnje strnie i d, odnosno i d. Ond mor biti: + d = 25,5 : b : : d = 20 :5:9:8 = 20k b = 5k = 9k d = 8k Ovo zmenimo u : 25,5 + d = 25,5 9k+ 8k = 25, 5 k = 25,5 k = k =, 5 = 20k = 20,5 = 30m b = 5k b = 5,5 b = 22,5m = 9k = 9,5 = 3,5m d = 8k d = 8,5 d = 2m primer 8. Strnie petougl su 35mm,4mm,28mm,2mm i 42mm. Njmnj strni njemu sličnog petougl je 2mm. Odrediti dužine ostlih strni ovog petougl. = 35mm b= 4mm = 28mm d = 2mm e= 42mm U zdtku kže njmnj strni sličnog petougl je 2mm, jsno je d to mor biti b = 2mm Kko vži d je : 8
b d e = = = = = k b d e b 4 = k k = k = b 2 Nšli smo koefiijent sličnosti, vrćmo se d ndjemo dužine ostlih strni = 35mm = k = 35 b b= 4mm = k b = 4 b = 28mm = k = 28 d d = 2mm = k d = 2 d = 5 = 30mm = 2 = 2mm = 4 = 24mm = 3 = 8mm e e= 42mm = k e = 42 = = 3mm e 9