ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΑΝΤΩΝΗΣ ΤΣΙΓΩΝΙΑΣ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ ΡΑΠΤΗΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΑΝΤΩΝΗΣ ΤΣΙΓΩΝΙΑΣ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ ΡΑΠΤΗΣ"

Transcript

1 ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ι ΑΚΤΙΚΕΣ ΠΡΟΕΚΤΑΣΕΙΣ ΑΝΤΩΝΗΣ ΤΣΙΓΩΝΙΑΣ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ ΡΑΠΤΗΣ Αθήνα Ιούλιος, 01

2 Η παρούσα ιπλωµατική Εργασία εκπονήθηκε στα πλαίσια των σπουδών για την απόκτηση του Μεταπτυχιακού ιπλώµατος Ειδίκευσης που απονέµει το ιαπανεπιστηµιακό- ιατµηµατικό Πρόγραµµα Μεταπτυχιακών Σπουδών ιδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηµατικών Εγκρίθηκε την από Εξεταστική Επιτροπή αποτελούµενη από τους : Ονοµατεπώνυµο Βαθµίδα Υπογραφή 1 Ράπτη Ευάγγελο Καθηγητής (επιβλέπων Καθηγητής) Λάππα ιονύσιο Αν Καθηγητής 3 Βάρσο ηµήτριο Καθηγητής

3 Αφιερώνεται στον πατέρα µου Σπύρο Τσιγώνια - 0 -

4 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 3 ΜΕΡΟΣ 1: ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΚΑΙ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΚΑΙ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 4 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5-9 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΜΟΓΕΝΗ ΚΑΙ ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 3 ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 17- ΜΕΡΟΣ : ΛΥΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ 3 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ (επίλυση, µεταβολές συντελεστών, πρόσηµο ριζών) 4-8 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΕΣ 9 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΓΑΛΥΤΕΡΟΥ ΤΟΥ ου Παραγοντοποίηση-Σχ Horner- ιώνυµες-άθροισµα άρτιων δυνάµεων- Μετασχηµατισµοί ( ιτετράγωνες, Αντίστροφες) ΓΕΝΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 3 ου, 4 ου ΒΑΘΜΟΥ 37-4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ (Ρητές, Άρρητες) 4-45 ΥΠΑΡΞΗ ΡΙΖΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 46 Περίπτωση 1 : Ύπαρξη ν τουλάχιστον ριζών 47-6 Περίπτωση : Ύπαρξη ν το πολύ ριζών 6-67 Περίπτωση 3 : Ύπαρξη ν ακριβώς ριζών Περίπτωση 4 : Το Πλήθος των ριζών µιας πολυωνυµικής εξίσωσης και η εύρεσή τους

5 ΜΕΡΟΣ 3: ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Γενικά Λύση Συστήµατος µε Αντίστροφο Πίνακα Λύση Συστήµατος µε Επαυξηµένο Πίνακα (συστήµατα νxν, οµογενή, νxµ µε ν > µ, νxµ µε ν < µ) 8-87 Λύση Συστήµατος µε Ορίζουσες (συστήµατα νxν, νxµ µε ν > µ, νxµ µε ν < µ, οµογενή) Λύση Συστήµατος µε παράµετρο Απαλείφουσα Συστήµατος Λύση Συστήµατος µε ειδικές τεχνικές ΜΕΡΟΣ 4: ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Σύστηµα δυο Εξισώσεων ου βαθµού µε έναν άγνωστο Σύστηµα µιας Εξίσωσης 1 ου βαθµού και µιας εξίσωσης ου βαθµού µε δυο αγνώστους (σχετική θέση ευθείας και κωνικής) Σύστηµα Εξισώσεων βαθµού ν µε 1 άγνωστο ( ν ) Σύστηµα ν Εξισώσεων βαθµού ν µε ν αγνώστους ( ν ) ΜΕΡΟΣ 5: Ι ΑΚΤΙΚΕΣ ΠΡΟΕΚΤΑΣΕΙΣ 1 η Ι ΑΚΤΙΚΗ ΠΑΡΕΜΒΑΣΗ : ΛΥΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ (FUNCTION PROBE) η Ι ΑΚΤΙΚΗ ΠΑΡΕΜΒΑΣΗ : ΛΥΣΗ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ (GEOGEBRA) ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ ΟΡΩΝ ΚΑΙ ΟΝΟΜΑΤΩΝ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

6 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η διπλωµατική αυτή εργασία υλοποιήθηκε στα πλαίσια της απόκτησης του Μεταπτυχιακού ιπλώµατος του Προγράµµατος Μεταπτυχιακών Σπουδών ιδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηµατικών του Μαθηµατικού τµήµατος της σχολής θετικών επιστηµών του ΕΚΠΑ Στόχος της, η παρουσίαση των πολυωνυµικών εξισώσεων και των συστηµάτων αυτών καθώς επίσης και µια προσπάθεια παρουσίασης της διδασκαλίας τους µε τη βοήθεια σχεδίων µαθήµατος µέσω µαθηµατικών λογισµικών στο χώρο διδασκαλίας Η εργασία αποτελείται από πέντε µέρη: Στο πρώτο µέρος, παρουσιάζονται συνοπτικά η θεωρία πολυωνύµων και οι πολυωνυµικές εξισώσεις Στο δεύτερο, δίνονται µε λεπτοµέρεια η λύση πολυωνυµικών εξισώσεων, το πλήθος και η ύπαρξη των ριζών τους Στο τρίτο µέρος παρουσιάζονται τα συστήµατα γραµµικών εξισώσεων και οι δηµοφιλέστεροι µέθοδοι επίλυσής τους, ενώ στο τέταρτο κεφάλαιο τα µη γραµµικά συστήµατατο πέµπτο και τελευταίο µέρος περιέχει δυο σχέδια µαθήµατος για τη διδασκαλία επίλυσης µιας πολυωνυµικής εξίσωσης και ενός µη γραµµικού συστήµατος πολυωνυµικών εξισώσεων Όλα τα µέρη συνοδεύονται από τα απαραίτητα θεωρήµατα, πορίσµατα, ορισµούς και ιστορικά σηµειώµατα Παρότι στην παρούσα εργασία, όπως είναι φυσικό, δεν µπορούν να καλυφθούν όλα τα είδη και όλες οι περιπτώσεις των πολυωνυµικών εξισώσεων και των συστηµάτων τους, εντούτοις γίνεται µια προσπάθεια λεπτοµερούς παρουσίασής τους, στα πλαίσια της δευτεροβάθµιας εκπαίδευσης και πιο συγκεκριµένα στο Γενικό Λύκειο Θα ήθελα να ευχαριστήσω τον Καθηγητή του Μαθηµατικού Τµήµατος του ΕΚΠΑ, κ Βάρσο ηµήτριο και τον Αναπληρωτή Καθηγητή κ Λάππα ιονύσιο τόσο για την τιµή που µου έκαναν να συµµετάσχουν στην τριµελή επιτροπή, όσο και για τις συνεχείς προσπάθειες που καταβάλλουν τα τελευταία χρόνια προκειµένου η εκπαιδευτική διαδικασία του τµήµατος να παραµείνει σε υψηλό επίπεδο Ευχαριστώ όµως ιδιαίτερα τον Καθηγητή κ Ράπτη Ευάγγελο για την εµπιστοσύνη που µου έδειξε και για τον πολύτιµο χρόνο που µου διέθεσε Τόσο το περιεχόµενο του µαθήµατος που διδάσκει όσο και οι συζητήσεις που είχαµε ήταν οδηγός στο παρόν εγχείρηµα Η αφοσίωσή του στο εκπαιδευτικό έργο και η διαθεσιµότητά του απέναντι στους φοιτητές είναι αξιέπαινη Ευχαριστώ επίσης τον καλό συνάδελφο και φίλο Νίκο Σιώµο για τη συνεργασία µας στο Γενικό Λύκειο Λαυρίου Τέλος, θα ήθελα να ευχαριστήσω τον πατέρα µου Σπύρο Τσιγώνια συνάδελφο και δάσκαλο των Μαθηµατικών, για την πολύτιµη βοήθεια που µου προσέφερε, την υποστήριξή του και τις συµβουλές του - 3 -

7 ΜΕΡΟΣ 1 ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΚΑΙ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΕΝΙΚΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΚΑΙ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Παρακάτω δίνουµε την έννοια ενός πολυωνύµου Ρ(x) και της πολυωνυµικής εξίσωσης P(x) = 0, όπως και ότι έχει σχέση µε τη θεωρία των πολυωνύµων και των πολυωνυµικών εξισώσεων Καταγράφεται ό,τι ισχύει για τα πολυώνυµα τα οποία ισχύουν και για τις πολυωνυµικές εξισώσεις Ορισµός: Ακέραιο πολυώνυµο (ή πιο απλά πολυώνυµο) µιας µεταβλητής, ονοµάζεται κάθε ν ν 1 έκφραση της µορφής P(x) = ανx + αν 1x + + α1x + αο, όπου α ο,α 1,αν Rκαι ν N Ορισµός: Αν ένα πολυώνυµο Ρ(x) το εξισώσουµε µε το 0, έχουµε την πολυωνυµική εξίσωση P(x) = 0, δηλαδή την α x + α x + + α x + α = 0, όπου α ο,α 1,αν R και ν N ν ν 1 ν ν 1 1 ο Παρατηρήσεις Ορισµοί: 1 Βαθµός ενός πολυωνύµου ή µιας πολυωνυµικής εξίσωσης, λέγεται ο µεγαλύτερος εκθέτης της µεταβλητής x, της οποίας ο συντελεστής είναι µη µηδενικός Όταν αναφερόµαστε στη µεταβλητή x του πολυωνύµου, εννοούµε ένα σύνολο που αντιπροσωπεύει ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου αριθµών, πράγµα διαφορετικό από τον άγνωστο x µιας πολυωνυµικής εξίσωσης, όπου ο άγνωστος x έχει προσδιοριστέα τιµή 3 Για το πολυώνυµο P(x) = α x + α x + + α x + α, έχουµε : ν ν 1 ν ν 1 1 ο i) Αν ν = 0, έχουµε το σταθερό πολυώνυµο P(x) = αο o Επειδή P(x) = α = α x, το Ρ είναι βαθµού 0 ο ο ii) Αν όλοι οι συντελεστές του πολυωνύµου είναι µηδέν, τότε το πολυώνυµο Ρ λέγεται µηδενικό πολυώνυµο ή πολυώνυµο εκ ταυτότητος µηδέν και γράφεται P(x) 0 ηλαδή P(x) 0 αν = α ν 1 = = α1 = αο = 0 Για χάρη απλότητας, θα γράφουµε P(x) = 0για κάθε x Το µηδενικό πολυώνυµο δεν έχει βαθµό iii) Το σύνολο των πολυωνύµων µε πραγµατικούς συντελεστές, συµβολίζεται µε R [ x] iv) Ένα πολυώνυµο λέγεται ανηγµένο, όταν έχουν γίνει όλες οι πράξεις και οι αναγωγές οµοίων όρων v) Αν αν = 1, τότε το πολυώνυµο ονοµάζεται µονικό 4 υο πολυώνυµα P(x) = α x + α x + + α x + α, Q(x) = β x + β x + + β x + β ν ν 1 ν ν 1 1 ο θα λέγονται ίσα, αν ν = µ και αν = β µ,αν 1 = β µ 1,,α1 = β 1,αο = βο µ µ 1 µ µ 1 1 ο - 4 -

8 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ( x, +, ) Α ακτύλιος πολυωνύµων R [ ] 1i) Το σύνολο R [ x] είναι κλειστό ως προς την πρόσθεση, δηλαδή το άθροισµα δυο πολυωνύµων του R [ x], είναι πολυώνυµο του R [ x] ii) Για την πρόσθεση πολυωνύµων ισχύει η µεταθετική και η προσεταιριστική ιδιότητα iii) Υπάρχει ουδέτερο στοιχείο ως προς την πρόσθεση, το µηδενικό πολυώνυµο φ(x) = 0, αφού f (x) + φ(x) = f (x) + 0 = f (x) i) Το σύνολο R [ x] είναι κλειστό ως προς τον πολλαπλασιασµό, δηλαδή το γινόµενο δυο πολυωνύµων του R [ x], είναι πολυώνυµο του R [ x] ii) Για τον πολλαπλασιασµό πολυωνύµων ισχύει η µεταθετική και η προσεταιριστική ιδιότητα iii) Υπάρχει ουδέτερο στοιχείο ως προς τον πολλαπλασιασµό, το σταθερό πολυώνυµο φ(x) = 1, αφού f (x) φ(x) = f (x) 1= f (x) 3 Ισχύει η επιµεριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασµού ως προς την πρόσθεση ΘΕΩΡΗΜΑ 1: Αν f (x),g(x) [ x] ν ν 1 ν ν 1 1 ο R και g(x) 0, τότε f (x) g(x) = 0 f (x) = 0 Απόδειξη: Έστω f (x) = α x + α x + + α x + α και g(x) = β x + β x + + β x + β 0 µ µ 1 µ µ 1 1 ο ( ) Αν ήταν f (x) 0, τότε αν 0και αφού g(x) 0, θα είναι και βµ 0 εποµένως το γινόµενο f (x) g(x) θα έχει όρο τον ν µ αβ ν µ x +, µε ν µ α,β 0 Άρα f (x) g(x) 0, που είναι άτοπο, αφού f (x) g(x) = 0 ηλαδή f (x) = 0 ( ) Αν f (x) = 0, τότε θα είναι και f (x) g(x) = 0 ΘΕΩΡΗΜΑ : Αν f (x),g(x), h(x) [ x] Έχουµε: R, και h(x) 0, τότε f (x) h(x) = g(x) h(x) f (x) = g(x) Απόδειξη: [ ] f (x) h(x) = g(x) h(x) f (x) h(x) g(x) h(x) = 0 h(x) f (x) g(x) = 0 f (x) g(x) = 0 f (x) = g(x) ΠΟΡΙΣΜΑ: Αν f (x),g(x) [ x] R τότε f (x) g(x) = 0 f (x) = 0ή g(x) = 0 Ορισµός: Ο δακτύλιος πολυωνύµων και τα Θεωρήµατα 1 και, χαρακτηρίζουν το σύνολο [ ] x R που ονοµάζουµε ακέραια περιοχή Θ1-5 -

9 Β Στοιχεία ιαιρετότητας α Τέλεια ιαίρεση Ορισµός: Ένα πολυώνυµο P(x)θα λέµε ότι διαιρείται ακριβώς από το πολυώνυµο φ(x) 0, αν και µόνο αν υπάρχει πολυώνυµο π(x) [ x] ηλαδή, φ(x) / Ρ(x) π(x) R [ x ] : Ρ(x) = φ(x) π(x) R, ώστε P(x) = φ(x) π(x) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ: 1 Το µηδενικό πολυώνυµο διαιρείται ακριβώς από κάθε µη µηδενικό πολυώνυµο, µε πηλίκο µηδέν Κάθε πολυώνυµο, διαιρείται ακριβώς από κάθε σταθερό, µη µηδενικό πολυώνυµο, αφού ν ν 1 αν ν αν 1 ν 1 α1 αο ανx + αν 1x + + α1x + αο = c x + x + + x +, c 0 c c c c π(x) ΘΕΩΡΗΜΑ 1: Αν φ(x) / P(x), τότε υπάρχει µοναδικό πολυώνυµο π(x) [ x] ώστε P(x) = φ(x) π(x) Απόδειξη: Έστω ότι υπάρχει και δεύτερο πολυώνυµο π (x) [ x] Ισχύει φ(x) / P(x) P(x) = φ(x) π(x) () R, R, ώστε P(x) = φ(x) π (x) (1) Από τις (1),() είναι φ(x) π (x) = φ(x) π(x) φ(x) [ π (x) π(x) ] = 0 και αφού φ(x) 0, θα είναι π (x) π(x) = 0 π (x) = π(x), δηλαδή το π(x) είναι µοναδικό ΘΕΩΡΗΜΑ : Αν φ(x),p(x), t(x) [ x] R, τότε φ(x) / P(x) φ(x) / P(x) t(x) Απόδειξη: Αφού φ(x) / P(x) P(x) = φ(x) π(x) P(x) t(x) = φ(x) π(x) t(x) P(x) t(x) = φ(x) h(x) όπου h(x) = π(x) t(x) Άρα φ(x) / P(x) t(x) - 6 -

10 ΘΕΩΡΗΜΑ 3: Αν φ(x) / P 1(x), τότε : φ(x) / P (x) i)φ(x) / P 1(x) ± P (x) ii)φ(x) / P (x) P (x) 1 Απόδειξη: φ(x) / P (x) P (x) = φ(x) π (x) φ(x) / P (x) P (x) = φ(x) π (x) ± = ± που σηµαίνει ότι φ(x) / P 1(x) ± P (x) i) Αφού P (x) P (x) φ(x) [ π (x) π (x)] 1 1 φ(x) / P 1(x) P 1(x) = φ(x) π 1(x) ii) Όµοια, P 1(x) P (x) = φ (x) π 1(x) π (x), φ(x) / P (x) P (x) = φ(x) π (x) που σηµαίνει ότι φ(x) / P 1(x) P (x), ΘΕΩΡΗΜΑ 4: Αν φ(x) / P(x), τότε * Επαγωγή στο N : i) Για ν = 1, φ(x) / P(x), που ισχύει ii) Για ν = κ, δεχόµαστε ότι ισχύει iii) Για ν = κ + 1, θα αποδείξουµε ότι Πράγµατι, Άρα ν φ(x) / P (x), Απόδειξη: κ φ(x) / P (x) φ(x) / P κ+ 1 κ+ 1 κ φ(x) / P (x) φ(x) / P (x) P(x) ν φ(x) / P (x), για κάθε (x) * ν N, που ισχύει λόγω του Θ3 ii) * ν N ΘΕΩΡΗΜΑ 5: Αν φ(x), P(x) [ x] R, τότε: φ(x) / P(x) Ρ(x) = c φ(x), c R P(x) /φ(x) Απόδειξη: Αφού φ(x) / P(x) P(x) = φ(x) π 1(x) (1) και P(x) /φ(x) φ(x) = P(x) π (x) () Η (1) λόγω της (), γράφεται P(x) = P(x) π 1(x) π (x) και επειδή P(x) 0, θα είναι : π 1(x) π (x) = 1δηλαδή τα πολυώνυµα π 1(x),π (x) πρέπει να είναι µηδενικού βαθµού, δηλαδή να είναι σταθερά πολυώνυµα Η (1) δίνει : Ρ(x) = c1 φ(x) και η () δίνει φ(x) = c P(x) 1 P(x) = φ(x) Άρα σε κάθε περίπτωση είναι Ρ(x) = c φ(x) c ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: φ(x) / P(x) Λόγω του παραπάνω θεωρήµατος, έχουµε: Ρ(x) = c φ(x) P(x) /φ(x) και άρα c φ(x) / P(x) Οι διαιρέτες φ(x) και c φ(x) µε c 0 είναι ισοδύναµοι Από όλους τους ισοδύναµους διαιρέτες του P(x), αυτός που έχει συντελεστή του µεγιστοβάθµιου όρου τη µονάδα, λέγεται κύριος διαιρέτης - 7 -

11 β Ατελής διαίρεση Έχουµε την ταυτότητα της αλγοριθµικής διαίρεσης, που αποδεικνύεται στο παρακάτω : ΘΕΩΡΗΜΑ: Αλγοριθµική ιαίρεση Για δυο πολυώνυµα f (x),φ(x) [ x] πολυώνυµα π(x),υ(x) [ x] R βαθµού ν, µ αντίστοιχα, υπάρχουν δυο µοναδικά R, για τα οποία είναι βαθµόςυ(x) < βαθµός φ(x)ώστε f(x) = φ(x) π(x) + υ(x) Απόδειξη: ν ν 1 f (x) = ανx + αν 1x + + α1x + α ο,αο 0 Έστω τα πολυώνυµα : µ µ 1 φ(x) = β x + β x + + β x + β,β 0 µ µ 1 1 ο ο i) ΥΠΑΡΞΗ: ιακρίνουµε τις περιπτώσεις: α) Αν ν < µ τότε το θεώρηµα ισχύει και θα έχουµε π(x) = 0, υ(x) = f (x) ηλαδή f (x) = φ(x) 0+ f (x) β) Αν ν µ τότε διαιρώντας µε τον µεγιστοβάθµιο όρο ν ανx του f (x)µε τον µεγιστοβάθµιο όρο µ βµ x του φ(x), έχουµε το µονώνυµο µε το π 1(x) Τότε αν x ν µ β µ = π (x) Πολλαπλασιάζουµε τον διαιρέτη α α α φ(x) π (x) = α x + β x + β x + + β x 1 ν ν ν 1 ν ν ν ν µ 1 ν µ 1 µ ο βµ βµ βµ ν Τα πολυώνυµα f (x)και φ(x) π 1(x) έχουν τον ίδιο µεγιστοβάθµιο όρο ανx, οπότε α ν ν 1 α ν ν f (x) φ(x) π 1(x) = αν 1 βµ 1 x + αν βµ x + β µ β µ α ν ν 1 α ν ν Αν θέσουµε αν 1 βµ 1 x + αν βµ x + = υ 1(x), έχουµε τελικά ότι β µ β µ f (x) φ(x) π 1(x) = υ 1(x) f (x) = φ(x) π 1(x) + υ 1(x), µε βαθµό υ 1(x) ν 1 Αν ν 1 < µ, ισχύει το θεώρηµα Αν ν 1 µ, εργαζόµαστε όµοια για τα υ 1(x),φ(x) Εποµένως, υ 1(x) = φ(x) π (x) + υ (x), µε βαθµόυ (x) βαθµόυ 1 (x) Συνεχίζοντας µε τον ίδιο τρόπο, παίρνουµε τις ισότητες: f (x) = φ(x) π 1(x) + υ 1(x) υ 1(x) = φ(x) π (x) + υ (x) υ ( ) (x) = φ(x) π (x) + υ 3(x) + f (x) = φ(x) [ π 1(x) + π (x) + + π κ+ 1(x) ] + υ κ+ 1(x) υ κ (x) = φ(x) π κ+ 1(x) + υ κ+ 1(x) µεβαθµόυ κ+ 1(x) < βαθµόφ(x) Θέτουµε π 1(x) + π (x) + + π κ+ 1(x) = π(x) και υ κ+ 1(x) = υ(x) Έτσι, f (x) = φ(x) π(x) + υ(x) µε βαθµόυ(x) <βαθµόφ(x) - 8 -

12 ii) ΜΟΝΑ ΙΚΟΤΗΤΑ: Ισχύει f (x) = φ(x) π(x) + υ(x) και έστω ότι f (x) = φ(x) π (x) + υ (x) Τότε φ(x) π(x) υ(x) φ(x) π (x) υ (x) φ(x) π(x) π (x) = υ (x) υ(x) + = + [ ] π(x) π (x) = 0 π(x) = π (x) Η τελευταία ισότητα ισχύει όταν, υ(x) υ (x) = 0 υ(x) = υ (x) που σηµαίνει ότι τα πολυώνυµα π(x),υ(x), είναι µοναδικά ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ: 1 Η εύρεση των π(x)καιυ(x) λέγεται αλγοριθµική ή Ευκλείδεια διαίρεση Αν υ(x) = 0τότε προκύπτει η ταυτότητα της τέλειας διαίρεσης 3 Από τη σχέση f (x) = φ(x) π(x) + υ(x) έχουµε f (x) υ(x) = φ(x) π(x), που σηµαίνει ότι φ(x) / f (x) υ(x) 4 Ο βαθµός του πηλίκου ισούται µε τη διαφορά των βαθµών του διαιρετέου και του διαιρέτη ΘΕΩΡΗΜΑ: Το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύµου P(x) µε το διώνυµο αx + βµε α,β R και α 0, είναι β υ = f α Απόδειξη: Ισχύει P(x) = ( αx + β) π(x) + υ(x) Επειδή ο διαιρέτης είναι 1 ου βαθµού, το υπόλοιπο θα είναι µηδενικού βαθµού, δηλαδή σταθερός αριθµός υ Άρα P(x) = ( αx + β) π(x) + υ Για β x =, έχουµε : α β β β β P = α β π υ 0 π υ υ α + + = + = α α α ΠΟΡΙΣΜΑ: Το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύµου P(x) µε x α είναι υ = Ρ(α) - 9 -

13 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Ορισµός: Ρίζα µιας πολυωνυµικής εξίσωσης (ή ενός πολυωνύµου), λέγεται κάθε αριθµός που την επαληθεύει (ή το µηδενίζει) Ισχύουν : i) Αν ρ ρίζα του P(x), τότε P(ρ) = 0 ii) Αν P(ρ) = 0, τότε ρ ρίζα του P(x) ΘΕΩΡΗΜΑ 1: Ένα πολυώνυµο Ρ(x) έχει παράγοντα το x ρ, αν και µόνο αν το ρ είναι ρίζα του ( ) Αν x Απόδειξη: ρ παράγοντας του P(x) τότε θα έχουµε P(x) = ( x ρ) π(x), οπότε για x = ρ, είναι P(ρ) = ( ρ ρ) π(ρ) = 0, που σηµαίνει ότι το ρ είναι ρίζα του P(x) = οπότε η σχέση ( ) ( ) Αν ρ είναι ρίζα του P(x), τότε P(ρ) 0 αφού υ P(ρ) 0 = =, δίνει ( ) P(x) = x ρ π(x) + υ, P(x) = x ρ π(x), που σηµαίνει ότι x ρ παράγοντας του P(x) ΟΙ ΡΙΖΕΣ ΕΝΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ Ρ(x) ΕΙΝΑΙ ΚΑΙ ΡΙΖΕΣ ΤΗΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ Ρ(x) = 0 Για τις ρίζες µιας πολυωνυµικής εξίσωσης (ή ενός πολυωνύµου), ισχύουν τα παρακάτω θεωρήµατα: ΘΕΩΡΗΜΑ : Αν το πολυώνυµο P(x) διαιρείται µε τα διώνυµα x ρ 1, x ρ,, x ρν, ρ ρ ρ ρ, τότε θα διαιρείται και µε το γινόµενό τους όπου 1 ν 1 ( x ρ ) ( x ρ ) ( x ρ ) 1 ν Ισχύουν P(ρ 1) 0, P(ρ ) 0,,P(ρ ν ) 0 Απόδειξη: x ρ / P(x) P(x) = x ρ π (x) (1) = = = Είναι 1 ( 1) 1 x = ρ η (1) δίνει P(ρ ) ( ρ ρ1) π 1(ρ ) 0 ( ρ ρ1) π 1(ρ ) π 1(ρ ) 0 = ( ) και έτσι η (1), δίνει ( ) ( ) Για x ρ /π (x) π (x) x ρ π (x) 1 1 = = =, οπότε Συνεχίζοντας έτσι για x = ρ 3,, x = ρν, τελικά παίρνουµε P(x) = x ρ x ρ π (x) 1 = ( ) ( ) ( ), που σηµαίνει ότι ( ) ( ) ( ) P(x) x ρ x ρ x ρ π (x) 1 ν ν x ρ x ρ x ρ / P(x) 1 ν

14 ΘΕΩΡΗΜΑ 3: Αν το πολυώνυµο P(x) α x α x α x α ν ν 1 = ν + ν ο έχει ρίζες τις 1 ν τότε το P(x) γράφεται στη µορφή α ( x ρ ) ( x ρ ) ( x ρ ) Απόδειξη: ν 1 ν ρ,ρ,,ρ, Αφού ρ 1,ρ,,ρ ν ρίζες του P(x), αυτό θα έχει παράγοντες τους x ρ 1, x ρ,, x ρν και P(x) = x ρ x ρ x ρ π(x) εποµένως θα διαιρείται µε το γινόµενό τους Έτσι ( ) ( ) ( ) Στο 1 ο µέλος ο συντελεστής του πρέπει να είναι σταθερός αριθµός και έτσι ( ) ( ) ( ) P(x) = α x ρ x ρ x ρ ν 1 ν 1 ν ν x είναι α ν, οπότε στο ο µέλος ο συντελεστής του π(x) = α, που σηµαίνει ότι ν ν x Ορισµός: Μια ρίζα ρ ενός πολυωνύµου P(x), λέγεται πολλαπλή τάξης κ ή βαθµού πολλαπλότητας τάξης κ, όταν ισχύει P(x) = ( x ρ) κ φ(x) και φ(ρ) 0, κ N ΘΕΩΡΗΜΑ 4: Αν ρ είναι πολλαπλή ρίζα τάξης κ ενός πολυωνύµου P(x), τότε υπάρχει ένα πολυώνυµο φ(x) 0 P(x) = x ρ φ(x), µε φ(ρ) 0, ώστε ( ) κ Απόδειξη: Αφού ρ πολλαπλή ρίζα τάξης κ του P(x), δηλαδή ( x ρ ) κ / P(x), υπάρχει πολυώνυµο φ(x) 0 P(x) = x ρ φ(x) (1) Θα αποδείξουµε τώρα ότι φ(ρ) 0 Αν ήταν φ(ρ) = 0,, ώστε ( ) κ κ τότε ( x ρ ) /φ(x) φ(x) = ( x ρ) π(x), οπότε η (1) δίνει ( ) ( ) = ( ) κ 1, που σηµαίνει ότι ( ) κ + x 1 + P(x) x ρ π(x) P(x) = x ρ x ρ π(x) ρ / P(x) που είναι άτοπο Άρα φ(ρ) 0 ΘΕΩΡΗΜΑ 5: Αν το πολυώνυµο P(x) διαιρείται µε x α, το πολυώνυµο P 1(x) διαιρείται µε x α, το P (x) διαιρείται µε x α κλπ το P ν (x)διαιρείται µε x α, όπου τα Ρ 1,Ρ,,Ρ ν είναι αντίστοιχα τα πηλίκα των διαιρέσεων Ρ(x) : x α,ρ (x) : x α,,ρ (x) : x α, τότε το P(x) διαιρείται µε ( x α) ν, ( ) ( ) ( ) * ν N 1 ν Απόδειξη: Ισχύουν: Ρ(α) = 0,Ρ 1(α) = 0,,Ρ ν (α) = 0, έτσι έχουµε: ( ) ( ) ( ) Ρ(x) x α Ρ (x) = 1 Ρ 1(x) = x α Ρ (x) ( i) ν Ρ (x) = x α Ρ 3(x) Ρ(x) = ( x α) P ν (x), άρα το πολυώνυµο P(x) διαιρείται µε το( x α) ν Ρ ν 1(x) = ( x α) Ρ ν (x)

15 ν ν 1 ΘΕΩΡΗΜΑ 6: Αν το πολυώνυµο P(x) = ανx + αν 1x + + α1x + αο µηδενίζεται για ν + 1τιµές διαφορετικές µεταξύ τους, τότε αυτό είναι το µηδενικό πολυώνυµο Απόδειξη: Έστω ρ 1,ρ,,ρ ν,ρ ν + 1 οι ν + 1διαφορετικές µεταξύ τους τιµές που µηδενίζουν το P(x) Άρα P(x) αν ( x ρ1) ( x ρ ) ( x ρν) P(ρ ) α ( ρ ρ ) ( ρ ρ ) ( ρ ρ ) = και για x = ρ ν + 1παίρνουµε: = και αφού P(ρ ν+ 1) = 0 και ρ1 ρ ρν ρ1, ν+ 1 ν ν+ 1 1 ν+ 1 ν+ 1 ν ν 1 θα είναι αν = 0 δηλαδή P(x) = αν 1x + + α1x + αο Εργαζόµενοι µε τον ίδιο τρόπο, φτάνουµε στο α = ν 1 0 και συνεχίζοντας έτσι, παίρνουµε αν = α ν 1 = = α1 = αο = 0, δηλαδή το P(x) είναι το µηδενικό πολυώνυµο ΠΟΡΙΣΜΑ 1: Κάθε πολυώνυµο ν βαθµού, έχει ν το πολύ διαφορετικές (µιγαδικές) ρίζες ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: ν ν 1 Κάθε πολυώνυµο P(x) = ανx + αν 1x + + α1x + αοβαθµού ν 1, αναλύεται σε γινόµενο ν πρωτοβάθµιων παραγόντων, άρα έχει το πολύ ν διαφορετικές ρίζες Έστω ότι το πολυώνυµο P(x) έχει ρίζες τις ρ 1,ρ,,ρ ν,ρ κ, µε κ ν και βαθµούς πολλαπλότητας µ 1,µ,,µ κ αντίστοιχα µ 1 µ µ κ ν 1 κ =, µε µ 1 + µ + + µ κ = ν Έτσι, κάθε πολυώνυµο P(x) βαθµού ν κ έχει κ διαφορετικές ρίζες κ ν µε βαθµούς πολλαπλότητας µ 1,µ,,µ κ αντίστοιχα, όπου µ 1 + µ + + µ κ = ν Άρα P(x) α ( x ρ ) ( x ρ ) ( x ρ ) ν ν 1 ΠΟΡΙΣΜΑ : Αν το πολυώνυµο P(x) = ανx + αν 1x + + α1x + αο µηδενίζεται για άπειρες τιµές του x, είναι το µηδενικό πολυώνυµο ΠΟΡΙΣΜΑ 3: Αν δυο πολυώνυµα P(x),Q(x)βαθµού ν παίρνουν τις ίδιες τιµές για ν + 1 διαφορετικές τιµές του x, τότε τα πολυώνυµα είναι ίσα - 1 -

16 ΘΕΩΡΗΜΑ 7: Αν ένα πολυώνυµο P(x) έχει ρίζα την α+ β, θα έχει ρίζα και την α β, β 0 Απόδειξη: (1) Το πολυώνυµο P(x) διαιρούµενο µε φ(x), δίνει πηλίκο π(x) και πρωτοβάθµιο υπόλοιπο γx + δ Άρα P(x) = φ(x)π(x) + γx + δ () Έστω ένα πολυώνυµο ου βαθµού φ(x) = x ( α+ β) x ( α β) Η (1) δίνει φ( α+ β) = 0,φ( α β) = 0, ενώ η () για x = α+ β, γίνεται P( α+ β) = φ( α+ β) π( α+ β) + γ( α+ β) + δ και επειδή Ρ( α β) 0 + =, έχουµε : αγ δ 0 β 0 + = 0 = 0+ γ( α+ β) + δ αγ+ δ+ γ β = 0 γ = 0,δ = 0 γ β = 0 Έτσι η () γίνεται : P(x) = φ(x)π(x), η οποία µε τη σειρά της για x = α β, δίνει : P( α β) = φ( α β) π( α β) P( α β) = 0, αφού ( ) Άρα α β ρίζα του P(x) φ α β = 0 ΣΧΕΣΕΙΣ ΡΙΖΩΝ ΚΑΙ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΩΝ (Viete) Έστω ρ 1,ρ,,ρ ν ρίζες του πολυωνύµου θα έχουµε : P(x) α x α x α x α ν ν 1 = ν + ν ο, µε ν ( ) ( ) ( ) α x + α x + + α x + α = α x ρ x ρ x ρ ν ν 1 ν ν 1 1 ο ν 1 ν α α α ( ) ( ) ( ) ν ν 1 ν 1 1 ο x + x + + x + = x ρ1 x ρ x ρν αν αν αν Από την ταυτότητα του Νεύτωνα στο ο µέλος, έχουµε : α 0, ( ) ( ) ( ) ν α x + α x + + α x+ α = x ρ + ρ + + ρ x + ρρ + ρρ + + ρ ρ x + 1 ρρ ρ ν ν 1 ν ν 1 ν ν ν 1 1 ο 1 ν ν 1 ν 1 ν Έχουµε έτσι τους τύπους του Viete : αν 1 S1 = ρ1 + ρ + + ρ ν = α ν ν S = ρρ 1 + ρρ ρρ 1 ν + ρρ 3 + ρρ ν + + ρν 1ρ ν = αν ν 3 S3 = ρρρ ρρρ ρρρ 1 ν + + ρν ρν 1ρ ν = αν ( ) ν αο Sν = ρρ 1 ρν = 1 α ν α α

17 ΙΣΤΟΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Francois Viete ( ) Γεννήθηκε στη Γαλλία και σπούδασε νοµικά Εργάστηκε ως δικηγόρος και µετά ως σύµβουλος της Βρεττάνης Συνέβαλε σε µεγάλο βαθµό στη θεωρία των αλγεβρικών εξισώσεων µε µεθόδους και πορίσµατα µεγάλης αξίας εν απέκτησε ποτέ καθηγητική έδρα Στο έργο του, φαίνεται καθαρά η επίδραση του ιόφαντου και του Cardano Οι υπολογιστικές µέθοδοί του, αξιοποιήθηκαν και στην Αστρονοµία Στο θέµα αυτό, αφιέρωσε µεγάλο µέρος των δυνάµεών του γιατί όπως υποστήριζε, η Αστρονοµία αποτελεί τη µέγιστη δόξα των Μαθηµατικών Η ενασχόλησή του µε την Τριγωνοµετρία και τις κυκλικές συναρτήσεις, τον οδήγησαν στο να ασχοληθεί µε τον τετραγωνισµό του κύκλου, όπως και µε τον υπολογισµό του π, όπου πέτυχε την αξιοσηµείωτη προσέγγισή του 3, Έργα του Viete: Εισαγωγή στην αναλυτική επιστήµη, όπου θέτει τα θεµέλια της Άλγεβρας Πρότερα µορφολογικής Λογιστικής, φυσική προέκταση του προηγούµενου έργου Ζητητικά, 5 βιβλία όπου αναφέρονται οι µέθοδοι του πρώτου του έργου Μετά το θάνατο του Viete και µε βάση τις σηµειώσεις του, γράφτηκαν και τυπώθηκαν τα έργα : Περί αναγνωρίσεως των εξισώσεων Περί µετασχηµατισµού των εξισώσεων Μέθοδοι προσέγγισης των ριζών των αριθµητικών εξισώσεων οποιουδήποτε βαθµού Γεωµετρικών κατασκευών κανονική απογραφή Συµπλήρωµα Γεωµετρίας ΘΕΜΕΛΙΩ ΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ D ALEMBERT-GAUSS ΚΑΘΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΒΑΘΜΟΥ ν ΕΧΕΙ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑ ΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ, ΜΙΑ ΤΟΥΛΑΧΙΣΤΟΝ ΡΙΖΑ

18 ΣΧΟΛΙΑ: 1 Στο παραπάνω θεώρηµα, είναι ν 1 Όπως θα εξετάσουµε παρακάτω, σχετικά µε την ύπαρξη της λύσης µιας πολυωνυµικής εξίσωσης στο R, ισχύουν : Κάθε πολυωνυµική εξίσωση περιττού βαθµού, έχει µια τουλάχιστον ρίζα στο R Κάθε πολυωνυµική εξίσωση νιοστού βαθµού, έχει ν το πολύ ρίζες στοr ΙΣΤΟΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Jean Le Rond D Alembert ( ) Γεννήθηκε στη Γαλλία και σπούδασε Νοµικά, όµως δεν ασχολήθηκε πότε µε τη δικηγορία Ασχολήθηκε µε τις µελέτες του και έγινε µέλος της Ακαδηµίας Επιστηµών Προσκλήθηκε στις αυλές της Ευρώπης, αλλά αρνήθηκε Έργα του D Alembert: Πρόλογος περίφηµο έργο που τον έκανε ευρέως γνωστό και µέλος της Γαλλικής Ακαδηµίας Εγγραφή µεγάλου αριθµού άρθρων στη διάσηµη Μεθοδική Εγκυκλοπαίδεια Πραγµατεία υναµικής, σύγγραµµα που τον έφερε στην κορυφή της δόξας Μεγάλη θεωρείται η προσφορά του για τη διατύπωση και απόδειξη της θεµελιώδους πρότασης της θεωρίας των αλγεβρικών εξισώσεων Ασχολήθηκε πρώτος µε συστήµατα διαφορικών εξισώσεων και έδειξε ότι µπορούν να ολοκληρωθούν ορισµένες συναρτησιακές εξισώσεις Στη θεωρία των παλλόµενων χορδών, έδωσε πλήρως ικανοποιητικό περιεχόµενο, εκφράζοντάς την µε διαφορική εξίσωση µερικών παραγώγων Το ΘΕΩΡΗΜΑ D ALEMBERT, λέγεται και θεµελιώδες θεώρηµα της άλγεβρας και διατυπώθηκε από τον D Allembert το 1764, χωρίς όµως αυστηρή απόδειξη Η πρώτη αυστηρή απόδειξη έγινε από τους Gauss και Cauchy Το θεώρηµα αυτό, εξασφαλίζει την ύπαρξη ρίζας πολυωνυµικής εξίσωσης, δεν δίνει όµως µέθοδο εύρεσης της ρίζας Οι µέθοδοι για την εύρεση των ριζών µιας πολυωνυµικής εξίσωσης, είναι η εύρεση γενικών τύπων µε τους οποίους οι ρίζες της εξίσωσης εκφράζονται από παραστάσεις των συντελεστών της εξίσωσης Αποδεικνύεται ότι έχουµε τύπους για εξισώσεις 3 ου και 4 ου βαθµού ( Μέθοδος Cardano ) Ο Abel απέδειξε το 184 ότι δεν είναι δυνατόν να βρεθούν γενικοί τύποι για εξίσωση βαθµού µεγαλύτερου του 4 ου Tο 1831 ο Ιταλός µαθηµατικός και γιατρός Πάολο Ρουφίνι (Paolo Ruffini) απέδειξε οριστικά ότι µια γενική αλγεβρική εξίσωση τέταρτου βαθµού και πάνω, δεν ήταν επιλύσιµη µέσω ριζικών, δηλαδή µέσω της κατασκευής των τιµών των λύσεων, ξεκινώντας από τους συντελεστές και ύστερα από µια σειρά πράξεων, να φτάσει κανείς στην εξαγωγή της ρίζας

19 Ο µεγάλος Γάλλος µαθηµατικός Εβαρίστ Γκαλουά διαισθάνθηκε ιδιοφυώς την οδό µέσω της οποίας µπορούσε να διευκρινιστεί το πρόβληµα της γενικής επιλυσιµότητας εξισώσεων και επίσης διατύπωσε ορθά τις τρεις θεµελιώδεις έννοιες της θεωρίας, δηλαδή : 1 Της οµάδας µεταθέσεων (που σήµερα καλείται οµάδα του Γκαλουά) Της κανονικής υποοµάδας 3 Της επιλύσιµης οµάδας Όµως αυτό δεν σηµαίνει πως ήταν σε θέση να τις διατυπώσει µε πλήρη και αυστηρό τρόπο Η ολοκληρωµένη και τυπικώς ορθή ανασύνθεση της θεωρίας του Γκαλουά έγινε το 186 από τον µαθηµατικό Ενρίκο Μπέτι (Enrico Betti)Μέχρι την εποχή εκείνη αιωρούνταν θεµιτή µε τη στενή έννοια - η υποψία πως η θεωρία ήταν ασύστατη και αστήρικτη και ότι το πρόβληµα που αντιµετώπισε ο Γκαλουά ήταν άλυτο, ακριβώς όπως και το πρόβληµα του τετραγωνισµού του κύκλου Στην ίδια κατηγορία θα µπορούσε να ανήκει και το πρόβληµα για τη γενική επίλυση των αλγεβρικών εξισώσεων Έθετε τέτοια προβλήµατα υπολογισµού - όσο αυξανόταν ο αριθµός των εξισώσεων - ώστε κανείς δεν µπορούσε να πει αν υπήρχε ένα θεωρητικό εµπόδιο που καθιστούσε κατ' αρχήν αδύνατο τον καθορισµό του εάν και κάτω από ποιες συνθήκες είναι γενικώς επιλύσιµη µια εξίσωση Σήµερα, ακριβώς χάρη στις εργασίες του Γκαλουά, ξέρουµε πως αυτό το εµπόδιο δεν υπάρχει, ότι η δυσκολία του προβλήµατος ήταν ουσιαστικά πρακτική και συνίστατο στους άπειρους και περίπλοκους υπολογισµούς που έπρεπε ν' αντιµετωπίσει κανείς, αν ακολουθούσε την παραδοσιακή προσέγγιση Στη διάρκεια τριών περίπου αιώνων, πριν από την εποχή του Γκαλουά, οι µαθηµατικοί δεν είχαν κατορθώσει να σηµειώσουν καµιά πρόοδο σε αυτόν τον τοµέα Ας έχουµε υπόψη µας ότι πρόκειται για εξισώσεις αλγεβρικές, που πρέπει να επιλυθούν µε τις τέσσερις πράξεις της αριθµητικής (πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασµό και διαίρεση), συν την εξαγωγή της ρίζας Οι εξισώσεις πρώτου και δεύτερου βαθµού είχαν ήδη επιλυθεί από την εποχή των Βαβυλωνίων, που είχαν προσδιορίσει ότι για την πρωτοβάθµια εξίσωση αρκούν οι τέσσερις στοιχειώδεις πράξεις, ενώ η επίλυση της δευτεροβάθµιας εξίσωσης απαιτεί την εξαγωγή της τετραγωνικής ρίζας µιας συνάρτησης των συντελεστών της Όλα έδειχναν πως η επίλυση µιας εξίσωσης νιοστού βαθµού δεν απαιτούσε πράξεις πιο περίπλοκες από την εξαγωγή νιοστών ριζών Κανένας όµως δεν µπόρεσε ποτέ να αποδείξει (όσο κι αν η απόδειξή του δεν είχε τύχει γενικής αποδοχής, µέχρι που την επιβεβαίωσε ο Άµπελ το 184) ότι µια γενική αλγεβρική εξίσωση βαθµού ανώτερου του τέταρτου δεν επιλύεται µέσω ριζικών Αυτό όµως δεν σήµαινε πως είχαν φτάσει σε ένα τελεσίδικο όριο Πράγµατι, το θεώρηµα Ρουφίνι Άµπελ ισχύει µόνο για τις γενικές αλγεβρικές εξισώσεις, όταν δηλαδή οι συντελεστές της εξίσωσης είναι γενικοί, αλλά δεν ισχύει για ειδικές εξισώσεις Ήταν γνωστό πως υπάρχουν ειδικές περιπτώσεις εξισώσεων πέµπτου ή και ανώτερου βαθµού που λύνονται µέσω τεχνασµάτων τα οποία επιτρέπουν τον υποβιβασµό σε τέταρτο ή και ακόµα πιο κάτω Με δυο λόγια, δεν υπήρχε ένα κριτήριο που θα επέτρεπε να γνωρίζουµε εκ των προτέρων αν µια εξίσωση πέµπτου ή και ανώτερου βαθµού µπορούσε ή όχι να λυθεί µέσω ριζικών Μια αρκετά διαδεδοµένη άποψη οδηγούσε τον ενδιαφερόµενο να πιστέψει ότι κατά κανόνα ήταν αδύνατον, και πως οι σποραδικά εντοπισµένες λύσεις για εξισώσεις πέµπτου ή και εβδόµου βαθµού ήταν µάλλον ασήµαντες εξαιρέσεις Το αποτέλεσµα που πέτυχαν οι Ρουφίνι και Αµπέλ, έµοιαζε να ενισχύει την πεποίθηση αυτή Η σηµασία της θεωρίας του Γκαλουά έγκειται στο γεγονός ότι κατάφερε να εντοπίσει οριστικά κριτήρια για το αν οι λύσεις µιας δεδοµένης εξίσωσης µπορούσαν ή όχι να αναζητηθούν µέσω ριζικών Κατάφερε δηλαδή να προσδιορίσει τις γενικές συνθήκες για την επιλυσιµότητα ή µη των εξισώσεων

20 Για να φτάσει στο αποτέλεσµα αυτό, ο Γκαλουά ακολούθησε µια ιδιοφυή οδό: Αντί να επιχειρήσει να αντιµετωπίσει τη λύση των εξισώσεων του ενός ή του άλλου βαθµού, επινόησε µια γενική θεωρία οµάδων εξισώσεων βασισµένη σε πράξεις µετάθεσης µεταξύ των συντελεστών των ίδιων των εξισώσεων Οµαδοποίησε όλες τις εξισώσεις που προκύπτουν από διαφορετικούς συνδυασµούς των ίδιων συντελεστών Άλλωστε, η θεωρία προβλέπει και επιτρέπει - την ανάλυση των υποοµάδων, που µπορούµε κατά κάποιον τρόπο να τη συγκρίνουµε µε τη διαδοχική «αποσύνθεση» µιας ρώσικης µπαµπούσκας : µέσα από τον προοδευτικό µηδενισµό των συντελεστών φτάνουµε σε µια ελάχιστη εξίσωση, που να είναι το πολύ τέταρτου βαθµού, δηλαδή ασφαλώς επιλύσιµη Εντέλει, ξεκινώντας απ' αυτή την εξίσωση προσπαθούµε να κάνουµε αναγωγή στην κύρια οµάδα Επιχειρούµε δηλαδή να αποδείξουµε πως η κύρια οµάδα µπορεί να σχηµατισθεί µε αφετηρία την εξίσωση αυτή Αν πετύχει το εγχείρηµα, τότε η εξίσωση νιοστού βαθµού (όπου ν µεγαλύτερο του 4) είναι επιλύσιµη, δηλαδή ανάγεται σε εξισώσεις που µπορούν να λυθούν µέσω εξαγωγής ρίζας Όταν όµως δεν είναι δυνατόν να αναχθούµε από την επιλύσιµη υποοµάδα στην κύρια οµάδα, η εξίσωση δεν είναι γενικά επιλύσιµη Η ιδέα ήταν επαναστατική και δίχως άλλο, θα πρέπει να φάνηκε ενδιαφέρουσα µε την πρώτη µατιά ακόµα και στον Πουασόν, αλλά µέχρι να αποδειχτεί η θεωρία σε όλα της τα σηµεία, δεν επιτρεπόταν να την αποδεχτούν Οφείλουµε να θυµίσουµε ότι, σε πρώτη φάση, τόσο ο Άµπελ όσο και ο Γκαλουά ήταν βέβαιοι πως είχαν αποδείξει τη γενική - µέσω ριζικών - επιλυσιµότητα των εξισώσεων πέµπτου βαθµού, που κατόπιν αποδείχθηκε αδύνατη ΟΜΟΓΕΝΗ ΚΑΙ ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 3 ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Ορισµός: Ακέραιο πολυώνυµο τριών µεταβλητών x, y, z, λέγεται κάθε άθροισµα ακέραιων µονωνύµων των x, y, z (δυο τουλάχιστον ανόµοια) : κ 1 λ 1 µ 1 κ λ µ κ λ µ f x, y, z = α x y z + α x y z + + α x y z, ( ) ν ν ν 1 ν όπου α 1,α,,αν Rκαι κ i,λ i,µ i N, µε i = 1,,,ν ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Όπως στα πολυώνυµα P(x) µιας µεταβλητής, έτσι και στα πολυώνυµα f ( x, y, z ) τριων µεταβλητών ισχύουν: f ( x, y, z) φ( x, y, z) = 0 1 Αν και f ( x, y,z) = 0 φ( x, y, z) 0 Αν ( ) ( ) ( ) ( ) f x, y, z φ x, y, z = g x, y,z φ x, y,z και f x, y, z = f x, y,z φ( x, y, z) 0 ( ) ( ) ιαιρετότητα πολυωνύµων τριών µεταβλητών Ορισµός: Ένα πολυώνυµο f ( x, y, z ) διαιρείται µε το ( ) π( x, y,z) τέτοιο ώστε f ( x, y, z) φ( x, y,z) π( x, y,z) φ x, y,z 0, αν υπάρχει πολυώνυµο =

21 ΘΕΩΡΗΜΑ 1: Αν το πολυώνυµο ( ) και αντίστροφα f x, y, z διαιρείται µε x y, τότε f ( y, y,z) = 0 Απόδειξη: ( ) Έστω π( x, y,z ) το πηλίκο της διαίρεσης f ( x, y,z ) :( x y) Τότε f ( x, y, z) ( x y) π( x, y, z) οπότε για x = y, παίρνουµε: f ( y, y,z) = ( y y) π( y, y, z) f ( y, y,z) = 0 ( ) Έστω f ( y, y,z) = 0 (1) Για τη διαίρεση f ( x, y,z ) :( x y) θα έχουµε ένα πηλίκο ( ) βαθµού ως προς x, υ( y, z) οπότε η ταυτότητα της διαίρεσης γράφεται: f ( x, y, z) = ( x y) π( x, y,z) + υ( y,z) () =, π y, y, z και υπόλοιπο µηδενικού Για x = yη () γίνεται : f ( y, y,z) = ( y y) π( y, y, z) + υ( y,z) υ( y,z) = 0 Άρα η () δίνει f ( x, y, z) = ( x y) π( x, y, z) ( x y ) / f ( x, y, z) (1) ΘΕΩΡΗΜΑ : Αν το πολυώνυµο f ( x, y, z ) διαιρείται µε τα x y, y z, z x, τότε θα διαιρείται και µε το γινόµενό τους ( x y) ( y z) ( z x) Απόδειξη: Αφού ( x y ) / f ( x, y,z) f ( x, y,z) = ( x y) π( x, y,z) (1) Για y = z, η (1) γίνεται: f ( x, z, z) = ( x z) π ( x,z, z) () () Επειδή ( y z ) / f ( x, y, z) f ( x, z,z) = 0 π1( x,z,z) = 0 Άρα ( y z ) /π1( x, z,z) που σηµαίνει ότι π1( x, z,z) ( y z) π ( x, y,z) f ( x, y, z) = ( x y)( y z) π ( x, y,z) (4) Για z = x, η (4) γίνεται f ( x, y, x) = ( x y)( y x) π ( x, y, x) (5) 1, = (3), και έτσι η (1) λόγω της (3) δίνει (5) Επειδή ( z x ) / f ( x, y,z) f ( x, y, x) = 0 π ( x, y, x) = 0 Αφού π ( x, y, x) = 0 ( z x ) /π ( x, y, z) Έτσι π ( x, y, z) = 0 ( z x ) /π( x, y,z) (6) Οπότε η (4) λόγω της (6), δίνει f ( x, y, z) = ( x y)( y z)( z x) π( x, y, z) Άρα ( x y)( y z)( z x ) / f ( x, y,z) ΠΟΡΙΣΜΑ: Αν το πολυώνυµο f ( x, y, z ) διαιρείται µε : i) Τα x + y, y+ z,z+ x, τότε θα διαιρείται και µε το ( x y)( y z)( z x) ii) Τα x, y, zτότε θα διαιρείται και µε το xyz iii) Τα x + y z, y+ z x, z+ x y, τότε θα διαιρείται και µε το ( x + y z)( y+ z x)( z+ x y)

22 Ορισµοί: 1 Ένα πολυώνυµο P(x, y, z)ονοµάζεται οµογενές, αν όλοι οι όροι του έχουν τον ίδιο βαθµό ως προς x, y, z Ένα πολυώνυµο P(x, y, z) ονοµάζεται οµογενές βαθµού ν, αν P( λx,λy,λz) = λ ν P( x, y,z) µε λ, z, y, z 0και ν N ΘΕΩΡΗΜΑ 1: Το γινόµενο δυο οµογενών πολυωνύµων, είναι οµογενές πολυώνυµο βαθµού ίσου µε το άθροισµα των βαθµών των πολυωνύµων Απόδειξη: Έστω τα οµογενή πολυώνυµα f (x, y, z),φ(x, y,z)µε βαθµό οµοιογένειας ν, µ αντίστοιχα, τότε ( ) ν λ f ( x, y,z) ( ) µ λ φ( x, y,z) f λx,λy,λz = ( i) f λx,λy,λz φ λx,λy,λz = λ f x, y,z φ x, y,z φ λx,λy,λz = ηλαδή το γινόµενο είναι οµογενές πολυώνυµο βαθµού ν + µ ν + µ ( ) ( ) ( ) ( ) ΠΡΟΣΟΧΗ: Το γινόµενο ενός οµογενούς και ενός µη οµογενούς πολυωνύµου, είναι πολυώνυµο µη οµογενές ΘΕΩΡΗΜΑ : Το πηλίκο της τέλειας διαίρεσης δυο οµογενών πολυωνύµων, είναι οµογενές πολυώνυµο βαθµού ίσου µε τη διαφορά των βαθµών των πολυωνύµων Απόδειξη: Έστω τα πολυώνυµα f (x, y, z),φ(x, y,z) µε βαθµούς οµοιογένειας ν, µ ( ν > µ ) αντίστοιχα Είναι ( ) ν λ f ( x, y,z) ( ) µ λ φ( x, y,z) Επίσης, f ( λx,λy,λz) φ( λx,λy,λz) π( λx,λy,λz) π( λx,λy,λz) ( ) ( ) ( ) ( ) f λx,λy,λz = f x, y, z και f ( x, y, z) = φ( x, y,z) π( x, y, z) π( x, y, z) = (1) φ λx,λy,λz = φ x, y,z f λx,λy,λz = = φ λx,λy,λz ν µ f ( x, y, z) π( λx,λy,λz) = λ () φ( x, y,z) Από τις (1), () ( ) ν π λx,λy,λz λ µ π( x, y, z) µε βαθµό ν µ = δηλαδή το πηλίκο είναι οµογενές πολυώνυµο ΠΡΟΣΟΧΗ: Το άθροισµα και η διαφορά δυο οµογενών πολυωνύµων, δεν είναι πάντα οµογενές πολυώνυµο

23 Ορισµός 1 : Ένα πολυώνυµο f (x, y, z)λέγεται συµµετρικό, όταν µε οποιαδήποτε µετάθεση (1) των µεταβλητών του, προκύπτει πολυώνυµο ίσο µε το αρχικό Ορισµός : Ένα πολυώνυµο f (x, y, z)λέγεται κυκλικά συµµετρικό, όταν µε οποιαδήποτε κυκλική µετάθεση () των µεταβλητών του, προκύπτει πολυώνυµο ίσο µε το αρχικό Για παράδειγµα, τα πολυώνυµα P( x, y, z) = x + y+ zκαι Q( x, y, z) = xy+ xz+ yz είναι συµµετρικά ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ: 1 Είναι φανερό ότι κάθε συµµετρικό πολυώνυµο, είναι και κυκλικά συµµετρικό Το αντίστροφο δεν ισχύει Στην περίπτωση πολυωνύµων δυο µεταβλητών, οι δυο παραπάνω έννοιες, ταυτίζονται (1) Μετάθεση ονοµάζουµε κάθε συνάρτηση p : N Nγια την οποία ισχύει 1 n p(n) = p(1) p() p(n) () Κυκλική µετάθεση, ονοµάζουµε κάθε µετάθεση της µορφής 1 n 1 n 1 n 1 ΘΕΩΡΗΜΑ 1: Το άθροισµα, η διαφορά και το γινόµενο δυο συµµετρικών πολυωνύµων, είναι πάντα συµµετρικό πολυώνυµο Απόδειξη: Έστω τα συµµετρικά πολυώνυµα f ( x, y, z ),φ( x, y,z ) Ισχύει f ( x, y,z) + φ( x, y, z) = t( x, y, z) (1) x y z y z x Για οποιαδήποτε µετάθεση των x, y, z πχ την, είναι f ( y,z, x ) φ ( y, z, x ) t ( y, z, x ) Όµως f, φ συµµετρικά πολυώνυµα, δηλαδή f ( x, y, z) = f ( y, z, x) και φ( x, y,z) = φ( y, z, x) οπότε από τις (1) και () παίρνουµε t( x, y,z) = t( y, z, x), δηλαδή το άθροισµα t, είναι συµµετρικό πολυώνυµο Όµοια εργαζόµαστε και για τις άλλες δυο περιπτώσεις + = () - 0 -

24 ΘΕΩΡΗΜΑ : Το πηλίκο της τέλειας διαίρεσης δυο συµµετρικών πολυωνύµων µε ίδιες µεταβλητές, είναι συµµετρικό πολυώνυµο Απόδειξη: Έστω τα συµµετρικά πολυώνυµα f ( x, y, z ),φ( x, y,z) 0 και το πηλίκο ( ) f ( x, y, z ) :φ( x, y, z ) Τότε η ταυτότητά της, δίνει : f ( x, y, z) φ( x, y,z) π( x, y,z) x y z y z x π x, y,z της διαίρεσης = (1) Για οποιαδήποτε µετάθεση των x, y, z πχ την, είναι f ( y,z, x ) φ ( y,z, x ) π ( y,z, x ) Όµως τα f, φ είναι συµµετρικά πολυώνυµα, δηλαδή f ( x, y, z) = f ( y, z, x) και φ( x, y,z) = φ( y, z, x) οπότε από τις (1) και () παίρνουµε π( x, y,z) = π( y, z, x), δηλαδή το πηλίκο π, είναι συµµετρικό πολυώνυµο = () ΘΕΩΡΗΜΑ 3: Αν το συµµετρικό πολυώνυµο ( ) και µε το ( x y) f x, y διαιρείται µε το x y, τότε θα διαιρείται Απόδειξη: Αφού ( x y ) / f ( x, y), θα είναι f ( x, y) = ( x y) π( x, y) (1) Με εναλλαγή των γραµµάτων x, y έχουµε f ( y, x) = ( y x) π( y, x) () Όµως f συµµετρικό πολυώνυµο, δηλαδή f ( x, y) f ( y, x) =, οπότε από τις (1), (), έχουµε: x y 0 ( x y) π( x, y) = ( y x) π( y, x) ( x y) π( x, y) + π( y, x) = 0 π( x, y) + π( y, x) x = y, π( y, y) + π( y, y) = 0 π( y, y) = 0 ( x y ) /π( x, y) π( x, y) = ( x y) φ( x, y) Έτσι, η (1) γίνεται f ( x, y) = ( x y) φ( x, y) που σηµαίνει ότι το ( x y) διαιρεί το πολυώνυµο f ( x, y ) και για ΘΕΩΡΗΜΑ 4: Αν το συµµετρικό πολυώνυµο f ( x, y, z ) διαιρείται µε το φ( x, y,z) 0 (όχι κατ ανάγκη συµµετρικό), τότε θα διαιρείται και µε οποιοδήποτε πολυώνυµο που προκύπτει από το φ( x, y,z ), µε οποιαδήποτε µετάθεση των µεταβλητών του Απόδειξη: Αφού φ( x, y, z ) / f ( x, y,z ), θα έχουµε f ( x, y, z) φ( x, y,z) π( x, y,z) Μια τυχαία µετάθεση των x, y, z είναι η = (1) x y z, οπότε έχουµε: y x z f ( y, x, z) = φ( y, x,z) π( y, x,z) () Όµως f συµµετρικό πολυώνυµο, δηλαδή f ( x, y, z) f ( y, x, z) =, οπότε η (), γίνεται : f ( x, y, z) = φ( y, x,z) π( y, x,z), απ όπου φ( y, x, z ) / f ( x, y,z ) Όµοια δείχνουµε ότι το f ( x, y, z ) διαιρείται µε κάθε άλλο πολυώνυµο που προκύπτει από το φ( x, y,z ), µε οποιαδήποτε άλλη µετάθεση των x, y, z - 1 -

25 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ: 1 Όλα τα παραπάνω που αναφέρονται στα συµµετρικά πολυώνυµα, ισχύουν και στα κυκλικά συµµετρικά πολυώνυµα Ένα πολυώνυµο, µπορεί να είναι οµογενές χωρίς να είναι συγχρόνως και κυκλικά συµµετρικό και αντίστροφα ένα πολυώνυµο, µπορεί να είναι κυκλικά συµµετρικό χωρίς να είναι συγχρόνως οµογενές Υπάρχουν όµως και περιπτώσεις που ένα πολυώνυµο είναι οµογενές και κυκλικά συµµετρικό που προκύπτει από ένα κυκλικά συµµετρικό πολυώνυµο αν παραλειφθούν οι όροι που καταστρέφουν την οµογένεια Τα µοναδικά οµογενή και συµµετρικά κυκλικά πολυώνυµα, ανάλογα µε το βαθµό τους, είναι: 1 ου βαθµού : α( x + y + z) + +, µε α 0 ου βαθµού : α( x + y + z ) + β( xy + yz + zx) , µε α, β 0 3 ου βαθµού : ( ) ( ) α x + y + z + β x y + x z + y x + y z + z x + z y + γxyz, µε α, β, γ 0 - -

26 ΜΕΡΟΣ ΛΥΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ αx + β = 0 Έστω η εξίσωση αx + β = 0,µεα,β R ιακρίνουµε τις περιπτώσεις : β Αν α 0, τότε αx + β = 0 x =, δηλαδή η εξίσωση αx + β = 0έχει µοναδική ρίζα, α β την x = α Αν α = 0, τότε αx + β = 0 0 x = β (1) i) Αν β 0, τότε η εξίσωση είναι αδύνατη, δηλαδή δεν έχει ρίζα στο R ii) Αν β = 0, τότε η (1), δίνει 0 x = 0και η εξίσωση αληθεύει για κάθε x R (Αόριστη ή ταυτότητα) Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζουν οι παραµετρικές πρωτοβάθµιες εξισώσεις, όπου διερευνούµε για τις διάφορες τιµές της παραµέτρου την εξίσωση, µετατρέποντάς την στη µορφή αx = β όπου τα α, β είναι σε µορφή γινοµένου λ x 1 + 1= λx ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ: Να διερευνηθεί, για τις διάφορες τιµές του λ R, η εξίσωση ( ) Λύση: Η εξίσωση γράφεται λ( λ 1) x = ( λ 1)( λ+ 1) (1) Αν λ( λ 1) 0 λ 0καιλ 1 ( λ 1 )( λ + 1 ) λ + 1 x = x = λ λ 1 ( ) λ Αν λ( λ 1) = 0 λ = 0ήλ = 1, τότε η (1) έχει µοναδική λύση, την i) Αν λ = 0 η (1) δίνει 0x = 1που είναι αδύνατη ii) Αν λ = 1η (1) δίνει 0x = 0που είναι αόριστη - 3 -

27 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ αx + βx + γ = 0, α 0 Ορισµός: Κάθε εξίσωση της µορφής αx + βx + γ = 0 µε α,β,γ R και α 0, λέγεται εξίσωση ου βαθµού µε άγνωστο τον x Ελλειπείς µορφές εξισώσεων ου βαθµού : 1 αx = 0 x = 0 (διπλή ρίζα) ( ) αx + βx = 0 x αx + β = 0 x = 0ήx = α β 3 αx + γ = 0 x = α ιακρίνουµε τις περιπτώσεις : γ γ γ Αν < 0 > 0 ( α γ < 0), τότε η εξίσωση έχει δυο ρίζες αντίθετες : x1, = ± α α α γ γ Αν > 0 < 0 ( α γ > 0), τότε η εξίσωση είναι αδύνατη στο R α α γ Πλήρης µορφή εξίσωσης ου βαθµού : Η παράσταση β± β 4αγ + + = = α αx βx γ 0,α 0 x1, β 4αγ συµβολίζεται µε και ονοµάζεται διακρίνουσα της εξίσωσης Το πρόσηµο της διακρίνουσας, χαρακτηρίζει το είδος των ριζών της εξίσωσης i) Αν < 0, η εξίσωση δεν έχει ρίζες στο R β ii) Αν = 0, η εξίσωση έχει δυο ίσες ρίζες (µια διπλή ρίζα) στο R, τις x1 = x = α β± iii) Αν > 0, η εξίσωση έχει δυο ρίζες άνισες στο R, τις x1, = α Για το είδος των ριζών µιας εξίσωσης ου βαθµού αx + βx + γ = 0,α 0, ισχύουν οι παρακάτω προτάσεις: ΠΡΟΤΑΣΗ 1: Ικανή και αναγκαία συνθήκη ώστε η εξίσωση να έχει δυο ρίζες ρητές, είναι = λ,λ R ΠΡΟΤΑΣΗ : Ικανή και αναγκαία συνθήκη ώστε η εξίσωση να έχει δυο ρίζες άρρητες της µορφής κ ± λ, είναι > 0µε λ,λ R ΠΡΟΤΑΣΗ 3 : Ικανή συνθήκη ώστε η εξίσωση να έχει δυο ρίζες πραγµατικές και άνισες, είναι α γ < 0 Η συνθήκη δεν είναι αναγκαία, δηλαδή αν > 0, δεν προκύπτει πάντα ότι α γ < 0 Για παράδειγµα, η εξίσωση x 4x + 3= 0 έχει = 4 > 0, ενώ α γ = 3> 0-4 -

28 Λύση Εξίσωσης ου βαθµού : Για να βρούµε τις λύσεις µιας εξίσωσης ου βαθµού ώστε να φτάσουµε στη µορφή ρίζες ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 1: Να λυθεί η εξίσωση ( ) αx + βx + γ = 0,α 0, κάνουµε πράξεις, αx + βx + γ = 0,α 0, βρίσκουµε τη διακρίνουσα και τις x x + 3 = 0 Λύση: Είναι = ( 3 + 1) = ( 3 + 1) 4 3 = ( 3 1 ) ( 3 + 1) + ( 3 1) ( ρ ) ± ( 3 1) 1 = = 3 ρ 1, = = ( 3 + 1) ( 3 1) ρ = = 1, οπότε ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ : Να λυθεί η εξίσωση αβ α β x = x 4 Λύση: αβ α β = 4 ( ) = x x 4x α β x αβ 0 Είναι = ( α β) 4 4 ( αβ) = 4( α β) + 16αβ = 4( α+ β) ( α β) + ( α+ β) α ρ1 = = ( α β) ± ( α+ β) 4 ρ1, = = 8 ( α β) ( α+ β) β ρ = = 4 Έστω η εξίσωση Μεταβολές των συντελεστών και συνέπειες στις ρίζες : αx + βx + γ = 0,α 0 (1) µε ρίζες β + β ρ 1 =,ρ = α α 1 Αν πολλαπλασιάσουµε τους συντελεστές της (1) µε λ 0, έχουµε την εξίσωση : λαx + λβx + λγ = 0, η οποία είναι ισοδύναµη µε την (1), οπότε έχουν τις ίδιες ρίζες Αν αλλάξουµε το πρόσηµο του β στην (1), έχουµε την εξίσωση ρίζες β + β x1 = = ρ, x = = ρ1 δηλαδή : α α οι ρίζες x 1, x είναι αντίθετες των ριζών ρ 1, ρ της (1) αx βx γ 0 + = η οποία έχει - 5 -

29 3 Αν αλλάξουµε τα α, γ µεταξύ τους στην εξίσωση (1), προκύπτει η β+ β η οποία έχει ρίζες x 1 =, x = οπότε : γ γ ( β) β ( β 4αγ) γx + βx + α = 0, β+ β 4αγ x1 ρ = = = = = 1και όµοια x ρ1 = 1 γ α 4αγ 4αγ 4αγ δηλαδή οι ρίζες x 1, x είναι αντίστροφες των ριζών ρ 1, ρ της (1) 4 Αν αλλάξουµε τα α, γ µεταξύ τους και το πρόσηµο στην εξίσωση (1), προκύπτει η εξίσωση 1 1 γx βx + α = 0η οποία λόγω των και 3 έχει ρίζες x = 1, x ρ = ρ1 δηλαδή οι ρίζες x 1, x είναι αντίθετα αντίστροφες των ριζών ρ 1, ρ της (1) 5 Αν πολλαπλασιάσουµε το β µε λ 0 και το γ µε λ 0 στην εξίσωση (1), προκύπτει η λβ± λβ 4λαγ β± β 4αγ 1, = = = 1, εξίσωση αx + λβx + λγ = 0 που έχει ρίζες x λ λ ρ α α δηλαδή οι ρίζες x 1, x είναι πολλαπλάσιες κατά λ των ριζών ρ 1, ρ της (1) 6 Αν πολλαπλασιάσουµε το β µε λ 0 και το α µε λ 0 στην εξίσωση (1), προκύπτει η λβ± λβ 4λαγ 1 β± β 4αγ 1 1, = = = ρ 1, εξίσωση λαx + λβx + γ = 0 που έχει ρίζες x λ α λ α λ δηλαδή οι ρίζες x 1, x είναι πολλαπλάσιες κατά 1/ λ των ριζών ρ 1, ρ της (1) 7 Αν πολλαπλασιάσουµε το α µε λ 0 και διαιρέσουµε το γ µε λ 0 στην εξίσωση (1), 1 προκύπτει η εξίσωση λαx + βx + γ = 0 λαx + λβx + γ = 0, δηλαδή έχουµε την λ περίπτωση 6 8 Αν διαιρέσουµε το α µε λ 0 και πολλαπλασιάσουµε το γ µε λ 0 στην εξίσωση (1), 1 προκύπτει η εξίσωση αx + βx + λγ = 0 αx + λβx + λγ = 0, δηλαδή έχουµε την λ περίπτωση 5-6 -

30 Πρόσηµο των ριζών : Ιδιαίτερο ενδιαφέρον για την εξίσωση ου βαθµού αx + βx + γ = 0,α 0 (1) σε ότι αφορά το πρόσηµο των ριζών της Συµπεράσµατα για την εξίσωση (1), βγαίνουν από τις σχέσεις = β 4αγ, β γ S = ρ + 1 ρ =, P ρ1 ρ α = = α ( Τύποι Viete ), χωρίς την επίλυση της εξίσωσης Έτσι, έχουµε : 1 > 0 ρ 1,ρ R µερ1 ρ Ρ > 0 ρ 1,ρ ετερόσηµες S > 0 ρ 1,ρ > 0 S = 0 Αδύνατο S < 0 ρ 1,ρ < 0 P = 0 ρ1 = 0ήρ = 0 S > 0 ρ1 = 0,ρ > 0 S = 0 Αδύνατο S < 0 ρ1 < 0,ρ = 0 P < 0 ρ 1,ρ ετερόσηµες µε ρ1 < 0,ρ > 0 S > 0 ρ > ρ 1 S = 0 ρ 1,ρ αντίθετες S < 0 ρ 1 > ρ = 0 ρ 1,ρ R µερ1 = ρ S > 0 ρ1 = ρ > 0 S = 0 ρ1 = ρ = 0 S < 0 ρ1 = ρ < 0 3 < 0 Η εξίσωση δεν έχει πραγµατικές ρίζες ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Για τις ασκήσεις σε διερευνητικές διαδικασίες, έχουµε δυο ζητήµατα : α) Αν ζητάµε το είδος των ριζών της εξίσωσης, υπολογίζουµε µόνο το πρόσηµο του β) Αν ζητάµε το πρόσηµο των ριζών της εξίσωσης, υπολογίζουµε τα πρόσηµα των, P, S - 7 -

31 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 1: Να βρεθεί το είδος των ριζών της εξίσωσης β γ α x + γx + α β γ = 0 µε α,β,γ R καιβ γ α ( ) ( ) Λύση: ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) = γ 4 β γ α α β γ = 4γ 4 γ+ α β γ α β = 4γ 4 γ α β = = 4( α β) 0 Άρα η εξίσωση έχει πραγµατικές ρίζες και ειδικότερα, i) Αν α β > 0 οι ρίζες είναι άνισες ii) Αν α = β = 0οι ρίζες είναι ίσες µε α= β γ γ ρ1 = ρ = = = 1 β γ α γ ( ) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ : Να βρεθεί το πρόσηµο των ριζών της εξίσωσης ( ) Είναι ( ) ( ) Λύση: = λ+ 1 4λ = λ 1 0, P = λ > 0και S = λ + 1> 0 * x λ + 1 x + λ = 0,λ R ιακρίνουµε τις περιπτώσεις : Αν λ ± 1, > 0, P > 0, S > 0 οπότε η εξίσωση έχει δυο ρίζες πραγµατικές, άνισες, οµόσηµες και θετικές Αν λ = ± 1, = 0, P > 0, S > 0 οπότε η εξίσωση έχει δυο ρίζες πραγµατικές, ίσες και θετικές - 8 -

32 ΕΙ ΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΕΣ ΘΕΜΑ 1 : Αν η εξίσωση είναι κλασµατική, πρέπει πρώτα να βρούµε το σύνολο στο οποίο ορίζεται η εξίσωση, ώστε να έχουµε τους πιθανούς περιορισµούς ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ : Να λυθεί η εξίσωση 3x 1 x + x 1 = x 1 x x x Λύση: 3x 1 x + x 1 3x 1 x + x 1 = = x 1 x x x x 1 x x( x 1) Το ΕΚΠ της εξίσωσης είναι το x( x 1) και πρέπει ( ) Κάνουµε απαλοιφή παρονοµαστών και έχουµε x 3x 1 3 x 1 = x + x 1 x 4x + 3= 0, µε = 4 οπότε ρ ( ) ( ) 1, 4± ρ1 = 3 ( εκτή) = = ρ = 1 (Απορρίπτεται) x x 1 0 x 0 και x 1 ΘΕΜΑ : Αν η εξίσωση έχει απόλυτες τιµές, προσδιορίζουµε το πρόσηµο των παραστάσεων που είναι στα απόλυτα, ώστε διακρίνοντας περιπτώσεις για τις τιµές του x, να προκύπτει σε κάθε περίπτωση εξίσωση χωρίς απόλυτα ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ : Να λυθεί η εξίσωση x 3 1 x + x + x + = 0 Λύση: ( ) x 3 1 x x x 0 x 3 1 x x 0 x 3 1 x x = + + = + + = (1) ιακρίνουµε τις περιπτώσεις : Αν 1 x 0 x 1 > <, τότε η (1) γίνεται ( ) ± 6 απ όπου ρ1, = < 1 ( εκτές) 4 Αν 1 x 0 x 1 < >, τότε η (1) γίνεται ( ) µε = 36 < 0, οπότε η εξίσωση δεν έχει πραγµατικές ρίζες x 3 1 x x 0 x 4x = + =, x 3 1 x x 0 x x = + =, - 9 -

33 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΓΑΛΥΤΕΡΟΥ ΤΟΥ ου Ανάλογα µε τη µορφή της εξίσωσης κάθε φορά διακρίνουµε τις παρακάτω περιπτώσεις : Περίπτωση 1 : Εξισώσεις που λύνονται µε παραγοντοποίηση Χρησιµοποιούµε την ιδιότητα : Α Β Γ = 0 Α = 0 ή Β = 0 ή Γ = 0 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ : Να λύσετε την εξίσωση ( )( ) 3 x 7x + 14x 8 = 0 Λύση: ( ) ( )( ) ( ) 3 3 x 7x 14x 8 0 x 8 7x x 0 x x x 4 7x x 0 + = = + + = x = 0 x = x x 5x + 4 = 0 ή ή x 5x = x = 1ή x = 4 Περίπτωση : Εξισώσεις που λύνονται µε Σχήµα Horner Από τη θεωρία πολυωνύµων, χρησιµοποιούµε το παρακάτω θεώρηµα (ρητών ριζών) : ν ν 1 ΘΕΩΡΗΜΑ : Αν η πολυωνυµική εξίσωση ανx + αν 1x + + α1x + αο = 0 µε ακέραιους συντελεστές έχει λύση το ανάγωγο κλάσµα κ / λ, δηλαδή ( κ, λ ) = 1, τότε : Το κ είναι διαιρέτης του α ο και το λ είναι διαιρέτης του α ν Αφού το κ λ Απόδειξη: είναι λύση της εξίσωσης, θα έχουµε : ν ν 1 κ κ κ ν ν 1 ν 1 ν ν ν 1 1 ο ν ν 1 1 ο α + α + + α + α = 0 α κ + α κ λ + + ακλ + αλ = 0 (1) λ λ λ ν 1 ν κ α κ α κ λ αλ ν = αλ ν και επειδή το κ διαιρεί το 1 ο µέλος Από την (1), έχουµε ( ) θα διαιρεί και το ο µέλος, δηλαδή ν ν 1 1 ο κ / ν αλ ο και αφού ( κ, λ ) = 1, θα έχουµε ότι ο Από την (1), επίσης θα έχουµε α ν ( ν 1 ν ν 1 νκ λ αν 1κ αλ 1 κ αλ ο ) το ο µέλος θα διαιρεί και το 1 ο µέλος, δηλαδή κ /α = και επειδή το λ διαιρεί ν λ /ανκ και αφού ( κ, λ ) = 1, θα έχουµε ότι λ /α ν Για να λύσουµε µια πολυωνυµική εξίσωση µε το σχήµα Horner, κάνουµε τα εξής: Βρίσκουµε τους διαιρέτες του σταθερού όρου α ο Βρίσκουµε τους διαιρέτες του µεγιστοβάθµιου όρου α ν Σχηµατίζουµε όλα τα ανάγωγα κλάσµατα κ λ που είναι πιθανές ρίζες της εξίσωσης Παραγοντοποιούµε µε το σχήµα Horner και λύνουµε την εξίσωση * Το σχήµα Horner, ουσιαστικά εκτελεί τη διαίρεση P(x) : ( x ρ )

34 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ : Να λύσετε την εξίσωση 3 x + 13x + 13x 10 = 0 (*) Λύση: Οι διαιρέτες του σταθερού όρου αο = 10 είναι : ± 1, ±, ± 5, ± 10 Οι διαιρέτες του µεγιστοβάθµιου όρου α3 = είναι : ± 1, ± 1 5 Πιθανές ρίζες της εξίσωσης είναι τα ανάγωγα κλάσµατα ± 1, ±, ± 5, ± 10, ±, ± ρ = 1 Άρα η εξίσωση γίνεται : 3 x + 13x + 13x 10 = x ( x + 14x + 0) = x = ή x = ή x = 5 Σχήµα Horner µε διαιρέτη τον x ρ Ας δούµε ένα παράδειγµα επίλυσης πολυωνυµικής εξίσωσης µέσω της διαίρεσης P(x) :( x ρ) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ : Να λύσετε την εξίσωση x + 13x x 101x 91x + 70 = 0 Λύση: Ο ρ = 7 είναι ένας διαιρέτης του σταθερού όρου x + 13x x 101x 91x + 70 : x 7 χρησιµοποιώντας το Εκτελούµε τη διαίρεση ( ) ( ) σχήµα Horner (το 7 είναι ρίζα πολλαπλότητας της εξίσωσης) και έχουµε το παρακάτω σχήµα : Η ταυτότητα της διαίρεσης ( x 13x 10x 8x 168x 63 ) :( x 7) x 13x x 101x 91x 70 ( x 7)( x 13x 13x 10) είναι η + + = + +, οπότε η αρχική µας = x 7 x + 13x + 13x 10 = 0 3 εξίσωση, µετατρέπεται στην : ( )( ) η οποία δίνει τις λύσεις x = ± 7 1 x = ή x = ή x = 5 λόγωτης (*) x x + 13x + 13x 10=

35 Σχήµα Horner µε διαιρέτη τον x 3 ρ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ : Να λύσετε την εξίσωση x 5x + 6x + 4x 0x + 4 = 0 Λύση: Ο ρ = 4 είναι ένας διαιρέτης του σταθερού όρου x 5x + 6x + 4x 0x + 4 : x + 4 (το 4 είναι ρίζα Εκτελούµε τη διαίρεση ( ) ( ) πολλαπλότητας 3 της εξίσωσης) χρησιµοποιώντας το σχήµα Horner και έχουµε το παρακάτω σχήµα: Η ταυτότητα της διαίρεσης ( x 5x 6x 4x 0x 4 ) :( x 4) x 5x 6x 4x 0x 4 ( x 4) ( x 5x 6) είναι η = + +, οπότε η αρχική εξίσωση, µετατρέπεται στην : x + 4 = 0 x = 4 x 5x + 6x + 4x 0x + 4 = 0 ( x + 4) ( x 5x + 6) = 0 x 5x + 6 = 0 x = ήx = 3 Γενίκευση σχήµατος Horner Σχήµα Horner µε διαιρέτη τον x κ ρ Η τέλεια διαίρεση( ν ν α 1 ) ( κ νx αν 1x α1x α ο : x ρ) ν ν 1 κ ν κ ν κ 1 ανx αν 1x α1x αο ( x ρ) ( βν κx βν κ 1x β1x βο) , έχει ταυτότητα την = , όπου : αν κ+ 1 = βν κ+ 1 κσχέσεις α = β ν 1 ν κ 1 αν = βν κ ακ = ρβκ + βο α = ρβ + β αν κ = ρβν κ + β ν κ κ+ 1 κ+ 1 1, ( + ) ν κ 1 σχέσεις, α ρβ 0 ο + ο = α1 + ρβ1 = 0 κσχέσεις ακ 1 + ρβκ 1 = 0, µε ν κ 1-3 -

36 ΕΙ ΙΚΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ : Πολυωνυµικές Εξισώσεις µε Άρρητες Ρίζες Αν κανένας από τους διαιρέτες µιας πολυωνυµικής εξίσωση δεν είναι ρίζα της τότε η εξίσωση αυτή, δεν έχει ρητή ρίζα Όπως έχει αποδειχτεί στο Θεώρηµα 7 (Σελίδα 13), αν η εξίσωση έχει ρίζα τον άρρητο α+ β, θα έχει ως ρίζα και τον α β Στο παράδειγµα που ακολουθεί, γίνεται χρήση και του παραπάνω θεωρήµατος ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ: Να λύσετε την εξίσωση 4 3 x + x x x 6 = 0 Λύση: Οι διαιρέτες του σταθερού όρου -6, είναι : ±1, ±, ± 3, ± 6 ενώ οι διαιρέτες του συντελεστή του µεγιστοβάθµιου όρου είναι : ± 1, ± Έτσι, οι πιθανές ρίζες της εξίσωσης είναι όλα τα πηλίκα κ λ, (όπου κ ο διαιρέτης του σταθερού όρου και λ ο διαιρέτης του µεγιστοβάθµιου), δηλαδή οι αριθµοί : ± 1, ±, ± 3, ± 6, ± 1, ± 3 Μετά από δοκιµές, διαπιστώνουµε ότι κανένας από τους αριθµούς αυτούς δεν είναι ρίζα της 4 3 εξίσωσης Άρα η εξίσωση x + x x x 6 = 0 δεν έχει ρητές ρίζες Παρατηρούµε ότι για x =, έχουµε : 4 3 ( ) + ( ) 6 = 4+ 6 = 0 Άρα η εξίσωση έχει ρίζα το και λόγω του θεωρήµατος και το παράγοντα το ( x )( x + ) = x Από το σχήµα Horner, έχουµε: Έτσι, η εξίσωση έχει x = 0 x x + x + 3 = = και έτσι, η εξίσωση γίνεται: ( ) ( ) x x 3 0 ( ενέχειρίζεςστο R ) x = ή x =

37 Περίπτωση 3 : ιώνυµες Εξισώσεις Ορισµός: Κάθε εξίσωση της µορφής διώνυµη εξίσωση κ µ Αx + Βx = 0µεΑ,Β 0καικ,µ N λέγεται Η εξίσωση κ µ Αx + Βx = 0 Έστω κ µ 0 Άρα Αx + Βx = 0 x Αx + Β = 0 κ µ µ κ µ > Τότε ( ) µ x = 0 + = κ µ Ax Β 0 Αν κ µ = ν και x = 0 (µεβαθµόπολλαπλότηταςµ ) κ µ Β x = (1) Α Β α ν = η (1) γίνεται : x = α () Α Οι νιοστές ρίζες του α που είναι και ρίζες της εξίσωσης, υπολογίζονται από τον τύπο του De Moivre και είναι µιγαδικές και εποµένως δε θα µας απασχολήσουν Έστω γ η πρωτεύουσα νιοστή ρίζα του α, δηλαδή Αν α > 0 τότε η (3) γίνεται Αν α < 0 τότε η (3) γίνεται ν γ α ν ν = γ = α (3) ν γ = α και εποµένως η () γράφεται ν γ = α και εποµένως η () γράφεται ν ν x x = γ = 1 (4) γ ν ν x x = γ = 1 (5) γ Αν θέσουµε x y γ = από τις (4) και (5) έχουµε τελικά ότι ν ν y = 1, y = 1που σηµαίνει ότι η λύση της εξίσωσης κ µ Αx + Βx = 0 ανάγεται τελικά στην επίλυση των εξισώσεων ν ν y 1, y 1 Σύµφωνα µε τα παραπάνω, αν θέλαµε να βρούµε τις τιµές του x, για τις οποίες είναι 5 x + 3x = 0, θα κάναµε τα εξής : x = 0(διπλήρίζα ) x = x = 0 x + 3x = 0 x ( x + 3) = x 3 0 x x 3 + = = = (Οι άλλες δυο ρίζες της εξίσωσης είναι µιγαδικές) ν = =

38 Η εξίσωση x ν = α ιακρίνουµε τις περιπτώσεις : Αν ν άρτιος, τότε: Για α < 0, η εξίσωση είναι αδύνατη Για α > 0, η εξίσωση έχει δυο λύσεις, τις x1, ν = ± α Αν ν περιττός, τότε η εξίσωση έχει µια ακριβώς λύση, τη x ν > = ν < α,ανα 0 α,ανα 0 Περίπτωση 4 : Εξισώσεις που αποτελούνται από αθροίσµατα άρτιων δυνάµεων Χρησιµοποιούµε την ιδιότητα : Αν α, β,, γ άρτιοι και x R, τότε x + x + + x = 0 x = 0και x = 0,, x = 0 α β γ 1 ν 1 ν ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ : Να λύσετε την εξίσωση ( ) 4 4 x x = x + 8x 16 Λύση: 4 4 ( ) ( ) ( ) ( ) x x = x + 8x 16 x x + x 8x + 16 = 0 x x + x 4 = 0 ( ) x x = 0 x x = 0 x = 0ή x = και και και x = x 4 0 ( x )( x ) 0 = + = x = ή x = Περίπτωση 5 : Εξισώσεις που λύνονται µε µετασχηµατισµούς α) ιτετράγωνες Εξισώσεις : Ορισµός: Κάθε εξίσωση της µορφής ν ν αx βx γ 0,α = (1) ονοµάζεται διτετράγωνη ν και λύνεται µε τον µετασχηµατισµό x = ω, οπότε η εξίσωση ανάγεται στη δευτεροβάθµια εξίσωση αω + βω+ γ = 0η οποία ονοµάζεται επιλύουσα της (1)

39 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ : Να λύσετε την εξίσωση Θέτουµε Αν ω = 1τότε 4 x 5x + 4 = 0 Λύση: x = ω 0 οπότε η εξίσωση γίνεται : x = 1 x = 1ή x = 1 ω 5ω+ 4 = 0 ω = 1ήω = 4 Αν ω = 4τότε x = 4 x = ή x = Η εξίσωση έχει 4 διακεκριµένες ρίζες τις x = ή x = 1ή x = 1ή x = β) Αντίστροφες Εξισώσεις : Ορισµός: Αντίστροφη εξίσωση (ως προς x), ονοµάζεται κάθε εξίσωση που αν έχει ρίζα το ρ 1, 0,1, θα έχει ρίζα και τον αντίστροφο του ρ δηλαδή τον 1 ρ ΘΕΩΡΗΜΑ : Οι ρίζες της εξίσωσης Αν η εξίσωση 4 3 αx + βx + γx + βx + α = 0,α 0 είναι αντίστροφες Απόδειξη: 4 3 αx + βx + γx + βx + α = 0 έχει ρίζα το ρ 0, τότε αρ + βρ + γρ + βρ+ α = 0 (1) Για x =, η εξίσωση δίνει α + β + γ + β + α = 0 την οποία ρ ρ ρ ρ ρ πολλαπλασιάζουµε µε ρ και παίρνουµε α+ βρ+ γρ + βρ + αρ = 0 η οποία ισχύει λόγω της (1) Άρα εκτός από τον ρ και ο 1 ρ είναι ρίζα της εξίσωσης και η εξίσωση έχει ρίζες αντίστροφες ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ : 1 Το παραπάνω θεώρηµα πρακτικά σηµαίνει ότι αν θέσουµε σε µια αντίστροφη εξίσωση στη θέση του x το 1 x, η εξίσωση δε θα µεταβληθεί Αποδεικνύεται ότι µια εξίσωση είναι αντίστροφη, αν και µόνο αν είναι ίσοι ή αντίθετοι οι συντελεστές των όρων που ισαπέχουν απ τα άκρα Η επίλυση µιας αντίστροφης εξίσωσης, ανάγεται τις περισσότερες φορές σε εξίσωση ου βαθµού, όπως στο παράδειγµα που ακολουθεί :

40 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ : Να λύσετε την εξίσωση ιαιρούµε την εξίσωση µε = x x 1 Θέτουµε x ω x x 3 x 10 0 (1) 4 3 x + 3x 10x + 3x + = 0 Λύση: x 0 και έχουµε : x + x = x 3x = και λόγω της ταυτότητας ( ) α + β = α+ β αβγίνεται x + = x + x = ω οπότε τελικά η (1) γίνεται : x x x ( ) 7 + = + = = = ω 3ω 10 0 ω 3ω 14 0 ω ήω 1 ω = x + = x x + 1= 0 x = 1 ( διπλή ρίζα) x ± 33 ω = x + = x + 7x + = 0 x = x 4 Εξίσωση έχει όντως αντίστροφες ρίζες, αφού : x x = 1 1= 1και 1 ( ) x1 x = = = = = ΓΕΝΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 3 ου 4 ου ΒΑΘΜΟΥ α Λύση Εξίσωσης 3 ου Βαθµού ( Μέθοδος Cardano ) Έστω η εξίσωση Θέτουµε 3 x + αx + βx + γ = 0 (1) α x = y, οπότε η (1), γράφεται : 3 3 α α α y + α y + β y + γ = , η οποία µετά από πράξεις, δίνει την 3 3 α α αβ y + + β y+ + γ = 0 () Θέτουµε α β 3 Θέτουµε y z ω πράξεις, δίνει την : = κ και 3 α αβ γ λ + = και η () γράφεται = + οπότε η (3), γίνεται ( ) ( ) ( )( ) 3 3 z + ω + λ+ 3zω+ κ z+ ω = 0 (4) 3 y + κy+ λ = 0 (3) z+ ω + κ z+ ω + λ = 0, η οποία µετά από

41 Για να ισχύει η (4), αρκεί που σηµαίνει ότι τα έχει ρίζες t Εποµένως, 1, z ω z + ω = λ z + ω = λ + + = κ 3 3 κ, 3zω+ κ = 0 zω = zω = z ω λ z,ω θα είναι ρίζες της εξίσωσης 3 4κ λ ± λ λ λ κ = = ± λ λ κ λ λ κ = + + z = + + και λ λ κ λ λ κ = + ω = κ t + λt = 0, t R, η οποία 7 Λόγω του µετασχηµατισµού y = z+ ω, έχουµε 3 3 λ λ κ λ λ κ y = Έτσι από τον αρχικό µετασχηµατισµό α x = y, παίρνουµε τελικά ότι : λ λ κ λ λ κ α x = ( Τύπος του Cardano ) ΠΡΟΣΟΧΗ : Κάθε µια από τις κυβικές ρίζες, έχει τρεις τιµές που βρίσκονται γράφοντας τους αριθµούς στην τριγωνοµετρική τους µορφή Βρίσκουµε έτσι εννέα ζεύγη τιµών των z, ω από τις οποίες, απορρίπτουµε όσες δεν πληρούν τη σχέση 3zω+ κ = 0 Ενδιαφερόµαστε µόνο για τις πραγµατικές ρίζες ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ : Να λυθεί η εξίσωση Στην εξίσωση µεθόδου, θέτουµε x z ω 3 x + 3x + 8 = 0 Λύση: 3 x + 3x + 8 = 0 (1), που είναι στη µορφή 3 = + οπότε η (1) γράφεται ( ) ( ) από πράξεις, δίνει 3 3 z + ω zω+ 3 z+ ω = 0 και η οποία για να ισχύει, αρκεί : ( ) ( ) ( ) = + = z + ω = 8, άρα οι + = = = z ω 8 0 z ω zω 3 0 zω 1 z ω 1 3 y + κy+ λ = 0 (3) της παραπάνω z+ ω + 3 z+ ω + 8 = 0 η οποία µετά 3 3 z,ω είναι ρίζες της εξίσωσης

42 8± 68 t + 8t 1= 0, η οποία δίνει t 1, = = 4± 17 8 Άρα 3 3 z = z = και x = z+ ω, έχουµε τελικά ότι 3 3 ω = 4 17 ω = και επειδή 3 3 x = R ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Επειδή η συγκεκριµένη αλγεβρική µέθοδος είναι αρκετά πολύπλοκη και η συγκεκριµένη αλγεβρική αναπαράσταση δύσκολη, µε τη χρήση κατάλληλου εκπαιδευτικού λογισµικού µαθηµατικών (για παράδειγµα του Geogebra) που θα παρουσιάσουµε στους µαθητές, θα έχουν την ευκαιρία να αντιληφθούν τη διαφορά αλγεβρικής και γραφικής επίλυσης και να κατανοήσουν την έννοια του άρρητου αριθµού ως λύση µιας πολυωνυµικής εξίσωσης Αν µε τη βοήθεια του Geogebra µεγεθύνουµε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης 3 f (x) = x + 3x + 8κατάλληλα ώστε να πετύχουµε την καλύτερη για εµάς προσέγγιση, βρίσκουµε ότι το σηµείο τοµής της γραφικής παράσταση της f µε τον άξονα xx, δηλαδή η πραγµατική λύση της 3 εξίσωσης x + 3x + 8 = 0 είναι η τετµηµένη του, 1, Έτσι, 3 3 x = ,

43 Μεγέθυνση της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f(x) = x 3 + 3x + 8 ΙΣΤΟΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Gerolamo Cardano ( ) Γεννήθηκε στην Ιταλία όπου έκανε τις βασικές του σπουδές και συνέχισε στο Πανεπιστήµιο της Πάντοβα ώστε να γίνει γιατρός Αργότερα, του δόθηκε έδρα στην Ακαδηµία του Μιλάνου, όπου και έγραψε το έργο Γεωµετρίας Εγκώµιον Έπειτα από οικογενειακά προβλήµατα, πέτυχε να του δοθεί καθηγητική έδρα στο πανεπιστήµιο της Μπολόνια, όπου έγινε και µόνιµος πολίτης Κατηγορήθηκε για µαγεία και φυλακίστηκε Σύντοµα, ελευθερώθηκε µε την προϋπόθεση να µην ξαναδιδάξει Έτσι, πήγε στη Ρώµη όπου απέκτησε µεγάλη φήµη ως γιατρός κερδίζοντας την εύνοια του Πάπα, επιχορηγούµενος µέχρι το θάνατό του Έργα του Cardano: Περί των ιδιοτήτων των αριθµών, µια σύντοµη µονογραφία που περιέχει τα βιβλία 7-9 του Ευκλείδη Εφαρµογές της Αριθµητικής, µια περιγραφή (όχι πάντα σωστή) της επιστήµης των αριθµών Αναφέρει τις πράξεις µεταξύ ακέραιων, κλασµάτων, ασύµµετρων αριθµών

44 Μεταξύ των τεχνικών που προτείνει είναι αυτή που µετατρέπει τον πολλαπλασιασµό σε α β α β αφαίρεση σύµφωνα µε τον τύπο : α β + = Αφιερώνει πολλές σελίδες στις εξισώσεις 1 ου και ου βαθµού και ειδικά για τις τελευταίες θεωρεί ξεχωριστές τις περιπτώσεις : x = px + q (1), x + px = q (), x + q = px (3) µε p, q > 0, µη δεχόµενος τις µηδενικές ρίζες Αναφέρει και συστήµατα εξισώσεων, χωρίς απόδειξη των µεθόδων που χρησιµοποιεί Ασχολείται µε απλές εφαρµογές συνδυαστικής και πιθανοτήτων Προς διευκόλυνση του υπολογισµού επιφανειών και όγκων, δίνει πίνακα χορδών και αποστηµάτων µερικών κανονικών πολυγώνων, όπως και κάποιες ιδιότητές τους Γνωρίζει να µετασχηµατίζει τις εξισώσεις για την επίλυσή τους και µε τους αλγεβρικούς αυτούς χειρισµούς, βοηθήθηκε ο Ferrari για να µπορέσει να λύσει εξίσωση 4 ου βαθµού β Λύση Εξίσωσης 4 ου Βαθµού Έστω η εξίσωση Θέτουµε 4 3 αx + βx + γx + δx + ε = 0 (1) β x = y, οπότε η (1), γράφεται : 4α 4 3 β β β β α y + β y + γ y + δ y + ε = 0, η οποία µετά από πράξεις 4α 4α 4α 4α 4 και κατάλληλους µετασχηµατισµούς τελικά δίνει την y + κy + λy + µ = 0 () Θέτουµε y = z+ ω+ φ, οπότε από την () προκύπτει σύστηµα ως προς z,ω,φ που είναι : κ z + ω + φ = κ µ zω + ωφ + φ z = 16 4 λ zωφ = 64 3 κ κ µ λ Έτσι, τα z,ω,φ είναι ρίζες της εξίσωσης t + t + t = 0, οπότε αναγόµαστε σε εξίσωση 3 ου βαθµού

45 ΙΣΤΟΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Lodovico Ferrari ( ) Γεννήθηκε στην Ιταλία και πήγε στο Μιλάνο, όπου βρήκε προστασία από τον Cardano Από ένα πρόβληµα που του προτάθηκε, οδηγήθηκε στην αναζήτηση των λύσεων 4 ου βαθµού κάτι που του εξασφάλισε παγκόσµια φήµη Πήρε καθηγητική έδρα στο Μιλάνο, όπου του ανατέθηκε το έργο της απογραφής του ουκάτου της Μάντοβας Έπειτα, πήγε στην Μπολόνια όπου έγινε διδάκτωρας της Φιλοσοφίας και αργότερα καθηγητής του τοπικού Πανεπιστηµίου Όµως δεν πρόλαβε να διδάξει, αφού πέθανε καθώς όπως λένε οι φήµες δηλητηριάστηκε από την αδελφή του για λόγους κληρονοµιάς Έργα του Ferrari: IV πρόκληση, µια δηµοσίευση στην οποία αναφέρει στον Cardano ότι οι πρώτες λύσεις µερικών προβληµάτων που µελετούσε, αν και αληθοφανείς, δεν είναι σωστές και τα προβλήµατα όχι σωστά λυµένα V πρόκληση, που αποτελείται από 3 µέρη: Το πρώτο µέρος είναι εριστικό και αγενές το δεύτερο περιέχει κριτική των λύσεων του Tartaglia από το δίδυµο Cardano-Ferrari ενώ το τρίτο µέρος περιέχει τη λύση προβληµάτων που τέθηκαν από τον Tartaglia VI πρόκληση συνεχίζεται η εριστική συµπεριφορά του O Ferrari χαρακτηρίζει τον Cardano ως πολύ σπουδαίο, αφού έχει λύσει την τριτοβάθµια εξίσωση Ασχολήθηκε και µε Γεωµετρικά προβλήµατα (κατασκευή διχοτόµου γωνίας) Ασχολήθηκε και µε αριθµητικά προβλήµατα (προβλήµατα του Γερµανού Μαθηµατικού Stiefen) ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ( ΡΗΤΕΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ) Ορισµοί : 1 Ρητή λέγεται κάθε εξίσωση της µορφής P(x) = R(x) όπου P(x),Q(x), R(x) πολυώνυµα Q(x) και Q(x) 0 Άρρητη λέγεται κάθε εξίσωση που έχει την µεταβλητή µέσα σε ριζικό - 4 -

46 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ : 1 Στις ρητές εξισώσεις, κάνουµε απαλοιφή παρονοµαστών χρησιµοποιώντας το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο των παρονοµαστών παίρνοντας περιορισµούς (Είναι δυνατόν οι περιορισµοί αυτοί να µη γίνονται από την αρχή, αλλά σε ενδιάµεσα βήµατα της λύσης της εξίσωσης) Στις άρρητες εξισώσεις, για να απαλλαγούµε από τα ριζικά χρησιµοποιούµε την ιδιότητα x = x ή την ν x ν = x ή υψώνουµε και τα δυο µέλη της εξίσωσης στην κατάλληλη δύναµη 3 Ορισµένες φορές, πριν τα βήµατα ή 3, κάνουµε κατάλληλους µετασχηµατισµούς ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ : Να λυθεί η εξίσωση x x x + = x x x 1 x 3x + (Ρητή Εξίσωση) Λύση: x x x Η εξίσωση γράφεται : + =, ( x + 1 )( x ) ( x 1 )( x + 1 ) ( x 1 )( x ) µε ΕΚΠ = ( x )( x 1)( x + 1) 0, απ όπου x 1, x 1, x Πολλαπλασιάζουµε όλους τους όρους της εξίσωσης µε το ΕΚΠ και έχουµε: 3 x x 1 + x x = x x + 1 x + x 3x = 0, που είναι εξίσωση πολυωνυµική ( ) ( ) ( ) x x + x 3 = 0 Εποµένως, ( ) x = 0 x + x 3= 0 x = 1ή x = 3 Οι x = 0 και x = 3 είναι δεκτές, ενώ η x = 1 απορρίπτεται λόγω των περιορισµών ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ : Να λυθεί η εξίσωση x x + x = Λύση: (Άρρητή Εξίσωση) Η εξίσωση γράφεται : x x = x και για να έχει αυτή νόηµα, πρέπει να ισχύουν : x x 0 x (, 1] [, + ), δηλαδή η εξίσωση έχει νόηµα για κάθε x 0 x (,] x, 1, η εξίσωση γράφεται : x (, 1] { } Οπότε για κάθε ( ] { } ( ) ( ) x x = x x x = 4 4x + x 3x = 6 x =, που είναι δεκτή

47 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Οι εξισώσεις x x σύνολο λύσεων = και x ( x ) = δεν είναι ισοδύναµες, δηλαδή δεν έχουν το ίδιο x 0 Πράγµατι, η εξίσωση x = x έχει νόηµα για x και γίνεται x = ( x ) x 0 που δίνει δυο λύσεις, τις x = 1, x = 4 από τις οποίες, λόγω του περιορισµού, δεκτή είναι µόνο η x = 4 οπότε το σύνολο λύσεών της είναι το µονοσύνολο S1 = { 4}, ενώ η εξίσωση x = ( x ) έχει σύνολο λύσεων το S = { 1, 4} Η γραφική αναπαράσταση της παρατήρησης αυτής, απεικονίζεται στα ακόλουθα σχήµατα : y = x y = x Τετµηµένη σηµείου τοµής : x =

48 y = (x ) y = x Τετµηµένες σηµείων τοµής : x = 1, x =

49 ΥΠΑΡΞΗ ΡΙΖΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΕΝΙΚΑ : Από τη θεωρία πολυωνύµων, υπενθυµίζουµε τα παρακάτω που είναι απαραίτητα σε θέµατα πολυωνυµικών εξισώσεων Ορισµός : Ονοµάζουµε ακέραιο πολυώνυµο του x, κάθε έκφραση της µορφής ν ν 1 f(x) = α x + α x + + α x + α, όπου α ν,α ν 1,,α 1,αο R και ν N ν ν 1 1 ο ΘΕΩΡΗΜΑ 1 : Κάθε ακέραιο πολυώνυµο νιοστού βαθµού έχει ν το πολύ διαφορετικές ρίζες Απόδειξη: ν ν 1 Κάθε πολυώνυµο P(x) = ανx + αν 1x + + α1x + αοβαθµού ν 1αναλύεται σε γινόµενο ν πρωτοβάθµιων παραγόντων, άρα έχει το πολύ ν διαφορετικές (µιγαδικές) ρίζες Έστω ότι το πολυώνυµο P(x) έχει ρίζες τις ρ 1,ρ,,ρ ν,ρ κ, µε κ ν και βαθµούς µ µ µ πολλαπλότητας 1 κ 1 κ P(x) = αν x ρ1 x ρ x ρκ, µε µ 1 + µ + + µ κ = ν Έτσι, κάθε πολυώνυµο P(x) βαθµού ν κ έχει κ διαφορετικές ρίζες κ ν µε βαθµούς πολλαπλότητας µ 1,µ,,µ κ όπου µ 1 + µ + + µ κ = ν µ,µ,,µ αντίστοιχα Άρα ( ) ( ) ( ) ΘΕΩΡΗΜΑ : Κάθε ακέραιο πολυώνυµο νιοστού βαθµού που έχει ν + 1 ρίζες, είναι το µηδενικό πολυώνυµο Απόδειξη: Έστω ρ 1,ρ,,ρ ν,ρ ν + 1 οι ν+ 1διαφορετικές µεταξύ τους τιµές που µηδενίζουν το πολυώνυµο P(x) = α x + α x + + α x + α ν ν 1 ν ν 1 1 ο Άρα P(x) αν ( x ρ1) ( x ρ ) ( x ρν) P(ρ ) α ( ρ ρ ) ( ρ ρ ) ( ρ ρ ) = και για x = ρ ν + 1παίρνουµε: = και αφού P(ρ ν+ 1) = 0 και ρ1 ρ ρν ρ1, ν+ 1 ν ν+ 1 1 ν+ 1 ν+ 1 ν ν 1 θα είναι αν = 0 δηλαδή P(x) = αν 1x + + α1x + αο Εργαζόµενοι µε τον ίδιο τρόπο, φτάνουµε στο α = ν 1 0 και συνεχίζοντας έτσι, παίρνουµε αν = α ν 1 = = α1 = αο = 0, δηλαδή το P(x) είναι το µηδενικό πολυώνυµο ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Έστω το πολυώνυµο P(x) = α x + α x + + α x + α ν ν 1 ν ν 1 1 ο Σε κάθε x R αντιστοιχούµε ένα µόνο y, τέτοιο ώστε y = α x + α x + + α x + α, ν ν 1 ν ν 1 1 ο ν ν 1 ορίζοντας έτσι την πολυωνυµική συνάρτηση f (x) = ανx + αν 1x + + α1x + αο Αν εξισώσουµε ένα πολυώνυµο µε το µηδέν, έχουµε την πολυωνυµική εξίσωση ν ν 1 α x + α x + + α x + α = 0 ν ν 1 1 ο Οι ρίζες του πολυωνύµου P(x) είναι ρίζες και της πολυωνυµικής συνάρτησης f(x) και της πολυωνυµικής εξίσωσης f(x) =

50 Περίπτωση (1) : Πολυωνυµικές εξισώσεις µε 1 ή ή τουλάχιστον ρίζες Α Για να δείξουµε ότι µια εξίσωση έχει 1 τουλάχιστον ρίζα στο ανοιχτό διάστηµα (α,β), κάνουµε τα εξής : Θεωρούµε το 1 ο µέλος ως συνάρτηση f Για τη συνάρτηση f, εξετάζουµε αν ισχύει το θεώρηµα Bolzano και συµπεραίνουµε για την ύπαρξη µιας τουλάχιστον ρίζας στο (α,β) ΘΕΩΡΗΜΑ BΟLZANO : Έστω µια συνάρτηση f ορισµένη στο [α,β] Αν : Η f είναι συνεχής στο [α,β] f (α) f (β) < 0 Τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον x o (α,β) ώστε f (x o) = 0, δηλαδή : Υπάρχει µια τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης f ( x ) = 0 στο διάστηµα (α,β) Για την απόδειξη του Θεωρήµατος, χρειαζόµαστε τα παρακάτω: Ορισµός 1 : Μια ακολουθία διαστηµάτων ( α ν,β ν), µε ν = 1,, αποτελεί κιβωτισµό, αν και µόνο αν ισχύει αν αν+ 1 < βν+ 1 βν, µε ν = 1,, Είναι προφανές ότι ( α ν+ 1,βν+ 1) ( α ν,βν ), µε ν = 1,, Ορισµός : Ένας κιβωτισµός των διαστηµάτων ( α ν,β ν), µε ν = 1,, λέγεται κιβωτισµός Cantor, αν ισχύει βν αν 0 ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΙΒΩΤΙΣΜΟΥ ( CANTOR DEDEKIND ) Αν ( α ν,β ν), µε ν = 1,, είναι ένας κιβωτισµός του Cantor, τότε υπάρχει ένα ακριβώς σηµείο xo R ώστε αν xo βν, µε ν = 1,, Απόδειξη: Αφού ( α ν,β ν), µε ν = 1,, είναι ένας κιβωτισµός (του Cantor), θα ισχύει : α α < β β που σηµαίνει ότι για τις ακολουθίες ( α ), ( β ) θα ισχύει ( α ), ( ) ν ν+ 1 ν+ 1 ν Εποµένως, υπάρχουν τα όρια limαν = xo, limβν = x o ν + Επειδή ( ) ν + β α 0 lim β α = 0 limβ = limα x = x ν ν ν ν ν ν o o x + x + x + ηλαδή υπάρχει ένα ακριβώς xo R ώστε αν xo βν, µε ν = 1,, ν ν ν β ν

51 Απόδειξη του Θεωρήµατος Bolzano : Αφού f ( α) f ( β) < 0, υποθέτουµε ότι f ( α) 0 f ( β) < < Θέτουµε αο = α,βο = β και έστω αο + βο το µέσο του διαστήµατος ( α ο,β ο) α + β f = 0, τότε ισχύει το θεώρηµα α + β f 0, διακρίνουµε τις περιπτώσεις : α + β α f < ο + βο 0, τότε θέτουµε = α1και βο = β1 α + β α f > ο + βο 0, τότε θέτουµε αο = α1και = β1 αο α1 < β1 βο f α1 < 0 < f β1 και µε επαγωγή στο βο αο β1 α1 = 1 Αν ο ο Αν ο ο ο ο ο ο Έτσι από τα παραπάνω, έχουµε ( ) ( ) α α < β β f αν 0 βο α βν αν = ν ο ν ν ο ( ) < < f ( β ) α α < β β f α 0 f β β α β α = ο ν+ 1 ν+ 1 ο ( ) < < ( ) ν+ 1 ν+ 1 ο ο ν+ 1 ν+ 1 ν+ 1 ν ο Με αυτό τον τρόπο ορίζονται και τα σηµεία α ν+ 1,βν+ 1 Έτσι, οι οριζόµενες ακολουθίες ( α ), ( β ) µε ( α ), ( ) ν ν ν β και ν = 1,,, αποτελούν ένα κιβωτισµό του Cantor Άρα υπάρχει x oµε αν xo βνµε ν = 1,, και limαν = limβν = xo x + ν x + Αφού η f είναι συνεχής, θα ισχύει lim f ( α ) lim f ( β ) f ( x ) Όµως ( ν) ( o) ( ) ( ) ν > o x + f α < 0 f x 0 f ( xo) = 0 f β 0 f x 0 = = ν ν o x + * N, έχουµε γενικά ότι ώστε να ισχύουν : ΣΧΟΛΙΟ : Η παραπάνω απόδειξη, δίνει τον τρόπο προσέγγισης της ρίζας οπουδήποτε ανάµεσα στα α, β Υπάρχουν στη βιβλιογραφία τουλάχιστον άλλοι δυο τρόποι µε τους οποίους προσεγγίζουµε τη µεγαλύτερη και τη µικρότερη ρίζα της εξίσωσης αντίστοιχα

52 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ BOLZANO Αν για τη συνεχή συνάρτηση f στο [α,β] το γινόµενο των f(α), f(β) είναι αρνητικό ( δηλαδή οι τιµές f(α), f(β) είναι αριθµοί ετερόσηµοι ), τότε η γραφική παράσταση της f, f x = 0 τέµνει τον άξονα xx σε ένα τουλάχιστον σηµείο (ρ,0) όπου ρ η ρίζα της εξίσωσης ( )

53 Να βρείτε τις πραγµατικές ρίζες της εξίσωσης 3 x x 4 = 0 Προσέγγιση της Ρίζας µε το Εκπαιδευτικό Λογισµικό GEOGEBRA 3 Θεωρούµε την πραγµατική συνάρτηση f : R R µε τύπο f (x) = x x + 4 = 0 Θα βρούµε τα σηµεία τοµής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f µε τον άξονα xx Η λύση της εξίσωσης είναι η x = µε προσέγγιση 5 δψ

54 Προσέγγιση της Ρίζας µε το Εκπαιδευτικό Λογισµικό FUNCTION PROBE Βήµα 1 ο : Παίρνουµε τιµές για το x από το 0 ως το 0 και παρατηρούµε ότι υπάρχει ρίζα, 1 στο διάστηµα ( )

55 Βήµα ο : Παρεµβάλουµε τιµές στο διάστηµα (, 1) µε βήµα 01 (προσέγγιση 1 δψ) για να πάρουµε καλύτερη προσέγγιση της ρίζας και διαπιστώνουµε ότι η ρίζα 18, 17 βρίσκεται στο διάστηµα ( ) Συνεχίζοντας µε παρόµοιο τρόπο, καταλήγουµε τελικά ότι η ρίζα της εξίσωσης βρίσκεται 17964, στο διάστηµα ( ) - 5 -

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα 8 Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1 Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι: i Συνεχής σε ένα ανοιχτό διάστημα (α,β) όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του διαστήματος (α,β)

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Γ'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος

Μαθηματικά. Γ'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος Μαθηματικά Γ'Γυμνασίου Μαρίνος Παπαδόπουλος ΠΡΟΛΟΓΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Σας καλωσορίζω στον όµορφο κόσµο των Μαθηµατικών της Γ Γυµνασίου. Τα µαθηµατικά της συγκεκριµένης τάξης αποτελούν ίσως το αποκορύφωµα των

Διαβάστε περισσότερα

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 0 ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΘΟΔΟΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός . ΠΡΑΞΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ. ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΟΜΟΣΗΜΩΝ- ΕΤΕΡΟΣΗΜΩΝ Σε ομόσημους κάνω πρόσθεση και βάζω το κοινό

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 =

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 = ΕΞΙΩΕΙ-ΑΝΙΩΕΙ ου ΒΑΘΜΟΥ - 38 - ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ο Εξισώσεις - Ανισώσεις β βαθµού 5.1. Μορφή και διερεύνηση της εξίσωσης β βαθµού Άθροισµα και γινόµενο των ριζών της Κάθε εξίσωση β βαθµού πριν τη λύσουµε,

Διαβάστε περισσότερα

4.2. ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

4.2. ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 4.. Η ταυτότητα της διαίρεσης A. Όπως στους ακέραιους αριθμούς, έτσι και στα πολυώνυμα ισχύει η ταυτότητα της διαίρεσης. Πιο συγκεκριμένα ισχύει ότι: Για κάθε ζεύγος πολυωνύμων Δ(x) και δ(x), με δ(x) 0

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Συναρτήσεις Όταν αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση, ουσιαστικά αναφερόμαστε σε μια σχέση ή εξάρτηση. Στα μαθηματικά που θα μας απασχολήσουν, με απλά λόγια, η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

- 1 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ

- 1 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ http://mathhmagic.blogspot.com - ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ν Μονώνυμο του χ ονομάζουμε κάθε αλγεβρική παράσταση της μορφής α χ με χ R και ν Ν. Πολυώνυμο του χ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ε.1 I. 1. α 2 = 9 α = 3 ψ p: α 2 = 9, q: α = 3 Σύνολο αλήθειας της p: Α = {-3,3}, Σύνολο αλήθειας της q: B = {3} A B 2. α 2 = α α = 1 ψ p: α 2 = α, q: α = 1 Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΕΜΕ (Τεύχος 35) θ Bolzano θ Ενδιάμεσων τιμών θ Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Στο άρθρο αυτό επιχειρείται μια προσέγγιση των βασικών αυτών θεωρημάτων με εφαρμογές έ- τσι ώστε να

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής

Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής Η µέθοδος άξονα-κύκλου: µια διδακτική πρόταση για την επίλυση εξισώσεων και ανισώσεων µε απόλυτες τιµές στην Άλγεβρα της Α Λυκείου ηµήτριος Ντρίζος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 04 Θ ΕΩΡΙA 0 ΘΕΜΑ A Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Αλγεβρικές παραστάσεις - Μονώνυμα Πράξεις με μονώνυμα Πολυώνυμα Πρόσθεση και Αφαίρεση πολυωνύμων

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. Τόμος 4ος

Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. Τόμος 4ος Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Τόμος 4ος Συγγραφική ομάδα: Ανδρεαδάκης Στυλιανός Καθηγητής Πανεπιστημίου Αθηνών Κατσαργύρης Βασίλειος Καθηγητής μαθηματικών Βαρβακείου Πειραμ. Λυκείου Παπασταυρίδης Στάυρος

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Λογάριθµοι ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Λογάριθµοι ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ Παραθέτουµε αρχικά τις βασικές ιδιότητες των δυνάµεων µε βάση έ- ναν θετικό πραγµατικό αριθµό και εκθέτη έναν ρητό αριθµό. α x.α y = α x+y (α.β) x = α x.β x α x :α

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΑΗΜΙΑ ΚΥΒΟΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 100% www.kivosacademy.gr

ΑΚΑΗΜΙΑ ΚΥΒΟΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 100% www.kivosacademy.gr 11 ΟΗΓΙΕΣ 1. Το ebook περιέχει εργασίες δραστηριότητες για µαθητές που θα πάνε στη Γ Λυκείου και θα επιλέξουν µαθηµατικά κατεύθυνσης ή γενικής παιδείας.. Για την επίλυση θα χρειαστούν όλα τα βιβλία µαθηµατικών

Διαβάστε περισσότερα

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί;

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία Ρητοί και άρρητοι αριθμοί. α) Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; iv) άρρητοι; v) πραγματικοί; β) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

Αφιέρωση Στα παιδιά µας Στους µαθητές που ατενίζουν µε αισιοδοξία το µέλλον

Αφιέρωση Στα παιδιά µας Στους µαθητές που ατενίζουν µε αισιοδοξία το µέλλον Αφιέρωση Σταπαιδιάµας Στουςµαθητέςπουατενίζουν µεαισιοδοξίατοµέλλον Φίληµαθήτρια,φίλεµαθητή Τοβιβλίοαυτόέχειδιπλόσκοπό: Νασεβοηθήσειστηνάρτιαπροετοιµασίατουκαθηµερινούσχολικού µαθήµατος. Νασουδώσειόλατααπαραίτηταεφόδια,ώστενααποκτήσειςγερές

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ...

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ... ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ορισμός : Μία ακολουθία ονομάζεται αριθμητική πρόοδος, όταν ο κάθε όρος της, δημιουργείται από τον προηγούμενο με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού. Ο σταθερός αριθμός που προστίθεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

Α. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2. f(x) = α x 2 + β x + γ, α 0. f (x) x. Παράδειγμα. Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε.

Α. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2. f(x) = α x 2 + β x + γ, α 0. f (x) x. Παράδειγμα. Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (τεύχος 55) Μαθηματικά για την Α τάξη του Λυκείου Το τριώνυμο f(x) = α x + β x + γ, α Κώστα Βακαλόπουλου, Νίκου Ταπεινού Α. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) αx βx γ,

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο 1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο ΘΕΜΑ 1 ο α) Αν χ 1, χ ρίζες της εξίσωσης αχ +βχ+γ=0, 0 να δείξετε ότι S 1 και P 1 Μον. 10 β) Έστω η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ ( 3.) ΚΥΚΛΣ Γνωρίζουµε ότι ένας κύκλος (, ρ) είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου τα οποία απέχουν µια ορισµένη απόσταση ρ από ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού 1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Διδακτικοί Στόχοι: Θα μάθουμε: Να κατανοούμε την έννοια της εξίσωσης και τη σχετική ορολογία. Να επιλύουμε εξισώσεις πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο. Να διακρίνουμε πότε μια εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

5.2 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ

5.2 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ 5. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Μια ακολουθία λέγεται αριθµητική πρόοδος, αν και µόνο αν κάθε όρος της προκύπτει από τον προηγούµενο του µε πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθµού.. Μαθηµατική έκφραση

Διαβάστε περισσότερα

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 Μικρό Θεώρηµα του Fermat, η συνάρτηση του Euler και Μαθηµατικοί ιαγωνισµοί Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 Αλεξανδρος Γ. Συγκελακης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

4.2 4.3 ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ

4.2 4.3 ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ 1 4.2 4.3 ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Θεώρηµα Αν α, β ακέραιοι µε β 0, τότε υπάρχουν µοναδικοί ακέραιοι κ και υ, έτσι ώστε α = κβ + υ µε 0 υ < β. 2. Τέλεια διαίρεση Αν το υπόλοιπο υ της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( )

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( ) ΚΕΦΑΛΑΙ 6 ΕΥΘΕΙΑ-ΕΠΙΠΕ 6 Γεωµετρικοί τόποι και εξισώσεις στο χώρο Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών ρισµός 6 Θεωρούµε τη συνάρτηση F:Α,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. της f : A. Rούτε εύκολη είναι ούτε πάντοτε δυνατή. Για τις συναρτήσεις f (x) = x ηµ x και ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ

ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. της f : A. Rούτε εύκολη είναι ούτε πάντοτε δυνατή. Για τις συναρτήσεις f (x) = x ηµ x και ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Έστω fµια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το Α. Το σύνολο των τιµών της είναι f( A) { R = υπάρχει (τουλάχιστον) ένα A : f () = }. Ο προσδιορισµός του συνόλου τιµών f( A) της

Διαβάστε περισσότερα

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης 3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ 1 Συνοπτική θεωρία Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα 2 ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ-ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1. Πότε ένας φυσικός αριθμός λέγεται άρτιος; Άρτιος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1 Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Θ έ μ α Α Α. α. Πότε η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0 έχει διπλή ρίζα; Ποια είναι η διπλή ρίζα της; 4 μονάδες β. Ποια μορφή παίρνει το τριώνυμο αx + βx + γ, α 0, όταν Δ = 0; 3 μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com.

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. A. Οι κανόνες De L Hospital και η αρχική συνάρτηση κάνουν πιο εύκολη τη λύση των προβλημάτων με το Θ. Rolle. B. Η αλγεβρική

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα : Έστω ότι θέλουµε να παραστήσουµε γραφικά την εξίσωση 6χ-ψ=3. Λύση 6χ-ψ=3 ψ=6χ-3. Άρα η εξίσωση παριστάνει ευθεία. Για να τη χαράξουµε

Παραδείγµατα : Έστω ότι θέλουµε να παραστήσουµε γραφικά την εξίσωση 6χ-ψ=3. Λύση 6χ-ψ=3 ψ=6χ-3. Άρα η εξίσωση παριστάνει ευθεία. Για να τη χαράξουµε Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης ΣΣΤΗΜΤ ΜΜΩΝ ΞΣΩΣΩΝ Μ ΝΩΣΤΣ ΣΩΣ ΝΝΣ ρισµός: Μια εξίσωση της µορφής αχ+βψ=γ ονοµάζεται γραµµική εξίσωση µε δυο αγνώστους. ύση της εξίσωσης αυτής ονοµάζεται κάθε διατεταγµένο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ και ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ και ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ και ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1.ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1.1 Σε ένα σχολείο με 00 μαθητές, οι 90 έχουν ποδήλατο, 36 έχουν «παπί», ενώ 84 άτομα δεν έχουν ούτε ποδήλατο ούτε παπί. Διαλέγουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδασκαλία των Μαθηµατικών Γ/σίου και Γεν. Λυκείου.

ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδασκαλία των Μαθηµατικών Γ/σίου και Γεν. Λυκείου. Να διατηρηθεί µέχρι... ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ENIAIOΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ /ΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α' Αν. Παπανδρέου 37, 15180 Μαρούσι Πληροφορίες : Αν. Πασχαλίδου Τηλέφωνο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)=

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)= ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - 9 - ΚΕΦΑΛΑΙ ΚΕΦΑΛΑΙ ο - ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.. ρισµός Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σ ένα σύνολο Β είναι ένας κανόνας µε τον οποίο κάθε στοιχείο του Α απεικονίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο του Β. Το

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Μαθηματικών 2

Σημειώσεις Μαθηματικών 2 Σημειώσεις Μαθηματικών 2 Συναρτήσεις - 3 Ραφαήλ Φάνης Μαθηματικός 1 Κεφάλαιο 3 Συνέχεια Συναρτήσεων 3.1 Όρισμός Συνεχούς Συνάρτησης Ορισμός Μια συνάρτηση f ονομάζεται συνεχής στο x 0 Df αν υπάρχει το πραγματικός

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ-ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ- ΒΑΣΙΚΕΣΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ-ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ- ΒΑΣΙΚΕΣΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ-ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ- ΒΑΣΙΚΕΣΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 9 40 4 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 4 4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να βρείτε την αριθµητική τιµή των παραστάσεων. i) α -α 6α, ii) 4α, για α iii) αβ α β (αβ),

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. 3.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Οι ανισώσεις: αx + β > 0 και αx + β < 0

ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. 3.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Οι ανισώσεις: αx + β > 0 και αx + β < 0 3 ΝΙΣΩΣΕΙΣ 31 ΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΘΜΟΥ Οι ανισώσεις: α + β > 0 και α + β < 0 Γνωρίσαμε στο Γυμνάσιο τη διαδικασία επίλυσης μιας ανίσωσης της μορφής α β 0 ή της μορφής α β 0, με α και β συγκεκριμένους αριθμούς

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Η Έννοια του Κλάσµατος

Η Έννοια του Κλάσµατος Η Έννοια του Κλάσµατος Κεφάλαιο ο. Κλασµατική µονάδα λέγεται το ένα από τα ίσα µέρη, στα οποία χωρίζουµε την ακέραια µονάδα. Έχει τη µορφή, όπου α µη µηδενικός φυσικός αριθµός (α 0, α διάφορο του µηδενός).

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 2: Πραγματικοί Αριθμοί

ΕΝΟΤΗΤΑ 2: Πραγματικοί Αριθμοί Ενδεικτικός Προγραμματισμός ΕΝΟΤΗΤΑ 2: Πραγματικοί Αριθμοί 12 περίοδοι Δείκτες επιτυχίας: Ορίζουν την έννοια της νιοστής ρίζας ενός αριθμού α και αποδεικνύουν τις ιδιότητες ριζών, όταν ν N, ν 0, 1, α R

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία που πρέπει να θυμάσαι!!!... b a

Η Θεωρία που πρέπει να θυμάσαι!!!... b a Κεφ. εξισώσεις ανισώσεις εξάσκησηεπανάληψη Τhe Ds that make a champion: Devotion, Desire, Discipline Η Θεωρία που πρέπει να θυμάσαι!!!... Μορφές Εξισώσεων Λύση ή ρίζα εξίσωσης Εξίσωση ου βαθμού ax + b

Διαβάστε περισσότερα

16 Ασύμπτωτες. όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα. 1. Κατακόρυφη ασύμπτωτη. Η ευθεία x = x0

16 Ασύμπτωτες. όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα. 1. Κατακόρυφη ασύμπτωτη. Η ευθεία x = x0 6 Ασύμπτωτες Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορίζουμε μια ευθεία ( ε ) ως ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της αν η απόσταση ενός μεταβλητού σημείου Ρ της γραφικής παράστασης από την ευθεία ( ε ) γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_3.ΜλΑ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α A.. Α.. Α.3. ΘΕΜΑ Β Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή Απριλίου

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Αγαπητοί συνάδελφοι, Φίλοι µαθητές και µαθήτριες Η καινούργια µας σειρά βιβλίων µε τον τίτλο ΒΙΒΛΙΟµαθήµατα δηµιουργήθηκε από µια ιδέα µας για το περιοδικό

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1. Για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει η σχέση ( ) ( ) ( ).. Ισχύει ότι P( A B) P( A

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες

ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες Τύποι - Βασικές έννοιες Όρια - Συνέχεια 37. ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες Με τη βοήθεια του παρακάτω θεωρήματος διευκολύνεται ο υπολογισμός ορίων (άλγεβρα ορίων): Αν τα όρια lim f () και lim g()

Διαβάστε περισσότερα

4.6 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ

4.6 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ 174 46 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ Εισαγωγή Ένα από τα αρχαιότερα προβλήματα της Θεωρίας Αριθμών είναι η αναζήτηση των ακέραιων αριθμών που ικανοποιούν κάποιες δεδομένες σχέσεις Με σύγχρονη ορολογία

Διαβάστε περισσότερα

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας.

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. 1. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Z είναι ανάγωγο επί του Q. Σωστό. 2. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Q είναι ανάγωγο επί

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι

Διαβάστε περισσότερα

Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ)

Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) ΜΙΧΑΛΗΣ ΤΖΟΥΜΑΣ ΕΣΠΟΤΑΤΟΥ 3 ΑΓΡΙΝΙΟ. ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η έννοια της συνάρτησης είναι στενά συνυφασµένη µε τον πίνακα τιµών και τη γραφική παράσταση.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α 11. Έστω η παράσταση Α = [(30 : 6) 2] 2 [(15 5) : 3 + 2 2 6] 3 (2 5 3 3 + 2 1 ) Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης Α Αν Α = 30, i) να αναλύσετε τον αριθµό Α σε γινόµενο

Διαβάστε περισσότερα

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΕΝΟΤΗΤΕΣ :.... ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ & ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Έστω ένας μιγαδικός αριθμός,

Διαβάστε περισσότερα

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ .8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΥΝΕΧΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΟΡΙΣΜΟΣ Όταν θέλουμε να εξετάσουμε ως προς τη συνέχεια μια συνάρτηση πολλαπλού τύπου, εργαζόμαστε ως εξής

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07)

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Καστοριά, εκέµβριος 2006

Διαβάστε περισσότερα

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη Α Τάξη Γυμνασίου Από το βιβλίο «Μαθηματικά Α Γυμνασίου» των Ιωάννη Βανδουλάκη, Χαράλαμπου Καλλιγά, Νικηφόρου Μαρκάκη, Σπύρου Φερεντίνου, έκδοση 01. Κεφ. 1 ο : Οι φυσικοί αριθμοί 1. Πρόσθεση, αφαίρεση και

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ τη ΘΕΩΡΙΑ με τις απαραίτητες διευκρινήσεις ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Άλγεβρα Α Λυκείου

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Άλγεβρα Α Λυκείου Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων Μάθημα: Άλγεβρα Α Λυκείου Παρουσιάζουμε συνοπτικές λύσεις σε επιλεγμένα Θέματα («Θέμα 4ο») από την Τράπεζα θεμάτων. Το αρχείο αυτό τις επόμενες ημέρες

Διαβάστε περισσότερα

3 o Καλοκαιρινό Μαθηµατικό σχολείο Ε.Μ.Ε. Λεπτοκαρυά Πιερίας 2009

3 o Καλοκαιρινό Μαθηµατικό σχολείο Ε.Μ.Ε. Λεπτοκαρυά Πιερίας 2009 3 o Καλοκαιρινό Μαθηµατικό σχολείο Ε.Μ.Ε. Λεπτοκαρυά Πιερίας 2009 ιαιρετότητα και Ισοτιµίες Β και Γ Λυκείου Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Ιούλιος 2009 1 ιαιρετοτητα και Ισοτιµιες ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το

Διαβάστε περισσότερα