REPETITORIJ MATEMATIKE z studente elektrotehnike Bojn Kovčić Luk Mrohnić Tihn Strmečki Tehničko veleučilište u Zgrebu
Predgovor Ovj priručnik nmijenjen je studentim 1. godine stručnih studij elektrotehnike n Tehničkom veleučilištu u Zgrebu ko pomoć prigodom polgnj pisnog dijel ispit iz predmet Mtemtik 1 i Mtemtik. Priručnik je pisn tko d redoslijed temtskih cjelin odgovr redoslijedu obrde tih cjelin u nvedenim predmetim. Rdi boljeg rzumijevnj obrđene mterije, osim mtemtičkih formul i postupk, čije se poznvnje provjerv n ispitu, nvedene su i teorijske činjenice. To ni u kojemu slučju ne znči d ovj priručnik može zmijeniti nstvne mterijle prem kojim se održvju predvnj i uditorne vježbe, nego mu je osnovn svrh poslužiti ko koristn podsjetnik n definicije, svojstv i formule koji se n ispitu možd zborve. Ugodn nm je dužnost zhvliti svim koji su nm n bilo koji nčin pomogli u nstjnju ovog priručnik. Tu ponjprije mislimo n recenzente prof.dr.sc. Šimu Ungr i prof.dr.sc. Jurj Šiftr čije su nm vrlo korisne primjedbe, prijedlozi i svjeti bili od neprocjenjive koristi. Zhvlnost n objvi priručnik dugujemo i deknici Tehničkog veleučilišt u Zgrebu prof.dr.sc. Slvici Ćosović Bjić i pročelniku Elektrotehničkog odjel Tehničkog veleučilišt u Zgrebu prof.dr.sc. Krešimiru Meštroviću. Posebno zhvljujemo svim studentim koji su svojim pitnjim n nstvi i konzultcijm utjecli d u priručnik uvrstimo i neke temtske cjeline bitne z druge predmete n stručnim studijim elektrotehnike, informtike i rčunrstv. Pokude z sve preživjele nenmjerne pogreške, kojih u priručniku nesumnjivo im i nkon višestrukih korektur, preuzimmo isključivo n sebe. Unprijed zhvljujemo svim koji ns obvijeste o svkoj uočenoj pogreški ili nekom drugom propustu. Svim korisnicim priručnik želimo uspješno korištenje. U Zgrebu, listopd 014. Autori iii
iv PREDGOVOR
Sdržj Predgovor iii 1 Kompleksni brojevi 1 1.1 Skup kompleksnih brojev................................. 1 1. Algebrski oblik...................................... 1.3 Trigonometrijski oblik................................... 3 1.4 Eksponencijlni oblik.................................... 5 Osnove mtričnog rčun 7.1 Opercije s mtricm................................... 7. Determinnt i inverz mtrice............................... 9 3 Sustvi linernih jedndžbi 13 4 (Rdij)vektori 15 4.1 Pojm rdijvektor i osnovn svojstv.......................... 15 4. Sklrno i vektorsko množenje vektor.......................... 16 4.3 Linern (ne)zvisnost skup vektor........................... 17 5 Relne funkcije 19 5.1 Opći pojmovi........................................ 19 5. Polinomi i rcionlne funkcije............................... 1 5.3 Trigonometrijske i ciklometrijske funkcije........................ 5.4 Hrmonijske funkcije.................................... 3 5.5 Eksponencijln funkcij.................................. 4 5.6 Logritmsk funkcij................................... 5 5.7 Hiperbolne i re funkcije................................. 5 5.8 Nizovi i limes niz..................................... 7 5.9 Limes funkcije........................................ 8 5.10 Neprekidne funkcije.................................... 9 5.11 Vrste prekid funkcije................................... 30 6 Diferencijlni rčun 31 6.1 Derivcij funkcije..................................... 31 6. Loklni i globlni ekstremi................................. 33 6.3 Neki osnovni poučci diferencijlnog rčun........................ 35 6.4 L Hôpitl-Bernoullijevo prvilo.............................. 35 6.5 Derivcije višeg red.................................... 35 6.6 Diferencijl funkcije.................................... 36 6.7 Konveksnost i konkvnost funkcije............................ 37 v
vi SADRŽAJ 6.8 Asimptote n grf relne funkcije............................. 38 6.9 Ispitivnje tijek funkcije................................. 38 7 Osnove integrlnog rčun 39 7.1 Primitivn funkcij i neodređeni integrl......................... 39 7. Metod zmjene vrijble................................. 40 7.3 Metod prcijlne integrcije............................... 41 7.4 Integrirnje rcionlnih funkcij.............................. 41 7.4.1 Integrirnje prvih rcionlnih funkcij..................... 41 7.4. Metod neodređenih koeficijent......................... 41 7.4.3 Integrirnje neprvih rcionlnih funkcij.................... 4 7.5 Integrirnje ircionlnih funkcij............................. 4 7.6 Integrirnje trigonometrijskih i hiperbolnih funkcij.................. 43 7.6.1 Integrirnje ircionlnih funkcij pomoću trigonometrijskih i hiperbolnih zmjen....................................... 44 7.7 Određeni integrl...................................... 44 7.7.1 Nek osnovn svojstv određenog integrl................... 44 7.7. Neke primjene određenog integrl........................ 45 8 Neprvi integrli 47 8.1 Integrli s beskončnim grnicm............................ 47 8. Integrli neomeđenih funkcij............................... 47 8.3 Kriteriji usporedbe z neprve integrle......................... 48 9 Redovi relnih brojev 49 9.1 Prvil z ispitivnje konvergencije red......................... 49 9. Algebrske opercije s redovim.............................. 50 9.3 Neki posebni redovi relnih brojev............................ 50 10 Tylorov i McLurinov red 51 10.1 Neki osnovni rzvoji u McLurinov red......................... 5 11 Osnove hrmonijske nlize 53 11.1 Fourierov red (ne)prne funkcije............................. 54 1 Obične diferencijlne jedndžbe 57 1.1 Jedndžb s seprirnim vrijblm.......................... 58 1. Homogen diferencijln jedndžb............................ 58 1.3 Linern diferencijln jedndžb............................. 58 1.4 Bernoullijev diferencijln jedndžb.......................... 58 1.5 Homogen diferencijln jedndžb. red....................... 59 1.6 Nehomogen diferencijln jedndžb. red...................... 59 1.7 Princip superpozicije rješenj............................... 60 1.8 Metod vrijcije konstnti................................ 60 1.9 Lplceovi trnsformti.................................. 61 13 Dodtk 63 13.1 Formule iz lgebre..................................... 63 13. Formule iz nlitičke geometrije u rvnini........................ 64 13.3 Formule iz trigonometrije................................. 65 13.4 Formule iz plnimetrije................................... 67
SADRŽAJ vii 13.5 Formule iz stereometrije.................................. 67 13.6 Neke korisne ntiderivcije................................. 68 Indeks 69 Popis tblic 73 Bibliogrfij 75
viii SADRŽAJ
Poglvlje 1 Kompleksni brojevi 1.1 Skup kompleksnih brojev Elemente skup R := {(, b) :, b R}, tj. uređene prove relnih brojev, možemo zbrjti i množiti koristeći formule: ( 1, b 1 ) + (, b ) := ( 1 +, b 1 + b ) i ( 1, b 1 ) (, b ) := ( 1 b 1 b, 1 b + b 1 ). Skup R obogćen ovim dvjem opercijm oznčvmo s C i nzivmo skup kompleksnih brojev. Posebno, z kompleksne brojeve (, 0) i (b, 0) vrijedi (, 0) + (b, 0) = ( + b, 0) i (, 0) (b, 0) = ( b, 0). Prem tome smisleno je i uobičjeno umjesto (, 0) pisti jednostvno z sve R, budući d se z tkve kompleksne brojeve gore definirne opercije svode n zbrjnje i množenje relnih brojev. U skldu s time skup R možemo promtrti ko podskup skup C, odnosno smtrti d vrijedi R C. Drugim riječim, svki reln broj ujedno je i kompleksn broj. Među prvim kompleksnim brojevim, tj. onim koji nisu relni, ističe se broj i := (0, 1) kojeg nzivmo imginrn jedinic. Vrijedi: i = i i = (0, 1) (0, 1) = ( 1, 0). Kko je rezultt kvdrirnj imginrne jedinice reln broj, jednostvno pišemo i = 1. 1
POGLAVLJE 1. KOMPLEKSNI BROJEVI 1. Algebrski oblik kompleksnog broj Svki kompleksni broj z = (, b) može se jednoznčno zpisti u obliku z = (, 0) + (0, b) = (, 0) + (b, 0) (0, 1), odnosno krće z = + b i, (1.1) pri čemu su, b R. Zpis (1.1) nziv se lgebrski ili stndrdni oblik kompleksnog broj z. Pritom definirmo: Re(z) := je relni dio kompleksnog broj z, Im(z) := b je imginrni dio kompleksnog broj z. Kompleksn broj z je reln ko i smo ko vrijedi Im(z) = 0. Grfički prikz skup C je Gussov ili kompleksn rvnin. U toj se rvnini uvodi stndrdni prvokutni koordintni sustv u kojemu se os pscis nziv reln os, os ordint imginrn os. U tko uvedenom koordintnom sustvu kompleksnom je broju z = + b i pridružen točk Z = (, b). Jednkost kompleksnih brojev: Kompleksni brojevi z 1, z C jednki su ko i smo ko vrijedi Re(z 1 ) = Re(z ) i Im(z 1 ) = Im(z ). Algebrske opercije s kompleksnim brojevim zpisnim u lgebrskom obliku: Nek su z 1 = 1 + b 1 i i z = + b i, pri čemu su 1, b 1,, b R. Td vrijedi: z 1 + z = ( 1 + ) + (b 1 + b ) i, z 1 z = ( 1 ) + (b 1 b ) i, z 1 z = ( 1 b 1 b ) + ( 1 b + b 1 ) i, z 1 z = 1 +b 1 b + b 1 1 b i, uz uvjet z +b 0. +b Konjugt broj z je kompleksn broj z = b i. Točk u Gussovoj rvnini pridružen kompleksnom broju z je Z = (, b). Točke pridružene brojevim z i z međusobno su simetrične s obzirom n relnu os. Konjugirnje kompleksnih brojev im sljedeć svojstv: 1. z = 0 ko i smo ko z = 0,. z = z ko i smo ko z R, 3. z = z ko i smo ko z = b i z neki b R, 4. z 1 + z = z 1 + z, 5. z = z, 6. z 1 z = z 1 z, 7. z n = z n z n N, 8. z 1 z = z 1 z ko je z 0.
1.3. TRIGONOMETRIJSKI OBLIK 3 Apsolutn vrijednost (modul) kompleksnog broj je nenegtivn reln broj r definirn s r := z := (Re z) + (Im z). Broj r obično se interpretir ko udljenost točke pridružene broju z od ishodišt O Gussove rvnine. Apsolutn vrijednost im sljedeć svojstv: 1. z 0,. z = 0 ko i smo ko je z = 0, 3. z 1 ± z z 1 + z, 4. z 1 z = z 1 z, 5. z 1 z = z 1 z ko je z 0, 6. z = z, 7. z n = z n, 8. z z = z. Npomen: Z z 1, z C tkve d je z 0 vrijedi jednkost z 1 z = z 1 z z. Skup {z C : z z 0 = r}, gdje je z 0 C i r 0, u Gussovoj rvnini predstvlj kružnicu s središtem u točki z 0 i polumjerom r. 1.3 Trigonometrijski oblik kompleksnog broj Pridružimo li kompleksnom broju z točku Z u Gussovoj rvnini, ond kut ϕ [0, π kojeg prvc OZ ztvr s pozitivnim dijelom relne osi nzivmo glvni rgument kompleksnog broj z. Pišemo: ϕ = Arg(z). Argument kompleksnog broj z je bilo koji element skup S = {Arg(z) + k π : k Z}, oznčv se s rg(z). Ako je z = + b i lgebrski oblik zpis kompleksnog broj z 0, ond je pripdni glvni rgument ϕ jednoznčno određen jedndžbm: cos ϕ = r = sin ϕ = b r = Argument kompleksnog broj im sljedeć svojstv: 1. z svki α > 0 vrijedi rg(α z) = rg(z),. z svki α < 0 vrijedi rg(α z) = rg(z) + π, 3. rg(z) = rg(z), 4. rg(z 1 z ) = rg(z 1 ) + rg(z ), 5. rg ( z1 z ) = rg(z 1 ) rg(z ), 6. z svki k Z vrijedi rg(z k ) = k rg(z). +b, b. (1.) +b
4 POGLAVLJE 1. KOMPLEKSNI BROJEVI Trigonometrijski oblik zpis kompleksnog broj z je: z = r cis ϕ := r (cos ϕ + i sin ϕ). Pritom su r psolutn vrijednost (modul), ϕ glvni rgument kompleksnog broj z. Pretvorb oblik zpis kompleksnih brojev: 1. Algebrski trigonometrijski Ako je z = + b i lgebrski oblik zpis kompleksnog broj z, lgoritm je sljedeći: Kork 1. Izrčunti psolutnu vrijednost (modul) r broj z koristeći definiciju. Kork. Odrediti glvni rgument ϕ iz jedndžbi (1.). Kork 3. Zpisti z = r cis ϕ.. Trigonometrijski lgebrski Ako je z = r cis ϕ trigonometrijski oblik zpis kompleksnog broj z, lgoritm je sljedeći: Kork 1. Izrčunti = r cos ϕ. Kork. Izrčunti b = r sin ϕ. Kork 3. Zpisti z = + b i. Algebrske opercije s kompleksnim brojevim zpisnim u trigonometrijskom obliku: Zbrjnje i oduzimnje izvode se pretvorbom zpis pribrojnik iz trigonometrijskog u lgebrski oblik. Z z 1 = r 1 cis ϕ 1 i z = r cis ϕ vrijede formule: 1. z 1 z = (r 1 r ) cis(ϕ 1 + ϕ ),. z 1 z = r 1 r cis(ϕ 1 ϕ ), uz uvjet z 0. Potencirnje kompleksnog broj: Z z = r cis ϕ i svki n N vrijedi De Moivrèov formul z potencirnje: z n = r n cis(n ϕ). Pretpostvimo d je z 0. Definirmo z 1 = 1 z. Td vrijedi: z n = (z 1 ) n, n N. Korjenovnje kompleksnog broj: Z z = r cis ϕ i svki n N skup svih kompleksnih rješenj jedndžbe x n = z je { ( ) } S = n ϕ + k π r cis : k = 0, 1,..., n 1. n Svi elementi skup S tvore vrhove prvilnog n-terokut upisnog u središnju kružnicu polumjer n r.
1.4. EKSPONENCIJALNI OBLIK 5 1.4 Eksponencijlni oblik kompleksnog broj Osnov eksponencijlnog oblik zpis kompleksnog broj je Eulerov formul: e i ϕ = cis ϕ. Eksponencijlni oblik zpis kompleksnog broj z je z = r e i ϕ. Pritom su r psolutn vrijednost (modul) i ϕ rgument kompleksnog broj z. Pretvorb oblik zpis kompleksnih brojev: 1. Eksponencijlni trigonometrijski Ako je z = r e i ϕ eksponencijlni oblik zpis kompleksnog broj z, ond je pripdni trigonometrijski oblik zpis tog broj z = r cis ϕ.. Trigonometrijski eksponencijlni Ako je z = r cis ϕ trigonometrijski oblik zpis kompleksnog broj z, ond je pripdni eksponencijlni oblik zpis tog broj z = r e i ϕ. 3. Eksponencijlni lgebrski Kompleksn broj zpisn u eksponencijlnom obliku njprije treb zpisti u trigonometrijskom obliku. Potom se dobiveni trigonometrijski oblik pretvr u lgebrski oblik koristeći lgoritm nveden n strnici 4. 4. Algebrski eksponencijlni Kompleksn broj zpisn u lgebrskom obliku njprije treb zpisti u trigonometrijskom obliku koristeći lgoritm nveden n strnici 4. Potom se dobiveni trigonometrijski oblik pretvr u eksponencijlni oblik. Algebrske opercije s kompleksnim brojevim zpisnim u eksponencijlnom obliku: Zbrjnje i oduzimnje provodi se pretvorbom iz eksponencijlnog u lgebrski oblik. Množenje i dijeljenje kompleksnih brojev z 1 = r 1 e i ϕ 1 i z = r e i ϕ izvodi se prem sljedećim formulm: 1. z 1 z = (r 1 r ) e i (ϕ 1+ϕ ),. z 1 z = r 1 r e i (ϕ 1 ϕ ), uz uvjet z 0.
6 POGLAVLJE 1. KOMPLEKSNI BROJEVI
Poglvlje Osnove mtričnog rčun.1 Opercije s mtricm Reln mtric tip (r, s) je prvokutn tblic relnih brojev s ukupno r redk i s stupc, pri čemu su r, s N. Mtric se uobičjeno oznčv velikim tisknim slovom: A, B, C,.... Skup svih relnih mtric tip (r, s) oznčv se s M r,s (R). Element mtrice A n presjeku i-tog retk i j-tog stupc oznčv se s ij. Mtricu A obično zpisujemo u obliku: 11 1... 1s 1... s...... r1 r... rs odnosno u skrćenom obliku: A = [ ij ]. ili 11 1... 1s 1... s.....,. r1 r... rs Mtric A je kvdrtn mtric red n (u dljnjem tekstu: mtric red n) ko vrijedi r = s = n. Skup svih relnih mtric red n oznčv se s M n (R). Nek je A mtric red n. Elementi ii tvore glvnu dijgonlu, elementi n i+1,i tvore sporednu dijgonlu mtrice A. Dvije mtrice su međusobno jednke ko su istog tip i ko n istim mjestim imju međusobno jednke elemente. Zbrjnje i oduzimnje mtric definir se isključivo z mtrice koje su istog tip. Ako su A i B mtrice tip (r, s), ond je: zbroj mtricâ A i B jednk mtrici C tip (r, s) tkvoj d je c ij = ij + b ij. rzlik mtricâ A i B jednk mtrici D tip (r, s) tkvoj d je d ij = ij b ij. Umnožk relnog broj α i relne mtrice A tip (r, s) je reln mtric B tip (r, s) tkv d vrijedi b ij = α ij z sve i, j. Pišemo: B = α A. Mtrice A i B su ulnčne ko je broj stupc mtrice A jednk broju redk mtrice B. Ako su A i B ulnčne mtrice, ond mtrice B i A općenito ne morju biti ulnčne. 7
8 POGLAVLJE. OSNOVE MATRIČNOG RAČUNA Množenje mtric definir se isključivo z ulnčne mtrice. Umnožk mtrice A tip (r, s) i mtrice B tip (s, t) je mtric C tip (r, t) tkv d vrijedi Pišemo: C = A B. c ij = s ik b kj, i = 1,,..., r, j = 1,,..., t. k=1 Množenje mtric je socijtivno, li nije komuttivno. Preciznije, vrijede sljedeće tvrdnje. 1. Ako postoji umnožk A B, to općenito ne znči d postoji umnožk B A. Ako umnošci A B i B A postoje, oni općenito nisu jednki.. Jednkost (A B) C = A (B C) vrijedi kd god su ti umnošci definirni. Neki posebni tipovi mtric: Nulmtric (oznk: 0) je svk mtric čiji su svi elementi jednki 0. Jediničn mtric je kvdrtn mtric čiji su svi elementi n glvnoj dijgonli jednki 1, svi elementi izvn glvne dijgonle jednki 0, tj. vrijedi ij = { 1, i = j, 0, i j. Jediničn mtric red n oznčv se s E n ili I n. Dijgonln mtric je kvdrtn mtric čiji su svi elementi izvn glvne dijgonle jednki nuli, tj. A M n (R) je dijgonln ko je ij = 0 z sve i j. Gornj trokutst mtric je kvdrtn mtric čiji su svi elementi ispod glvne dijgonle jednki 0, tj. A M n (R) je gornj trokutst ko je ij = 0 z sve j < i. Donj trokutst mtric je kvdrtn mtric čiji su svi elementi iznd glvne dijgonle jednki 0, tj. A M n (R) je donj trokutst ko je ij = 0 z sve i < j. Trnsponirn mtric mtrice A tip (r, s) je mtric B tip (s, r) tkv d je b ij = ji. Trnsponirn mtric uobičjeno se oznčv s A T. Trnsponirnje mtric im sljedeć svojstv: 1. ( A T ) T = A.. (A + B) T = A T + B T, ko su mtrice A i B istog tip. 3. (A B) T = B T A T, ko su mtrice A i B ulnčne. Mtric A M n (R) je simetričn ko z sve i, j vrijedi jednkost ij = ji, tj. ko vrijedi jednkost A T = A. Mtric A M n (R) je ntisimetričn ko z sve i, j vrijedi jednkost ij = ji, tj. ko vrijedi jednkost A T = A. Ako je A ntisimetričn mtric, ond su svi elementi njezine glvne dijgonle jednki 0.
.. DETERMINANTA I INVERZ MATRICE 9. Determinnt i inverz mtrice Nek je A = [ ij ] M (R). Determinnt mtrice A (oznk: det(a)) je reln broj definirn formulom: det(a) := 11 1 1 := 11 1 1. U ovom slučju kžemo d je det(a) determinnt red. Ako je A = [ ij ] M 3 (R), determinnt mtrice A definir se formulom: 11 1 13 det(a) := 1 3 31 3 33 := 11 33 + 1 3 31 + 13 1 3 ( 11 3 3 + 1 1 33 + 13 31 ) U ovom slučju kžemo d je det(a) determinnt red 3. Vrijednost determinnte bilo koje mtrice A = [ ij ] red 3 može se izrčunti i koristeći sljedeću shemu, pozntu pod imenom Srrusovo prvilo: + + + 11 1 13 11 1 1 3 1 31 3 33 31 3 Elemente mtrice A treb ispisti u uobičjenom poretku, p ztim s desne strne dopisti prv dv stupc. Elemente dobivene proširene mtrice spojene ispunjenim linijm treb pomnožiti i dobivene umnoške zbrojiti, p ztim od tog broj oduzeti umnoške element spojenih isprekidnim linijm. Dobiveni broj jednk je det(a). Npomen: Srrusovo prvilo vrijedi smo z determinnte red 3 i ne može se primjenjivti n rčunnje determinnti drugih redov. Pojm determinnte definirn je i z kvdrtnu mtricu proizvoljnog red, li t definicij izlzi iz okvir ovog priručnik i ovdje neće biti nveden. Npomen: Rdi jednostvnosti, pri rdu s determinntom govorimo o recim i stupcim determinnte misleći pritom n retke i stupce pripdne mtrice. Vrijednost determinnte red n može se rčunti i Lplceovim rzvojem. Nek su A M n (R) i D njezin determinnt. Odbere se jedn redk ili stupc determinnte D, npr. i-ti redk. Nek je D ik vrijednost determinnte red n 1 dobivene izostvljnjem i-tog retk i k-tog stupc determinnte D. Td se determinnt D može izrčunti prem formuli: D = n ( 1) i+k ik D ik. k=1
10 POGLAVLJE. OSNOVE MATRIČNOG RAČUNA Svojstv determinnte: 1. Ako bilo koji redk (stupc) determinnte tvore isključivo nule, njezin je vrijednost jednk nuli.. Ako determinnt sdrži brem dv jednk retk (stupc), njezin je vrijednost jednk nuli. 3. Zmjenom dvju redk ili dvju stupc determinnte njezin se vrijednost množi s 1. 4. Dodvnjem odbrnog retk (stupc) determinnte nekom drugom retku (stupcu), vrijednost determinnte se ne mijenj. 5. Pomnoži li se svki element nekog retk (stupc) determinnte nekim relnim brojem p se tko dobiveni redk (stupc) determinnte dod nekom drugom retku (stupcu), vrijednost determinnte se ne mijenj. 6. Determinnt bilo koje gornje trokutste, donje trokutste ili dijgonlne mtrice jednk je umnošku svih element glvne dijgonle te mtrice. 7. det(a) = det(a T ), z bilo koju kvdrtnu mtricu A. Binet Cuchyjev poučk: Z A, B M n (R) vrijedi jednkost: det(a B) = det(a) det(b). Posebno, z svki k N vrijedi jednkost det(a k ) = (det(a)) k. Inverz mtrice A M n (R) je mtric A 1 M n (R) tkv d vrijedi A A 1 = A 1 A = E n. Ako mtric A im inverz, on je nužno jedinstven. Posebno, E 1 n = E n. Npomen: Pojm inverz mtrice nem smisl z mtrice koje nisu kvdrtne. Regulrn mtric je svk kvdrtn mtric koj im inverz. Singulrn mtric je svk kvdrtn mtric koj nem inverz. Vrijede sljedeći kriteriji: 1. Mtric A M n (R) je regulrn ko i smo ko vrijedi det(a) 0.. Mtric A M n (R) je singulrn ko i smo ko vrijedi det(a) = 0. Invertirnje regulrnih mtric im sljedeć svojstv: 1. ( A 1) 1 = A, z regulrnu mtricu A.. (A B) 1 = B 1 A 1, z regulrne mtrice A i B istog red. 3. ( A 1) T = (A T ) 1, z regulrnu mtricu A. Elementrne trnsformcije nd recim mtrice A su 1. zmjen dvju redk,. množenje jednog retk relnim brojem rzličitim od nule, 3. zbrjnje dvju redk i zmjen jednog od tih dvju redk dobivenim zbrojem (umjesto dotičnog retk). U nstvku nvodimo dv lgoritm z određivnje inverz regulrne mtrice. Npomen: Prije primjene svkog lgoritm treb utvrditi je li zdn mtric regulrn, odnosno je li njezin determinnt rzličit od nule.
.. DETERMINANTA I INVERZ MATRICE 11 Algoritm z određivnje inverz regulrne mtrice A red n pomoću elementrnih trnsformcij: Kork 1. Formirti mtricu B = [A E n ] tip (n, n). Kork. Elementrnim trnsformcijm nd recim mtrice B trnsformirti mtricu A u jediničnu mtricu, odnosno svesti mtricu B n oblik B = [E n X]. To je moguće učiniti jer je A regulrn mtric. Kork 3. Inverz mtrice A je mtric X, tj. A 1 = X. Algoritm z određivnje inverz regulrne mtrice A red n pomoću djunkte: Kork 1. Z sve i, j = 1,,..., n izrčunti vrijednost b ij definirnu s: b ij = ( 1) i+j D ij, pri čemu je D ij determinnt mtrice koj se dobije izostvljnjem i-tog retk i j-tog stupc mtrice A. Kork. Formirti mtricu B = [b ij ] M n (R). Kork 3. Odrediti mtricu à := BT. Mtricu à nzivmo djunkt mtrice A. Kork 4. Inverz mtrice A jednk je A 1 = 1 det(a) Ã. [ ] [ ] 11 Npomen: Ako je A = 1, vrijedi A 1 1 = 1. 1 11 1 1 1 11
1 POGLAVLJE. OSNOVE MATRIČNOG RAČUNA
Poglvlje 3 Sustvi linernih jedndžbi Nek je n N, n. Linerni sustv red n (u dljnjem tekstu: sustv) je sustv od n linernih jedndžbi s n (rzličitih) nepoznnic x 1, x,..., x n : 11 x 1 + 1 x +... + 1n x n = b 1, 1 x 1 + x +... + n x n = b,.... n1 x 1 + n x +... + nn x n = b n, pri čemu su ij, b i R konstnte z sve i, j = 1,,..., n. Brojeve ij nzivmo koeficijenti, brojeve b i slobodni člnovi sustv. 11... 1n Mtricu A = [ ij ] =..... M n (R), nzivmo mtric sustv. n1... nn Mtricu B = [b i ] = Mtricu X = [x i ] = 1 b. M n,1 (R), nzivmo mtric slobodnih člnov. b n x 1. x n M n,1 (R), nzivmo mtric nepoznnic. Svk uređen n-tork (γ 1, γ,..., γ n ) relnih brojev, tkv d zmjenom x k = γ k z k = 1,,..., n u svim jedndžbm sustv te jedndžbe prelze u numeričke jednkosti, predstvlj (jedno) rješenje sustv. Krće kžemo d je uređen n-tork (γ 1, γ,..., γ n ) rješenje sustv ko i smo ko zdovoljv sve jedndžbe sustv. Ovisno o ukupnom broju međusobno rzličitih rješenj, sustve dijelimo n: 1. proturječne (nemju niti jedno rješenje),. Crmerove (imju točno jedno rješenje), 3. sustve s beskončno mnogo rzličitih rješenj. Determinnt sustv (oznk: D) je determinnt mtrice sustv. k-t pomoćn mtric sustv je mtric A k M n (R) koj se dobije kd se k-ti stupc mtrice sustv A zmijeni mtricom slobodnih člnov. 13
14 POGLAVLJE 3. SUSTAVI LINEARNIH JEDNADŽBI k-t pomoćn determinnt sustv (oznk: D k ) je determinnt mtrice A k. Sustv je Crmerov ko i smo ko je D 0. Svki se sustv može zpisti ko mtričn jedndžb A X = B, gdje su A mtric sustv, X mtric nepoznnic i B mtric slobodnih člnov. Ako je sustv Crmerov, njegovo je rješenje dno izrzom: X = A 1 B. Odvde slijedi sljedeći postupk z određivnje rješenj Crmerov sustv. Crmerovo prvilo: Rješenje (x 1,..., x n ) bilo kojeg Crmerov sustv red n određeno je izrzim x k = D k, k = 1,..., n. D Homogeni sustv je sustv u kojemu su svi slobodni člnovi jednki nuli. Tkv sustv ili im jedinstveno (trivijlno) rješenje (0,..., 0) ili im beskončno mnogo rzličitih rješenj.
Poglvlje 4 (Rdij)vektori 4.1 Pojm rdijvektor i osnovn svojstv Nek je O ishodište prvokutnog koordintnog sustv u euklidskom prostoru E 3 čije točke poistovjećujemo s uređenim trojkm relnih brojev. Posebno, O = (0, 0, 0). Rdijvektor točke T E 3 je usmjeren dužin kojoj je početk točk O, krj točk T. Svki rdijvektor je jednoznčno određen svojom zvršnom točkom T. Ako je T = (x T, y T, z T ), piše se: OT = (x T, y T, z T ). Posebno se izdvjju četiri rdijvektor: 0 = (0, 0, 0), ı := (1, 0, 0), j := (0, 1, 0), k := (0, 0, 1). Skup svih rdijvektor u prostoru E 3 stndrdno se oznčv s V 3 (O). Ako se ne istkne drugčije, pretpostvlj se d su rzmtrni rdijvektori elementi skup V 3 (O). Npomen: U osttku tekst ovog poglvlj, pod pojmom vektor podrzumijevt ćemo rdijvektor. Algebrske opercije s vektorim: Z = ( 1,, 3 ), b = (b 1, b, b 3 ) i α R opercije zbrjnj i oduzimnj vektor, te množenj vektor sklrom definirne su s: ± b := ( 1 ± b 1, ± b, 3 ± b 3 ), α := (α 1, α, α 3 ). Npomen: α = 0 ko i smo ko je α = 0 ili = 0. Duljin vektor = ( 1,, 3 ) je nenegtivn reln broj := 1 + + 3. Vektori i b su kolinerni ko je jedn od njih nulvektor 0 ili ko postoji α R tkv d je = α b. Ako je α > 0, kolinerni vektori imju istu orijentciju. Ako je α < 0, kolinerni vektori imju suprotnu orijentciju. Ako je = α b, ond je = α b. Pritom su i b duljine vektor, α psolutn vrijednost relnog broj. 15
16 POGLAVLJE 4. (RADIJ)VEKTORI 4. Sklrno i vektorsko množenje vektor Sklrni umnožk (oznk: ) dvju vektor = ( 1,, 3 ) i b = (b 1, b, b 3 ) je reln broj s definirn s 3 s := b := i b i = 1 b 1 + b + 3 b 3. i=1 Sklrno množenje je komuttivn opercij (svejedno je u kojem poretku množimo vektore). Mjer kut između dvju vektor = ( 1,, 3 ) i b = (b 1, b, b 3 ) je reln broj ϕ [0, π] određen trigonometrijskom jedndžbom: cos ϕ = b b = 1 b 1 + b + 3 b 3. 1 + + 3 b 1 + b + b 3 Dv vektor su međusobno okomit ko ztvrju kut od 90, odnosno π rdijn. Po definiciji, nulvektor je okomit n svki vektor. Dv vektor (rzličit od nulvektor) su međusobno okomit ko i smo ko je njihov sklrni umnožk jednk nuli. Vektorski umnožk (oznk: ) dvju vektor = ( 1,, 3 ) i b = (b 1, b, b 3 ) je vektor c definirn s c := ı j k b := 1 3 = ( b 3 3 b, 3 b 1 1 b 3, 1 b b 1 ). b 1 b b 3 Vektorsko množenje im sljedeć svojstv: 1. c = b sin ϕ, gdje je ϕ kut između vektor i b.. Duljin vektorskog umnošk dvju vektor jednk je površini prlelogrm kojeg rzpinju ti vektori. 3. Vektorski umnožk dvju vektor je okomit n svki od tih vektor. Ako je c 0, ond se smjer vektor c određuje tko d vektori, b i c u dnom poretku tvore desni sustv. Prktično, ko kžiprst desne ruke usmjerimo u smjeru vektor, srednji prst u smjeru vektor b, ond će plc pokzivti u smjeru vektorskog umnošk c. 4. Vektorski umnožk dvju vektor jednk je nulvektoru ko i smo ko su ti vektori kolinerni. 5. Vektorsko množenje je ntikomuttivno, tj. vrijedi: b = ( 1) ( b ). 6. Vektorsko množenje im svojstvo distributivnosti prem zbrjnju, tj. vrijede jednkosti: ( + b) c = c + b c, ( b + c) = b + c. Npomen: U sljedećoj su tblici nvedeni međusobni vektorski umnošci vektor, ı, j i k.
4.3. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA VEKTORA 17 ı j k ı 0 k j j k 0 ı k j ı 0 Mješoviti umnožk triju vektor = ( 1,, 3 ), b = (b 1, b, b 3 ) i c = (c 1, c, c 3 ) je reln broj M definirn s M := ( 1 3 b) c = b 1 b b 3. c 1 c c 3 Obujm prlelepiped rzpetog vektorim, b i c jednk je M. Obujm tetredr rzpetog tim vektorim jednk je 1 6 M. Obujm trostrne prizme rzpete tim vektorim jednk je 1 M. Mješoviti umnožk triju vektor jednk je nuli ko i smo ko je jedn od vektor nulvektor ili ko su sv tri vektor komplnrn (tj. ko pripdju istoj rvnini). 4.3 Linern nezvisnost i zvisnost skup vektor Nek su 1,,..., k V 3 (O) bilo koji vektori, α 1, α..., α k R bilo koji brojevi. Td vektor b = α1 1 + α + + α k k nzivmo linern kombincij vektor 1,,..., k s koeficijentim α 1, α..., α k. Z končn skup vektor S = { 1,..., k } V 3 (O) kžemo d je linerno nezvisn ko iz jednkosti 0 = α 1 1 + α + + α k k (*) slijedi α 1 = α = = α k = 0, tj. ko se nul-vektor može prikzti ko linern kombincij vektor iz skup S n točno jedn, tzv. trivijln nčin. Ako postoje α 1, α,..., α k R tkvi d vrijedi (*) i ko je brem jedn od tih brojev rzličit od nule, kžemo d je skup S linerno zvisn. Jednočln skup S V 3 (O) je linerno zvisn ko i smo je S = { 0}. Dvočlni skup S V 3 (O) je linerno zvisn ko i smo ko su njegovi elementi kolinerni. Tročlni skup S V 3 (O) je linerno zvisn ko i smo ko je mješoviti umnožk njegovih element (u bilo kojem poretku) jednk nuli. Z svki n N, n 4, n-člni skup vektor iz skup V 3 (O) je linerno zvisn. Svki skup S V 3 (O) koji sdrži brem dv vektor je linerno zvisn ko i smo ko se brem jedn vektor iz S može prikzti ko linern kombincij preostlih vektor iz S. Bz prostor V 3 (O) je svki linerno nezvisn podskup skup V 3 (O) tkv d se svki element skup V 3 (O) može npisti ko linern kombincij svih element skup S. Skup S V 3 (O) je bz prostor V 3 (O) ko i smo ko je S tročlni linerno nezvisn skup. Njjednostvnij bz prostor V 3 (O) je knonsk bz S = { ı, j, k} jer z općeniti vektor = ( 1,, 3 ) vrijedi = ( ı) ı + ( j) j + ( k) k = 1 ı + j + 3 k.
18 POGLAVLJE 4. (RADIJ)VEKTORI
Poglvlje 5 Relne funkcije jedne relne vrijble 5.1 Opći pojmovi Nek su X, Y R. Reln funkcij jedne relne vrijble f : X Y je svko pridruživnje koje svkom elementu x X pridružuje točno jedn element y Y. Td pišemo x f y ili, jednostvnije, y = f(x). Skup X nziv se područje definicije (domen) funkcije f, skup Y područje vrijednosti (kodomen) funkcije f. Skup f(x) := {f(x) : x X} nziv se slik funkcije f ili skup svih vrijednosti funkcije f. Slik funkcije uvijek je podskup kodomene te funkcije, odnosno vrijedi f(x) Y. Kd god se ne istkne drugčije, pretpostvljt ćemo d je f reln funkcij jedne relne vrijble, dkle f : X R z neki podskup X R. Svk funkcij je potpuno određen zdvnjem skupov X i Y te prvil pridruživnj f koje svkom x X pridružuje y = f(x) Y. Dvije funkcije f i g su jednke ko imju zjedničku domenu X i zjedničku kodomenu Y, te vrijedi f(x) = g(x) z sve x X. Kompozicij relnih funkcij f : X Y i g : X Y z koje vrijedi Y X je reln funkcij h : X Y definirn s h(x) := (f g)(x) := f (g(x)), x X. Komponirnje funkcij općenito nije komuttivno. Funkcij f : X Y je injekcij ko iz jednkosti f(x 1 ) = f(x ) slijedi x 1 = x z sve x 1, x X. Funkcij f : X Y je surjekcij ko z svki y Y postoji brem jedn x X tkv d vrijedi y = f(x). Funkcij f je bijekcij ko je injekcij i surjekcij. Inverz bijekcije f : X Y je funkcij f 1 : Y X tkv d z svki x X i svki y Y vrijedi ( f 1 f ) ( (x) = x i f f 1 ) (y) = y. 19
0 POGLAVLJE 5. REALNE FUNKCIJE Prvilo inverz bijekcije f može se odrediti tko d se jedndžb y = f(x) riješi po vrijbli x. Grf funkcije f je skup Γ(f) := {(x, f(x)) : x X}. On se obično predočv u prvokutnom koordintnom sustvu u rvnini tko d se n os pscis nnesu vrijednosti nezvisne vrijble x, n os ordint funkcijske vrijednosti f(x). Rvninsk krivulj K je grf neke funkcije ko i smo ko svki prvc usporedn s osi ordint siječe krivulju K u njviše jednoj točki. Npomen: Nisu sve rvninske krivulje grfovi funkcij. Primjeri tkvih rvninskih krivulj su kružnic, elips i hiperbol. Rvninsk krivulj K je grf neke bijekcije ko i smo ko svki prvc usporedn s osi pscis i svki prvc usporedn s osi ordint siječe krivulju K u njviše jednoj točki. Grf inverz bijekcije f može se dobiti zrcljenjem grf bijekcije f s obzirom n prvc čij je jedndžb y = x. Nultočk funkcije f je svki x X tkv d je f(x) = 0. Nultočk se grfički interpretir ko sjecište grf funkcije f i osi pscis. Skup svih nultočk funkcije f oznčvmo s N(f). Funkcij f : X Y je omeđen odozdo ko postoji brem jedn m R tkv d z svki x X vrijedi f(x) m. Funkcij f : X Y je omeđen odozgo ko postoji brem jedn M R tkv d z svki x X vrijedi f(x) M. Funkcij f : X Y je omeđen ko je omeđen i odozdo i odozgo. Nek je f : X Y. Ako z sve x 1, x X tkve d je x 1 < x vrijedi 1. f(x 1 ) f(x ), td je funkcij f rstuć.. f(x 1 ) < f(x ), td je funkcij f strogo rstuć. 3. f(x 1 ) f(x ), td je funkcij f pdjuć. 4. f(x 1 ) > f(x ), td je funkcij f strogo pdjuć. Svk strogo rstuć (strogo pdjuć) funkcij je injekcij. (Obrtn tvrdnj nije točn.) Funkcij f : X Y je prn ko z svki x X vrijedi x X i f( x) = f(x). Grf svke prne funkcije je osno simetričn s obzirom n os ordint. Funkcij f : X Y je neprn ko z svki x X vrijedi x X i f( x) = f(x). Grf svke neprne relne funkcije je centrlno simetričn s obzirom n ishodište koordintnog sustv. Nek je X R. Funkcij f : X Y je periodičn ko postoji P R tkv d z sve x X z koje je x + P X vrijedi f(x + P ) = f(x). Broj P nziv se period funkcije f. Njmnji strogo pozitivn period T (ko postoji) funkcije f nziv se temeljni period.
5.. POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE 1 5. Polinomi i rcionlne funkcije Nek su n N i n, n 1,..., 0 R. Polinom stupnj n je funkcij p : R R definirn s p(x) = n k x k = n x n + n 1 x n 1 + + 0. k=0 Broj n nziv se vodeći koeficijent, broj 0 slobodni čln polinom p. Stupnj polinom p oznčv se s st(p) ili deg(p). Monom n x n nziv se vodeći čln polinom p. Z n = 0 dobiv se konstntn funkcij, z n = 1 linern funkcij, z n = kvdrtn funkcij, z n = 3 kubn funkcij. Polinom p tkv d z svki x R vrijedi p(x) = 0 nzivmo nulpolinom. Njegov se stupnj obično ne definir. Polinomi p(x) = n x n + + 0 i q(x) = b m x m + + b 0 su jednki ko i smo ko vrijedi m = n i ko je k = b k z svki k = 0, 1,..., n. Svki polinom neprnog stupnj im brem jednu nultočku. Odvde slijedi d je svki polinom neprnog stupnj surjekcij n skup R. Polinom stupnj n koji im brem n + 1 nultočk nužno je nulpolinom. Korijen polinom p je svko kompleksno rješenje jedndžbe p(x) = 0. Poučk 5..1 (Osnovni poučk lgebre). Nek je p polinom stupnj n 1 s kompleksnim koeficijentim. Td jedndžb p(x) = 0 im brem jedno rješenje koje pripd skupu C. Poučk 5.. (Drugi osnovni poučk lgebre). Svki polinom p stupnj n 1 s kompleksnim koeficijentim im točno n ne nužno međusobno rzličitih kompleksnih korijen z 1, z,..., z n. Pritom vrijedi p(z) = n (z z 1 ) (z z )... (z z n ), gdje je n vodeći koeficijent polinom p. Krtnost korijen x k polinom p je ukupn broj svih korijen polinom p koji su jednki x k. Ako su koeficijenti polinom p relni brojevi, td je z C korijen polinom p ko i smo ko je z tkođer korijen polinom p. Poučk 5..3 (Bèzout). Nek je p polinom s cjelobrojnim koeficijentim kojemu je vodeći koeficijent jednk 1. Ako jedndžb p(z) = 0 im rješenje z 0 Z, ond je 0 djeljiv s z 0. Drugim riječim, svi kndidti z cjelobrojne nultočke polinom s cjelobrojnim koeficijentim i vodećim koeficijentom 1 su nužno djelitelji slobodnog čln tog polinom. Algebrske opercije s polinomim svode se n lgebrske opercije s potencijm. Polinom p je djeljiv polinomom q ko postoji polinom h tkv d vrijedi p = q h. U tom je slučju st p = st q + st h. Kžemo još d q dijeli p i pišemo q p. Algoritm z dijeljenje polinom: Nek su p i q polinomi tkvi d je st q st p. Polinom p možemo podijeliti polinomom q, pri čemu polinom p nzivmo djeljenik, polinom q djelitelj. Postupk je sljedeći: Kork 1. Oznčiti p 1 = p i stviti k = 1. Kork. Podijeliti vodeći čln polinom p k vodećim člnom djelitelj q. Time se dobiv monom m k. Kork 3. Odrediti polinom p k+1 = p k q m k.
POGLAVLJE 5. REALNE FUNKCIJE Kork 4. Ukoliko je st p k+1 < st q, lgoritm je zvršen i vrijedi: Inče, uvećti k z 1 i ići n kork. h = m 1 + + m k, r = p k+1. Rezultt ovog lgoritm su jedinstveni polinomi h i r tkvi d vrijedi: p = q h + r i st r < st q. Polinom h nzivmo količnik, polinom r osttk pri dijeljenju polinom p i q. Npomen: Polinom p je djeljiv polinomom q ko i smo ko je r nulpolinom. Polinom d je zjedničk mjer polinom p i q ko su p i q djeljivi s d. Polinom h je njveć zjedničk mjer polinom p i q (oznk: NZM(p, q)) ko je njegov vodeći koeficijent jednk 1 i ko je djeljiv s svkom zjedničkom mjerom polinom p i q. Euklidov lgoritm z određivnje njveće zjedničke mjere polinom p i q, st q st p: Kork 1. Oznčiti p 1 = p i q 1 = q, te stviti k = 1. Kork. Podijeliti polinome p k i q k koristeći lgoritm z dijeljenje polinom (vidjeti str. 1). Dobiju se količnik h k i osttk r k. Kork 3. Ukoliko je r k = 0, odnosno ukoliko q k dijeli p k, td vrijedi NZM(p, q) = q k i lgoritm je zvršen. Inče, ići n Kork 4. Kork 4. Oznčiti p k+1 = q k i q k+1 = r k, uvećti k z 1 te ići n Kork. Ako je NZM(p, q) = 1, td kžemo su polinomi p i q reltivno prosti. Z tkve polinome vrijedi N(p) N(q) =, odnosno oni nemju zjedničkih nultočk. Nek su p i q reltivno prosti polinomi tkvi d vrijedi st p < st q. Prv rcionln funkcij je reln funkcij f definirn prvilom f(x) = p(x) (5.1) q(x) z sve x tkve d je q(x) 0. Domen funkcije f je skup R \ N(q). Skup svih nultočk funkcije f je skup N(p). Pol rcionlne funkcije f je svki element skup N(q). Svki pol je, dkle, korijen polinom q p im svoju krtnost, koj se nziv red pol. Neprv rcionln funkcij je funkcij f definirn formulom (5.1) pri čemu je st p st q. Tkv se funkcij uvijek može npisti ko zbroj polinom (stupnj st p st q) i prve rcionlne funkcije. Prirodno područje definicije, nultočke i polovi pritom se određuju ko i kod prve rcionlne funkcije. 5.3 Trigonometrijske i ciklometrijske funkcije Ako se u točki T = (1, 0) povuče tngent n jediničnu kružnicu i t tngent shvti ko brojevni prvc kojemu je ishodište u točki T, ond se tzv. nmtnjem prvc n kružnicu svkoj točki prvc, time i svkom relnom broju x, može pridružiti jedinstven točk T = (x, y ) n jediničnoj kružnici. Funkcij koj broju x pridružuje broj x nziv se kosinus (oznk: cos).
5.4. HARMONIJSKE FUNKCIJE 3 Funkcij koj broju x pridružuje broj y nziv se sinus (oznk: sin). Funkcij koj relnom broju x pridružuje ordintu sjecišt prvc kroz točke O i T i tngente n jediničnu kružnicu u točki T nziv se tngens (oznk: tg). Vrijedi tg x = sin x cos x. Funkcij koj relnom broju x pridružuje pscisu sjecišt prvc kroz točke O i T i tngente n jediničnu kružnicu u točki (0, 1) nziv se kotngens (oznk: ctg). Vrijedi ctg x = cos x sin x. Osnovn svojstv nvedenih funkcij nveden su u tblici 5.1 n strnici 6. Npomen: Funkcije ctg x i 1 tg x vrijedi ko i smo ko je x R \ { k π : k Z }. nisu jednke jer nemju jednke domene. Identitet ctg x = 1 tg x Nijedn od četiri osnovne trigonometrijske funkcije nije bijekcij svoje domene n svoju sliku jer nijedn periodičn reln funkcij nije injekcij. Međutim, njihov suženj (restrikcije) n određene intervle jesu injekcije, stog i bijekcije n slike tih intervl, p n tim intervlim postoje pripdni inverzi. Ti inverzi nzivju se ciklometrijske ili rkus funkcije. Njihov nziv vezn je uz promtrnje duljine pripdnog luk jedinične kružnice. Sve rkus funkcije su omeđene i neperiodične. Pregled rkus funkcij i njihovih osnovnih svojstv nveden je u tblici 5. n strnici 6. Neki osnovni identiteti vezni uz trigonometrijske i ciklometrijske funkcije nvedeni su u točki 13.3. 5.4 Hrmonijske funkcije Nek su A, ω i ϕ relne konstnte tkve d su A, ω > 0 i ϕ π, π]. Hrmonijsk funkcij je funkcij f : R [ A, A] definirn prvilom f(x) = A sin(ω x + ϕ). Vrijednost A nziv se mplitud, vrijednost ω kružn frekvencij, vrijednost ϕ fzni pomk funkcije f. U dljnjem tekstu pretpostvlj se d su f, f 1, f,... hrmonijske funkcije. Npomene: 1. Pretpostvk A, ω > 0 uzim se bez smnjenj općenitosti. Nime, ko vrijedi A < 0 i/ili ω < 0, ond se pripdn hrmonijsk funkcij svodi n rzmtrni oblik primjenom identitet sin( x) = sin x, sin(π x) = sin x.. I funkcij g(x) = A cos(ω x + ϕ) može se rzmtrti ko hrmonijsk funkcij. D bi se dobio uobičjeni zpis hrmonijske funkcije, primjenjuje se identitet cos x = sin ( π x). Temeljni period funkcije f jednk je T = π Skup svih nultočk funkcije f je N f = ω. { k π ϕ ω } : k Z. Ako su x i i x j dvije uzstopne (susjedne) nultočke funkcije f, ond je x i x j = 1 T.
4 POGLAVLJE 5. REALNE FUNKCIJE Segment I = [ ϕ ω, T ϕ ω ] nziv se osnovni ili temeljni segment funkcije f. Krkteristične točke funkcije f n njezinom osnovnom segmentu su: T 0 = ( ϕ ) ω, 0, T 1 = ( ϕ ω + T ) 4, A, T = ( ϕ ω + T ), 0, T 3 = ( ϕ ω + 3 T ) 4, A i T 4 = ( ϕ ) ω + T, 0. Funkcij g(x) = A 1 sin(ω x) + A cos(ω x) može se zpisti u obliku hrmonijske funkcije f 1 (x) = A sin(ω x + ϕ), pri čemu se veličine A i ϕ određuju iz jedndžbi: A = A 1 + A, cos ϕ = A 1 A, sin ϕ = A A. Superpozicij funkcij f 1 (x) = A 1 sin(ω x + ϕ 1 ) i f (x) = A sin(ω x + ϕ ) je funkcij g(x) = A sin(ω x + ϕ), pri čemu se veličine A i ϕ određuju iz izrz: A = A 1 + A + A 1 A cos(ϕ 1 ϕ ), ( ) A1 sin ϕ 1 + A sin ϕ ϕ = rctg. A 1 cos ϕ 1 + A cos ϕ 5.5 Eksponencijln funkcij Nek je > 0, 1, reln konstnt. Eksponencijln funkcij s bzom je proširenje po neprekidnosti 1 f : R R funkcije f Q : Q R definirne formulom f Q (r) = r := n m, z sve r = m, m Z, n N. n Pišemo f(x) = x. Eksponencijln funkcij je bijekcij skup R n skup R + := 0, +, te je stog omeđen odozdo i nem nultočk. T funkcij nije ni prn ni neprn ni periodičk. Vodorvn simptot n njezin grf je prvc y = 0 (os pscis). Z 0 < < 1 eksponencijln funkcij je strogo pdjuć. Z > 1 eksponencijln funkcij je strogo rstuć. U primjenm njčešće korišten eksponencijln funkcij je exp(x) = e x, gdje je e bz prirodnog logritm. Broj e je ircionln broj i približno je jednk (.718818..., definir se ko grničn n. vrijednost niz 3 ( n ) n N čiji je opći čln jednk n = 1 + n) 1 Pri rčunnju vrijednosti eksponencijlne funkcije vrlo često se primjenjuju svojstv potencij nveden u točki 13.1. 1 Definiciju neprekidne funkcije vidjeti u točki 5.10, strnic 9. Vidi točku 6.8. 3 Vidi točku 5.8.
5.6. LOGARITAMSKA FUNKCIJA 5 5.6 Logritmsk funkcij Inverz eksponencijlne funkcije s bzom nziv se logritmsk funkcij s bzom i oznčv s log : R + R. Z svki reln broj x R + vrijedi log x = x. Logritmsk funkcij je bijekcij skup R + n skup R, te je stog neomeđen i im točno jednu nultočku x = 1. T funkcij nije ni prn ni neprn ni periodičk. Usprvn simptot 4 n njezin grf je prvc x = 0 (os ordint). Z 0 < < 1 logritmsk funkcij je strogo pdjuć. Z > 1 logritmsk funkcij je strogo rstuć. Z = 10 dobiv se funkcij dekdskog logritm (oznk: log x). Z = e dobiv se funkcij prirodnog logritm (oznk: ln x). Pri rčunnju vrijednosti logritmske funkcije vrlo često se primjenjuju svojstv logritm nveden u točki 13.1. 5.7 Hiperbolne i re funkcije Koristeći eksponencijlnu funkciju exp(x) = e x definirju se osnovne hiperbolne funkcije. One predstvljju svojevrstn nlogon trigonometrijskih funkcij, pri čemu se umjesto jedinične kružnice promtr jednkostrničn hiperbol čij je jedndžb x y = 1. Njihov je pregled nveden u tblici 5.3 n strnici 6. Grf funkcije ch nziv se još i lnčnic. Funkcije sh, th i cth, te suženje funkcije ch n intervl [0, + su injekcije, stog i bijekcije n slike tih funkcij. Pripdni inverzi nzivju se re funkcije. One predstvljju svojevrstn nlogon ciklometrijskih funkcij, pri čemu se umjesto duljine luk kružnice promtr površin rvninskih likov određenih gore nvedenom jednkostrničnom hiperbolom. Njihov je pregled dn u tblici 5.4 n strnici 6. Osnovni hiperbolni identiteti: Z sve dopustive 5 x, y R vrijede sljedeće jednkosti: 1. ch x ± sh x = e ±x,. ch x sh x = 1, 3. cth x = 1 th x, 4. ch( x) = ch x + sh x, 5. sh( x) = sh x ch x, 6. th( x) = th x 1+th x, 7. cth( x) = cth x+1 cth x, 8. ch(x ± y) = ch x ch y ± sh x sh y, 9. sh(x ± y) = sh x ch y ± ch x sh y, 10. th(x ± y) = th x±th y 1±th x th y, 1±cth x cth y 11. cth(x ± y) = cth x±cth y, 1. sh x = 1 ( ) ch( x) 1, 13. ch x = 1 ( ) ch( x) + 1, 14. ch x ch y = 1 ( ) ch(x + y) + ch(x y), 15. sh x ch y = 1 ( ) sh(x + y) + sh(x y), 16. sh x sh y = 1 ( ) ch(x + y) ch(x y). 4 Definiciju (usprvne) simptote vidjeti n strnici 38. 5 Vrijednosti x i y dopustive su z izrz I ko je svki čln tog izrz definirn z dotične vrijednosti.
6 POGLAVLJE 5. REALNE FUNKCIJE Tblic 5.1: Trigonometrijske funkcije nziv funkcije domen slik temeljni period prnost sinus R [ 1, 1] π neprn kosinus R [ 1, 1] π prn tngens R \ { k π + π : k Z} R π neprn kotngens R \ {k π : k Z} R π neprn Tblic 5.: Arkus funkcije nziv funkcije oznk domen slik nek svojstv rkus sinus rcsin [ 1, 1] [ π, π ] neprn, strogo rstuć rkus kosinus rccos [ 1, 1] [0, π] prn, strogo pdjuć rkus tngens rctg R π, π neprn, strogo rstuć rkus kotngens rcctg R 0, π neprn, strogo pdjuć Tblic 5.3: Hiperbolne funkcije nziv funkcije oznk domen slik formul kosinus hiperbolni ch R [1, + sinus hiperbolni sh R R tngens hiperbolni th R 1, 1 kotngens hiperbolni cth R \ {0} R \ [ 1, 1] e x + e x e x e x sh x ch x ili ex e x e x + e x ch x sh x ili ex + e x e x e x Tblic 5.4: Are funkcije nziv funkcije oznk domen slik formul ( re kosinus hiperbolni rch [1, + [0, + ln x + ) x 1 ( re sinus hiperbolni rsh R R ln x + ) x + 1 re tngens hiperbolni rth 1, 1 R re kotngens hiperbolni rcth R \ [ 1, 1] R \ {0} 1 ln 1 + x 1 x 1 ln x + 1 x 1
5.8. NIZOVI I LIMES NIZA 7 5.8 Nizovi i grnične vrijednosti (limesi) nizov Niz relnih brojev je svk funkcij : N R. Izrz n := (n) nziv se opći čln niz. Grfički prikz niz je skup točk n brojevnom prvcu. Niz ( n ) je ritmetički ko postoji d R tkv z svki n N vrijedi n+1 n = d. Broj d nziv se rzlik ritmetičkog niz. Opći čln tog niz rčun se prem formuli n = 1 + (n 1) d. Zbroj prvih n člnov tog niz (oznk: S n ) rčun se prem formuli S n = n ( 1 + n ). Niz (g n ) je geometrijski ko postoji q R tkv z svki n N vrijedi g n+1 g n = q. Broj q nziv se količnik (kvocijent) geometrijskog niz. Opći čln tog niz rčun se prem formuli g n = 1 q n 1. Zbroj prvih n člnov tog niz (oznk: S n ) rčun se prem formuli S n = 1 q n 1 q 1. Reln broj L je grničn vrijednost (limes) niz ( n ) ko z svki ε > 0 postoji N N tkv d z sve n N vrijedi n L < ε. U tom slučju pišemo: L = lim n n. Niz koji im grničnu vrijednost nzivmo konvergentnim. Svki konvergentn niz je omeđen. Svki omeđeni rstući/pdjući niz je konvergentn. 6 Z niz koji nije konvergentn kžemo d je divergentn, odnosno d ne konvergir. Kžemo d niz ( n ) divergir k + i pišemo lim n = + ko z svki broj E > 0 postoji n 0 N tkv d z sve n n 0 vrijedi n > E. Kžemo d niz ( n ) divergir k i pišemo lim n = ko niz ( n ) divergir k +. Poučk 5.8.1 (o sendviču). Nek su ( n ), (b n ) i (c n ) nizovi tkvi d z svki n N vrijedi nejednkost n b n c n. Ako su nizovi ( n ) i (c n ) konvergentni i imju istu grničnu vrijednost L R, ond je i niz (b n ) konvergentn i im grničnu vrijednost L. Osnovn svojstv konvergentnih nizov: Nek su ( n ) i (b n ) konvergentni nizovi čije su grnične vrijednosti redom jednke L 1 i L,( pri) čemu su L 1, L R. Nek su α R i β > 0 konstnte. Td su nizovi ( n ± b n ), ( n b n ) i n bn (z L 0), ko i nizovi ( α n) (ko je n > 0 z sve n N i L 1 > 0) i (β n ), konvergentni i vrijedi: 1. lim n ( n ± b n ) = L 1 ± L,. lim n ( n b n ) = L 1 L, 3. lim n n bn = L 1 L, 4. lim n ( α n) = L α 1, 6 Definicije svojstv omeđenosti, (strogog) rst i (strogog) pd niz nlogne su definicijm istih svojstv z relnu funkciju jedne relne vrijble.
8 POGLAVLJE 5. REALNE FUNKCIJE 5. lim (β n ) = β L 1. Grnične vrijednosti nekih krkterističnih nizov: 1. lim n n k = 0, z svki R i k N,. ko je b m 0, td vrijedi lim n m k=0 k n k m k=0 b k n k 0, z α = 0 ili 0 < < 1, 3. lim(α n α, z = 1, ) = n, z α < 0 i > 1, +, z α > 0 i > 1, 4. lim n ( 1 + n) n = e, z R, 5. lim n n = 1, > 0, 6. lim n n n = 1. = m b m, 5.9 Grnične vrijednosti (limesi) funkcije Nek je f reln funkcij definirn n intervlu I =, b osim možd u točki c I. Ako z svki rstući niz (x n ) u I tkv d je lim x n = c niz (f(x n )) im grničnu vrijednost L 1 R, kže se d n je L 1 grničn vrijednost (limes) slijev funkcije f u točki c. Piše se: L 1 = lim f(x). x c Ako z svki pdjući niz (x n ) u I tkv d je lim x n = c niz (f(x n )) im grničnu vrijednost n L R, kže se d je L grničn vrijednost (limes) zdesn funkcije f u točki c. Piše se: L 1 = lim f(x). x c+ Ako vrijedi jednkost L 1 = L =: L, kže se d funkcij f im (obostrnu) grničnu vrijednost odnosno (obostrni) limes L u točki c. Piše se: L = lim x c f(x). Ako je z svki rstući niz (x n ) u I tkv d je lim x n = c niz (f(x n )) divergentn, dogovorno n pišemo lim f(x) = ko je (f(x n)) pdjući niz, odnosno lim f(x) = + ko je (f(x n)) x c x c rstući niz. Anlogne se oznke definirju z limese zdesn i z obostrne limese. Ako z svki rstući divergentni niz (x n ) niz (f(x n )) im grničnu vrijednost M 1 R, td pišemo: M 1 = lim f(x). U nlognom slučju kd je (x n) pdjući divergentni niz, (f(x n )) im x + grničnu vrijednost M R pišemo: M = lim f(x). x Pri određivnju grničnih vrijednosti funkcije primjenjuju se ist prvil ko i kod određivnj grnične vrijednosti niz. Nek su f i g funkcije čije su grnične vrijednosti (slijev, zdesn ili obostrne) u točki c redom jednke L 1 i L, pri čemu su L 1, L R. Nek su α R i β > 0 konstnte. Td funkcije f ± g, f g i f g (z L 0), ko i funkcije (f(x)) α (ko je f(x) > 0 z sve x), β f(x) (β > 0) i f(x) g(x) (z L 1 > 0) imju grnične vrijednosti u točki c i vrijedi: 1. lim x c (f(x) ± g(x)) = L 1 ± L,. lim x c (f(x) g(x)) = L 1 L, 3. lim x c ( f(x)) = L 1, R,
5.10. NEPREKIDNE FUNKCIJE 9 f(x) 4. lim x c g(x) = L 1 L, z L 0, 5. lim x c (f(x)) α = L α 1, ko je L 1 > 0 i f(x) > 0 z svki x I \ {c}, 6. lim x c β f(x) = β L 1, β > 0, 7. lim x c f(x) g(x) = L L 1. Neke krkteristične jednostrne i obostrne grnične vrijednosti funkcij: Kd god nije drugčije nvedeno, je reln konstnt. 1 1. lim x ± x = 0, > 0, 1. lim x + x = +, < 0, 1 3. lim x 0± x = ±, ( 4. lim 1 + x x + x) = lim(1 + x) 1 x = e, x 0 5. lim x 0 x 1 x = ln, > 0, 6. lim x 0 ln(1+ x) x =, 7. lim x 0 sin( x) x =, sin( x) 8. lim x ± x = 0, 9. lim tg x = +, lim tg x =, x π x π + 10. lim ctg x =, lim ctg x = +, x 0 x 0+ 11. lim rctg x = π x, lim rctg x = π x +, 1. lim rcctg x = π, lim rcctg x = 0, x x + 0, z svki 0, 1, 13. lim x + x = 1, z = 1, +, z svki > 1, 0, z svki > 1, 14. lim x x = 1, z = 1, +, z svki 0, 1, 15. lim x ex = lim x + e x = 0, 16. lim th x = lim cth x = 1, x x 17. lim th x = lim cth x = 1, x + x + 18. lim rcth x = 0. x ± 5.10 Neprekidne funkcije Nek je I R otvoreni intervl. Funkcij f : I R je neprekidn u točki c I ko grničn vrijednost lim x c f(x) postoji i jednk je f(c). Npomen: Funkcij može biti neprekidn isključivo u onim točkm u kojim je definirn. Funkcij f je neprekidn n skupu S R ko je neprekidn u svkoj točki tog skup. Ako je S = [, b, ond je f neprekidn n S ko vrijedi sljedeće: 1. f je neprekidn n, b,. postoji limes zdesn funkcije f u točki i jednk je f(). Ako je S =, b], ond je f neprekidn n S ko vrijedi sljedeće: 1. f je neprekidn n, b,. postoji limes slijev funkcije f u točki b i jednk je f(b). Funkcij f je neprekidn n segmentu [, b] ko i smo ko je f neprekidn n intervlim [, b i, b].
30 POGLAVLJE 5. REALNE FUNKCIJE Sve elementrne funkcije (polinomi, (ne)prv rcionln funkcij, eksponencijln i logritmsk funkcij, trigonometrijske i ciklometrijske funkcije, hiperbolne i re funkcije itd.) neprekidne su n svojim područjim definicije (domenm). Nek svojstv neprekidnih funkcij: 1. Nek su f i g funkcije neprekidne u točki c i nek je α R. Td su i funkcije f ± g, f g i α f neprekidne u točki c.. Nek su f i g funkcije tkve d je g neprekidn u točki c, f neprekidn u točki g(c). Td je i funkcij f g neprekidn u točki c. Nek svojstv funkcij neprekidnih n segmentu: Nek je f : [, b] R neprekidn funkcij. Td vrijedi sljedeće: 1. Slik funkcije f je neki segment [c, d] R. Odvde slijedi d funkcij postiže njmnju vrijednost c i njveću vrijednost d.. Z svki y [c, d] postoji brem jedn x [, b] tkv d je y = f(x). 3. Ako je f() f(b) < 0, td postoji brem jedn c, b tkv d je f(c) = 0. Drugim riječim, ko vrijednosti funkcije f n krjevim segment [, b] imju rzličite predznke, ond f im nultočku u intervlu, b. 5.11 Vrste prekid funkcije Nek je I R otvoreni intervl. Funkcij f : I R im prekid u točki c I ko nije neprekidn u točki c. Npomen: Funkcij može imti prekid isključivo u onim točkm u kojim je definirn. Rzlikujemo sljedeće vrste prekid funkcije u točki. Ako jednostrni limesi lim x c+ f(x) i lim x c f(x) postoje i jednki su R, te ko je f(c), kžemo d f im uklonjivi prekid u točki c. Prekid se ukloni tko d se u točki c promijeni vrijednost funkcije definirjući f(c) :=. Ako gore nvedeni jednostrni limesi postoje i rzličiti su, td funkcij f u točki c im prekid prve vrste. Ako brem jedn od gore nvedenih jednostrnih limes ne postoji, td f im u točki c prekid druge vrste.