Unidade II. Polarización

Transcript

1 Unidade II Polarización 1

2 Tema 6 Natureza da luz polarizada. Formalismo de Jones Neste tema estudaremos as posibles orientacións que toma o campo eléctrico en diferentes puntos dunha onda electromagnética (EM) plana e monocromática, ou equivalentemente a orientación do campo nun punto dado a medida que a onda se propaga. Isto permitiranos clasificar as ondas en función destas orientacións ou polarizacións. Esta clasificación é propia das ondas transversais; as ondas lonxitudinais (por exemplo o son) non poden ser polarizadas. Tamén veremos que dende un punto de vista matemático, a forma máis simple de describir e operar coas ondas EM é usando números complexos Polarización lineal Ata o momento estudamos ondas do tipo: E 1 = 4ˆx sen(kz ωt) V/m (6.1) E 2 = 4ŷ cos(kz ωt) V/m (6.2) E 3 = 2ẑ exp {i(kx ωt + π/4)} V/m (6.3) E 4 = 3ŷ sen(kz ωt) V/m (6.4) Obsérvese que todas teñen a mesma frecuencia e, excepto a terceira, se propagan na mesma dirección. Ademais, en cada unha destas ondas o campo eléctrico oscila sempre na mesma dirección (dirección x na primeira, y na segunda... ), polo que se di que son ondas linealmente polarizadas. Unha importante propiedade das ondas EM é que a suma de dúas ondas tamén é unha onda; é dicir se cada un dos sumandos é unha solución das 2

3 ecuacións de Maxwell, a suma tamén o é. Igualmente, se multiplicamos unha onda por unha constante (atenuamos ou amplificamos) o resultado segue a ser unha onda. 1 Se sumamos a primeira e a última das ecuacións anteriores, obtemos: E = 4ˆx sen(kz ωt) + 3ŷ sen(kz ωt) = (4ˆx + 3ŷ) sen(kz ωt) V/m. V/m Obsérvese que: de novo é unha onda linealmente polarizada, xa que en calquera instante o campo sempre apunta na dirección (4,3,0); para un punto dado hai instantes nos que o campo se anula, por exemplo en t = 0 e z = 0; as dúas compoñentes están en fase. (Hecht) 1 En determinados materiais e con ondas moi intensas todo isto deixa de ser certo. 3

4 6.2. Polarización circular Consideremos agora a suma das dúas primeiras ondas dos exemplos anteriores: E = 4ˆx sen(kz ωt) + 4ŷ cos(kz ωt) V/m (6.5) Agora o campo xa non apunta sempre na mesma dirección. Por exemplo en z = 0 e t = 0 o campo vale 4ŷ: apunta na dirección (0,1,0); pero no mesmo punto no instante t = π/(2ω) vale 4ˆx, polo que apunta cara a (-1,0,0); en t = π/ω vale 4ŷ, etc. Ademais o campo nunca se anula: E 2 = E E = 4 2 sen 2 (kz ωt) cos 2 (kz ωt)(v/m) 2 = 16 (V/m) 2 E = 4 V/m Este vector do campo eléctrico mantén o seu módulo constante pero vai cambiando de dirección, polo que, para un punto dado, describe unha circunferencia no plano XY a medida que vai pasando o tempo. Por ese motivo dise que esta onda está circularmente polarizada. Neste exemplo, a circunferencia vaise recorrendo no senso contrario ás agullas do reloxo cando o observador mira á fonte de luz (a onda propágase cara a el), polo que se di que a onda é circular levóxira. En cambio a onda: E = 4ˆx sen(kz ωt) 4ŷ cos(kz ωt) V/m é circular dextróxira. (Hecht) 4

5 Se consideramos un instante fixo, por exemplo t = 0, o extremo de E describe unha hélice no espacio. Se a polarización é dextróxira, a hélice ten o mesmo senso de xiro que os parafusos usuais. Outro aspecto destacable é o desfase entre as dúas compoñentes da onda. Para analizalo convertamos o coseno da onda levóxira (6.5) nun seno: E = 4ˆx sen(kz ωt) + 4ŷ sen(kz ωt + π/2) V/m polo que a compoñente na dirección Y ten un desfase de π/2 respecto da compoñente X. En realidade a compoñente Y vai atrasada respecto da X. A mesma análise na onda dextróxira conduce a un desfase de π/2. (Cabrera) 6.3. Polarización elíptica Agora sumemos a onda (6.1) coa metade da (6.2): E = 4ˆx sen(kz ωt) + 2ŷ cos(kz ωt) V/m O comportamento desta onda é parecido ó da circular levóxira (6.5), pero coa compoñente Y menor. Polo tanto o campo eléctrico nun punto xa non 5

6 describe unha circunferencia a medida que pasa o tempo, senón unha elipse co eixo maior na dirección X e o menor na dirección Y. Obsérvese que o desfase da compoñente Y respecto da X segue sendo π/2 e o senso no que E recorre a elipse tamén é contrario ás agullas do reloxo. Esta polarización é elíptica levóxira; ademais como os eixos da elipse coinciden cos nosos eixos de coordenadas, dise que a elipse está referida ós seus eixos. Ata o momento analizamos ondas que non tiñan desfase entre as súas compoñentes ou que tiñan un desfase de ±π/2. Agora vexamos un caso máis xeral: compoñentes con amplitudes diferentes e un desfase arbitrario entre elas: E = E xˆx + E y ŷ = E 0xˆx cos(kz ωt) + E 0y ŷ cos(kz ωt + ɛ) (6.6) Para analizar a curva que describe E, debemos relacionar E x con E y e eliminar a dependencia en kz ωt, para iso escribamos: E x E 0x = cos(kz ωt) E y E 0y = cos(kz ωt) cos ɛ sen(kz ωt) sen ɛ O cos(kz ωt) da segunda expresión pódese substituír por E x /E 0x gracias á primeira ecuación. Para eliminar o sen(kz ωt) hai que despexalo, elevar ó cadrado a ecuación e relacionalo co coseno cadrado: E y E x cos ɛ = sen(kz ωt) sen ɛ E 0y E 0x ( Ey E ) 2 x cos ɛ = (1 cos 2 (kz ωt)) sen 2 ɛ E 0y E 0x ( Ey E ) [ 2 ( ) ] 2 x Ex cos ɛ = 1 sen 2 ɛ E 0y E 0x E 0x Desfacendo o cadrado do primeiro termo e simplificando obtemos: ( Ex E 0x ) 2 + ( Ey E 0y ) 2 2 E x E 0x E y E 0y cos ɛ = sen 2 ɛ que resulta ser a ecuación dunha elipse cos eixos xirados un certo ángulo α respecto dos eixos XY. En concreto pode demostrarse que: tan 2α = 2E 0xE 0y cos ɛ E 2 0x E 2 0y 6

7 (Hecht) En xeral, a ecuación (6.6) correspóndese a un estado de polarización elíptico, e a elipse non está referida ós seus eixos. Sen embargo esta expresión contén como casos particulares a polarización lineal (nótese o caso ɛ = π), circular e elíptica referida ós seus eixos para valores concretos de ɛ, E 0x e E 0y : ɛ = mπ, E 0x = 0 ou E 0y = 0 Polarización lineal ɛ = ( {}}{ π/2 ou E 0x E 0y Pol. elíptica {}}{ lev. ou } dextr. {{} ref. ós seus eixos π/2 }{{} ) + 2mπ E 0x = E 0y Polarización circular {}}{ lev. ou } dextr. {{} m Z Recoméndase consultar a páxina web: no applet Polarización y leyes de Fresnel Polarización natural A luz procedente dunha chama ou do filamento incandescente dunha bombilla é a superposición da emisión aleatoria e independente de infinidade de átomos. A emisión de cada átomo está polarizada, pero a súa duración é moi 7

8 curta, da orde de 10 8 s. De aí que a polarización da superposición tamén cambie a un ritmo semellante. En definitiva, o campo eléctrico cambia moi rápida e aleatoriamente de dirección, pero sempre no plano perpendicular á dirección de propagación. Ademais, o campo ten a mesma probabilidade de apuntar a cada unha destas direccións. A luz con polarización natural tamén se denomina luz non polarizada; mentres que as polarizacións totalmente previsibles que vimos antes (lineal, circular e elíptica) se denominan estados puros. Obsérvese que o campo eléctrico da luz circular tamén apunta a tódalas direccións con igual probabilidade, pero o fai de maneira cíclica e que podemos predicir, mentres que o campo eléctrico da luz natural o fai de maneira aleatoria. Unha forma simplificada de describir a luz natural é como una onda coas dúas compoñentes iguais pero cun desfase aleatorio entre elas ɛ(t): E = E 0ˆx cos(kz ωt) + E 0 ŷ cos(kz ωt ɛ(t) ) Tamén se di que as dúas compoñentes son incoherentes entre si. Luz parcialmente polarizada En moitas ocasións o comportamento da luz non é nin totalmente aleatorio, nin totalmente previsible, senón que está nalgunha situación intermedia que se denomina polarización parcial ou estado mistura. Podemos describir estes estados como suma dunhas certas cantidades de luz natural e de luz totalmente polarizada nas proporcións axeitadas. A irradiancia desta última dividida entre a irradiancia total é o grao de polarización (V ) que está comprendido entre 0 (luz non polarizada) e 1 (luz totalmente polarizada) Vantaxes da notación complexa. Vectores de Jones Supoñamos que necesitamos sumar as ondas (6.2) e a (6.4), que teñen os campos paralelos. É posible agrupar os termos de xeito que só apareza unha 8

9 función trigonométrica. Vexámolo: E = E 2 + E 4 = 4ŷ cos(kz ωt) + 3ŷ sen(kz ωt) V/m = ( ) ŷ cos(kz ωt) sen(kz ωt) 2 = 5ŷ (cos(arctan 34 ) cos(kz ωt) + sen(arctan 34 ) ) sen(kz ωt) V/m V/m = 5ŷ cos(kz ωt arctan 3 4 ) V/m. Repitamos o cálculo en notación complexa: E = 4ŷ exp{i(kz ωt)} + 3ŷ exp{i(kz ωt π/2)} V/m = (4 3i)ŷ exp{i(kz ωt)} V/m = 5ŷ exp{i(kz ωt arctan 3 )} V/m 4 que permite chegar ó mesmo resultado en pasos máis doados xa que, ó converter a contribución dos desfases nun produto, se pode factorizar a fase kz ωt. Vexamos outro exemplo, reescribamos o estado circular (6.5) en notación complexa: E = 4ˆx exp{i(kz ωt) π/2} + 4ŷ exp{i(kz ωt)} V/m = 4 (ˆx exp{ iπ/2} + ŷ) exp{i(kz ωt)} V/m = 4 ( iˆx + ŷ) exp{i(kz ωt)} V/m ( ) i = 4 exp{i(kz ωt)} V/m 1 ( ) 1 = 4i exp{i(kz ωt)} V/m i Nos dous últimos pasos empregouse unha notación en columna para representar o vector. A notación de Jones fai unha simplificación máis, xa que é posible operar cos estados de polarización manipulando soamente a parte vectorial, o que nos libera da fase global. Así representaremos as ondas polarizadas do seguinte xeito: 9

10 lineal circular elíptica horizontal vertical levóxira dextroxira ( ) ( ) ) ) ( ) E0x 0 E0x 0 E 0y E 0 ( 1 i E 0 ( 1 i E 0y e iɛ A forma de operar cos vectores de Jones é a mesma que con vectores ordinarios, coas salvidades seguintes: as compoñentes son números complexos para representar os desfases; o produto escalar de dous vectores o converteremos nun produto de matrices traspoñendo o primeiro vector; dous vectores E 01 e E 02 son ortogonais cando: E 01 E 02 = 0; a irradiancia dunha onda é proporcional a: E 0 E 0. Por exemplo podemos ver que un estado elíptico calquera é combinación lineal (suma ponderada) de estados lineais ortogonais: ( ) ( ) ( ) E0x 1 0 = E E 0y e iɛ 0x + E 0y e iɛ, 0 1 é dicir, os estados lineais son unha base. Tamén podemos ver que a suma de luz circular levóxira e dextróxira da mesmas amplitudes, é luz lineal no eixo X: ( ) ( ) ( ) E 0 + E 0 = 2E 0. i i 0 Se desfasamos π un destes estados (=resta) o resultado é luz lineal vibrando no eixo Y: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) E 0 + e iπ E 0 = E 0 E 0 = 2iE 0. i i i i 1 Como os estados lineais (que son unha base) se poden expresar en función dos circulares, estes últimos tamén son unha base. En concreto unha base ortogonal xa que: ( ) 1 (1 i) = i i = 0 i Unha limitación do formalismo de Jones é a imposibilidade de describir a luz natural ou estados parcialmente polarizados. Isto resólvese usando os vectores de Stokes que teñen 4 compoñentes. 10

11 Tema 7 Polarizadores e láminas retardadoras Neste tema estudaremos os dispositivos que permiten modificar o estado de polarización dun feixe de luz. Os polarizadores son elementos que se comportan de forma diferente para cada unha das compoñentes da luz incidente (normalmente polarizacións lineais ortogonais), permitindo separalas ou eliminar unha delas. A súa utilidade é a obtención de luz polarizada a partir de luz natural. Os elementos retardadores introducen un atraso nunha compoñente da onda respecto da outra, o que permite cambiar a polarización da luz dende un estado puro a outro. Os máis comúns son as láminas retardadoras Polarizadores Hai catro mecanismos básicos que polarizan a luz: dicroísmo, birrefrinxencia, esparexemento (scattering) e reflexión En todos hai unha asimetría nas dúas compoñentes do campo eléctrico. No dous primeiros a asimetría está no material (anisotropía) mentres que nos dous últimos está na xeometría do sistema. Dicroísmo O dicroísmo é unha propiedade que presentan determinados materiais, e consiste na absorción dunha das compoñentes do campo eléctrico e na transmisión da outra. Este comportamento pode presentarse en materiais cristalinos nos que os enlaces químicos nunha dirección do cristal son diferentes que noutra. Por exemplo, se o cristal está formado por planos atómi- 11

12 cos con enlaces máis fortes entre os átomos dun plano que entre átomos de planos contiguos, a frecuencia natural de oscilación dos electróns dentro do plano será distinta que a frecuencia dunha vibración perpendicular ós planos. Se ademais só unha destas frecuencias coincide dentro do rango visible, os electróns absorberán a luz cando esta os force a vibraren na dirección respectiva e non na outra. Polo tanto unha polarización lineal será absorbida ou fortemente atenuada e a outra transmitida; o material actuará como polarizador lineal. A dirección do campo transmitido denomínase eixo de transmisión do polarizador. (Hecht) A miúdo a absorción depende da frecuencia, é dicir o campo só queda absorbido nunha frecuencia e atenuado no resto polo que en realidade esta compoñente da luz queda coloreada e a outra se transmite. De aí a orixe do nome de dicroísmo (dúas cores) para este mecanismo de polarización, aínda que haxa polarizadores dicroicos que se comportan de xeito uniforme para 12

13 todo o visible. Un exemplo ilustrativo de polarizador dicroico é a grella de arame, que está formada por un conxunto de arames paralelos moi finos e próximos como na figura. Cando un campo eléctrico paralelo ós arames actúe sobre os electróns, estes moveranse ó longo do arame e acabarán disipando esa enerxía como calor por efecto Joule. En cambio se o campo vibra na dirección perpendicular ós aramios, os electróns apenas poden moverse (os arames teñen que ser realmente moi finos) e a disipación Joule queda moi reducida: a onda transmítese. Aínda que resulta algo sorprendente, o eixo de transmisión é perpendicular ós arames. Actualmente só se fabrican polarizadores de grella prácticos no réxime de microondas ou no infravermello, pero co desenvolvemento da nanotecnoloxía estes polarizadores poderían ser comercialmente factibles para o rango visible nun futuro. (Hecht) O polaroide é o material dicroico máis utilizado para construír polarizadores; por exemplo as gafas polarizadas incorporan nas lentes unha lámina de polaroide. É un polímero lineal (alcohol polivinílico), e aínda non sendo cristalino ordénanse as súas cadeas poliméricas paralelamente entre si por estiramento do material en quente. Despois imprégnase o material en iodo, o cal se adhire ás cadeas de hidrocarburos formando a súas propias cadeas que son condutoras. Fórmase así un polarizador cun principio moi semellante ó de grella de arame. Cando se iluminan con luz natural, os polaroides acadan relacións de extinción (intensidade da compoñente transmitida fronte á intensidade da compoñente absorbida) de 500 a 1, aínda que realmente a compoñente transmitida tamén queda atenuada. 13

14 (Hecht) Cristal de calcita Birrefrinxencia Ó igual que o dicroísmo, é unha propiedade derivada dunha anisotropía do material. O cuarzo cristalino, a calcita ou a mica son materiais birrefrinxentes. Centrarémonos en materiais uniáxicos caracterizados por teren dúas direccións equivalentes entre si e diferentes á terceira denominada eixo óptico 1. A diferencia entre un material dicroico e un birrefrinxente é que neste último as frecuencias de absorción están fóra do rango visible, e polo tanto é transparente para as dúas polarizacións. É mais, cando a luz se propaga na dirección do eixo óptico, o material compórtase como isótropo xa que as dúas polarizacións do campo eléctrico están orientadas en direccións equivalentes do material e presenta un índice de refracción denominado índice ordinario (n o ). Sen embargo cando a luz se propaga perpendicularmente ó eixo óptico do material, unha compoñente do campo vibra perpendicularmente ó eixo óptico mentres que a outra o fai paralelamente. Como as direccións xa non son equivalentes, o material presenta un índice de refracción diferente para cada compoñente. A primeira compoñente segue percibindo o índice ordinario (n o ) e forma unha onda ordinaria mentres que a segunda compoñente dá lugar á denominada onda extraordinaria cun índice extraordinario (n e ). Se n e > n o (n e < n o ) o material denomínase uniáxico positivo (negativo). Para direccións de propagación intermedias, segue habendo unha onda ordinaria e outra extraordinaria, pero esta última é máis complicada xa que presenta un índice intermedio entre n o e n e e ademais E xa non é perpendicular ás superficies de fase constante. Sen embargo, a presencia de dous índices explica que se perciban dúas imaxes cando se mira a través destes materiais 1 A pesar do nome, non ten relación co eixo óptico dun sistema de lentes centrado. 14

15 xa que hai dúas refraccións (birrefrinxencia) con ángulos diferentes, efecto que lle dá nome á propiedade. A dobre refracción pode aproveitarse para separar as dúas compoñentes da luz. Un exemplo destes dispositivos é o prisma de Wollaston, o cal forma parte do queratómetro de Javal. Este prisma e outros parecidos permiten acadar relacións de extinción de 10 4 ou 10 5 a 1 sen apenas atenuación. Así a todo, o seu uso está limitado polo volume, peso e campo angular (restrición na dirección de propagación das ondas de entrada). (Hecht) 15

16 Esparexemento O esparexemento é un cambio na dirección de propagación da luz debido a irregularidades ou partículas no medio onde se propaga. Cando as irregularidades son moito maiores que a longura de onda (névoa, graos de sal ou azucre, os coloides graxos en suspensión que ten o leite... ) a luz sofre moitas refraccións e reflexións cando entra e sae das partículas dando lugar a luz branca reemitida en todas as direccións e sen polarizar. 2 Cando as irregularidades son moito menores que a longura de onda (λ) pero están espaciadas entre si máis que λ, a reemisión é moi feble, especialmente canto maior é λ, sen embargo esta radiación reemitida está parcialmente polarizada; é o chamado esparexemento Rayleigh. Cando a distancia entre as irregularidades é moito menor que λ o esparexemento Rayleigh desaparece por un fenómeno de interferencia destrutiva. As moléculas da parte alta da atmosfera son irregularidades suficientemente separadas para xerar un leve esparexemento, o cal é responsable da cor azul (λ s pequenas espállanse máis) do ceo. 2 Unha excepción é o arco da vella, fenómeno no que a luz só se atopa cunha única gota de auga antes de chegar ó observador. 16

17 Sen e con polarizador. (Hecht) Para comprender a polarización da luz esparexida consideremos unha onda plana con polarización natural propagándose horizontalmente. Cando a compoñente vertical do campo fai vibrar os electróns dunha molécula de aire, esa molécula reemite a luz preferentemente na dirección perpendicular á vibración plano horizontal pero mantendo a polarización vertical incidente; a molécula non reemite nada na dirección da vibración vertical. Polo contrario, a compoñente horizontal do campo incidente reemítese principalmente nun plano vertical mantendo a polarización horizontal. Esta reemisión desaparece na dirección horizontal perpendicular á dirección da onda inci- (Hecht) 17

18 (Hecht) dente. Combinando as dúas polarizacións incidentes podemos ver que a onda reemitida na dirección orixinal mantén a polarización natural, pero a onda reemitida perpendicularmente está linealmente polarizada nunha dirección perpendicular tanto á dirección de propagación da onda incidente como da reemitida. En direccións intermedias reemítese luz parcialmente polarizada. Reflexión En temas anteriores estudamos que a reflexión e transmisión entre dous dieléctricos era diferente para a compoñente contida no plano de incidencia que para a compoñente perpendicular a ese plano. 18

19 (Cabrera) (Hecht) 19

20 (Cabrera) Como pode verse nas gráficas, existe un ángulo de incidencia (ángulo Brewster) para o cal a compoñente paralela do campo se transmite totalmente sen ningún reflexo. Para ese mesmo ángulo de incidencia, parte da compoñente perpendicular reflíctese (case un 15 % para n = 1,5), e polo tanto o reflexo está linealmente polarizado. Para ángulos de incidencia próximos ó ángulo de Brewster o reflexo da compoñente paralela permanece bastante menor que o da compoñente perpendicular manténdose unha boa polarización aínda que parcial. Como método de polarización de luz natural é moi pouco eficiente xa que a proporción que conseguimos polarizar é só un 7,5 % da incidente; o resto da luz transmítese, adquirindo soamente unha lixeira polarización parcial. A eficiencia pode mellorarse amontoando láminas planoparalelas dun mesmo material. (Hecht) 20

21 7.2. Lei de Malus Cando dous polarizadores lineais (ideais) teñen os seus eixos de transmisión cruzados, non permiten o paso da luz xa que a compoñente que deixa pasar o primeiro queda bloqueado polo segundo (denominado analizador). Se os polarizadores teñen os eixos paralelos, o segundo non modifica o estado de polarización da luz que sae do primeiro. Chamémoslle I 0 á irradiancia emerxente do sistema nesta última configuración. Se os eixos de transmisión dos dous polarizadores forman un ángulo θ, o campo linealmente polarizado que emerxe do primeiro polarizador pode descompoñerse en dúas compoñentes ortogonais, unha paralela ó eixo de transmisión do analizador de amplitude cos θ e outra perpendicular de amplitude sen θ. A compoñente paralela atravesa o segundo polarizador e a ortogonal queda absorbida. A irradiancia emerxente será: I = I 0 cos 2 θ, expresión coñecida como Lei de Malus. (Hecht) 7.3. Retardadores Os retardadores son dispositivos que permiten modificar a fase relativa entre dúas compoñentes ortogonais do campo electromagnético. Hai dous tipos de retardadores que se basean en principios diferentes: as láminas retardadoras que están fabricadas con materiais anisótropos, e os romboides de Fresnel que aproveitan o desfase que sofren as compoñentes paralela e perpendicular tras dunha reflexión total interna. As máis comunmente utilizadas son as primeiras. 21

22 Láminas retardadoras Consideremos un lámina planoparalela fabricada cun material anisótropo uniáxico de xeito que o eixo óptico estea tamén paralelo ás caras iluminada por luz monocromática de longura de onda no baleiro λ 0. Cando a luz incide normal a unha das caras, nin a compoñente polarizada perpendicularmente ó eixo óptico (onda ordinaria), nin a compoñente polarizada paralelamente (onda extraordinaria) sofren desviación na dirección de propagación ó entraren na lámina. Tampouco se refractan na cara de saída, polo que despois da lámina seguimos tendo unha onda plana que se propaga na dirección orixinal. Sen embargo cada compoñente compórtase como se atravesase unha lámina cun índice diferente, o que ten dúas consecuencias: As transmitancias de cada compoñente son lixeiramente diferentes, pero esta diferencia é tan pequena que supoñeremos que son iguais excepto que se diga o contrario. As longuras de onda no medio (λ 0 /n o e λ 0 /n e ) tamén son lixeiramente diferentes, pero nun grosor da lámina macroscópico (por exemplo 1 mm) caben miles de longuras de onda, polo que esta pequena diferencia acumulada en cada longura de onda pode dar lugar a un cambio apreciable da fase coa que chegan as ondas á cara de saída (respecto da fase na cara de entrada). O cambio de fase da onda á saída implica un cambio no seu estado de polarización, por exemplo de lineal a elíptica. Calculemos este desfase considerando que na lámina incide luz linealmente polarizada coas dúas compoñentes en fase. Ademais tomemos un instante no que a fase na cara de entrada sexa cero. A fases das compoñentes na cara de saída e o valor absoluto da súa diferencia (o desfase φ) serán: φ o = kn o d = 2π λ 0 n o d φ e = kn e d = 2π λ 0 n e d φ φ e φ o = 2π λ 0 n e n o d, (7.1) onde os subíndices o e e significan ordinario e extraordinario, e d é o grosor da lámina. Aínda que este cálculo está feito para luz incidente linealmente polarizada, o cambio que introduce a lámina na diferencia das fases das compoñentes é sempre o mesmo. A dirección na que o índice é maior denomínase eixo lento da lámina e a dirección na que é menor é o eixo rápido. Se o material é uniáxico positivo (n e > n o ) o eixo rápido é o ordinario; se o material é uniáxico negativo (n e < n o ) o eixo rápido é o extraordinario. 22

23 (Cabrera) En resume, unha vez expresada a onda incidente nos eixos da lámina, a onda á saída simplemente incorpora unha fase φ na compoñente do eixo lento, máis unha fase global que en moitas ocasións podemos ignorar. Lámina de cuarto de onda ou λ/4 Cando o desfase entre as compoñentes é: φ = π/2 + 2mπ m = 0, 1, 2..., a lámina denomínase de cuarto de onda ou λ/4; sendo m a orde da lámina. Se nesta lámina incide luz lineal, emerxe luz elíptica referida ós eixos da lámina. Se polo contrario incide luz elíptica cos eixos orientados cos da lámina emerxe luz lineal. Polarizador circular Para que emerxa luz circular dunha lámina λ/4 debe incidir luz lineal orientada a 45 cos eixos da lámina. Polo tanto, se unimos solidariamente un polarizador lineal cunha lámina λ/4 de xeito que o eixo de transmisión 23

24 do polarizador forme 45 cos eixos da lámina, o conxunto forma un polarizador circular xa que sempre emerxe da lámina luz circularmente polarizada con independencia do que incida no polarizador lineal. Cando o conxunto se ilumina dende o lado da lámina o sistema denomínase analizador circular, xa que a intensidade emerxente é proporcional a á intensidade dunha das compoñentes circulares. Os polarizadores circulares son moi utilizados en fotografía. Lámina de media onda ou λ/2 Cando o desfase entre as compoñentes é: φ = π + 2mπ = (2m + 1)π m = 0, 1, 2..., a lámina denomínase de media onda ou λ/2. Se nesta lámina incide luz lineal e vibrando no primeiro e terceiro cuadrante, emerxe luz de novo linealmente polarizada, pero vibrando no segundo e cuarto (e viceversa). Ademais, os ángulos que forma o campo cos eixos da lámina son os mesmos á saída e a entrada. Dito doutro xeito, o campo á saída vibra simetricamente ó da entrada respecto de calquera dos eixos da lámina. Se na lámina incide luz circular levóxira emerxe circular dextróxira e viceversa. Láminas de onda completa Son aquelas nas que: φ = 2mπ m = 0, 1, Non alteran o estado de polarización da luz. 24

25 Láminas retardadoras con luz branca A análise anterior do comportamento das láminas retardadoras consideraba luz incidente monocromática. Cando incide luz policromática, cada longura de onda queda desfasada unha cantidade distinta segundo a ecuación (7.1), incluso aínda que n o e n e non dependesen de λ 0. Por exemplo, unha lámina λ/4 para a longura de onda dun láser He-Ne (λ 0a =632.8 nm) deixará de selo para a liña amarela do sodio (λ 0b =589 nm). Normalmente esta dependencia non é desexable, sendo máis reducida en láminas de orde cero. Sen embargo, en moitos materiais o grosor correspondente a unha lámina de orde cero é tan fino que non resulta mecanicamente viable. A solución consiste en partir de dúas láminas grosas abondo do mesmo material; por exemplo, unha co desfase desexado, e outra da mesma orde que a primeira pero de onda completa. O eixo rápido dunha lámina móntase paralelo ó eixo lento da outra. Deste xeito a lámina de onda completa compensa as ordes da primeira lámina pero non o desfase. Unha vantaxe engadida desta configuración é que a transmitancia é idéntica para as dúas compoñentes. Obviamente unha lámina de orde cero é mais cara que unha de orde múltiple. Rombo de Fresnel Cando a luz atravesa un cambio de medio, pasando de un índice menor a outro maior (por exemplo de aire a vidro), os coeficientes de Fresnel (tanto de reflexión como de transmisión) son reais para as dúas polarizacións. O que indican é un reparto da enerxía entre as ondas transmitidas e as reflectidas sen máis cambio na súa fase que un salto de π cando r ou r son negativos. Cando a luz pasa dende un índice maior a outro menor (por exemplo de vidro a aire), a situación é semellante para ángulos de incidencia menores que o ángulo crítico. Para incidencias máis rasantes que a correspondente ó ángulo crítico, non existe unha onda plana transmitida ó segundo medio 3, e toda a enerxía regresa ó primeiro. Isto pode demostrarse analizando os coeficientes de reflexión, que pasan a ser complexos para todo un rango de direccións de incidencia. O seu módulo é constante e igual a 1, pero a súa fase vai variando dende cero a π se o ángulo de incidencia varía dende o ángulo crítico ata 90 (incidencia rasante). Sen embargo esta variación de 0 a π non é igual para as dúas polarizacións (paralela e perpendicular ó plano de incidencia); o cal significa que as dúas compoñentes da onda reflectida 3 Realmente existe a denominada onda evanescente que soamente penetra da orde dunha λ no segundo medio. 25

26 26 (Hecht)

27 sofren un desfase distinto trala reflexión e polo tanto a onda reflectida ten un estado de polarización diferente ó da onda incidente. O rombo de Fresnel é un retardador que aproveita a diferencia de fase entre as dúas compoñentes dunha onda que sufriu unha reflexión total interna. Para construír un retardador de cuarto de onda requírese un desfase de π/2, o que supón unha última dificultade xa que o máximo desfase que se pode introduce nunha reflexión total interna de vidro a aire só é algo maior que π/4. Fresnel propuxo un dispositivo con dúas reflexións a un ángulo tal que o desfase en cada unha fose exactamente π/4, que acumuladas fan π/2. Concatenando dous rombos construímos un retardador λ/2. Este retardador pode considerarse acromático, xa que soamente hai unha pequena dependencia coa longura de onda a través do índice de refracción do material. Esta característica é a vantaxe que presenta o rombo de Fresnel respecto das láminas retardadoras Actividade óptica No ámbito da química, a quiralidade é unha propiedade que presentan as moléculas que son diferentes do seu reflexo nun espello, ó igual que unha man esquerda é diferente dunha dereita, ou que unha hélice dextróxira e unha levóxira. A dúas formas dunha molécula quiral, que se denominan eniantómeros, están compostas polos mesmos átomos, pero situados de xeito simétrico. Moitos procesos biolóxicos dan lugar a só un dos eniantómeros dunha molécula, como por exemplo o ADN ou a glicosa. Cando un composto quiral só contén un dos eniantómeros presenta para a luz circular dextróxira un índice de refracción diferente que para luz circu- 27

28 (Wikipedia) lar levóxira; propiedade denominada actividade óptica ou birrefrinxencia circular. Podemos intuír esta diferencia de comportamento se lembramos que o campo eléctrico dun estado circular forma unha hélice ó longo da dirección de propagación, que tamén é unha figura quiral. Supoñamos que unha onda de amplitude unidade linealmente polarizada incide normalmente nunha lámina planoparalela de grosor d constituída cun material opticamente activo de índices n R e n L para as polarizacións circulares dextróxira e levóxira respectivamente. Para determinar a polarización a onda emerxente da lámina debemos descompoñer a polarización lineal incidente como suma de dous estados circulares, calcular a fase coa que chega cada estado á cara de saída e sumar o resultado. Escollamos o eixo X paralelo á polarización incidente; a descomposición na cara de entrada será: ( 1 0 ) = 1 2 ( 1 i ) e as ondas dentro do medio (incorporando as fases globais) se describen como: E = 1 ( ) 1 e i(k 0n R z ωt) + 1 ( ) 1 e i(k 0n L z ωt) 2 i 2 i = 1 [( ) ( ) ] 2 ei(k 0 n R +n L z ωt) 1 2 e ik 0 n R n L 1 2 z + e ik 0 n L n R z 2. i i Agora definimos: co que o campo queda como: E = 1 2 ei(k 0 n R +n L 2 z ωt) =e i(k 0 n R +n L 2 z ωt) ( 1 i n R n L θ = k 0 z, 2 ) ; [( ) ( )] e iθ e iθ + ie iθ ie ) iθ, ( cos θ sen θ 28

29 que non é mais que unha onda linealmente polarizada a un ángulo θ co eixo X. Sen embargo θ é proporcional a z, polo que o medio activo rota o plano de polarización da luz lineal a media que esta se propaga polo medio. Obviamente o ángulo de polarización á saída será: n R n L θ = k 0 d. 2 (Hecht Fig. 8.53) Este comportamento fai doado medir a actividade óptica con dous polarizadores, un deles que se poida rotar e medir esa rotación. O instrumento denomínase polarímetro, e úsase para medir o contido de azucre do mel ou do mosto. Se a distancia de propagación é longa, poden observarse cores, xa que n R n L dependen de λ. 29

30 7.5. Aplicacións da polarización da luz Gafas polarizadas Consisten nunha lámina polarizadora (tipo Polaroid) entre dous vidros tallados para obter a potencia desexada. Tamén se fabrican pegando o polarizador na cara anterior ou posterior dunha lente orgánica. Lembremos que a luz do Sol non está polarizada e que a luz reflectida polos obxectos podemos descompoñela en dúas partes: Reflexión difusa: a luz sae en todas direccións, tampouco está polarizada e aporta a información da cor do obxecto; é máis intensa canto máis rugosa sexa a superficie. Reflexión especular: é semellante á que ocorre nunha superficie perfectamente pulida. A luz reflíctese na dirección predita pola lei de Snell sen entrar no obxecto, dando lugar a brillos moi intensos e brancos (sen información cromática do obxecto). Sen embargo cando a luz incide a un certo ángulo, especialmente se é próximo ó ángulo de Brewster, o reflexo especular está parcial ou totalmente polarizado. Por outra banda a maior parte das superficies que xeran reflexos especulares intensos (auga, area, asfalto... ) son horizontais polo que os seus reflexos están horizontalmente polarizados. Posto que os polarizadores se montan co eixo de transmisión vertical, cancelan ou atenúan fortemente estes reflexos especulares; mentres que os reflexos difusos quedan atenuados en menor medida ( 50 %) por non estaren polarizados. Polo tanto, a diferencia doutros filtros, os polarizadores logran: Eliminar selectivamente os brillos intensos e molestos. 30

31 31

32 Saturar as cores. Mellorar o contraste de obxectos debaixo da auga. Os filtros polarizadores son especialmente útiles en actividades como a pesca, o esquí ou a condución. Sen embargo presentan algúns efectos secundarios: É usual que os materiais transparentes baixo tensión presenten birrefrinxencia e polo tanto alteren a polarización da luz. Así os vidros dos automóbiles ou as xanelas dos avións poden presentar padróns curiosos cando se observan a través dos polarizadores. As pantallas LCD (cristal líquido) emiten luz polarizada. O ángulo que forma a dirección de polarización desta luz coa do eixo de transmisión do filtro determina a cantidade de luz que pasa. Afortunadamente a polarización dos LCDs soe ser vertical. Pantallas LCD (Liquid Crystal Display) O cristal líquido e un estado da materia intermedio entre sólido cristalino e o líquido. As súas moléculas son alongadas e tenden a orientarse parale- 32

33 lamente entre si polo que presentan anisotropía, pero non teñen posicións fixas, pódense mover e deslizar con tanta facilidade que a sustancia é líquida. Ademais, a orientación pode modificarse cun campo eléctrostático ou verse influída pola superficie coa que están en contacto. (Wikipedia) Nas pantallas máis comúns, o cristal líquido está confinado entre dúas láminas de vidro. As caras interiores das láminas están tratadas co obxecto de que as moléculas se manteñan paralelas ás caras, pero as dunha cara perpendiculares coas da outra, de xeito que a aliñación do cristal líquido se ve forzada a describir unha hélice. As láminas de vidro tamén teñen electrodos transparentes que permiten aplicar un campo electrostático entre elas. Neste caso as moléculas do cristal vense forzadas a aliñarse perpendicularmente ás láminas, deformándose máis ou menos a xeometría anterior en función da intensidade do campo. Toda a estrutura está situada entre dous polarizadores lineais cruzados, de xeito que o cristal líquido se ilumina con luz lineal que se propaga perpendicularmente ás láminas. Cando non se aplica tensión entre as láminas, o plano de polarización da luz rota 90 graos ó atravesar o cristal, e resulta transmitido polo segundo polarizador. Cando hai un campo electrostático forte, o eixo óptico do cristal líquido queda aliñado coa dirección de propagación da luz, polo que a súa polarización non cambia, e o segundo 33

34 polarizador absorbe a luz. Tensio ns intermedias producen transmisio ns parciais: temos un pı xel en branco e negro; millo ns deles permiten xerar unha imaxe. Para xerar imaxes en cor, colo canse filtros azuis verde e vermello en tres pı xeles contiguos para obter un pı xel en cor. (A representacio n dos polarizadores e conceptualmente erro nea) (Wikipedia) Cine 3D Na actualidade existen tres me todos de xerar a sensacio n de tridimensionalidade en salas de cine. Todas base anse en proxectar du as imaxes filmadas dende a ngulos levemente diferentes e despois proporcionar a imaxe apropiada a cada ollo do espectador mediante unhas gafas. A diferencia radica no me todo de seleccio n (e proxeccio n): Por interferencia: Aı nda sendo imaxes en cor, cada unha ten un espectro diferente, o filtro de cada ollo selecciona a imaxe correcta e elimina a outra mediante interferencia (feno meno que estudaremos ma is adiante). Por filtros de cristal lı quido: As imaxes de cada ollo proxe ctanse alternativamente, e as gafas do espectador pasan de un estado transparente a un opaco de forma tame n alternativa e sincronizada coa proxeccio n, de xeito que cando o filtro dun ollo esta transparente o do outro esta opaco. Ası cada ollo so recibe imaxes tomadas dende unha vista da escena. Estas gafas son caras e necesitan alimentacio n. 34

35 Por filtros polarizadores: As du as imaxes proxe ctanse con polarizacio ns diferentes (por exemplo horizontal e vertical ou circular levo xira e dextro xira) e a gafa situ a diante de cada ollo do espectador un polarizador (lineal ou circular) que elimina unha imaxe e transmite a outra. A parte ma is custosa deste sistema e a pantalla, que debe xerar unha reflexio n difusa pero mantendo a polarizacio n incidente Descricio n matema tica de polarizadores e retardadores: matrices de Jones Un estado de polarizacio n puro pode representarse mediante un vector de Jones. A accio n dun polarizador ou dun retardador modifica o estado converte ndoo noutro estado puro. Matematicamente, estas transformacio ns poden representarse mediante matrices 2 2, as denominadas matrices de Jones. 35

36 Xiro Para expresar o vector de Jones nun sistema de referencia xirado, debemos multiplicalo por unha matriz de xiro: ( ) cos θ sen θ T (θ) = sen θ cos θ onde θ é o ángulo que o sistema xirado forma co sistema orixinal (positivo cando o xiro é contra as agullas do reloxo). Polarizadores lineais Polarizador lineal co eixo de transmisión no eixo X: ( ) 1 0 M(0) = 0 0 Polarizador co seu eixo de transmisión a un ángulo θ co eixo X. Construímolo expresando o vector de Jones no sistema de referencia do polarizador, aplicando a matriz do polarizador anterior e regresando o sistema de referencia orixinal: M(θ) =T ( θ)m(0)t (θ) ( cos θ sen θ = sen θ cos θ ) ( ) ( cos θ sen θ sen θ cos θ ) Láminas retardadoras ( cos = 2 θ sen θ cos θ sen θ cos θ sen 2 θ Lámina retardadora de desfase δ co seu eixo rápido no eixo X, e o lento no eixo Y: ( ) ( ) 1 0 e L(δ; 0) = 0 e iδ = e iδ/2 iδ/2 0 0 e iδ/2 Láminas retardadoras λ/4 e λ/2 co seu eixo lento no eixo Y: ( ) ( ) L(π/2; 0) = L(π; 0) = 0 i 0 1 ) 36

37 Lámina retardadora de desfase δ co seu eixo rápido a un ángulo θ co eixo X: L(δ; θ) =T ( θ)l(δ; 0)T (θ) ( cos θ sen θ = sen θ cos θ ) ( e iδ ) ( cos θ sen θ sen θ cos θ ) ( e =e iδ/2 iδ/2 cos 2 θ + e iδ/2 sen 2 θ i sen δ sen 2θ 2 i sen δ sen 2θ 2 e iδ/2 sen 2 θ + e iδ/2 cos 2 θ ) Polo tanto unha lámina λ/4 e unha λ/2 co eixo rápido a 45 co eixo X, terán como matrices: ( ) ( ) L(π/2; 45 ) = eiπ/4 1 i 0 1 L(π; 45 ) = 2 i