Racionalne krive i površi u geometrijskom dizajnu

Racionalne krive i površi u geometrijskom dizajnu Tijana Šukilović Matematički fakultet, Univerzitet Beograd May 2, 2011, Beograd

Sadržaj 1 Racionalne Bézier-ove krive Polinomijalne Bézier-ove krive Algoritam de Casteljau Multi-afine polarne forme Podela Bézierove krive Racionalne Bézier-ove krive i njihovi oskulirajući potprostori Dualne Bézier-ove krive 2 B-Spline krive Polinomijalne B-Spline krive Racionalne B-Spline krive 3 Racionalne Bézier-ove površi Tenzorski proizvod površi Trougaone Bézier-ove površi Multi-afine polarne forme Racionalne površi

Bernstein-ovi polinomi Racionalna kriva je preslikavanje c : R P n koje u homogenim koordinatama ima polinomijalnu reprezentaciju. Polinomi oblika B n i (t) = ( n i ) t i (1 t) n i, (i = 0,..., n) (1) nazivaju se Bernstein-ovi polinomi stepena n. Polinomi u Bernstein-ovoj formi prvobitno su korišćeni u dokazu teoreme Stone-Weierstrass-a o aproksimaciji.

Definicija 1 Bézierova kriva Polinomijalna funkcija b : R R m koja predstavlja linearnu kombinaciju Bernstein-ovih polinoma: b(t) = n Bi n (t)b i (2) i=0 naziva se Bézier-ova kriva, a koeficijenti b i se zovu kontrolne tačke. Niz b 0, b 1,... predstavlja kontrolni poligon Bézier-ove krive.

Lema 1 Bézier-ova kriva b(t) definisana kontrolnim tačkama b 0,..., b n R m ima sledeća svojstva:

Lema 1 Bézier-ova kriva b(t) definisana kontrolnim tačkama b 0,..., b n R m ima sledeća svojstva: 1 Prvi izvod od b(t) dat je formulom n 1 ḃ(t) = n Bi n 1 (t) b i, i=0 gde je b i = b i+1 b i, tako da i sam predstavlja Bézier-ovu krivu.

Lema 1 Bézier-ova kriva b(t) definisana kontrolnim tačkama b 0,..., b n R m ima sledeća svojstva: 1 Prvi izvod od b(t) dat je formulom n 1 ḃ(t) = n Bi n 1 (t) b i, i=0 gde je b i = b i+1 b i, tako da i sam predstavlja Bézier-ovu krivu. 2 Važi n i=0 Bn i (t) = 1 i tačka na krivoj b(t) zavisi od kontrolnih tačaka na afino invarijantan način.

Lema 1 Bézier-ova kriva b(t) definisana kontrolnim tačkama b 0,..., b n R m ima sledeća svojstva: 1 Prvi izvod od b(t) dat je formulom n 1 ḃ(t) = n Bi n 1 (t) b i, i=0 gde je b i = b i+1 b i, tako da i sam predstavlja Bézier-ovu krivu. 2 Važi n i=0 Bn i (t) = 1 i tačka na krivoj b(t) zavisi od kontrolnih tačaka na afino invarijantan način. 3 (svojstvo konveksnog omotača) Tačka b(t) na krivoj je sadržana u konveksnom omotaču kontrolnih tačaka ako je 0 t 1.

Dokaz 1 (Bi n) (t) = n ( Bi 1 n 1 (t) Bn 1 i (t) ) ḃ(t) = n n i=1 ( B n 1 i 1 (t) Bn 1 i n 1 = n Bi n 1 (t)(b i+1 b i ) i=0 (t) ) b i

Dokaz 1 (Bi n) (t) = n ( Bi 1 n 1 (t) Bn 1 i (t) ) ḃ(t) = n n i=1 ( B n 1 i 1 (t) Bn 1 i n 1 = n Bi n 1 (t)(b i+1 b i ) i=0 2 b(t) je afina kombinacija tačaka b i : 1 = (t + (1 t)) n = n i=0 ( n i (t) ) b i ) t i (1 t) n i = n Bi n (t) i=0

Dokaz 1 (Bi n) (t) = n ( Bi 1 n 1 (t) Bn 1 i (t) ) ḃ(t) = n n i=1 ( B n 1 i 1 (t) Bn 1 i n 1 = n Bi n 1 (t)(b i+1 b i ) i=0 2 b(t) je afina kombinacija tačaka b i : 1 = (t + (1 t)) n = n i=0 ( n i (t) ) b i ) t i (1 t) n i = 3 0 t 1 Bi n (t) 0 (prema definiciji) B n i (t) = 1 Bi n (t) 1 b(t) je konveksna kombinacija tačaka b i. n Bi n (t) i=0

Osnovna svojstva Bézier-ove krive Stepen krive definisane sa n + 1 kontrolnih tačaka je n

Osnovna svojstva Bézier-ove krive Stepen krive definisane sa n + 1 kontrolnih tačaka je n Kriva b(t) prolazi kroz tačke b 0 i b n

Osnovna svojstva Bézier-ove krive Stepen krive definisane sa n + 1 kontrolnih tačaka je n Kriva b(t) prolazi kroz tačke b 0 i b n Nenegativnost sve bazne funkcije su nenegativne

Osnovna svojstva Bézier-ove krive Stepen krive definisane sa n + 1 kontrolnih tačaka je n Kriva b(t) prolazi kroz tačke b 0 i b n Nenegativnost Svojstvo konveksnog omotača Specijalno: Bézier-ova kriva je konveksna ako je njen kontrolni poligon konveksan.

Osnovna svojstva Bézier-ove krive Stepen krive definisane sa n + 1 kontrolnih tačaka je n Kriva b(t) prolazi kroz tačke b 0 i b n Nenegativnost Svojstvo konveksnog omotača Svojstvo umanjene varijacije Hiperravan H seče polinomijalnu Bézier-ovu krivu (koja nije sadržana u H) u najviše onoliko tačaka u koliko seče njen kontrolni poligon:

Osnovna svojstva Bézier-ove krive Stepen krive definisane sa n + 1 kontrolnih tačaka je n Kriva b(t) prolazi kroz tačke b 0 i b n Nenegativnost Svojstvo konveksnog omotača Svojstvo umanjene varijacije Afina invarijantnost

Osnovna svojstva Bézier-ove krive Stepen krive definisane sa n + 1 kontrolnih tačaka je n Kriva b(t) prolazi kroz tačke b 0 i b n Nenegativnost Svojstvo konveksnog omotača Svojstvo umanjene varijacije Afina invarijantnost Promena jedne kontrolne tačke menja krivu globalno

Algoritam za odredjivanje tačke na krivoj Dat je niz kontrolnih tačaka b 0,..., b n i realni parametar t [0, 1]. Tačku b(t) krive konstruišemo rekurzivnim postupkom pod nazivom de Casteljau-ov algoritam: 1 Početna iteracija: b 0 0 = b 0,..., b 0 n = b n 2 b r i = (1 t)b r 1 i + tb r 1 i+1 { r = 1,..., n i = 0,..., n r 3 b(t) = b n 0

Lema 2 Algoritam de Casteljau-a, primenjen na tačke b 0,..., b n i realni parametar t, izračunava polinomijalnu Bézier-ovu krivu sa ovim kontrolnim tačkama i za vrednost parametra t.

Lema 2 Algoritam de Casteljau-a, primenjen na tačke b 0,..., b n i realni parametar t, izračunava polinomijalnu Bézier-ovu krivu sa ovim kontrolnim tačkama i za vrednost parametra t. Dokaz Pokažimo prvo da izračunavanje Bézier-ove krive sa kontrolnim tačkama b i,..., b i+r za vrednost t daje tačku b r i iz algoritma: r 1 (1 t) j=0 B r 1 j r 1 (t)b i+j + t j=0 B r 1 j (t)b i+1+j = r Bj r (t)b i+j j=0 Tvrdjenje leme je specijalan slučaj ovoga za i = 0 i r = n.

Veza izmedju Bézier-ovih i polinomijalnih krivih

Veza izmedju Bézier-ovih i polinomijalnih krivih Sve Bézier-ove krive su polinomijalne.

Veza izmedju Bézier-ovih i polinomijalnih krivih Sve Bézier-ove krive su polinomijalne. Sve polinomijalne krive su Bézier-ove.

Veza izmedju Bézier-ovih i polinomijalnih krivih Sve Bézier-ove krive su polinomijalne. Sve polinomijalne krive su Bézier-ove. Za datu polinomijalnu funkciju c : R R m stepena n treba odrediti tačke b 0,..., b n za koje važi c(t) = i Bn i (t)b i.

Veza izmedju Bézier-ovih i polinomijalnih krivih Sve Bézier-ove krive su polinomijalne. Sve polinomijalne krive su Bézier-ove. Za datu polinomijalnu funkciju c : R R m stepena n treba odrediti tačke b 0,..., b n za koje važi c(t) = i Bn i (t)b i. Definicija Posmatramo monom t r. Za n r definišemo funkciju n-promenljivih P : P (t 1,..., t n ) = ( n r ) 1 I {1,..., n} #I = r i I t i

Primeri

Primeri n = 2, r = 0 : P (t 1, t 2 ) = 1

Primeri n = 2, r = 0 : P (t 1, t 2 ) = 1 n = 2, r = 1 : P (t 1, t 2 ) = t 1+t 2 2

Primeri n = 2, r = 0 : P (t 1, t 2 ) = 1 n = 2, r = 1 : P (t 1, t 2 ) = t 1+t 2 2 n = 2, r = 2 : P (t 1, t 2 ) = t 1 t 2

Primeri n = 2, r = 0 : P (t 1, t 2 ) = 1 n = 2, r = 1 : P (t 1, t 2 ) = t 1+t 2 2 n = 2, r = 2 : P (t 1, t 2 ) = t 1 t 2 n = 3, r = 0 : P (t 1, t 2, t 3 ) = 1

Primeri n = 2, r = 0 : P (t 1, t 2 ) = 1 n = 2, r = 1 : P (t 1, t 2 ) = t 1+t 2 2 n = 2, r = 2 : P (t 1, t 2 ) = t 1 t 2 n = 3, r = 0 : P (t 1, t 2, t 3 ) = 1 n = 3, r = 1 : P (t 1, t 2, t 3 ) = t 1+t 2 +t 3 3

Primeri n = 2, r = 0 : P (t 1, t 2 ) = 1 n = 2, r = 1 : P (t 1, t 2 ) = t 1+t 2 2 n = 2, r = 2 : P (t 1, t 2 ) = t 1 t 2 n = 3, r = 0 : P (t 1, t 2, t 3 ) = 1 n = 3, r = 1 : P (t 1, t 2, t 3 ) = t 1+t 2 +t 3 3 n = 3, r = 2 : P (t 1, t 2, t 3 ) = t 1t 2 +t 1 t 3 +t 2 t 3 3

Primeri n = 2, r = 0 : P (t 1, t 2 ) = 1 n = 2, r = 1 : P (t 1, t 2 ) = t 1+t 2 2 n = 2, r = 2 : P (t 1, t 2 ) = t 1 t 2 n = 3, r = 0 : P (t 1, t 2, t 3 ) = 1 n = 3, r = 1 : P (t 1, t 2, t 3 ) = t 1+t 2 +t 3 3 n = 3, r = 2 : P (t 1, t 2, t 3 ) = t 1t 2 +t 1 t 3 +t 2 t 3 3 n = 3, r = 3 : P (t 1, t 2, t 3 ) = t 1 t 2 t 3

Definicija 2 Multi-afine polarne forme Preslikavanje f : R n R m naziva se afino ako f(ta + (1 t)b) = tf(a) + (1 t)f(b) za sve a, b R n, t R.

Definicija 2 Multi-afine polarne forme Preslikavanje f : R n R m naziva se afino ako f(ta + (1 t)b) = tf(a) + (1 t)f(b) za sve a, b R n, t R. Definicija 3 Preslikavanje P naziva se multi-afina polarna forma odgovarajućeg monoma. Ako je polinom linearna kombinacija monoma, odgovarajuća linearna kombinacija polarnih formi monoma naziva se polarna forma polinoma.

Teorema 1 Ako je c(t) = c i t i realna polinomijalna funkcija stepena n, tada se može predstaviti u obliku c(t) = i Bn i (t)b i, gde je b i = P (0,..., 0, 1,..., 1), }{{}}{{} n i i gde je P polarna forma n-promenljivih funkcije c.

Dokaz Multi-afina funkcija P zadovoljava jednakost: (1 t n )P (t 1,..., t n 1, 0)+t n P (t 1,..., t n 1, 1) = P (t 1,..., t n 1, t n ) Definišemo tačke: p r i := P (0,..., 0, 1,..., 1, t,..., t) }{{}}{{}}{{} n r i i r One zadovoljavaju iste rekurentne jednačine kao tačke b r i iz de Casteljau-ovog algoritma p r i = b r i p n 0 = b n 0 Tvrdjenje teoreme sledi iz Leme 2.

Primer Posmatramo krivu c(t) = (t 2 1, 2t). Odgovarajuće 2-polarne forme monoma su: Polarna forma od c data je sa: a kontrolne tačke: 1 : 1 t t : 1 +t 2 2 t 2 : t 1 t 2 P (t 1, t 2 ) = (t 1 t 2 1, t 1 + t 2 ), b 0 = P (0, 0) = ( 1, 0) b 1 = P (0, 1) = ( 1, 1) b 2 = P (1, 1) = (0, 2)

Lema 3 Neka je p(u) polinomijalna funkcija stepena n i Q(u 1,..., u n ) simetrična multi-afina realna funkcija n promenljivih takva da je Q(u,..., u) = p(u), tada se Q poklapa sa n-polarnom formom P od p. Lema 4 Dve polinomijalne krive f, g sa multi-afinim polarnim formama S i T dele iste izvode najviše reda k u u = u 0 akko S(u 1,..., u k, u 0,..., u }{{} 0 ) = T (u 1,..., u k, u 0,..., u 0 ) }{{} n k n k za sve u 1,..., u k.

Reparametrizacija Bézierove krive Svaki deo Bézierove krive može biti reparametrizovan tako da predstavlja polinomijalni segment krive čiji parametar pripada intervalu [0, 1]. Posledica 1 Neka je c(t) polinomijalna kriva stepena n u R m i P njena n-polarna forma, tada su kontrolne tačke segmenta krive c([a, b]) date sa b i = P (a,..., a, b,..., b). }{{}}{{} n i i

Dokaz d(t) := c ( ) t a b a d([0, 1]) = c([a, b]) Za ovako definisanu funkciju d polarna forma Q zadovoljava jednakost: ( t1 a Q(t 1,..., t n ) = P b a,..., t ) n a b a Iz Teoreme 1 sledi: b i = P (0,..., 0, 1,..., 1) = Q(a,..., a, b,..., b) }{{}}{{}}{{}}{{} n i i n i i

Posledica 2 Neka je b Bézier-ova kriva sa kontrolnim tačkama b 0,..., b n. Tangenta na krivu u tački b(t) razapeta je tačkama b0 n 1 i b1 n 1 koje se dobijaju primenom de Casteljau-ovog algoritma. Dokaz Označimo sa l tangentu na krivu u tački b(t). Posmatramo segment krive b([0, t]). Iz Teoreme 1 i Posledice 2 sledi da su njene kontrolne tačke b 0 0,..., b n 0. n 1 ḃ(t) = n Bi n 1 (t) b i b n 1 0 l i=0 Za tačku b n 1 1 primenimo prethodni postupak na b([t, 1])

Podela krive na 2 dela Za dati skup n + 1 kontrolnih tačaka P 0, P 1, P 2,..., P n i parametar t [0, 1], tražimo dva skupa sa n + 1 kontrolnih tačaka Q 0, Q 1, Q 2,..., Q n i R 0, R 1, R 2,..., R n takvih da Bézier-ova kriva definisana pomoću Q i (odnosno R i ) je deo početne Bézier-ove krive na [0, t] (odnosno [t, 1]).

Primena podele krive Odredjivanje preseka dve Bézier-ove krive

Primena podele krive Odredjivanje preseka dve Bézier-ove krive Renderovanje Bézier-ove krive

Primena podele krive Odredjivanje preseka dve Bézier-ove krive Renderovanje Bézier-ove krive Dizajn krivih Data kriva 8. stepena podeljena je na dva dela prvom je stepen povećan za 10, a drugom za 2.

Povećavanje stepena krive Zadatak: Povećati stepen krive bez promene njenog oblika.

Povećavanje stepena krive Zadatak: Povećati stepen krive bez promene njenog oblika. Rešenje: Nove kontrolne tačke se računaju pomoću formule: Q i = i ( n + 1 P i 1 + 1 i ) P i (1 i n), n + 1 gde su P 0,..., P n kontrolne tačke početne krive.

Povećavanje stepena krive Zadatak: Povećati stepen krive bez promene njenog oblika. Povećanje za 1 stepen

Povećavanje stepena krive Zadatak: Povećati stepen krive bez promene njenog oblika. Povećanje za 2 stepena

Povećavanje stepena krive Zadatak: Povećati stepen krive bez promene njenog oblika. Povećanje za 6 stepeni

Racionalne Bézier-ove krive Definicija 4 Bézier-ova kriva c : R P m data sa n c(t) = c(t)r = ( Bi n (t)b i )R, (b i R m+1 ) (3) i=0 naziva sa racionalna Bézier-ova kriva.

Racionalne Bézier-ove krive Definicija 4 Bézier-ova kriva c : R P m data sa n c(t) = c(t)r = ( Bi n (t)b i )R, (b i R m+1 ) (3) i=0 naziva sa racionalna Bézier-ova kriva. Sve racionalne krive mogu se napisati kao Bézier-ove krive.

Oskulirajući potprostori Teorema 2 k-ti projektivni oskulirajući potprostor racionalne Bézier-ove krive c(t) = ( i Bn i (t)b i)r u t = 0 je b 0 R... b k R. Slično, k-ti oskulirajući potprostor u t = 1 dat je sa b n R... b n k R. Dokaz Razmotrimo slučaj za t = 0 (t = 1 se razmatra analogno). Prema definiciji, k-ti oskulirajući potprostor razapet je tačkama: c(0)r, ċ(0)r,..., c (k) (0)R. Kako je c (r) (0) linearne kombinacija vektora b 1 b 0,..., b r b 0 (sa nenula koeficijentom uz b r b 0 ), dobijamo da b 0 R... b k R jeste k-ti oskulirajući potprostor.

Primer Posmatramo semikubikalnu parabolu t (t 2, t 3 ). Posle reparametrizacije t = u u 1, u homogenim koordinatama je možemo zapisati kao u ((u 1) 3, u 2 (u 1), u 3 )R = (u 3 3u 2 + 3u 1, u 3 u 2, u 3 )R. Polarna forma je oblika: P (u 1, u 2, u 3 ) = (u 1 u 2 u 3 (u 1 u 2 + u 1 u 3 + u 2 u 3 ) + (u 1 + u 2 + u 3 ) 1, u 1 u 2 u 3 u 1u 2 +u 1 u 3 +u 2 u 3 3, u 1 u 2 u 3 ).

Primer (nastavak) Kontrolne tačke b i R: b 0 = P (0, 0, 0) = ( 1, 0, 0) b 1 = P (0, 0, 1) = (0, 0, 0) b 2 = P (0, 1, 1) = (0, 1 3, 0) b 3 = P (1, 1, 1) = (0, 0, 1) Odavde sledi da je za u = 0 niz dimenzija oskulirajućih potprostora 0, 0, 1, 2,..., što znači da ovde kriva ima singularitet. U beskonačnosti (za u = 1), oskulirujući potprostori su dimenzija 0, 1, 1, 2,..., pa kriva ima prevojnu tačku za u = 1.

Lema 5 Racionalne normalne krive Za racionalnu krivu c(u) = c(u)r stepena k u P n (k > n) postoji singularno projektivno preslikavanje π : P k P n takvo da je c(u) = ((1, u,..., u k )R)π. Definicija 5 Kriva koja, u odnosu na neki projektivni koordinatni sistem, ima parametrizaciju c(u) = (1, u, u 2,..., u k )R naziva se racionalna normalna kriva projektivnog k-prostora.

Definicija 6 Dualne Bézier-ove krive Tangenta na racionalnu ravansku krivu c(t) = c(t)r u tački t = t 0 je linija c(t 0 ) c 1 (t 0 ) i ima vektor homogenih koordinata Ru(t 0 ) = R(c(t 0 ) ċ(t 0 )). Dualna Bézier-ova kriva U(t) = Ru(t) = R m Bi m (t)u i i=0 je familija pravih (tangenti) u projektivnoj ravni zadatih polinomijalnom reprezentacijom u Bernstein-ovoj bazi.

Definicija 6 Dualne Bézier-ove krive Tangenta na racionalnu ravansku krivu c(t) = c(t)r u tački t = t 0 je linija c(t 0 ) c 1 (t 0 ) i ima vektor homogenih koordinata Ru(t 0 ) = R(c(t 0 ) ċ(t 0 )). Dualna Bézier-ova kriva U(t) = Ru(t) = R m Bi m (t)u i i=0 je familija pravih (tangenti) u projektivnoj ravni zadatih polinomijalnom reprezentacijom u Bernstein-ovoj bazi. Teorema 3 Familija tangenti racionalne Bézier-ove krive je njena dualna Bézier-ova kriva, i obratno.

Dualne kontrolne strukture

Dualne kontrolne strukture Bézier-ove krive: B i = b i R kontrolne tačke F i = (b i + b i+1 )R granične tačke

Dualne kontrolne strukture Bézier-ove krive: B i = b i R kontrolne tačke F i = (b i + b i+1 )R granične tačke Dualne Bézier-ove krive: U i = Ru i Bézier-ove linije F i : f i = u i + u i+1 granične linije

Svojstvo umanjene varijacije Teorema 4 Ako je c ravanska Bézier-ova kriva, broj njenih tangenti incidentnih sa datom tačkom P nije veći od ukupnog broja dualnih kontrolnih struktura koje su incidentne sa P.

Svojstvo konveksnosti Posledica Ako se Bézier-ove linije U i i granične linije F i dualne Bézier-ove krive c nalaze u skupu ivica i potpornih linija konveksnog domena D, a tačke U i U i+1 su medju temenima D-a, tada je c konveksna i potpuno leži izvan D.

Izračunavanje dualnih krivih Za izračunavanje polinoma U(t) = Ru(t) = R m i=0 Bm i (t)u i, koristi se de Casteljau-ov algoritam:

Izračunavanje dualnih krivih Za izračunavanje polinoma U(t) = Ru(t) = R m i=0 Bm i (t)u i, koristi se de Casteljau-ov algoritam: 1 stavimo: u 0 i = u i, i = 0,..., m

Izračunavanje dualnih krivih Za izračunavanje polinoma U(t) = Ru(t) = R m i=0 Bm i (t)u i, koristi se de Casteljau-ov algoritam: 1 stavimo: u 0 i = u i, i = 0,..., m 2 rekurzivno definišemo linije U k i (t) = Ruk i (t) : u k i (t) = (1 t)u k 1 i (t) + tu k 1 i+1 (t)

Izračunavanje dualnih krivih Za izračunavanje polinoma U(t) = Ru(t) = R m i=0 Bm i (t)u i, koristi se de Casteljau-ov algoritam: 1 stavimo: u 0 i = u i, i = 0,..., m 2 rekurzivno definišemo linije U k i (t) = Ruk i (t) : u k i (t) = (1 t)u k 1 i (t) + tu k 1 i+1 (t) 3 U(t) = Ru m 0 (t)

Konverzija dualnih krivih Posledica Ako je U(t) = R m i=0 Bm i (t)u i dualna Bézier-ova kriva, tada je odgovarajuća tačka krive c(t) parametrizovana sa c(t) = c(t)r ( 2m 2 k=0 ( ) 2m 2 b k k = ( ) ( m 1 m 1 i+j=k i j B 2m 2 k (t)b k ) R ) (u i u j+1 )

Definicija 7 B-Spline bazne funkcije Uredjena lista T realnih brojeva t 0 t 1..., t i < t i+n+1 naziva se vektor čvorova. Funkcija Ni n (u) definisana rekurzivno: { Ni 0 1 za ti u < t (u) := i+1 0 ina ce N r i (u) := u t i t i+r t i N r 1 i (u) + t i+r+1 u t i+r+1 t i+1 N r 1 i+1 (u) za 1 r n, naziva se i-ta B-Spline bazna funkcija stepena n koja odgovara vektoru čvorova T.

Definicija 8 B-Spline kriva Ako je n pozitivan ceo broj, d 0,..., d m tačke u R d, a T = (t 0... t m+n+1 ) vektor čvorova, onda su B-Spline kriva s(u) stepena n sa kontrolnim tačkama d 0,..., d m i vektorom čvorova T i njena pridružena polarna forma S j definisane sa m m s(u) = Ni n (u)d i, S j (u 1,..., u n ) = Pi,j(u n 1,..., u n )d i, i=0 i=0 gde su funkcije P n i,j (u 1,..., u n ) date rekurzijom (1 r n): P 0 i,j() = δ i,j = { 1 i = j 0 i j Pi,j r (u 1,..., u r ) = ur ti t i+r t i P r 1 i,j (u 1,..., u r 1 ) + ti+r+1 ur t i+r+1 t i+1 P r 1 i+1,j (u 1,..., u r 1 )

Primer B-Spline kriva nad vektorom čvorova (0, 0, 0, 0, 1, 2, 3, 4, 4, 4, 4).

Teorema 5 Fiksirajmo stepen n, odgovarajući vektor čvorova T = (t 0... t m+n+1 ) i kontrolne tačke d 0,..., d m. Tada B-Spline bazne funkcije Ni n (u) i B-Spline kriva s(u), definisane pomoću ovih podataka, imaju sledeća svojstva:

Teorema 5 Fiksirajmo stepen n, odgovarajući vektor čvorova T = (t 0... t m+n+1 ) i kontrolne tačke d 0,..., d m. Tada B-Spline bazne funkcije Ni n (u) i B-Spline kriva s(u), definisane pomoću ovih podataka, imaju sledeća svojstva: Ni n(u) 0 i m i=1 N i n(u) = 1; N i n(u) = 0 ako u [t i, t i+n+1 ].

Teorema 5 Fiksirajmo stepen n, odgovarajući vektor čvorova T = (t 0... t m+n+1 ) i kontrolne tačke d 0,..., d m. Tada B-Spline bazne funkcije Ni n (u) i B-Spline kriva s(u), definisane pomoću ovih podataka, imaju sledeća svojstva: Ni n(u) 0 i m i=1 N i n(u) = 1; N i n(u) = 0 ako u [t i, t i+n+1 ]. Tačka na krivoj s(u) zavisi samo od d i n,..., d i ako u [t i, t i+n+1 ] i ova zavisnost je afino invarijantna.

Teorema 5 Fiksirajmo stepen n, odgovarajući vektor čvorova T = (t 0... t m+n+1 ) i kontrolne tačke d 0,..., d m. Tada B-Spline bazne funkcije Ni n (u) i B-Spline kriva s(u), definisane pomoću ovih podataka, imaju sledeća svojstva: Ni n(u) 0 i m i=1 N i n(u) = 1; N i n(u) = 0 ako u [t i, t i+n+1 ]. Tačka na krivoj s(u) zavisi samo od d i n,..., d i ako u [t i, t i+n+1 ] i ova zavisnost je afino invarijantna. Tačka na krivoj s(u) sadržana je u konveksnom omotaču tačaka d i n,..., d i ako u [t i, t i+n+1 ].

Teorema 5 Fiksirajmo stepen n, odgovarajući vektor čvorova T = (t 0... t m+n+1 ) i kontrolne tačke d 0,..., d m. Tada B-Spline bazne funkcije Ni n (u) i B-Spline kriva s(u), definisane pomoću ovih podataka, imaju sledeća svojstva: Ni n(u) 0 i m i=1 N i n(u) = 1; N i n(u) = 0 ako u [t i, t i+n+1 ]. Tačka na krivoj s(u) zavisi samo od d i n,..., d i ako u [t i, t i+n+1 ] i ova zavisnost je afino invarijantna. Tačka na krivoj s(u) sadržana je u konveksnom omotaču tačaka d i n,..., d i ako u [t i, t i+n+1 ]. Restrikcija B-Spline baznih funkcija Ni n na proizvoljni interval [t j, t j+1 ] je polinom čija je multi-afina polarna forma Pi,j n (u 1,..., u n ).

Teorema 5 Fiksirajmo stepen n, odgovarajući vektor čvorova T = (t 0... t m+n+1 ) i kontrolne tačke d 0,..., d m. Tada B-Spline bazne funkcije Ni n (u) i B-Spline kriva s(u), definisane pomoću ovih podataka, imaju sledeća svojstva: Ni n(u) 0 i m i=1 N i n(u) = 1; N i n(u) = 0 ako u [t i, t i+n+1 ]. Tačka na krivoj s(u) zavisi samo od d i n,..., d i ako u [t i, t i+n+1 ] i ova zavisnost je afino invarijantna. Tačka na krivoj s(u) sadržana je u konveksnom omotaču tačaka d i n,..., d i ako u [t i, t i+n+1 ]. Restrikcija B-Spline baznih funkcija Ni n na proizvoljni interval [t j, t j+1 ] je polinom čija je multi-afina polarna forma Pi,j n (u 1,..., u n ). Restrikcija krive s na proizvoljni interval [t j, t j+1 ] je polinom čija je multi-afina polarna forma S j (u 1,..., u n ).

Teorema 5 Fiksirajmo stepen n, odgovarajući vektor čvorova T = (t 0... t m+n+1 ) i kontrolne tačke d 0,..., d m. Tada B-Spline bazne funkcije Ni n (u) i B-Spline kriva s(u), definisane pomoću ovih podataka, imaju sledeća svojstva: Ako je t j < t j+1 i j n l j, tada Pi,j n (t l+1,..., t l+n ) = δ i,l.

Teorema 5 Fiksirajmo stepen n, odgovarajući vektor čvorova T = (t 0... t m+n+1 ) i kontrolne tačke d 0,..., d m. Tada B-Spline bazne funkcije Ni n (u) i B-Spline kriva s(u), definisane pomoću ovih podataka, imaju sledeća svojstva: Ako je t j < t j+1 i j n l j, tada Pi,j n (t l+1,..., t l+n ) = δ i,l. Pod istim pretpostavkama, d l = S j (t l+1,..., t l+n ). (Primedba: Sve polarne forme S l,..., S l+n imaju istu vrednost d l ).

Teorema 5 Fiksirajmo stepen n, odgovarajući vektor čvorova T = (t 0... t m+n+1 ) i kontrolne tačke d 0,..., d m. Tada B-Spline bazne funkcije Ni n (u) i B-Spline kriva s(u), definisane pomoću ovih podataka, imaju sledeća svojstva: Ako je t j < t j+1 i j n l j, tada Pi,j n (t l+1,..., t l+n ) = δ i,l. Pod istim pretpostavkama, d l = S j (t l+1,..., t l+n ). (Primedba: Sve polarne forme S l,..., S l+n imaju istu vrednost d l ). Kriva s(u) je n µ puta diferencijabilna u µ-obmotanom čvoru t j.

Teorema 5 Fiksirajmo stepen n, odgovarajući vektor čvorova T = (t 0... t m+n+1 ) i kontrolne tačke d 0,..., d m. Tada B-Spline bazne funkcije Ni n (u) i B-Spline kriva s(u), definisane pomoću ovih podataka, imaju sledeća svojstva: Ako je t j < t j+1 i j n l j, tada Pi,j n (t l+1,..., t l+n ) = δ i,l. Pod istim pretpostavkama, d l = S j (t l+1,..., t l+n ). (Primedba: Sve polarne forme S l,..., S l+n imaju istu vrednost d l ). Kriva s(u) je n µ puta diferencijabilna u µ-obmotanom čvoru t j. Tačka S j (u 1,..., u n ) je sadržana u oskulirajućim (n 1)-prostorima krive s za vrednosti parametara u 1,..., u n. Ako se bilo koje u i pojavljuje µ puta, ta tačka je sadržana u oskulirajućem (n µ) prostoru krive s(u) u u i.

Teorema 5 Fiksirajmo stepen n, odgovarajući vektor čvorova T = (t 0... t m+n+1 ) i kontrolne tačke d 0,..., d m. Tada B-Spline bazne funkcije Ni n (u) i B-Spline kriva s(u), definisane pomoću ovih podataka, imaju sledeća svojstva: Ako je t j < t j+1 i j n l j, tada Pi,j n (t l+1,..., t l+n ) = δ i,l. Pod istim pretpostavkama, d l = S j (t l+1,..., t l+n ). (Primedba: Sve polarne forme S l,..., S l+n imaju istu vrednost d l ). Kriva s(u) je n µ puta diferencijabilna u µ-obmotanom čvoru t j. Tačka S j (u 1,..., u n ) je sadržana u oskulirajućim (n 1)-prostorima krive s za vrednosti parametara u 1,..., u n. Ako se bilo koje u i pojavljuje µ puta, ta tačka je sadržana u oskulirajućem (n µ) prostoru krive s(u) u u i. B-Spline kriva seče hiperravan u najviše onoliko tačaka u koliko je seče njen kontrolni poligon.

Teorema 6 Ako je p(u) deo po deo polinomijalna kriva stepena n koja je samo n µ i puta diferencijabilna u u = u i, tada postoji vektor čvorova T takav da T = (u 1,..., u }{{} 1, u 2,..., u 2,...), u }{{} 1 < u 2 <... µ 1 µ 2 gde je p(u) = m Ni n (u)d i, i=0 d l = S j (t l+1,..., t l+n ), (t j < t j+1, j n l j), a S j polarna forma polinoma p [t j, t j+1 ].

NURBS krive NURBS = non-uniform rational B-spline Izraz ne-uniformne se odnosi na činjenicu da čvorovi ne moraju da budu jednako distribuirani po realnoj pravoj.

Teorema 7 NURBS kriva s(u) stepena n u P d, definisana vektorom čvorova T = (t 0... t n+m+1 ) i svojim geometrijskim kontrolnim poligonom d 0 R, f 0 R = (d 0 + d 1 )R, d 1 R,..., d m R ima sledeća svojstva:

Teorema 7 NURBS kriva s(u) stepena n u P d, definisana vektorom čvorova T = (t 0... t n+m+1 ) i svojim geometrijskim kontrolnim poligonom d 0 R, f 0 R = (d 0 + d 1 )R, d 1 R,..., d m R ima sledeća svojstva: 1 Restrikcija s(u) na neprazan interval [t j, t j+1 ] je racionalna Bézier-ova kriva

Teorema 7 NURBS kriva s(u) stepena n u P d, definisana vektorom čvorova T = (t 0... t n+m+1 ) i svojim geometrijskim kontrolnim poligonom d 0 R, f 0 R = (d 0 + d 1 )R, d 1 R,..., d m R ima sledeća svojstva: 1 Restrikcija s(u) na neprazan interval [t j, t j+1 ] je racionalna Bézier-ova kriva 2 (svojstvo umanjene projektivne varijacije) Hiperravan H seče s(u) (koja nije sadržana u H) u najviše onoliko tačaka u koliko seče njen geometrijski kontrolni poligon.

Teorema 7 NURBS kriva s(u) stepena n u P d, definisana vektorom čvorova T = (t 0... t n+m+1 ) i svojim geometrijskim kontrolnim poligonom d 0 R, f 0 R = (d 0 + d 1 )R, d 1 R,..., d m R ima sledeća svojstva: 1 Restrikcija s(u) na neprazan interval [t j, t j+1 ] je racionalna Bézier-ova kriva 2 (svojstvo umanjene projektivne varijacije) Hiperravan H seče s(u) (koja nije sadržana u H) u najviše onoliko tačaka u koliko seče njen geometrijski kontrolni poligon. 3 Kontrolne tačke d l R su sadržane u (n 1)-dimenzionom oskulirajućem potprostoru od s(u) za vrednosti parametara t l+1,..., t l+n.

Teorema 7 NURBS kriva s(u) stepena n u P d, definisana vektorom čvorova T = (t 0... t n+m+1 ) i svojim geometrijskim kontrolnim poligonom d 0 R, f 0 R = (d 0 + d 1 )R, d 1 R,..., d m R ima sledeća svojstva: 1 Restrikcija s(u) na neprazan interval [t j, t j+1 ] je racionalna Bézier-ova kriva 2 (svojstvo umanjene projektivne varijacije) Hiperravan H seče s(u) (koja nije sadržana u H) u najviše onoliko tačaka u koliko seče njen geometrijski kontrolni poligon. 3 Kontrolne tačke d l R su sadržane u (n 1)-dimenzionom oskulirajućem potprostoru od s(u) za vrednosti parametara t l+1,..., t l+n. 4 Svaka deo po deo racionalna kriva s(u) stepena n je NURBS kriva stepena n.

Primer Razmatramo polukrug x 2 + y 2 = 1, x 0 i duž koja spaja (0, 1) i (1, 1). Treba naći parametrizaciju ove krive kao NURBS krive. Neka je c(u) = c(u)r = (1 + u 2, u 2 1, 2u)R, tada je luk c([ 1, 1]) i ċ(t) = (2, 2, 2). Ako liniju y = 1 parametrizujemo sa d(u) = d(u)r = (1, u 1, 1)R = 2u (1, u 1, 1)R, vidimo da je i d(t) = (2, 2, 2), pa je kriva c([ 1, 1]) d([1, 2]) deo po deo polinomijalna kriva stepena 2 koja ima prekide za u = 1 i u = 2, a u u = 1 je klase C 1.

Primer (nastavak) Vektor čvorova T = ( 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2). Polarna forma S 3 od c: S 3 (u 1, u 2 ) = (u 1 u 2 + 1, u 1 u 2 1, u 1 u 2 ) Polarna forma S 4 od d: S 4 (u 1, u 2 ) = (u 1 + u 2, 2u 1 u 2 u 1 u 2, u 1 u 2 ) Kontrolne tačke: d 0 = S 3 ( 1, 1) = (2, 0, 2) d 1 = S 3 ( 1, 1) = (0, 2, 0) = S 4 ( 1, 2) d 2 = S 3 ( 1, 2) = (3, 1, 3) = S 4 ( 1, 2) d 3 = S 4 ( 2, 2) = (4, 4, 4)

Tenzorski proizvod površi Razmatramo polinomijalne 2-površi s(u, v) = n m Bi n (u)bj m (v)b i,j, i=0 j=0 koje su linearna kombinacija kontrolnih tačaka b i,j sa Bernstein-ovim polinomima. Takve površi nazivamo tenzorskim proizvodom (TP) površi stepena (m, n). Prave u = const i v = const su Bézier-ove krive stepena m i n respektivno.

Tenzorski proizvod B-Spline površi Tenzorski proizvod B-Spline površi je oblika m 1 m 2 s(u, v) = N n 1 i (u)n n 2 j (v)d i,j, i=0 j=0 gde su N n 1 i (t) B-Spline bazne funkcije definisane vektorom čvorova T 1, a N n 2 i (t) B-Spline bazne funkcije definisane drugim vektorom čvorova T 2.

Translatorne površi kao TP površi TP Bézier-ova površ stepena (n, 1) je oblika n n s(u, v) = (1 v) Bi n (u)b i0 + v Bi n (u)b i1, i=0 i=0 jer su Bernstein-ovi polinomi prvog reda: B 1 0(t) = (1 t) i B 1 1(t) = t. Primer TP površ stepena (1, 1) ima reprezentaciju: s(u, v) = (1 u)(1 v)b 00 + u(1 v)b 10 + (1 u)vb 01 + uvb 11 i predstavlja hiperbolički paroboliod.

Baricentrične koordinate Za bazne tačke s 0 = 0, s 1 = 1, sve realne brojeve zapisujemo u obliku t = t 0 s 0 + t 1 s 1, t 0 + t 1 = 1. (4) Zapis je jedinstven ako stavimo t 0 = (1 t) i t 1 = t. Koordinate t u odnosu na bazne tačke s 0 i s 1 se nazivaju baricentrične koordinate. Izaberemo bazni simpleks s 0,..., s d u R d. Sve tačke u = (u 1,..., u d ) R d zapisujemo u obliku u = t i s i, t i = 1. (5) Brojevi t i zovu se baricentrične koordinate od u.

Bernstein-ovi polinomi u baricentričnim koordinatama U sistemu sa baznim tačkama s 0 = 0, s 1 = 1, umesto B n i (t), možemo pistai B i0 i 1 (t 0, t 1 ), gde je i = i 0, n i = i 1 : B n i (t) = n! i!(n i)! (1 t)i t n i = B i0 i 1 (t 0, t 1 ) = n! i 0!i 1! ti 0 0 t i 1 1.

Bernstein-ovi polinomi u baricentričnim koordinatama U sistemu sa baznim tačkama s 0 = 0, s 1 = 1, umesto B n i (t), možemo pistai B i0 i 1 (t 0, t 1 ), gde je i = i 0, n i = i 1 : B n i (t) = n! i!(n i)! (1 t)i t n i = B i0 i 1 (t 0, t 1 ) = n! i 0!i 1! ti 0 0 t i 1 1. U sistemu sa baznim simpleksom s 0,..., s d, svaki Bernstein-ov polinom stepena n je oblika B i0,...,i d (u) = n! i 0! i d! ti 0 0 t i d d, gde je i 0 +... + i d = n, i 0 0,..., i d 0.

Trougaone Bézier-ove površi Trogaona Bézier-ova d-površ stepena n je površ oblika s(u) = B i0,...,i d (u)b i0,...,i d. i 0+...+i d =n

Trougaone Bézier-ove površi Trogaona Bézier-ova d-površ stepena n je površ oblika s(u) = B i0,...,i d (u)b i0,...,i d. i 0+...+i d =n Tačke b i0,...,i d zovu se kontrolne tačke.

Trougaone Bézier-ove površi Trogaona Bézier-ova d-površ stepena n je površ oblika s(u) = B i0,...,i d (u)b i0,...,i d. i 0+...+i d =n Tačke b i0,...,i d zovu se kontrolne tačke. Svojstva trougaone Bézierove d-površi:

Trougaone Bézier-ove površi Trogaona Bézier-ova d-površ stepena n je površ oblika s(u) = B i0,...,i d (u)b i0,...,i d. i 0+...+i d =n Tačke b i0,...,i d zovu se kontrolne tačke. Svojstva trougaone Bézierove d-površi: Zbir svih koeficijenata funkcije B i0,...,i d (u) stepena n je 1.

Trougaone Bézier-ove površi Trogaona Bézier-ova d-površ stepena n je površ oblika s(u) = B i0,...,i d (u)b i0,...,i d. i 0+...+i d =n Tačke b i0,...,i d zovu se kontrolne tačke. Svojstva trougaone Bézierove d-površi: Zbir svih koeficijenata funkcije B i0,...,i d (u) stepena n je 1. Ako je u unutar simpleksa s 0,..., s d, tada su koeficijenti funkcija izmedju 0 i 1.

Trougaone Bézier-ove površi Trogaona Bézier-ova d-površ stepena n je površ oblika s(u) = B i0,...,i d (u)b i0,...,i d. i 0+...+i d =n Tačke b i0,...,i d zovu se kontrolne tačke. Svojstva trougaone Bézierove d-površi: Zbir svih koeficijenata funkcije B i0,...,i d (u) stepena n je 1. Ako je u unutar simpleksa s 0,..., s d, tada su koeficijenti funkcija izmedju 0 i 1. Restrikcija površi na afini r-dimenzionalni potprostor je trougaona Bézierova r-površ. (Specijalno: restrikcija na pravu unutar domena je Bézier-ova kriva)

Trougaone Bézier-ove površi Trogaona Bézier-ova d-površ stepena n je površ oblika s(u) = B i0,...,i d (u)b i0,...,i d. i 0+...+i d =n Tačke b i0,...,i d zovu se kontrolne tačke. Svojstva trougaone Bézierove d-površi: Zbir svih koeficijenata funkcije B i0,...,i d (u) stepena n je 1. Ako je u unutar simpleksa s 0,..., s d, tada su koeficijenti funkcija izmedju 0 i 1. Restrikcija površi na afini r-dimenzionalni potprostor je trougaona Bézierova r-površ. (Specijalno: restrikcija na pravu unutar domena je Bézier-ova kriva) Za argumente u = s 0, u = s 1,..., u = s d površ uzima vrednosti b n,0,...,0, b 0,n,0,...,0,..., b 0,...,0,n.

Bézier-ova površ kao linearna kombinacija monoma Polinomijalna d-površ stepena n u R m data je kao linearna kombinacija f(x 1,..., x d ) = a α x α monoma sa koeficijentima a α R m. Stepen Bézier-ove reprezentacije n mora biti veći ili jednak od totalnog stepena α = α 1 +... + α d. Odredimo α 0 tako da α 0 + α 1 +... + α d = n i definišemo multi-indeks i = (i 1,..., i n ): i = (0,..., 0, 1,..., 1,..., d,..., d). }{{}}{{}}{{} α 0 α d α 1

Definicija 9 Multi-afine polarne forme Posmatramo multilinearno preslikavanje P ( x 1,..., x n ) = 1 #σ x σ(i), gde σ prolazi kroz sve permutacije multi-indeksa i, simbol #σ označava broj tih permutacija, a x i znači x 1 i 1 x n i n (0 i j d). σ

Definicija 9 Multi-afine polarne forme Posmatramo multilinearno preslikavanje P ( x 1,..., x n ) = 1 #σ x σ(i), gde σ prolazi kroz sve permutacije multi-indeksa i, simbol #σ označava broj tih permutacija, a x i znači x 1 i 1 x n i n (0 i j d). Multi-afina polarna forma monoma x α je preslikavanje P dato sa P (x 1,..., x n ) = P ( x 1,..., x n ), sa x 1 0 = = x n 0 = 1. σ

Teorema 8 Neka je f(x 1,..., x d ) = α a αx α polinomijalna d-površ u R m. Ako je n > α za sve α koji se pojavljuju u definiciji f, odredimo multi-afinu polarnu formu P (x 1,..., x n ) od f komponentu po komponentu i njihovim linearnim kombinacijama odredimo multi-afine polarne forme monoma, kao što je prethodno opisano. Tada je f trougaona Bézier-ova d-površ nad baznim simpleksom s 0,..., s d i kontrolnim tačkama b i0,...,i d = P (s 0,..., s }{{} 0,..., s d,..., s d ). }{{} i 0 i d

Primer Razmatramo 2-površ koja je grafik funkcije x 1 x 2 : ] ] ] (x 1, x 2 ) f(x) = [ x1 x 2 x 1 x 2 = [ 1 0 0 x 1,0 + [ 0 1 0 x 0,1 + [ 0 0 1 ] x 1,1 Zapisujemo ovu površ kao trougaonu Bézier-ovu površ stepena n = 2 nad baznim trouglom s 0 = (0, 0), s 1 = (1, 0), s 2 = (0, 1).

Primer (nastavak) Monom x (1,0) α 1 = 1, α 2 = 0 α 0 = 1 i = (0, 1) Polarna forma P : P (x 1, x 2 ) = 1 2 (x 0,1 + x 1,0 ) = 1 2 (x1 0x 2 1 + x 1 1x 2 0) Multi-afina polarna forma za x 1 0 = x2 0 = 1: P (x 1, x 2 ) = 1 2 (x2 1 + x 1 1)

Primer (nastavak) Monom x (0,1) α 1 = 0, α 2 = 1 α 0 = 1 i = (0, 2) Polarna forma P : P (x 1, x 2 ) = 1 2 (x 0,2 + x 2,0 ) = 1 2 (x1 0x 2 2 + x 1 2x 2 0) Multi-afina polarna forma za x 1 0 = x2 0 = 1: P (x 1, x 2 ) = 1 2 (x2 2 + x 1 2)

Primer (nastavak) Monom x (1,1) α 1 = 1, α 2 = 1 α 0 = 0 i = (1, 2) Polarna forma P : P (x 1, x 2 ) = 1 2 (x 1,2 + x 2,1 ) = 1 2 (x1 1x 2 2 + x 1 2x 2 1) Multi-afina polarna forma za x 1 0 = x2 0 = 1: P (x 1, x 2 ) = 1 2 (x1 1x 2 2 + x 1 2x 2 1)

Primer (nastavak) Polarna forma od f data je kao linearna kombinacija P (x 1, x 2 ) = 1 0 0 Kontrolne tačke Površ P + 0 1 0 P + 0 0 1 P = 1 2 b 200 = P (s 0, s 0 ) = (0, 0, 0) b 020 = P (s 1, s 1 ) = (1, 0, 0) b 002 = P (s 2, s 2 ) = (0, 1, 0) b 110 = P (s 0, s 1 ) = ( 1 2, 0, 0) b 101 = P (s 0, s 2 ) = (0, 1 2, 0) b 011 = P (s 1, s 2 ) = ( 1 2, 1 2, 1 2 ) f(x) = i+j+k=2 B ijk (u 0, u 1, u 2 ) b ijk, x 1 1 + x 2 1 x 1 2 + x 2 2 x 1 1x 2 2 + x 1 2x 2 1 gde su u 0, u 1, u 2 baricentrične koordinate tačke x u odnosu na s 0 s 1 s 2.

Racionalne Bézier-ove površi Racionalne Bézier-ove površi su površi oblika f(x 1,..., x d ) = f(x 1,..., x d )R, gde je f obična polinomijalna Bézier-ova površ (trougaona ili TP).

Racionalne Bézier-ove površi Racionalne Bézier-ove površi su površi oblika f(x 1,..., x d ) = f(x 1,..., x d )R, gde je f obična polinomijalna Bézier-ova površ (trougaona ili TP). Racionalna B-Spline površ je istog oblika, gde je f polinomijalna B-Spline površ.

Racionalne Bézier-ove površi Racionalne Bézier-ove površi su površi oblika f(x 1,..., x d ) = f(x 1,..., x d )R, gde je f obična polinomijalna Bézier-ova površ (trougaona ili TP). Racionalna B-Spline površ je istog oblika, gde je f polinomijalna B-Spline površ. Racionalni tenzorski proizvod B-Spline površi se naziva NURBS površ.

Primer Sfera je racionalna površ. Stereografska projekcija sa centrom (0, 0, 1) slika tačku p na (x, y, 0) ako je p = 1 1 + x 2 + y 2 (2x, 2y, x2 + y 2 1).

Primer Sfera je racionalna površ. Stereografska projekcija sa centrom (0, 0, 1) slika tačku p na (x, y, 0) ako je p = 1 1 + x 2 + y 2 (2x, 2y, x2 + y 2 1). Kvadratna racionalna parametrizacija sfere bez severnog pola (0, 0, 1) data je sa f(x 1, x 2 ) = f(x 1, x 2 )R = (1 + x 2 1 + x 2 2, 2x 1, 2x 2, x 2 1 + x 2 2 1)R.

Primer Sfera je racionalna površ. Stereografska projekcija sa centrom (0, 0, 1) slika tačku p na (x, y, 0) ako je p = 1 1 + x 2 + y 2 (2x, 2y, x2 + y 2 1). Kvadratna racionalna parametrizacija sfere bez severnog pola (0, 0, 1) data je sa f(x 1, x 2 ) = f(x 1, x 2 )R = (1 + x 2 1 + x 2 2, 2x 1, 2x 2, x 2 1 + x 2 2 1)R. Sfera je trougaona Bézier-ova površ stepena n (za sve n 2).

Primer (nastavak) Polarna forma od f je data sa P (x 1, x 2 ) = 1 + P + P 2P 2P P + P 1 = Jedinična sfera i Bézier-ove tačke za bazni trougao s 0 = (0, 1 2 ), s 1 = ( 1 2, 0), s 2 = ( 1 2, 1 2 ). x 1 1 x2 1 + x1 2 x2 2 + 1 2x 1 1 + x2 1 x 1 2 + x2 2 x 1 1 x2 1 + x1 2 x2 2 1