Rijeseni neki zdci iz poglvlj 4.5 Prije rijesvnj zdtk prisjetimo se itnih stvri koje ce ns prtiti tijekom njihovog promtrnj. Definicij: (Trigonometrij prvokutnog trokut) ktet nsuprot kut ϕ sin ϕ hipotenuz ktet prilezec kutu ϕ cos ϕ hipotenuz ktet nsuprot kut ϕ tg ϕ ktet prilezec kutu ϕ ktet prilezec kutu ϕ ctg ϕ ktet nsuprot kut ϕ Gledjuci skicu vrijedi: sin α c, cos α c, tg α, ctg α sin β c, cos β c, tg β, ctg β Zdtk 3: (str. 4) Osnovic jednkokrcnog trokut dugck je 33 cm, duljin visine n krk iznosi 5 cm. Koliki su kutovi tog trokut? Rjesenje: Visinom n krk dni jednkokrcni trokut dijeli se n dv mnj prvokutn trokut:
Usredotocimo se n trokut ABN (osjencn zelenom ojom): Uocimo d je visin n krk jednkokrcnog trokut v ktet nsuprotn kutu β u trokutu ABN dok je osnovic jednkokrcnog trokut zprvo hipotenuz u trokutu ABN. Te tri velicine mozemo povezti preko trigonometrijske funkcije sin n sljedeci ncin: Uvrstimo poznte vrijednosti, slijedi: sin β v sin β 5 v }{{} 33 sin β 5 33 β sin ( 5 33 β 7 8 Dkle velicin kut β jednk je 7 8. Ndlje kko je trokut ABC jednkokrcn z njegove kutove vrijedi α + β 80, rcunm: Uvrstim poznte vrijednosti, slijedi: ) α + β 80 α + 7 8 β 80 α + 7 8 80
α + 54 4 7 80 α 80 54 4 7 α 5 55 44 Dkle velicine kutov su α 5 55 44 i β 7 8. Time je zdtk rijesen. % Zdtk 8: (str. 4) Duljine osnovice i krk jednkokrcnog trokut u omjeru su 6 : 5, visin n osnovicu dugck je 8 cm. Odredi polumjer upisne i opisne kruznice ovom trokutu. Rjesenje: Prvo cemo odrediti velicine kutov ovog trokut. Promotrimo skicu: Usredotocimo se z pocetk n lijevi prvokutni trokut AN C n koje visin v dijeli trokut ABC (osjencn plvom ojom): 3
Dkle kko je u zdtku zdn omjer izmedju osnovice i krk jednkokrcnog trokut, te velicine promtrt cemo i u trokutu ACN. Uocimo d je polovic osnovice jednkokrcnog trokut prilezec ktet kutu β u trokutu ANC dok je krk jednkokrcnog trokut zprvo hipotenuz u trokutu ACN. Te tri velicine mozemo povezti preko trigonometrijske funkcije cos n sljedeci ncin: cos β cos β Kko znmo d izrz : 6 : 5 mozemo drugcije zpisti ko 6 5, dlje rcunm: 6 5 cos β cos β 6 3 5 cos β 3 5 ) β cos ( 3 5 β 53 7 48 Dkle velicin kut β jednk je 53 7 48. Ndlje kko je trokut ABC jednkokrcn z njegove kutove vrijedi α + β 80, rcunm: Uvrstim poznte vrijednosti, slijedi: α + β 80 α + 53 7 48 β 80 α + 53 7 48 80 α + 06 5 38 80 α 80 06 5 38 α 73 44 3 Dkle velicine kutov su α 73 44 3 i β 53 7 48. Sd mozemo odrediti velicinu osnovice, te krk. Promtrmo li opet trokut AN C (posljednj skic). Uocimo d je polovic osnovice jednkokrcnog trokut prilezec 4
ktet kutu β u trokutu AN C dok je visin n osnovicu jednkokrcnog trokut v zprvo nsuprotn ktet kutu β u trokutu ACN. Te tri velicine mozemo povezti preko trigonometrijske funkcije tg n sljedeci ncin: tg β v v tg β v Uvrstimo poznte vrijednosti, slijedi: tg 53 7 48 β 8 v tg 53 7 48 8 /.333 6 / :.333 cm Prisjetimo se d vrijedi : 6 : 5, dkle vrijedi: : 6 : 5 6 5 Uvrstimo poznte vrijednosti, slijedi: 6 5 6 5 / 5 6 5 6 6 5 5 6 5 0 0 cm Sd kd smo odredili velicine osnovice i krk mozemo se usredotociti n rcunnje rdijus upisne i opisne kruznice. Odredimo prvo rdijus trokutu upisne kruznice. Srediste trokutu upisne kruznice nlzi se n simetrlm kutov. Pogledjmo sljedecu skicu: 5
Usredotocimo se n trokut ABS u. Tj trokut je jednkokrcn te g rdijus upisne kruznice dijeli n dv prvokutn trokut (osnovic jednkokrcnog trokut je tngent upisne kruznice p njen rdijus mor iti okomit n osnovicu sto znci d je ujedno visin trokut ABS u ). Promotrimo sd jedn od tih mnjih prvokutnih trokut, nek to ude trokut ANS u, skic: Uocimo d je polovic osnovice jednkokrcnog trokut prilezec ktet kutu β u trokutu ANS u dok je rdijus upisne kruznice jednkokrcnog trokut r zprvo prilezec ktet kutu β u trokutu ANS u. Te tri velicine mozemo povezti preko trigonometrijske funkcije tg n sljedeci ncin: tg β r tg β r r 6
Uvrstimo poznte vrijednosti, slijedi: tg 53 7 48 β tg 53 7 48 r }{{} r 6 tg 6 33 54 r 6 / 6 6 3 r 6 6 3 r r 3 cm Preostje jos odrediti rdijus opisne kruznice. Srediste trokutu opisne kruznice nlzi se n simetrlm strnic. Pogledjmo sljedecu skicu: Usredotocimo se n trokut AS o C (osjencn plvom ojom). Tj trokut je jednkokrcn te g simetrl krk dijeli n dv prvokutn trokut (simetrl strnice je okomit n smu strnicu). Promotrimo sd jedn od tih mnjih prvokutnih trokut, nek to ude trokut AS o N, skic: 7
Uocimo d je polovic krk jednkokrcnog trokut prilezec ktet kutu α u trokutu AS o N dok je rdijus opisne kruznice jednkokrcnog trokut R zprvo hipotenuz u trokutu AS o N. Te tri velicine mozemo povezti preko trigonometrijske funkcije cos n sljedeci ncin: Uvrstimo poznte vrijednosti, slijedi: cos cos α R cos α 73 44 3 α cos 73 44 3 R R 0 R 5 0 R cos 36 5 5 R 4 5 5 R / R 5 4 4 5 R 5 5 4 R R 5 4 R 5 4 R 6.5 cm Dkle odredili smo d je rdijus upisne kruznice r jednk 3 cm, dok je rdijus opisne kruznice R jednk 6.5 cm. Time je zdtk rijesen. 8
% Zdtk : (str. 4) Povrsin prvokutnik iznosi 45 cm, kut izmedju dijgonl jednk je 4. Kolike su duljine strnic prvokutnik? Rjesenje: Dkle kko nm je zdn povrsin, izrz z povrsinu prvokutnik jest P slijedi: } P P 4 cm 4 D ismo mogli odrediti velicine strnic prvokutnik tre nm jos jedn vez izmedju njegovih strnic. U tu svrhu pogledjmo sljedecu skicu: 9